圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结与经典例题
圆锥曲线知识点总结与经典例题圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备： 1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈2121y y k x x -=-②点0(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离 0022Ax By C d A B++=+③夹角公式：直线111222::l y k x b l y k x b =+=+ 夹角为α， 则2121tan 1k kk kα-=+ （3）弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离①222121()()AB x x y y =-+-2121AB k x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-③12211AB y k =+-（4）两条直线的位置关系 （Ⅰ）111222::l y k x b l y k x b=+=+ ①1212l lk k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且（Ⅱ） 11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=①1212120l lA AB B ⊥⇔+=②1212211221//0l l A B A B AC A C ⇔≠-=0且-或111222AB C AB C =≠者（222A B C≠）两平行线距离公式1122::l y kx b l y kx b =+⎧⎨=+⎩ 距离1221d k =+1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=⎧⎨++=⎩ 距离1222d A B =+二、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆 双曲线 抛物线定义1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（0<e<1） 1．到两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（e>1） 与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 轨迹条件 点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a}. 点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜.=±2a,｜F 2F 2｜＞2a}.点集{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}.图形方 标准12222=+by a x (b a >>012222=-by a x (a>0,b>0pxy 22=程方程) )参数方程为离心角）参数θθθ(sincos⎩⎨⎧==byax为离心角）参数θθθ(tansec⎩⎨⎧==byax⎩⎨⎧==ptyptx222(t为参数)范围─a≤x≤a，─b≤y≤b|x| ≥ a，y∈R x≥0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0), (─a,0),(0,b) , (0,─b)(a,0), (─a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0),F2(─c,0)F1(c,0), F2(─c,0))0,2(pF准线x=±ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=±ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距 2c （c=22b a -） 2c （c=22b a +） 离心率)10(<<=e a ce)1(>=e acee=1焦半径 P(x 0，y 0)为圆锥曲线上一点，F 1、F 2分别为左、右焦点|PF 1|=a+ex 0|PF 2|=a-ex 0 P 在右支时：P 在左支时：|PF 1|=a+ex 0|PF 1|=-a-ex 0|PF 2|=-a+ex 0|PF 2|=a-ex 0|PF|=x 0+2p 【备注1】双曲线：⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222by a x互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by a x .⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y ax 的渐近线方程为2222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±bya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλb y ax .【备注2】抛物线：（1）抛物线2y =2px(p>0)的焦点坐标是(2p,0)，准线方程x=-2p ，开口向右；抛物线2y =-2px(p>0)的焦点坐标是(-2p ,0)，准线方程x=2p ，开口向左；抛物线2x =2py(p>0)的焦点坐标是(0,2p )，准线方程y=-2p ，开口向上； 抛物线2x =-2py （p>0）的焦点坐标是（0,-2p ），准线方程y=2p ，开口向下.（2）抛物线2y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离20px MF +=；抛物线2y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离02x p MF-=（3）设抛物线的标准方程为2y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p ，顶点到准线的距离2p，焦点到准线的距离为p.（4）已知过抛物线2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A 、B两点，则线段AB 称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB =21x x ++p 或α2sin 2p AB =(α为直线AB 的倾斜角)，221p yy -=，2,41221p x AF p x x +==(AF 叫做焦半径).椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若为椭圆上任意一点，则有。
椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。
注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。
例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。
若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。
同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。
当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。
注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识总结圆点和圆位置关系：（1）P在圆O外，PO>r；（2）P在圆O上，PO=r；（3）P在圆O内，0≤PO<r.直线和圆位置关系：（1）直线和圆无公共点，称相离，d>r；（2）直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线，d<r；（3）直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点，d=r.平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：（1）由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程①如果b2-4ac>0，则圆与直线有两个公共点，即圆与直线相交；②如果b2-4ac=0，则圆与直线有一个公共点，即圆与直线相切；③如果b2-4ac<0，则圆与直线有没有公共点，即圆与直线相离.（2）如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：①当x <x1或x >x2时，直线与圆相离；②当x=x1或x=x2时，直线与圆相切；③当x1<x <x2时，直线与圆相交.圆和圆位置关系：两圆圆心之间的距离叫圆心距。
设两圆的半径分别为R和r，R〉r，圆心距为P（1）无公共点，一圆在另一圆之外叫外离P>R+r，在之内叫内含P<R-r；（2）有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切P=R+r，在之内叫内切P=R-r；（3）有两个公共点的叫相交R-r<P<R+r.圆的方程：（1）圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）2+（y-b）2=r2。
特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x2+y2=r2.（2）圆的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2）2+（y+E/2）2=（D2+E2-4F）/4.故有：①当D2+E2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D2+E2-4F）/2 为半径的圆；②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；③当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形.（3）圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0 .（4）圆的参数方程：x=X+rcosθ；y=Y+rsinθ圆心坐标（X,Y) .*圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r.*经过圆x2+y2=r2上一点M（a0，b0）的切线方程为a0x+b0y=r2 .*在圆x2+y2=r2外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0x+b0y=r2 .椭圆定义：（1）平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆。
高三圆锥曲线知识点总结
高三圆锥曲线知识点总结高三是学生们备战高考的关键一年，其中数学是许多学生感到困惑和挑战的一门学科。
在数学学习中，圆锥曲线是一个重要的知识点。
本文将对高三圆锥曲线的知识点进行总结和归纳，帮助学生们更好地理解和应用这一部分内容。
一、圆锥曲线的定义和基本性质圆锥曲线是由一个平面与一个圆锥相交而产生的曲线。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线具有许多重要的性质，例如，椭圆和双曲线是有界的，抛物线是无界的。
此外，每个圆锥曲线都有两个对称轴，并且具有焦点和准线等重要特征。
二、椭圆的性质和方程椭圆是圆锥曲线中最常见的形式之一。
椭圆的定义是平面上到两个给定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
椭圆有许多有趣的性质，例如，长轴和短轴的长度相等，焦点到曲线上任意一点的距离之和等于常数，以及椭圆对称于两个轴等。
椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h，k)是椭圆的中心，a和b分别是长轴和短轴的长度。
三、双曲线的性质和方程双曲线是圆锥曲线中另一种常见的形式。
与椭圆不同，双曲线的定义是平面上到两个给定点（焦点）的距离之差等于常数的点的集合。
双曲线也具有许多有趣的性质，例如，焦点到曲线上任意一点的距离之差等于常数，以及双曲线有两条渐近线等。
双曲线的标准方程为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1或(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = -1，其中(h，k)是双曲线的中心，a和b分别是距离差和水平距离的一半。
四、抛物线的性质和方程抛物线是圆锥曲线中另一种重要的形式。
抛物线的定义是平面上到一个给定点（焦点）和一条给定直线（准线）的距离相等的点的集合。
