2013_2014学年第一学期150高二数学(理)3
洛阳市2013—2014学年第一学期期中高二数学(理科)试题(含答案)
2
4．在△ABC 中， a 3 ， b 7 ， c 2 ，那么 A C 等于
A． 30
B． 45
C． 60
D．120
1 5．已知等差数列{an }的公差 d 2 ， a2 a4 a100 80 ，那么此数列前 100 项的和
S100
A．80
B．120
面积为 ai (i 1,2,, n) ，则 a1 a2 an
A1
A． 2[1 ( 1 )n ] 2
C． 3 [1 (1)n ] 23
(3 3)[1 ( 3 )n ]
B．
3
C2
2 D． 4 [1 (1 )n ]
C3 B3
A2
34
B1
二．填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
洛阳市 2013—2014 学年第一学期期中考试
高二数学试卷（理科）
一．选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．若 a b ，则不等式成立的是
A． b a 0
B． a c b c
2．在△ABC 中，一定成立的等式是
（1）求数列{an }的通项公式 an ；
44
（2）若 bn 1
2
2 ，数列{bn } 的前 n 项和 Tn ，整数 M T2013 ，求 M 的
an an1
最大值．
海里∕小时．
三．解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
在△ABC 中，已知 c cos A a cos C 2b cos B ，且 b 3 ．
东城2013-2014高二第一学期期末数学理科
东城区2013—2014学年度第一学期期末教学统一检测高二数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设命题p ：2,2014x x ∃∈<R ，则p ⌝为（ ）A ．2,2014x x ∀∈≥R B ．2,2014x x ∀∈<R C ．2,2014x x ∃∈≥R D ．2,2014x x ∃∈>R 2．直线236x y -=在y 轴上的截距为（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-3.双曲线22144x y -=的渐近线方程为（ ）A ．4y x =±B ． y =±C ．2y x =±D ．y x =±4．若图中直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则 ( )A ．1k <2k <3kB ．1k <3k <2kC ．3k <2k <1kD ．3k <1k < 2k5. 设0m >，则椭圆2244x y m +=的离心率是（ ）A ．12B ．2C ．2D ．与m 的取值有关6. 已知向量(1,,3)x =-a ，(2,4,)y =-b ，且a ∥b ，那么x y +等于（ ） A ．4- B ．2- C ． 2 D ． 47.“b a =”是“直线2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知l 表示一条直线，α，β表示两个不重合的平面，有以下三个语句：①l α⊥；②l ∥β；③βα⊥.以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．39.α，β 是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( ) A ．α，β都与平面γ垂直B ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．l ，m 是α内的两条直线且l ∥β，m ∥βD ．l ，m 是两条异面直线且l ∥α，m ∥α，l ∥β， m ∥β10.在正方体1111ABCD A B C D -中，与1BD 所在直线所成的角为90是（ ）A ．1AAB ．1BC C ．1ACD ．CD11.已知抛物线24y x =的准线与双曲线 2221(0)x y a a-=>交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则a 的值为（ ）A B C ．3 D ．512．正方体1111ABCD A B C D -中，M 为侧面11ABB A 所在平面上的一个动点，且M 到平面11ADD A 的 距离是M 到直线BC 距离的2倍，则动点M 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 二、填空题：本大题共6小题,每小题3分,共18分.将答案填在题中横线上.13．若直线3=0x y a ++过圆x y x y 22+-2+4=0的圆心，则a 的值为 ． 14．若直线(+1)2x m y m +=-与直线28mx y +=-互相垂直，则m 的值为 ．15．已知1F ，2F 是椭圆22121x y k k +=++的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若△2ABF 的周长为8，则k 的值为 .16. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个 全等的等腰直角三角形，则这个几何体的体积为 ．17．若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P ，Q 两点，且120POQ ∠=(其中O 为原点)，则k 的值为 ．18．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若1132k <<，则椭圆离心率的取值范围是_____________．ABE 三、解答题：本大题共4小题,共34分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本题满分8分）如图，⊥DC 平面ABC ，DC EA //，12AB AC AE DC ==，，M 为BD 的中点． （Ⅰ）求证：//EM 平面ABC ；（Ⅱ）求证：平面AEM ⊥平面BDC ．20. （本题满分9分）已知圆M 的圆心在直线240x y -+=上，且与x 轴交于两点(5,0)A -,(1,0)B . （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）求过点C (1,2)的圆M 的切线方程；(Ⅲ)已知(3,4)D -，点P 在圆M 上运动，求以AD ,AP 为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q 轨迹方程.21．（本题满分8分）如图，已知四边形ABCD 与CDEF 均为正方形，平面ABCD ⊥平面CDEF . (Ⅰ)求证：ED ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求二面角D BE C --的大小．22．（本题满分9分）已知曲线C ：22123x y m m+=+-()R m ∈．（Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设2m =，过点(0, 4)D 的直线l 与曲线C 交于M ,N 两点，O 为坐标原点，若OMN △为直角三角形，求直线l 的斜率．_ C_ A东城区2013—2014学年度第一学期期末教学统一检测高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．B 9．D 10．B 11．D 12．A 二、填空题：本大题共6小题,每小题3分,共18分. 13. 1- 14. 23- 15. 2 16． 64317.18. 12(,)23三、解答题：本大题共4个小题，共34分. 19．（本题满分8分）证明：（Ⅰ）取BC 的中点N ，连接MN ,AN ,在△BCD 中，M ，N 分别为BD ，BC 的中点，所以DC MN //，且DC MN 21=．而DC EA //，且DC EA 21=，所以MN EA //，MN EA =．所以EANM 是平行四边形．所以EM //AN ． …………………… 2分 又因为EM ⊄平面ABC ，AN ⊂平面ABC ，所以EM //平面ABC ． …………………… 4分（Ⅱ）因为AC AB =，N 为BC 的中点，所以BC AN ⊥．因为⊥DC 平面ABC ，AN ⊂平面ABC ， 所以AN DC ⊥． 