高考数学易错题9.1 复杂的排列组合问题-2019届高三数学提分精品讲义
2019年高考数学总复习课件 9.2 排列与组合
【分析】 本题考查了组合数公式. 【解】 由于要求男女各半,所以分两步完成: 第一步:从6名男运动员中选2人,有种选法; 第二步:从5名女运动员中选2人,有种选法; 由分步计数原理得,共有=15×10=150种选法. 【点评】 本题主要考查学生分析问题和解决问题的能力, 直接从组合的定义入手,分步选出4人.
【点评】 解这类排列应用题, 要先排特殊位置, 对有限制条件的元 素要分类讨论, 注意分类的标准要统一, 不重不漏.
【例2】 (1)某医院有8名医生,现从中选派2人到一所学 校进行体检,共有多少种不同的选派方法? (2)某医院有8名医生,现从中选派2人分别到一中、二中 进行体检,共有多少种不同的选派方法?
【分析】 本题考查了排列组合的区分. 【解】 (1)由题意选派医生到一所学校体检没有顺序 ,所以 属于组合问题,共有=28种不同的选派方法; (2)由题意选派医生到不同的学校体检,是有顺序的,故为排列 问题,共有=56种不同的选派方法. 【点评】 有序排列,无序组合.
【例3】 从6名男运动员和5名女运动员中选出4人组成代 表队,男女各半的选法有 种.
9.2
排列与组合
【复习目标】 1.理解排列、组合的基本概念. 2.会运用排列数、组合数公式进行计算. 3.会解排列、组合简单问题,会判断给定问题是排列还是 组合问题,会根据有关定理、公式进行分析、计算. 【知识回顾】 1.排列的概念 一般地说,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一 定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个排列.
高三数学精品课件：排列与组合
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小题诊断
法一：可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不 5同．的(2选01法8·高有考C全21C国24＝卷1Ⅰ2(种)从)；2 第位二女种生情，况4 位，男有生2中位选女3生人入参选加， 科不技同比的赛选法，有且 至C22少C14有＝41(种位)．女 生 入 选 ， 则 不 同 的 选 法 共 有 _根__据1_6_分__类_种加．法(计用数数原字理填知写答 ，至案少) 有 1 位女生入选的不同的选 法有 16 种． 法二：从 6 人中任选 3 人，不同的选法有 C36＝20(种)，从 6 人中任选 3 人都是男生，不同的选法有 C34＝4(种)，所以至少 有 1 位女生入选的不同的选法有 20－4＝16(种)．
生组成的田径运动队中选出 4 人参加比赛，要求男、女生都有，
则男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为( )
A．85
B．86
C．91
D．90
思路分析：可采用直接法求解，也可用间接法求解，注意题目
中“至少”的含义．
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易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素 是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
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考点二 组合应用题 (核心考点——合作探究)
解析：法一：(直接法)由题意，可分 3 类情况： 第 1 类，若男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为 C31C24＋ C32C14＋C33＝31； 第 2 类，若男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为 C41C23＋ C42C13＋C34＝34； 第 3 类，若男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为 C23＋C14C13 ＋C24＝21. 所以男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 31＋34＋21 ＝86.