抛物线具有许多有趣的性质，如对称性、焦距等于准线到抛物线顶点的垂直距离的两倍，并且焦点到曲线上任意一点的距离等于焦准距的一半。
完美版圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a+=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b ac =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。
若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。
同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。
专升本圆锥曲线知识点总结
专升本圆锥曲线知识点总结一、圆锥曲线的定义和基本特点圆锥曲线是通过在圆锥体上截取的曲线，它包括圆、椭圆、抛物线和双曲线四种类型。
不同类型的圆锥曲线具有不同的特征和性质。
1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是在圆锥体上截取的曲线。
当圆锥体的坐标平面与一母线平行，且截出的曲线不是直径，便得到圆锥曲线。
2. 圆锥曲线的基本特点：不同类型的圆锥曲线具有不同的特点，包括焦点、直径、离心率、轴等重要特征。
二、圆锥曲线的方程和性质不同类型的圆锥曲线有不同的方程和性质，考生需要熟练掌握各种类型圆锥曲线的标准方程和相关性质。
1. 圆的方程和性质：圆的标准方程为：x^2 + y^2 = r^2，其中r为圆的半径。
圆的性质包括圆心、半径、直径、弦、弧等。
2. 椭圆的方程和性质：椭圆的标准方程为：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1（a > b），其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
椭圆的性质包括焦点、离心率、长轴、短轴等。
3. 抛物线的方程和性质：抛物线的标准方程为：y^2 = 2px 或 x^2 = 2py，其中p为焦点与准线的距离。
抛物线的性质包括焦点、准线、焦距、顶点、准线方程等。
4. 双曲线的方程和性质：双曲线的标准方程为：(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1（a > 0、b > 0），其中a和b分别为双曲线的长半轴和短半轴。
双曲线的性质包括焦点、离心率、渐近线等。
三、圆锥曲线的参数方程和性质圆锥曲线可以用参数方程表示，通过参数方程可以更直观地了解曲线的运动和形态。
1. 圆的参数方程和性质：圆的参数方程为：x = rcosθ，y = rsinθ。
圆的性质在参数方程下有新的表现形式，对于圆来说，参数方程是一种便利的描述方式。
2. 椭圆的参数方程和性质：椭圆的参数方程为：x = acosθ，y = bsinθ。
参数方程提供了一种新的方式来理解椭圆的形态和运动。
3. 抛物线的参数方程和性质：抛物线的参数方程为：x = at^2，y = 2at。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结
一、圆锥曲线的基本概念
1、圆锥曲线：平面内以圆为母线的曲线，又称为圆锥线，是数学上的一类曲线。
2、离心率：圆锥曲线的离心率是有两个参数确定的：它们是焦距a和准线焦距c。
3、双曲线：双曲线是一类特殊的圆锥曲线，a>0, c>0时，它概括了圆锥曲线的一般情况，称为双曲线。
二、圆锥曲线的性质
1、改变离心率可以改变圆锥曲线的形状，当离心率大于1时，曲线呈双曲线，当离心率小于1时，曲线呈凹凸线；
2、圆锥曲线的焦点与顶点之间的距离是两个焦距的和，a+c；
3、圆锥曲线的切线方程的斜率是1/（a+c）；
4、圆锥曲线的半矢量的方向是以焦点为圆心，从焦距a出发的方向；
5、圆锥曲线的曲率半径是2a+c；
6、圆锥曲线的弧长是一定积分的表达式，是确定的；
7、圆锥曲线的曲线方程是确定的，但极坐标表示法有两种形式，要根据离心率来确定；
三、圆锥曲线的应用
1、圆锥曲线的应用着重于机械设计领域，如齿轮的设计和制造；
2、圆锥曲线的半径可以用于圆弧的求解和曲线的精度检验；
3、圆锥曲线的弧长可以用于求解同轴运动的轮毂的周长；
4、圆锥曲线的曲线方程可以用于二维图形的绘制；
5、圆锥曲线的曲线方程可以用于求解曲面曲线的面积和表面积；
6、圆锥曲线的曲线方程可以用于求解椭圆锥曲线的主曲线参数，以求解椭球面的曲线参数；
7、圆锥曲线的曲率半径可以用于求解圆的曲率半径参数；
8、圆锥曲线的切线可以用于求解圆弧的切线参数；
9、圆锥曲线的球面可以用于求解曲面的曲率方向；
10、圆锥曲线的曲线可以用于运动学分析和机器学习算法中的运动路径规划。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2 (2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(E D--半径是2422FE D -+。
配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E)2=44F-E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E); ③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全---------圆锥曲线 一、考点概要： 1、椭圆：
（1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为：
②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。用集合表示为：
； （2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在哪个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 2、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为：
②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。用集合表示为：
（2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
3、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为
： （2）标准方程和性质：
