傅里叶变换、数字滤波器设计、标准表插值算法汇总

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傅里叶变换
周期函数)(tfT可表示为：


10)sincos(2)(n
nnT
tnbtnaatf


其中：


220)(2TTTdttfTa



22cos)(2TTTntdtntfTa




22sin)(2TTTntdtntfTb


周期函数)(tfT的周期为T。频率Tf1，角频率T2，n为正整
数。

周期函数)(tfT的直流分量220)(12TTTdttfTad。nffn为各次谐波的
频率。
周期函数)(tfT可化为：(三角函数公式：BABABAsinsincoscos)cos()

dtnAtfnnnT1)cos()(

其中：
22
nnn
baA

)(nnnabarctg

即周期函数)(tfT可表示为不同频率成分的正弦函数的和。其中频率
f
2

为基波的频率。
根据欧拉公式sincosiei，有：

2
cosiiee

ieeii2
sin
所以周期函数)(tfT可表示为：


10)22(2)(n
tintinntintin

nT
i

eebeeaa
tf


= )22(210tinnntinnnneibaeibaa
而








tdtntfitdtntfTibaTTTTTTnnsin)(cos)(
1

2
222

2
=
dttnitntfTTTT)sin(cos)(122




=dtetfTtinTTT22)(1

2
nn
iba
=tdtntfitdtntfTTTTTTTsin)(cos)(12222

= dttnitntfTTTT)sin(cos)(122
= dtetfTtinTTT22)(1
3

令


220)(1TTTdttfTc

dtetfTibactinTTTnnn22)(
1
2

dtetfTibactinTTTnnn22)(
1
2
n
为正整数

则
)()(10tinntinnnTececctf


当
n取整数时，c
可以合写为一个式子
dtetfTctinTTTn22)(
1
（n = 0, ±1，±2，...）

所以有
tin
nnTectf
)(
n

为整数

非周期函数)(tf，当T时，有
)()(limtftfTT

所以

tinntinTTTTedtetfTtf











22)(1)(
lim

取nn，Tnnn21，当T时，0n。

从而
4

tintiTTTnnnnedtetftf

220
)(2)(
lim

亦即
n
tintinnnedtetftf
)(21)(lim0

令




dtetfFti

n
n



)()(

则

ntinn
n
n
eFtf)(21)(
lim

0

=ntindeFn)(21

=deFti)(21
因此有



dtetfFti


)()(

(1)




deFtfti)(21)(
(2)

称式(1)中函数)(F为函数)(tf的傅里叶变换，式(2)中函数)(tf为函数
)(F的傅里叶逆变换。函数)(F
即为函数)(tf的频谱。
图1 是函数y1和y2的函数图。其中
y1=sin(t)。
y2=sin(t)+0.5*cos(3*t)+0.2*sin(8*t)+0.35*cos(15*t)。
y1是标准的正弦函数，y2中加入了高次谐波分量。
5

图1 谐波分量图
图2 是偶次谐波的函数图。

图2 偶次谐波图
6

图3 是偶次谐波的频谱图。
图3 偶次谐波频谱图
图4 是偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图。

图4 偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图
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傅里叶分析在电路上的应用
函数)(tf的傅里叶变换记为F)(tf ，函数)(tg的傅里叶变换记为
F)(tg，即)(FF)(tf，)(GF

)(tg
。 则有

傅里叶变换的线性性质
F


)()(tgtf
= )(F  )(G

傅里叶变换的微分性质

F





dt
tdf)(


)(Fi

傅里叶变换的积分性质
F








t

dttf)(


)(1F

i

电路上的一个例子。
有一段RLC电路如图5所示

图5 RLC电路
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求电路的电流)(ti ，列方程有
)()(1)()(tudttiCdttdiLtRit



函数)(ti的傅里叶变换为)(I，函数)(tu的傅里叶变换为)(U，对方程

两边做傅里叶变换，有
)()(1)()(UICiLIiRI
求)(I得

Ci
LiRUI1)()(


求)(I的傅里叶逆变换得
dteItitit)(21)(

代入具体的参数值，即可求得电路的电流)(ti。
函数的卷积
已知函数)(tf，)(tg，则积分

dtgfth)()()(







称为函数)(tf和)(tg的卷积，记为

)(*)()(tgtfth
按傅里叶变换的定义，有
F
)](*)([tgtf
= dtetgtfti)](*)([

= dtedtgfti])()([
= dtdetgeftii)()()(
= )()()()(tdetgdeftii
9

= F)(tf  F)(tg
=)()(GF
即两个函数卷积的傅里叶变换等于这两个函数傅里叶变换的乘积。
数字低通滤波器的设计
模拟二阶低通滤波器的电路如图6所示。

图6 模拟二阶低通滤波器电路
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用傅里叶变换分析电路，可以证明
2121221211
2
2121
1)1)1(11
(1)()(CCRRsCRACRCRsCCRRAsUsUio



其中is，341RRA。设
)()()(sU
sU
sGio

2121
1
CCRR
c



2121
21CCRR
fc

2211122111
22
)1(1CRCRACRCRCRCRQ



则有

22
2
)(cccsQsAsG

函数)(sG为图6模拟二阶低通滤波器的传递函数。A为放大系数，
c


为滤波器的截止角频率，Q为滤波器的品质因数。

取kRR159.15521，FCC01.021，kRR1043，则2A，
Hzfc100
，sradc/200，1Q。函数)(sG的频谱图如图7所示。
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图7 函数)(sG的频谱图(1Q)
特别的，取3R，04R，则1A, 5.0Q，函数)(sG的频谱图如图
8所 示。

图8 函数)(sG的频谱图(5.0Q)