又C BC DC = ,所以⊥AN 平面BDC ． …………………… 6分 又因为EANM 是平行四边形， 所以EM AN //．所以⊥EM 平面BDC ． 因为⊂EM 平面AEM ,B所以平面AEM ⊥平面BDC ． …………………… 8分 20． （本题满分9分）解：（Ⅰ） 因为圆M 与x 轴交于两点(5,0)A -,(1,0)B ，所以圆心在直线 2x =-上．由2,240x x y =-⎧⎨+-=⎩得2,1.x y =-⎧⎨=⎩即圆心M 的坐标为（-2,1)．半径r ==所以圆M 的方程为22(2)1)10x y ++-=（. …………………… 3分（Ⅱ）由C 坐标可知点C 在圆M 上，由CM k =13得切线的斜率为3-， 故过点C (1,2)的圆M 的切线方程为350x y +-=. …………………… 5分 (Ⅲ)设00(,),(,)Q x y P x y ， 因为ADQP 为平行四边形，所以其对角线互相平分，即0035,224.22x x y y -+-+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得002,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ …………………… 7分又P 在圆M 上，代入圆的方程得22(22)(41)10x y -++--=，即所求轨迹方程为22(5)10x y +-=，除去点1,8)-（和(3,4)-． …………………… 9分21．（本题满分8分）解：(Ⅰ)因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，且平面ABCD 平面CDEF = CD ，又因为四边形CDEF 为正方形，所以ED CD ⊥.因为ED ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD . …………………4分 (Ⅱ)以D 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系D xyz -.则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B C E .所以平面BDE 的法向量为(1,1,0)AC =-. ………5分设平面BEC 的法向量为(,,)x y z =n . 因为)1,1,0(),0,0,1(-==，_y_x由0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0,x y z =⎧⎨-+=⎩即0,.x y z =⎧⎨=⎩ 令1=z ，则(0,1,1)=n . …………………6 分因为1cos ,.2||||AC AC AC ⋅<>==n n n 所以二面角D BE C --的大小为060. …………………8分22． （本题满分9分）（Ⅰ）若曲线C ：22123x y m m+=+-是焦点在x 轴上的椭圆，则有230m m +>->解得132m << ． -------------------2分 （Ⅱ）2m =时，曲线C 的方程为2214x y +=，C 为椭圆，由题意知，点(0,4)D 的直线l 的斜率存在，所以设l 的方程为4y kx =+，由22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(14)32600k x kx +++=， -------------------4分 222(32)240(14)64240k k k ∆=-+=-，当0∆>时，解得2154k >． 设, M N 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， （ⅰ）当MON ∠为直角时，则1212223260,1414k x x x x k k +=-=++， 因为MON ∠为直角，所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，所以21212(1)4()160k x x k x x ++++=，所以222215(1)32401414k k k k⨯+-+=++，解得k =-------------------6分 （ⅱ）当OMN ∠或ONM ∠为直角时，不妨设OMN ∠为直角，此时，1OM k k ⋅=-，所以111141y y x x -⋅=-，即221114x y y =-①又221114x y +=②将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=，解得123y =或12y =-（舍去），将123y =代入①，得1x =所以114y k x -==-------------------8分 经检验，所求k 值均符合题意，综上，k的值为和-------------------9分B。
山西省大同一中2013-2014学年高二数学上学期期末考试 理
2013~2014学年度第一学期期末试卷高 二 数 学(理)第Ⅰ卷 客观卷（共36分）一、选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．设p q ，是两个命题：21251:log (||3)0:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则A ．¬p：∃x 0∈R ，sin x 0≥1B ． ¬p：∀x ∈R ，sin x ≥1C ．¬p：∃x 0∈R ，sin x 0>1D ． ¬p：∀x ∈R ，sin x >1 3．下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②若,a b 共线，则a 与b 所在直线平行③对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x 、y 、z ∈R)，则P 、A 、B 、C 四点共面． 其中不正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．34．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是A ．1 B.15 C.35 D.755．方程22()(1)0x y xy -+-=表示的曲线是Ａ．两条直线Ｂ．一条直线和一双曲线 Ｃ．两个点Ｄ．圆6．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x 7．过点(32)-，且与22194x y +=有相同焦点的椭圆的方程是 Ａ．2211510x y +=Ｂ．221225100x y +=Ｃ．2211015x y +=Ｄ．221100225x y +=8．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是A ．相离B ．相交C ．内切D ．无法确定9．已知M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，左、右焦点为F 1，F 2，点P 是△MF 1F 2的内心，连接MP 并延长交F 1F 2于N ，则|MP ||PN |的值为 A.aa 2－b 2 B.ba 2－b2 C.a 2－b 2b D.a 2－b 2a10．直线3x ky =+与双曲线22194x y -=只有一个公共点，则k 的值有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数多个11．已知12F F ，为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，2MF 垂直于x轴，且1260F MF ∠=，则椭圆的离心率为Ａ．12Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．212．已知点（4，2）是直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段的中点，则l 的方程是 Ａ．20x y -=Ｂ．240x y +-= Ｃ．2340x y ++=Ｄ．280x y +-=第II 卷 主观题（共64分）二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）13．命题：“若21,11x x <-<<则”的逆否命题是___________________________． 14．平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，向量AB →、AD →、AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于______．