①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反； ②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致； ③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 4、圆锥曲线： （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：，其中F为定点，d为点P到定直线的l 距离，， e为常数，如图。
（2）当0＜e＜1时，点P的轨迹是椭圆；当e＞1时，点P的轨迹是双曲线；当e=1时，点P的轨迹是抛物线。
（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的、固有的性质，不因为位置的改变而改变。 ①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上 ⅰ椭圆及双曲线：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称； ⅱ椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴为轴对称，关于中心为中心对称； ⅲ抛物线的对称轴是坐标轴，对称中心是原点。 ②定量： （4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变） 以焦点在x轴上的方程为例：
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结1.椭圆的概念椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于|F1F2|）的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a。
椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0，焦点在x轴上）或x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0，焦点在y轴上）。
2.椭圆的性质①范围：由标准方程得知，椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。
②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。
③顶点：椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a。
其中，c表示焦距，a表示长半轴长。
椭圆的离心率可以通过长轴和短轴的长度计算得出。
由于长轴大于短轴，因此离心率e的值介于0和1之间。
当离心率接近1时，短轴b的长度会越来越小，导致椭圆变得越扁；反之，当离心率接近0时，短轴b的长度会越来越接近长轴a的长度，此时椭圆会趋向于圆形。
当长轴和短轴的长度相等时，椭圆的两个焦点重合，这时椭圆就变成了圆形，其方程为x+y=a。
双曲线是平面上距离两个定点距离之差绝对值等于常数2a的动点轨迹。
需要注意的是，这里的距离差的绝对值是小于焦距F1F2的。
当距离差等于2a时，得到的是双曲线的一支；当距离差等于-2a时，得到的是双曲线的另一支（含F1的一支）。
当距离差等于0时，得到的是两条射线；当距离差大于2a时，得不到任何图形。
双曲线的焦点是F1和F2，焦距为F1F2.双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.由此可以看出，双曲线在坐标系中的范围为两条直线x=±a的外侧。
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圆锥曲线知识点总结
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x
y
O
P
F1F
2
圆锥曲线知识总结
一、知识点总结
椭圆知识点总结
定义
平面内与两定点F1 ，F2的距离的和为一个常数的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点 , 两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。
;
1212
22PFPFaaFF
标准
方程
焦点在x轴上：222210xyabab
x
y
O
F1F
2
焦点在y轴上 ：222210yxabab
x
y
O
F
2
F
1
焦点
(,0)c (0,)c
顶点
焦点在x轴上：(,0)a，(0,)b 焦点在y轴上：(0,)a，(,0)b
范围
axa
，byb bxb， aya
离心率
0,1bea
准线
焦点在x轴上：
2
a
xc
焦点在y轴上：
2
a
yc
关系
,,abc
的关系:222abc
焦点
三角形
面积
若P是椭圆22221(0)xyabab上一点，1F、2F是其两个焦点，且12FPF，则12FPF的
面积2tan2Sb.（焦点三角形的面积公式由余弦定理和椭圆（或双曲线）的定义推导可得.）
备注
1.
当焦点位置不确定时：椭圆的方程可以统一设为221(0,0,)mxnymnmn，避免分类
讨论的麻烦；
2.
具有相同焦点的椭圆和双曲线的方程：与椭圆22122:1xyCab具有相同焦点的椭圆2C的
方程可设为
22
2
22
1xymbambm
.
弦长公
式
2
22
121212
114ABkxxkxxxx
（k为交点,AB所在直线的方程）
双曲线知识点总结
定义
平面内与两定点F1 ，F2的距离的差为一个常数的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点, 两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距。
121222PFPFaaFF
标准
方程
焦点在x轴上：222210,0xyabab
焦点在y轴上：222210,0yxabab
焦点
(,0)c (0,)c
顶点
焦点在x轴上：(,0)a， 焦点在y轴上：(0,)a，
范围
xa
或xa；yR ya或ya；xR
渐近线
焦点在x轴上：byxa 焦点在y轴上：
a
yxb
离心率
1,bea
准线
焦点在x轴上：2axc 焦点在y轴上：
2
a
yc
关系
,,abc
的关系：222cab
焦点
三角形
面积
若P是双曲线22221(0,0)xyabab上一点，1F、2F是其两个焦点，且12FPF，则
12
FPF
的面积2cot2Sb.（焦点三角形面积公式由余弦定理和椭圆（或双曲线）定义推导可得.）
备注
1.