复杂的排列组合问题-高三数学备考练习
问题38复杂的排列组合问题一、考情分析高考对这部分的要求还是比较高的.考查两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合.画一画,数一数,算一算,是基本的计数方法,不可废弃.二、经验分享1.排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.2.组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．3.排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．(4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数．三、知识拓展1.分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．2.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．3.解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件．4.解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类.3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略解排列（或）组合问题,应按元素的性质进行分类,分类标准明确,不重不漏；按事情的发生的连续过程分步,做到分步层次清楚. 四、题型分析(一)“相邻”与“不相邻”问题【例1】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排法种数： （1）甲不在排头、乙不在排尾；（2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位； （3）甲一定在乙的右端(可以不相邻)．【解析】（1）①直接排,要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情况． 若甲排在排尾共有A 11A 33＝6种排法．若甲既不在排头也不在排尾共有A 12A 12A 22＝8种排法,由分类计数原理知满足条件的排法共有A 11A 33＋A 12A 12A 22＝14(种)．②也可间接计算：A 44－2A 33＋A 22＝14(种)．（2）可考虑直接排法：甲有3种排法；若甲排在第二位,则乙有3种排法；甲、乙排好后,丙、丁只有一种排法,由分步计数原理知满足条件的所有排法共有3×3×1＝9(种)．（3）可先排丙、丁有A 24种排法,则甲、乙只有一种排法,由分步计数原理满足条件的排列共有A 24·1＝12(种),或看作定序问题A 44A 22＝12(种)． 【点评】对于相邻问题,可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列,同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列,这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素,可先排其他元素,然后将这些要求不相邻的元素插入空当,这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法．【小试牛刀】【广东省汕头市2019届高三上学期期末】把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为______用数字作答．【答案】36【解析】先将卡分为符合条件的3份，由题意，3人分5张卡，且每人至少一张，至多三张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这4个数用2个板子隔开，在4个空位插2个板子，共有种情况，再对应到3个人，有种情况，则共有种情况．故答案为：36(二)涂色问题【例2】如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有________.【分析】由于区域1,2,3与区域4相邻,由条件宜采用分步处理,又相邻区域不同色,因此应按区域1和区域3是否同色分类求解．【解析】按区域1与3是否同色分类；(1)区域1与3同色；先涂区域1与3有4种方法,再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A33种方法．∴区域1与3涂同色,共有4A33＝24种方法．(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A24种方法,第二步涂区域2有2种涂色方法,第三步涂区域4只有一种方法,第四步涂区域5有3种方法．∴这时共有A24×2×1×3＝72种方法,故由分类加法计数原理,不同的涂色种数为24＋72＝96.【点评】（1）解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序．（2）切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色．【小试牛刀】【安徽省淮南市2019届高三第一次模拟】如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A． B． C． D．【答案】B【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为 ,故选B．(三)分配问题【例3】有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式？ （1）分成每组都是2本的三组； （2）分给甲、乙、丙三人,每人2本．【分析】（1）组合知识及分步计数原理求解；（2）均匀分组问题.【解析】（1）先分三步,则应是C 26C 24C 22种选法,但是这里面出现了重复,不妨记6本书为分别A 、B 、C 、D 、E 、F ,若第一步取了(AB 、CD 、EF ),则C 26C 24C 22种分法中还有(AB 、EF 、CD ),(CD 、AB 、EF )、(CD 、EF 、AB )、(EF 、CD 、AB )、(EF 、AB 、CD )共有A 33种情况,而且这A 33种情况仅是AB 、CD 、EF 的顺序不同,因此,只算作一种情况,故分配方式有C 26C 24C 22A 33＝15(种)． （2）在问题（1）的基础上再分配,故分配方式有C 26C 24C 22A 33·A 33＝C 26C 24C 22＝90(种)． 