15．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是______．16．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线与C 相交于,A B 两点，若3AF FB =，则k =______． 三、解答题（共5小题） 17．（本小题8分）已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．18．（本小题10分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底 面ABCD ，PD ＝DC =2，E 是PC 的中点，作EF ⊥BP 交BP 于点F ．(1)证明：PA ∥平面EDB ； (2)证明：PB ⊥平面EFD ．19.（本小题10分）如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形， ∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD ． (1) 证明：PA ⊥BD ；(2) 若PD ＝AD ，求二面角A PB C 的余弦值．20．（本小题12分）已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，满足条件|PF 2|－|PF 1|＝2的点P 的轨迹是曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）设过点（0，-1）的直线与曲线E 交于A ，B 两点．如果|AB |＝63，求直线AB 的方程．21．（本小题12分）已知直角坐标平面内点),(y x A 到点)0,1(1-F 与点)0,1(2F 的距离之和为4． （1）试求点A 的轨迹M 的方程； （2）若斜率为21的直线l 与轨迹M 交于C 、D 两点，点312P (，)为轨迹M 上一点，记直线PC的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问：12k k +是否为定值？请证明你的结论．高二数学 参考答案一、ACCDBC ACACCD二、13.若11x x ≥≤-或，则21x ≥三、17.若命题p 为真，则0<c <1，由2≤x ＋1x ≤52知，要使q 为真，需1c <2，即c >12.若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪0<c ≤12或c ≥1.18.证明：以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设DC ＝2(1) 连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG .依题意得A (2,0,0)，P (0,0，2)，E （0,1,1）.因为底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为（1,1，0），且PA →＝(2,0，－2)，EG →＝（1,0，-1）.所以PA →＝2EG →，这表明PA ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB .(2)依题意得B(2，2，0)，PB →＝(2，2，－2)． DE →＝（0,1,1），故PB →²DE →＝0＋2-2＝0，所以PB ⊥DE ， 由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面EFD .19. (1)证明：因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD ＝3AD . 从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD .又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD .又AD ∩PD ＝D .所以BD ⊥平面PAD .故PA ⊥BD .(2) 解：如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz ，则 A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0,0,1)．AB →＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)，BC →＝(－1,0,0)． 设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ²AB →＝0，n ²PB →＝0.即⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，3y －z ＝0.因此可取n ＝(3，1，3)．设平面PBC 的法向量为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ²PB →＝0，m ²BC →＝0.可取m ＝(0，－1，－3)，则cos 〈m ，n 〉＝－427＝－277.故二面角A PB C 的余弦值为－277.20.（1）解：由双曲线的定义可知，曲线E 是以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的双曲线的左支，且c ＝2，a ＝1，易知b ＝1，故曲线E 的方程为x 2－y 2＝1(x <0)．（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，又已知直线与双曲线左支交于两点A ，B ，有⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝k 2＋－k2，x 1＋x 2＝－2k 1－k2<0，x 1x 2＝－21－k 2>0，解得－2<k <－1.又∵|AB |＝1＋k 2²|x 1－x 2|＝1＋k 2²x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝1＋k 2²⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22－4³－21－k 2＝2＋k2－k2－k22，依题意得2＋k2－k 2－k22＝63，整理后得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又－2<k <－1，∴k ＝－52，故直线AB 的方程为52x ＋y ＋1＝0.21.解：（Ⅰ） 由题知 421=+AF AF ，221=F F 则2121F F AF AF >+ 由椭圆的定义知点A 轨迹M 是椭圆其中1,2==c a ．因为3222=-=c a b ，所以，轨迹M 的方程为13422=+y x （2）设直线l 的方程为：b x y +=21，),(),,(2211y x D y x C 联立直线l '的方程与椭圆方程得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=)2(134)1(2122 y x b x y （1）代入（2）得：12)21(4322=++b x x 化简得：0322=-++b bx x当0>∆时，即，0)3(422>--b b 也即，2<b 时，直线l '与椭圆有两交点，由韦达定理得：⎩⎨⎧-=⋅-=+322121b x x b x x ，所以，1232112311111--+=--=x b x x y k ， 1232112322222--+=--=x b x x y k 则=+21k k 1232111--+x b x )1)(1(23))(2(1232121212122---++-+⋅=--++x x b x x b x x x b x 0)1)(1(23))(2(3212=---+--+-=x x bb b b 所以，21k k +为定值。
江西省赣州市六校2013-2014学年高二上学期期末联考数学(理)试题 含答案