当焦点位置不确定时：双曲线的标准方程可以统一设为：221(0)mxnymn，避免分类
讨论的麻烦；
2.
具有相同焦点的椭圆和双曲线的方程：与双曲线22122:1xyCab具有相同焦点的双曲线
2
C
的方程可设为2222221xymambambm且；
3.具有相同渐近线0xyab的双曲线方程可设为：2222yxab(0)；
圆锥曲线知识点总结
第2页，共2页
抛物线知识点总结
定义
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物
线.其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
图形
标准方程
220ypxp 220ypxp 220xpyp
2
20xpyp
对称轴
x
轴
y
轴
顶点
原点
离心率
1e
焦点坐标
,02p ,02p 0,2p 0,2p
准线方程
2px 2px 2
py 2p
y
p
的意义
p
表示焦点到准线的距离.
焦点弦长
公式
11121222ABABppxxxxp 11
12
12
22 ABABppyyyyp
备注
1. 标准方程中，一次项表示焦点所在的轴；一次项系数为正，则焦点在正半轴；一次项为负，则焦
点在负半轴.同时焦点坐标中，非零坐标为一次项系数的14.例如：抛物线28xx，表示焦点坐
标在x轴的负半轴上，并且焦点坐标为8,04，即2,0.
2. 在解题之前需要把非标准形式的方程化为标准方程，防止出错,
二、韦达法与点差法在解题中的应用
韦达法：联立直线和圆锥曲线方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，设交点坐标为
1122
,,,AxyBxy
，则有0，以及1212,xxxx，还可进一步求出1212,yyyy.在涉及弦长，中
点，对称，面积等问题时，常用此法
.
点差法：设交点坐标为1122,,,AxyBxy代入圆锥曲线方程，并将两式相减，可得
2
12
12
2
1212
AB
bxxyykxxayy
，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法
.
例题．已知椭圆的方程为221164xy.过点2,1P作一弦，使弦被P点被平分，求此弦所在直线的方程
.
解法一（韦达法）：由题知，显然当直线与x轴垂直时，不合题意，所以此线所在的直线l的斜率存在
.
设直线的方程为1(2)ykx，即直线的方程为
21ykxk
解22211164ykxkxy可得
2
22
(14)821421160kxkkxk
因为点P为中点，所以1224212214kkxxk.解得
1
2
k
所以所求直线的方程为240xy. 此时直线与椭圆相交，符合题意
.
解法二（点差法）：设此线所在的直线l与椭圆的交点分别为1122,,,AxyBxy，则有
22
11
22
22
1 11641 2164xyxy
12
可得：121212120164xxxxyyyy，即121212124yyxxxxyy（3）
因为21P（，）为1122,,,AxyBxy的中点，所以12122212xxyy，即121242xxyy（4）
把（4）代入（3）可得121241422yyxx. 所以直线AB的斜率为121212yykxx，
所以所求的直线方程为1212yx，即
240xy
.
备注：在解决直线与圆锥曲线位置关系的综合问题中，常常利用韦达法求解。依据题目条件：①设出直线与圆锥曲
线的交点坐标；②设出直线方程；③联立直线方程与圆锥曲线方程(,消去y，得到一元二次方程
2
00AxBxCA
)；④写出的表达式并化简；⑤写出1212,BCxxxxAA.
根据改卷时分步得分的原则，
以上①-⑤步可得4-5分.如果同学们在解题过程中，不能完整解答问题，千万不要放弃！可根据题意，写出以上①
-
⑤步，争取得分！