【点评】不同元素的分配问题,往往是先分组再分配．在分组时,通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法．【小试牛刀】把,,,A B C D 四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具,且,A B 两件玩具不能分给同一个人,则不同的分法有（ ）A ．36种B ．30种C ．24种D ．18种 【答案】B【解析】分两步进行分析:先计算把D C B A ,,,四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目:首先将4件玩具分成3组,其中1组有2件,剩余2组各1件,有624=C 种分组方法,再将这3组对应三个小朋友,有633=A 种方法,则有3666=⨯种情况；计算B A ,两件玩具分给同一个人的分法数目,若B A ,两件玩具分给同一个人,则剩余的2件玩具分给其他2人,有62213=⨯A C 种情况.综上可得,B A ,两件玩具不能分给同一个人的不同分法有30636=-种,故选B. (四)排数问题【例4】在某种信息传输过程中,用四个数字的一个排列（数字允许重复）表示以一个信息,不提排列表示不同信息. 若所有数字只有0,1,则与信息0110之多由四个相对应位置上数字相同的信息个数为（ ） A. 9 B.10 C.11 D. 12【分析】信息0110是四个数字,此类“至多”、“至少”类型的问题,可以直接利用分类讨论求解,也可以转化为反面的问题,利用间接法求解.【解析一】（直接法）若0相同,只有1个；若1相同,共有144C =个；若2相同,共有246C =个,故共有14611++=个.【解析二】（间接法）若3个数字相同,共有246C =个,若4个数字相同共4个,二不同排列个数为4216=个,所以共有16(14)11-+=个.【点评】该题中要求的是“至多”有两个位置上数字相同,易出现的问题是分类混淆,漏掉各位数字信息均不同的情况,解决此类问题的关键是准确确定分类标准,分类计数时要做到不重不漏.【小试牛刀】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有（ ） A ．144个 B ．120个 C ．96个 D ．72个 【答案】B【解析】据题意,万位上只能排4、5．若万位上排4,则有342A ⨯个；若万位上排5,则有343A ⨯个．所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个．选B ．(五)摸球问题【例5】【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考】将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排,然后从左至右依次给它们赋以编号l,2,…,8.则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有 种. 【分析】注意到4个相同的红球没有区别,4个相同的黑球也没有区别,先求出任意排放的排法7048=C ,编号相等的结果必有四组,其中每组一黑球一白球的编号和为9,则有)8,1(,)7,2(,)6,3(,)5,4(四种,红黑互换编号就有8种,因为红球的编号之和小于黑球编号之和的排法和大于的排法一样,则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有3122670=--种. 【解析】依题意,任意排放的排法7048=C ,红球编号与黑球编号相等的情况有)8,1(,)7,2(,)6,3(,)5,4(四种,红黑互换编号就是8种,所以红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有3122670=--种. 【点评】要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关,排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列两个步骤进行．【小试牛刀】四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有 种（用数字作答）． 【答案】42【解析】根据题意,分2步进行分析,①、先在编号为1,2,3的三个盒子中,取出2个盒子,有233C =种取法,②、将4个小球放进取出的2个盒子中,每个小球有2种放法,则4个小球一共有2×2×2×2=24种, 其中有1个空盒,即4个小球都放进其中1个盒子的情况有2种；则将4个小球放进取出的2个盒子中,且不能有空盒,其放法数目为（24﹣2）=14种, 故四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法为3×14=42种； 故答案为：42．(六)“至多”、“至少”问题【例6】某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队,其中 （1）甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法？（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法？ 【分析】“无序问题”用组合,注意分类处理．【解析】（1）分两类：甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,共有C 12C 418＋C 318＝6 936(种)；（2）方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外,所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14 656(种)．方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数,得C 520－(C 512＋C 58)＝14656(种)．【点评】 对于有条件的组合问题,可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算,此类问题要注意分类处理或间接计算,切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．