2013-2014学年度第一学期期末联考高二数学试题（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法中，正确的是：（ ）A ．命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为“若b a >，则122-≤ba ”B ．命题“存在R x ∈，使得012<++x x ”的否定是：“任意R x ∈，都有012>++x x ” C ．若命题“非p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题D ．命题“若022=+b a ，则0=ab ”的逆命题是真命题2．抛物线24x y =的焦点坐标为（ ）A ．)0,1(B ．)0,1(-C ．)161,0(-D ．)161,0( 3．从甲、乙两个城市分别随机抽取6台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲、乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,方差分别为m 甲,m 乙,则（ ）A ．x x <甲乙,m 甲>m 乙B ．x x <甲乙,m 甲<m 乙C ．x x >甲乙,m 甲>m 乙D ．x x >甲乙,m 甲<m 乙4．设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：（1）若γβγα⊥⊥,，则βα//；（2）若m ≠⊂α ,n ≠⊂α，ββ//,//n m ，则βα//；（3）若βα//，l ≠⊂α，则β//l ；（4）若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ//l ，则n m //． 其中正确的命题是（ ）A 、（1）（3）B 、（2）（3）C 、（2）（4）D 、（3）（4） 5．已知椭圆)0(12222＞＞n m ny m x =+和双曲线)0,0(12222＞＞b a b y a x =-有相同的焦点21,F F ，P 是两曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是（ ） A 、a m - B 、)(21a m - C 、22a m - D 、a m - 6．给出右图所示的算法流程图,若输出的值为15，则判断框中的条件是（ ）A ．5<nB ．5≥nC ．4<nD ．4≥n328328625568321乙甲7．如图，设四面体ABCD 各棱长均相等，F E ,分别为AD AC ,中点，则BEF ∆在该四面体的面ABC 上的射影是下图中的（ ）A B C D8．“过点)1,0(的直线l 与双曲线3122=-y x 有且仅有一个公共点”是“直线l 的斜率k 的值为2±”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分但不必要条件C ．必要但不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．如图所示22⨯方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是4,3,2,1中的任何一个，允许重复．．，则填入A 方格的数字大于D 方格的数字的概率为（ ） A ．21 B ．41 C ．43 D ．8310.如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的对角线1AC 上任取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球.设x AP =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为)(x f ，则函数)(x f 的图象最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案填写在答题卷上. 11．已知)3,1,1(),2,1,1(--==且)//()(k -+，则=k12．某校为了了解高三学生的身体状况，抽取了100名女生,测量其体重.将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在kg 50~45的人数是 13. 已知直线1+-=x y与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于B A ,两点，且线段AB 的中点在直线02=-y x 上，则此椭圆的离心率为_______14.如图，在长方形ABCD 中，E BC AB ,1,2==为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点，现将AFD ∆沿AF 折起，使平面⊥ABD 平面ABCF .在平面ABD 内过点D 作K AB DK ,⊥为垂足，设t AK =,则t 的取值范围是________DC BA15.已知⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥=240),(x y y y x M ，直线m mx y 2+=和曲线24x y -=有两个不同的交点，他们围成的平面区域为N ，向区域M 上随机投以点A ,点A 落在N 内的概率为)(N p ，若]1,22[)(ππ-∈N p ，则实数m 的取值范围是：三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （本题满分12分）已知离心率为22的椭圆1:2222=+b y a x C (0>>b a ) 过点)1,6(M(1)求椭圆C 的方程;(2)过点)0,1(作斜率为2直线l 与椭圆相交于B A ,两点，求||AB 的长. 17．（本题满分12分）在直三棱柱111C B A ABC -中，N M AA BC AB ABC ,,2,9010====∠分别是111,BC C A的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ;（2）求多面体B C B M 11-的体积.18. （本题满分12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n 人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽 奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人 在前排就坐，其中高二代表队有6人. （1）求n 的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为f e d c b a ,,,,,，现随机从中抽取2人上台抽奖，求a 和b 至少有一人上台抽奖的概率；（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个]1,0[之间的均匀随机数y x ,，并按如右所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率.N M111C B A C BA "谢谢PFEDCBA 19. （本题满分12分）已知命题:p “存在021)1(2,2≤+-+∈x m x R x ”，命题q ：“曲线182:2221=++m y m x C 表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题:s “曲线11:222=--+-t m y t m x C 表示双曲线” （1）若“p 且q ”是真命题，求m 的取值范围； （2）若q 是s 的必要不充分条件，求t 的取值范围。
北京市海淀2013-2014学年高二上学期期末数学理试题(word精校版)
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准 2014．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）103 （10）10y -= （11）32或1（12 （13）3（14）①②④ 注：（11）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设(,)M x y ，则(0,)N y ，(,)OM x y = ，(4,)NA y =- (2)分因为 直线MO NA ⊥，所以 240OM NA x y ⋅=-= ，即24y x =. ………………………4分所以 动点M 的轨迹C 的方程为24y x =（0x ≠）. ………………………5分 （Ⅱ）当π6MOA ∠=时，因为 MO NA ⊥，所以 π3NAO ∠=. 所以 直线AN 的倾斜角为π3或2π3.当直线AN 的倾斜角为π3时，直线NA 0y --=； ……………8分当直线AN 的倾斜角为2π3时，直线NA 0y +-=. …………10分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）原方程等价于221412x y +=.由方程可知：212a =，24b =，2228c a b =-=，c =……………………3分 所以 椭圆C的焦点坐标为(0,，(0,-，长轴长2a为……………5分（Ⅱ）由2231220x y x y ⎧+=⎨--=⎩，，可得:220x x --=.解得：2x =或1x =-.所以 点,A B 的坐标分别为(2,0)，(1,3)--. ………………………7分 所以 ,A B 中点坐标为13(,)22-，||AB ==……………9分所以 以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为13(,)22-，半径为2. 所以 以线段AB 为直径的圆的方程为22139()()222x y -++=. …………………11分（17）（本小题满分11分）（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，CD AD ⊥.因为CD PD ⊥，AD PD D = ，所以 CD ⊥平面PAD ． ………………………1分 因为 PA ⊂平面PAD ，所以 CD PA ⊥． ………………………2分 同理，BC PA ⊥． 因为 BC CD C = ，所以 PA ⊥平面ABCD ． ………………………3分 （Ⅱ）解：连接AC ，由（Ⅰ）知PA ⊥平面ABCD ．因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 PA AC ⊥． ………………………4分 因为PC =AC =，所以 1PA =． 分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.由题意可得：(0,1,0)B ，(1,0,0)D ，(1,1,0)C ，(0,0,1)P ．所以 (0,1,0)DC = ，(1,0,1)DP =- ，(1,1,0)BD =- ，(0,1,1)BP =-．设平面PDC 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0,0.y x z =⎧⎨-+=⎩令1x =，得1z =. 所以 (1,0,1)=n ．同理可求：平面PDB 的一个法向量(1,1,1)=m ． ………………………6分 所以cos ,3⋅<>===n m n m |n ||m |．所以 二面角B PD C --的余弦值为3． ………………………8分 （Ⅲ）存在．理由如下：若棱PD 上存在点E 满足条件，设(,0,)PE PD λλλ==-，[0,1]λ∈．所以 (1,1,1)(,0,)(1,1,1)EC PC PE λλλλ=-=---=--．…………………9分因为 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)AP =．所以|cos ,|EC APEC AP EC AP⋅<>==．令1sin 30,2==解得：1λ=±经检验1[0,1]2λ=-． 所以 棱PD 上存在点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30 ，此时PE的长为1． ………………………11分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由22222222222222221(1)1112a b a b a b a b ⎛⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<+=+<+知，31(,22P 和5(1,1)P 不在椭圆M 上，即椭圆M经过1(1,2P --，2(0,1)P，4(1,2P . 于是222,1a b ==.所以 椭圆M 的方程为：2212x y +=. ………………………2分（Ⅱ）①当90A ∠=︒时，设直线:BC x ty m =+，由2222,, x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得222(2)2(2)0t y tmy m +++-=.设1122(,),(,)B x y C x y ，则2216880m t ∆=-+>，12221222,22. 2tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB AC k k ===1==-.于是3m =-，此时21616809t ∆=-+>，所以直线:3BC x ty =-. 因为12216902y y t =-<+，故线段BC 与x轴相交于(M ，即原点在线段AM 的延长线上，即原点在ABC ∆的外部，符合题设. ………………………6分所以12121||||||23ABC S AM y y y y ∆=⋅-=-====89.当0t =时取到最大值89. ………………………9分 ②当90A ∠≠︒时，不妨设90B ∠=︒.设直线:0)AB x ty t =≠，由2222,x y x ty ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得22(2)0t y +-=.所以 0y =或22y t =+.所以222()22B t t -++，由AB BC ⊥，可得直线32:2BC y tx t =-++.由223222, ,2x y y tx t ⎧+=⎪⎨=-+⎪+⎩得22222328(1)(2)(21)02t t t t y y t +++--=+. 所以 222228(1)0(2)(21)B C t t y y t t +=-<++.所以 线段BC 与x轴相交于22(,0)2N t +.显然原点在线段AN 上，即原点在ABC ∆的内部，不符合题设. 综上所述，所求的ABC ∆面积的最大值为89.……………………12分注：对于其它正确解法，相应给分.。
甘肃省兰州五十五中2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
2013—2014学年度第一学期期末（理）试卷 高二年级 年级 数学（理）时间120分钟 满分120分一、选择题（每小题4分，满分48分）1． “200,10x R x ∃∈+<”的否定是（ ）A ．2,10x R x ∀∈+≥B ． 2,10x R x ∀∈+<C ． 200,10x R x ∃∈+≥ D ． 20,10x R x ∃∈+<2、向量)2,1,2(-=a ，则与其共线且满足18-=⋅x a 的向量x 是 （ ）A ．)41,31,21(- B ．（4，－2，4） C ．（－4，2，－4） D ．（2，－3，4）3、已知2:||2;:20, p x q x x <--<则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、如果命题“p 或q”是真命题，“非p”是假命题，那么（ ） A ．命题p 一定是假命题 B ．命题q 一定是假命题 C ．命题q 一定是真命题 D ．命题q 是真命题或者假命题5、抛物线281x y -=的准线方程是（ ） A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y 6、已知 y x -≥ 0，63--y x ≤ 0，2-+y x ≥ 0，则y x +2 的最小值是（ ） A. 9 B. 4 C. 3 D. 2 7、已知等差数列}{n a 的前n 项和为10532,20,5,a S a a S n 则-=-=+等于（ ）A ．－90B ．－27C ．－25D ．08、已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形9、已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）A.221169x y += B.2211612x y += C ．22143x y += D ．22134x y +=10、如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ） A ．1715 B ．21C ．178D ．2311、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（ ）A. 5或54D. 5或5312、抛物线y ＝x 2上到直线 2x －y ＝4距离最近的点的坐标是（ ）A ．)45,23( B ．(1，1)C ．)49,23( D ．(2，4)一、选择题答题卡二、填空题（每小题4分，满分16分）已知椭圆224640x y +-=上一点P 到椭圆的一个焦点13、的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于 ．14．已知数列{a n }满足63421,02),(2a a a a N n a a n n 则且=--⋅∈=++等于 。