选择恰当分类标准,避免重复遗漏,出现“至少、至多”型问题,注意间接法的运用． 【小试牛刀】西部某县委将7位大学生志愿者(4男3女) 分成两组, 分配到两所小学支教, 若要求女生不能单独成组, 且每组最多5人, 则不同的分配方案共有（ ）A ．36种B ．68种C ．104种D ．110种 【答案】C【解析】分组的方案有3、4和2、5两类,第一类有3272(1)68C A -⋅=种;第二类有222732()36C C A -⋅=种,所以共有N=68+36=104种不同的方案. (七)信息迁移题【例7】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33,…,99.3位回文数有90个：101,111,121,…,191,202,…,999.(*)则：（1）4位回文数有________个；（2）2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个．(**) 【分析】由(*)式,理解“特殊”背景——回文数的含义,借助计数原理计算．结合(**),可从2位回文数,3位回文数,4位回文数探索求解方法,从特殊到一般发现规律．【解析】（1）4位回文数相当于填4个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法；中间两位一样,有10种填法．共计9×10＝90(种)填法,即4位回文数有90个．（2）根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格．由计数原理,共有9×10n 种填空．【点评】 （1）一题两问,以“回文数”为新背景,考查计数原理,体现了化归思想,将确定回文数的问题转化为“填方格”问题,进而利用分步乘法计数原理解决,将新信息转化为所学的数学知识来解决． （2）从特殊情形入手,通过分析、归纳,发现问题中隐含的一些本质特征和规律,然后再推广到一般情形,必要时可以多列举一些特殊情形,使规律方法更加明确．【小试牛刀】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如2,11,242,6776,83238等,设n 位回文数个数为n a （n 为正整数）,如11是2位回文数,则下列说法正确的是（ ）A.4100a =B.()21210n n a a n N ++=∈C.()22110n n a a n N -+=∈D.以上说法都不正确 【答案】B.【解析】A ：491090a =⋅=,故A 错误；根据对称性可知,21210n n a a +=,故B 正确,C,错误,故选 B.四、迁移运用1．【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的。
排列组合解题技巧课件
解题步骤：首 先确定特殊值， 然后根据特殊 值的特性进行
计算。
注意事项：特 殊值的选择要 合理，不能随
意选取。
构造法
定义：根据题目的要求，通过构造模型或图形来解决问题的方法。
应用场景：适用于解决排列组合问题中的计数问题。
解题步骤：首先分析题目，确定需要构造的模型或图形，然后根据模型或图形的特点，选择合适 的构造方法，最后计算出结果。
多做练习，提高解题能力
反思总结：在练习过程中不 断反思和总结，发现自己的 不足并加以改进
大量练习：通过不断的练习， 熟悉排列组合的解题思路和 技巧
刻意练习：有针对性地进行 练习，针对自己的薄弱环节
进行强化训练
持续学习：不断学习新的解 题技巧和方法，提高自己的
解题能力
THANK YOU
汇报人：XX
解题思路：先考虑相邻元素之间的顺序，再对其他元素进行排列组合。
常见题型：如将5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都 不空，则不同的放法种数为多少。 注意事项：在解决相邻问题时，需要注意元素之间的顺序要求，避免出 现重复或遗漏的情况。
相同元素问题
相同元素在排列组合中的 处理方式
相同元素的排列组合计算 公式
排列组合解题技巧总结
熟悉基本概念和公式
理解排列组合的 定义和公式
掌握排列组合的 常用公式和定理
了解排列组合的 常见题型和解题 思路
掌握排列组合的 解题技巧和注意 事项
掌握解题思路和方法
分析问题，确定使用哪种解 题方法
理解排列组合的概念和公式
掌握常见的解题技巧，如插 空法、捆绑法等
练习经典例题，加深理解和 应用
排列组合解题技巧
汇报人：XX
2019年《·高考总复习》数学：第九章 第1讲 计数原理与排列组合
2019年4月29日
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17
【规律方法】(1)对有约束条件的排列问题，应注意如下类 型：
①某些元素不能在或必须排列在某一位置； ②某些元素要求连排(即必须相邻)； ③某些元素要求分离(即不能相邻). (2)基本的解题方法： ①有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元 素或特殊位置，称为优先处理特殊元素(位置)法(优先法)；
2019年4月29日
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10
解：7 位同学站成一排： (1)共有 A77种不同的排法； (2)站成两排(前 3 后 4)，共有 A77＝5040 种不同的排法； (3)其中甲站在中间的位置，共有 A66＝720 种不同的排法； (4)甲、乙只能站在两端的排法共有 A22A55＝240 种； (5)甲、乙不能站在两端的排法共有 A25A55＝2400 种； (6)甲不排头、乙不排尾的排法共有： 方法一，甲排尾，共有 A66种不同的排法； 甲不排尾，共有 A15A15A55种不同的排法； 故共有 A66＋A15A15A55＝3720 种不同的排法；
2019年4月29日
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思维点拨：此题不讲究顺序，故采用组合数. 解：(1)C37＝35.(2)C15＝5.(3)C35＝10. (4)C12C25＝20. (5)直接法，有两种情况：甲、乙两人都当选和甲、乙只有 一人当选，则 C15＋C12C25＝25. 间接法，甲、乙至少有一人当选的对立事件为甲、乙都不 当选，则 C37－C35＝25. (6)直接法，有两种情况：甲、乙两人都不当选和甲、乙只 有一人当选，则 C35＋C12C25＝30. 间接法，甲、乙至多有一人当选的对立事件为甲、乙都当 选，则 C37－C15＝30.