广东省深圳市宝安区2013-2014学年高二上学期统考数学【理科】(试卷)含答案
2013-2014学年第一学期宝安区期末调研测试卷高二 理科数学2014.1命题人：吕正军、张松柏 审核：郑传林一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为 A ．对任意x R ∈,都有20x < B ．不存在x R ∈,都有20x < C ．存在0x R ∈,使得200x ≥D ．存在0x R ∈,使得200x <2．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，若2,,43b B A ππ===，则a 的值是 AB．C．D．3．方程10)2()2(2222=++++-y x y x 化简结果是（ ）A ．1162522=+y x B ．1212522=+y x C ．142522=+y x D ．1212522=+x y 4．命题“若2>a ，则1≥a ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．点)1,1,2(-A 关于x 轴对称的点的坐标为 A ．)1,1,2(--B ．)1,1,2(C ．)1,1,2(--D ．)1,1,2(-6．若椭圆1322=+y m x 的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则m =A ．3B ．6C ．9D ．127．如果函数sin π02πf x x θθ=+<<()()()的最小正周期为T ，且当2x =时取得最大值，那么 A ．π22T θ==， B ．1πT θ==， C ．2πT θ==， D ．π12T θ==， 8．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是A ．3y x =B ．y cos x =C ．y ln |x |=D ．y 2x=9．实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥b y x x y y 121如果目标函数y x z -=的最小值为2-，则实数b 的值为( )A ．0B ．6C ．7D ．810．若规定bc ad dcb a -=，不等式211-≥-+x mx x 对一切(0,1]x ∈恒成立，则实数m的最大值为A ．0B ．2C ．25D ．3 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 11．已知数列}{n a 的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式为n a =12．已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则13．已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，则1l 和2l 的交点M 的轨迹方程为 (化为标准形式)14．海事救护船A 在基地的北偏东060，与基地相距渔船B 被困海面，已知B距离基地20海里，而且在救护船A 正西方，则渔船B 与救护船A 的距离是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12）已知}{n a 是等差数列,其中50,302010==a a . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若20-=n na b ，求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值.16．（本小题满分12分）已知命题21:,2(1)02p x R x k x ∃∈+-+<使；命题22:191x y q k k -=--方程表示双曲线。
吉林省长春市2013-2014学年度第一学期高二年级期末调研测试数理试题
长春市2013～2014学年度第一学期期末调研测试高二数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分. 考试时间为100分钟. 注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、班级、考号填写清楚. 2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题4分，共48分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 在ABC ∆中，45,60,1B C AB === ，则其最短边的长为A.3B. 2C. 12D.22. 已知:23p x -≤，1:05x q x +-≤，则p 是q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -的底面ABC 中，1CA CB ==，90BCA ∠=，12AA =，点M 是11B A 的中点，则异面直线M C 1与C B 1所成角的余弦值为A.B.C.D. 4. 设数列}{n a 为等差数列，若120151331=+++a a a a ，则=8a A. 60 B. 30 C. 20 D. 155. 中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是A. 2218145x y +=B. 221819x y += C. 1728122=+y x D. 1368122=+y x 6. 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若30,202010==S S ，则=30SA. 35B. 40C. 45D. 607. 经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为A.B. C. 2D.8. 已知0a >，0b >，则ab ba 211++的最小值是A. 2B.C. 4D. 59. ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若C b a co s 2=，则A B C ∆的形状一定为 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 10. 已知正方体1111D C B A ABCD -棱长为1，截面11D AB 与平面ABCD 相交于直线l ，则点1B 到直线l 的距离为A.B. C. D. 11. 抛物线x y 92=与直线0832=--y x 交于B A ,两点，则线段AB 中点的坐标为A. 11327(,)84-B. 11327(,)84 C. 11327(,)84-- D. 11327(,)84- 12. 设过点),(y x P 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴相交于B A ,两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若,2=且1=⋅，则点P 的轨迹方程为 A. 22331(0,0)2y x x y -=>> B. 22331(0,0)2y x x y +=>> C. 22331(0,0)2x y x y -=>> D. 22331(0,0)2x y x y +=>>第Ⅱ卷（非选择题，共72分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-0001x y x y x ，则y x z 2+=的最大值为________________.14. 给出命题01,:0200≤+-∈∃x x R x p ，则p ⌝为_____________.15. 已知F 是抛物线x y 42=的焦点，过F 点且斜率为1的直线交抛物线于B A ,两点，若FB FA >，则=FBFA________________. 16. 已知数列}{n a 中，)3(32,2,52121≥+===--n a a a a a n n n ，则n a =____________. 三、解答题（本大题包括5小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分10分）已知等比数列}{n a 的各项均为正数，24,4432=+=a a a（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列}{nna b 的前n 项和n T .18.（本小题满分10分） 如图，如果你在海边沿着海岸线直线前行，请设计一种测量海中两个小岛A,B 之间距离的方法.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是直角梯形， BC AB AD AB ⊥⊥,，侧棱⊥SA 底面ABCD ， 点O 为侧棱SC 的中点，且1,2====AD BC AB SA . （Ⅰ）求证：SB OD ⊥；（Ⅱ）求面SCD 与面SAB 所成锐二面角的余弦值.ABDCSO A20.（本小题满分12分）如图，已知直线2:-=kx y l 与抛物线)0(2:2>-=p py x C 交于B A ,两点，O 为坐标原点，且)12,4(--=+. （Ⅰ）求直线l 和抛物线C 的方程； （Ⅱ）抛物线上一点P 从点A 运动到点B 时，求ABP ∆面积的最大值.21.（本小题满分12分） 如图，在平面直角坐标系中，点F E ,是x 轴上的两个定点，3==OF EO ，G 为坐标平面上的动点，4=GF ，H 是GE 的中点，点P 在线段FG 上，且0=⋅EG HP . （Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与点P 的轨迹有两个不同的交点B A ,，且0>⋅，求实数k 的取值范围.长春市2013～2014学年度第一学期期末调研测试高二数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大共12小题，每小题4分，共48分) 1. A 2. B 3. D 4. B 5. C 6. A 7. C 8. C 9. B 10. D 11. B 12. D 简答与提示：1. A 因为角B 最小，由正弦定理sin sin 3c b B C ==. 2. B 根据条件可求得51:,51:<≤-≤≤-x q x p ，易知p 是q 的必要不充分条件. 3. D 以点C 为坐标原点，以1,,CC CB CA 所在直线分别作为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则可确定)2,21,21(),2,0,0(),2,1,0(11M C B ，于是)0,21,21(),2,1,0(11==M C CB ，设所求角为θ，则1010cos ==M C CB θ. 4. B 由等差数列的性质，81331512a a a a a =+=+，所以由条件可得30,120488==a a . 5. C 由已知可有，62,182==c a . 故72,3,9222=-===c a b c a .6. A 根据等比数列的性质，设n S 为其前n 项和，当0n S ≠时，n n n n n S S S S S 232,,--仍成等比数列即可求解.7. C 根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线x aby =平行，故有,3=a b 进而3222=-aa c ，可解得,42=e 于是离心率2=e . 8. C 根据基本不等式，可有422,211≥+≥+abab ab b a . 9. B 由,cos cos B c C b a +=代入条件可得，C b B c cos cos =，再根据正弦定理代换可有，,tan tan C B =于是C B =.10. D 因为l ∥11D B ，所以点1B 到直线l 的距离是l 与11D B 之间距离，因为11D AB ∆是等腰三角形，设点O 是11D B 的中点，则⊥OA 11D B ，所以OA 为所求，26=OA .（本题也可用空间向量求解）11. B 将所给直线方程与抛物线方程联立有⎩⎨⎧==--xy y x 908322，由此可整理得：06411342=+-x x ，设),(),,(2211y x N y x M ，则411321=+x x ，故线段MN 中点的横坐标为8113221=+x x ，将其再代入直线方程即可得所求中点的坐标为)427,8113(.12. D 由2=，可得)3,0(),0,23(y B x A ，所以),(),3,23(y x OQ y xAB -=-=，代入1=⋅可求得点P 的轨迹方程.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．214．01,2>+-∈∀x x R x15．223+16． ]13)1(73[4111⨯-+⨯=--n n n a 简答与提示：13. 2 根据线性规划的知识易求解. 14. 01,2>+-∈∀x x R x .15. 223+，设),(),,(2211y x B y x A ，由⎩⎨⎧=-=xy x y 412得0162=+-x x ，求得2231+=x ，2232-=x ，故由抛物线的定义可得2231121+=++=x x FB FA . 16. ]13)1(73[4111⨯-+⨯=--n n n a ，由2132--+=n n n a a a 得 )(3211---+=+n n n n a a a a ，以及)3(3211-----=-n n n n a a a a ，所以，22121373)(---⨯=⋅+=+n n n n a a a a ①13)1()1()3(312121⨯-=-⋅-=----n n n n a a a a ②，由①②联立求得通项公式. 三、解答题(本大题共5小题，满分56分)17．（本小题满分10分） （Ⅰ）由已知⎩⎨⎧=+=244432a a a ，解得⎩⎨⎧==221q a ，所以n n a 2=(5分)（Ⅱ）根据条件易得，n n n n na b n b 2,==(7分)于是+++=32232221n T …n n2+=n T 21 ++322221…1221++-+n n nn ，以上二式相减，可得， 3221212121++=n T +…1221+-+n n n 12211+--=n n n ，所以n n n T 222+-=.(10分)18．（本小题满分10分）如图，设C ,D 是两个观测点，C 到D 的距离为m ，在C 处测出γα=∠=∠BCD ACB ,，在D 处测出β=∠ADB ，θ=∠ADC ，据正弦定理，在BCD ∆中，)sin(sin βθγγ++=mBD，可求得)sin(sin βθγγ++=m BD ，(4分) 同理，在ACD ∆中，可求得)sin()sin(θγαγα+++=m AD(8分) 在ADB ∆中，由余弦定理可得：βcos 222BD AD BD AD AB ⋅-+=(10分)19．（本小题满分12分）建立如图所示空间直角坐标系，根据已知条件可有： )2,0,0(),0,0,1(),0,2,2(),0,2,0(),0,0,0(S D C B A 于是)1,1,1(O(2分)（Ⅰ）因为)2,2,0(),1,1,0(-==SB DO ，所以0=⋅，故SB OD ⊥(6分)（Ⅱ）由已知，)0,0,1(=是平面SAB 的一个法向量，可设平面SCD 的法向量为),,(c b a =，由)2,0,1(),0,2,1(-==，可得⎩⎨⎧=+-=+0202c a b a ，根据这个方程组，可取)1,1,2(-=n(8分)设所求二面角的平面角为θ，则36cos ==n AD θ， 故所求二面角的余弦值为36.(12分)19．（本小题满分12分） （Ⅰ）由⎩⎨⎧-=-=pyx kx y 222得0422=-+p pkx x ，设),(),,(2211y x B y x A ，则有424)(,22212121--=-+=+-=+pk x x k y y pk x x ，因为)12,4(--=+OB OA ，所以⎩⎨⎧-=---=-1242422pk pk ，解得⎩⎨⎧==21k p 所以直线l 的方程为22-=x y ，抛物线C 的方程为y x 22-=. (6分) （Ⅱ）由⎩⎨⎧-=-=yx kx y 222，得0442=-+x x ，于是1041212=-+=x x k AB ，(8分)设)2,(2t t P -，)222,222(+---∈t ，于是当点P 到直线l 的距离d 最大时，所求三角形面积最大，这里4)2(2155522222-+=-+=t t t d (10分)C由)222,222(+---∈t ，可得当2-=t 时，554max =d ， 此时)2,2(--P ，故ABP ∆面积的最大值为28.