后进行全排列
2019年高考数学第二轮专项专题排列、组合、二项式定理与概率统计复习及解析湖南师大附中共11页
高考数学二轮复习专项排列、组合、二项式定理与概率统计（含详解）1. 袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码, 设号码为n 的球的重量为344342+-n n (克). 这些球以等可能性(不受重量, 号码的影响)从袋里取出.（Ⅰ）如果任意取出1球, 求其号码是3的倍数的概率. （Ⅱ）如果任意取出1球, 求重量不大于号其码的概率; （Ⅲ）如果同时任意取出2球, 试求它们重量相同的概率.2. 从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为54，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为53.试求：（I ）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；（II ）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率.3. 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不在放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数。
（1）求ξ的分布列，期望及方差； （2）求η的分布列，期望及方差；4.（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有三天以上（含三天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问，该商场是否需要增加结算窗口？5. 某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9,0.8，0.7．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内： （1）只有丙柜面需要售货员照顾的概率；（2）三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率； （3）三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．6. 某同学上楼梯的习惯每步走1阶或2阶，现有一个11阶的楼梯 ，该同学从第1阶到第11阶用7步走完。
(1)求该同学恰好有连着三步都走2阶的概率；(2)记该同学连走2阶的最多步数为ζ，求随机事件ζ的分布列及其期望。
排列组合知识点归纳总结高考
排列组合知识点归纳总结高考一、简介排列组合是数学中的一个重要分支，也是高考数学考试中常见的题型。
掌握排列组合的知识，不仅可以帮助我们解决实际问题，还有助于提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本文将对排列组合的基本概念、计算公式以及应用进行总结和归纳。
二、基本概念1. 排列排列是从给定的若干个元素中，取出一部分元素，按照一定的顺序进行排列。
排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n - m)!2. 组合组合是从给定的若干个元素中，取出一部分元素，不考虑其顺序，进行组合。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n - m)!)三、排列组合的计算公式1. 排列当元素可以重复使用时，排列的计算公式为：A'(n,m) = n^m2. 组合当元素可以重复使用时，组合的计算公式为：C'（n，m）= C（n+m-1，m）四、应用1. 随机抽奖在某次抽奖活动中，参与者共10人，要从中抽取3名幸运儿，问有多少种可能的结果？解题思路：这是一个组合问题，从10人中抽取3人，不考虑顺序。
根据组合的计算公式C(n,m) = n! / (m! * (n - m)!), 可以得出C(10,3) = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 120 种可能的结果。
2. 配对组合在某次活动中，有5对情侣参加，要求每对情侣都不跟自己的伴侣配对，问有多少种可能的配对方式？解题思路：这是一个排列问题，每对情侣都有两种可能的配对方式。
根据排列的计算公式A(n,m) = n! / (n - m)!, 可以得出A(10,5) = 10! / (10 - 5)! = 30,240 种可能的配对方式。
3. 买彩票中奖某彩票号码由6个数字组成，开奖时从0-9之间随机选择6个数字作为中奖号码，以每注彩票中奖概率为4‰，购买一张彩票的中奖概率是多少？解题思路：这是一个组合问题，从10个数字中选择6个数字作为中奖号码，不考虑顺序。
排列组合知识点归纳总结高考真题
排列组合知识点归纳总结高考真题在高考数学中，排列组合是一个重要而常见的考点。
它是数学中的一种计数方法，用于求解不同元素的排列和组合。
通过对高考真题的总结和归纳，我们可以更好地理解排列组合知识点，提高解题能力。
一、排列的概念与性质排列是指从n个不同元素中，按照一定的顺序取出m(m≤n)个元素的方式数。
排列的顺序很重要，即不同的顺序被视为不同的排列。
高考常见的排列问题有：1. 从n个元素中取出m个元素的排列数：记作A(n, m)或P(n, m)，其计算公式为A(n, m) = n!/(n-m)!2. 从n个元素中取出全部元素的全排列数：记作n!，即A(n, n)。
3. 若排列中的n个元素都不重复，则称为无重排列；若排列中的n 个元素中有重复的元素，则称为有重排列。
二、组合的概念与性质组合是指从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的方式数。
组合不考虑元素的顺序，即不同顺序被视为相同的组合。
高考常见的组合问题有：1. 从n个元素中取出m个元素的组合数：记作C(n, m)，其计算公式为C(n, m) = n!/(m!(n-m)!)2. 从n个不同元素中取出全部元素的组合数：记作C(n, n)或C(n, 0)，即1。
3. 若组合中的n个元素都不重复，则称为无重组合；若组合中的n个元素中有重复的元素，则称为有重组合。
三、排列组合在高考中的应用1. 求解问题的可能性当需要从给定的元素中选择一定数量的元素进行排列或组合时，可以通过排列组合的知识来计算可能的情况数。
这对于求解各类可能性问题非常有效。
2. 求解概率问题排列组合的知识在概率问题中也有广泛的应用。
例如，求解事件发生的概率、不同事件组合的概率等。
在解决这类问题时，可以利用组合数来计算事件发生的可能性。
3. 分配问题的计数排列组合的知识在分配问题中也有常见的应用。
例如，班级中选举学生干部，要求每个职位只能由一个学生担任，可以利用排列数进行计算；若要求每个职位可以有多个学生担任，可以利用组合数进行计算。
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【分析】由于区域 1,2,3 与区域 4 相邻,由条件宜采用分步处理,又相邻区域不同色,因此应按区域 1 和区域 3 是否同色分类求解．
D．840 种
【点评】不同元素的分配问题,往往是先分组再分配．在分组时,通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分 组；③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法．
【小试牛刀】【2017 届广东七校联合体高三上学期联考二】把 A, B, C, D 四件玩具分给三个小朋友,每位小朋
四、题型分析
(一)“相邻”与“不相邻”问题 【例 1】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排法种数： （1）甲不在排头、乙不在排尾； （2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位； （3）甲一定在乙的右端(可以不相邻)．
【点评】对于相邻问题,可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列,同时要考虑相邻元素的 内部是否需要排列,这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素,可先排其他元素,然后将这些要求不相邻的
A. 72 种
B. 78 种
C. 48 种
D. 84 种
【答案】C
【解析】方法一： A55 2 A44 2 A44 4 A33 48 方法二：a,a,c 2 3 2 12 c,a,a, 2 3 2 12 ,
a,c,a 2 A42 24 ,故共有12 12 24 48. 选 C.
三、知识拓展
1.分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关位
置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于 某一类． 2.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须 满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．分步必须满足两 个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成． 3.解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化 为求它的对立事件． 4.解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类. 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 解排列（或）组合问题,应按元素的性质进行分类,分类标准明确,不重不漏；按事情的发生的连续过程分步, 做到分步层次清楚.
元素插入空当,这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、 元素优先法、间接计算法．
【小试牛刀】【山西大学附属中学 2017 级上学期 11 月模块诊断】已知身穿红,黄两种颜色衣服的各两人,身
穿蓝衣服的有 1 人,现将五人排成一列,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法有（ ）
专题九 计数原理 问题一：复杂的排列组合问题
一、考情分析
高考对这部分的要求还是比较高的.考查两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是： 计数模型不一定是排列或组合.画一画,数一数,算一算,是基本的计数方法,不可废弃.
二、经验分享
1.排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊 元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的 常用方法. 2.组合问题常有以下两类题型变化 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则 先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．学-科网 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含 义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接 法处理． 3.排列与组合综合问题的常见类型及解题策略 (1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑 它们“内部”的排列． (2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同 等作用． (3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置． (4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原 理求出排列总数．
A．360 种 【答案】B
B．720 种
C．780 种
【解析】先排1,有 6 种方法,再排 2, 3, 4, 5 有 A54 种方法,故一共有 6 A54 720 种.
(三)分配问题 【例 3】有 6 本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式？ （1）分成每组都是 2 本的三组； （2）分给甲、乙、丙三人,每人 2 本． 【分析】（1）组合知识及分步计数原理求解；（2）均匀分组问题.
【点评】（1）解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序． （2）切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色． 【小试牛刀】【河南省天一大联考 2017 届高三上学期阶段性测试】如图,图案共分 9 个区域,有 6 种不同颜色 的涂料可供涂色,每个区域只能涂一种颜色的涂料, 其中 2 和 9 同色、3 和 6 同色、4 和 7 同色、5 和 8 同色,且相邻区域的颜色不相同,则涂色方法有（ ）