(12分)20．（本小题满分12分）（1）因为0=⋅EG HP ，所以EG HP ⊥，又H 为GE 中点，故PG PE =，于是 4==+=+GF PF PG PF PE ，所以点P 的轨迹是以F E ,为焦点的椭圆，3,2==c a ，122=-=c a b ，故点P 的轨迹方程为1422=+y x (6分)（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14222y x kx y 整理得01216)41(22=+++kx x k ，设),(),,(2211y x B y x A ，则有1x 221224112,4116kx x k k x +=+-=+①，且0)34(162>-=∆k ，(8分) 若0>⋅OB OA ，则02121>+y y x x ，即0)2)(2(2121>+++kx kx x x ，整理得04)(2)1(21212>++++x x k x x k ，再将①代入可有： 04411624112)1(222>++-++kk k k ，整理得042<-k ， (10分) 又因为0>∆，故4432<<k ，所以232-<<-k 或223<<k .(12分)。
广东省惠州市2013-2014学年高二第一学期期末考试数学(理)
惠州市2013-2014学年第一学期期末考试高二数学（理科）试题说明：1、全卷满分150分，时间120分钟。
2、答卷前，考生将自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号，填写在答题卷上。
3、考试结束后，考生将答题卷交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．椭圆13610022=+y x 的焦距等于（ ）A ．20B ．16C ．12D ．82．某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10分钟抽取一个样本进行检测，这种抽样方法是（ ）A ．抽签法B ．随机数表法C ．系统抽样法D ．分层抽样法3．空间中，与向量(3,0,4)a =同向共线的单位向量e 为（ ） A ．(1,0,1)e = B ．(1,0,1)e = 或(1,0,1)e =--C ．34(,0,)55e =D ．34(,0,)55e = 或34(,0,)55e =--4.已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则||PF =（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 5.已知事件A 与事件B 发生的概率分别为()P A 、()P B ，有下列命题：①若A 为必然事件，则()1P A =． ②若A 与B 互斥，则()()1P A P B +=． ③若A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+． 其中真命题有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．36．“0a >”是“方程2y ax =表示的曲线为抛物线”的（ ）条件。
A 1CA ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 7．执行右边的程序框图，如果输入5a =， 那么输出=n ()．A ．2B ．3C ．4D ．58．已知椭圆22219x y b+=(03)b <<，左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若22||||AF BF +的最大值为8，则b 的值是（ ）A ．BC D二、填空题：(本大题共6题，每小题5分，共30分．请将答案填写在答卷相应位置上．)9的渐近线方程为 ．10.样本2-，1-，0，1，2的方差为 ．11.已知(1,5,2)a =- ，(,2,2)b m m =+，若a b ⊥ ，则m 的值为 ．12.命题“2,210x R x ∀∈+>”的否定是 ．13.某城市近10年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大致符合 0.90.2y x =+（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则年支出估计是 亿元． 14.如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内（含正方体表面）任取一点M ，则11≥⋅AM AA 的概率=p ．三、解答题：(本大题共6题，满分80．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．（本小题满分12分）某社团组织20名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动，志愿者中，年龄在20至40岁的有12人，年龄大于40岁的有8人．（1）在志愿者中用分层抽样方法随机抽取5名，年龄大于40岁的应该抽取几名?（2）上述抽取的5名志愿者中任取2名，求取出的2人中恰有1人年龄大于40岁的概率．16．（本小题满分12分）已知22x -≤≤，22y -≤≤，点P 的坐标为(,)x y ．（1）求当,x y R ∈时，点P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率； （2）求当,x y Z ∈时，点P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率．17．（本小题满分14分）设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >； 命题q ：实数x 满足2560x x -+≤；（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为3，直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切．ABCD1A 1B 1C 1D E FG（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 的交点为,A B ，求弦长||AB ．19．（本小题满分14分）如图，已知正方体1AC 棱长为2，E 、F 、G 分别是1CC 、BC 和CD 的中点．（1）证明：1AG ⊥面EFD ； （2）求二面角E DF C --的余弦值．20．（本小题满分14分）已知动直线l 与椭圆C ：22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=2，其中O 为坐标原点． （1）证明2212x x +和2212y y +均为定值；（2）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（3）椭圆C 上是否存在点D E G 、、，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===？ 若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．惠州市2013-2014学年第一学期期末考试高二数学（理科）试题答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号12345 6 7 8答案 B C C B C A B D1．【解析】由8c ===，所以焦距为16.∴选B ．2．【解析】因为间隔相同，所以是系统抽样法，∴选C ．3．【解析】||5a == ，∴134(3,0,4)(,0,)555||a e a ==⋅=，∴选C ．4．【解析】抛物线24y x =知12p =，||2132P pPF x =+=+=，∴选B ． 5．【解析】由概率的性质知①③为真命题，∴选C ．6．【解析】当且仅当0a ≠时，方程2y ax =表示的曲线为抛物线，∴选A ． 7．【解析】5a =，进入循环后各参数对应值变化如下表：p15 20 结束 q5 25 n23∴选B ．8．【解析】∵|AF 1|+|AF 2|=6，|BF 1|+|BF 2|=6，∴△AF 2B 的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=12；若|AB|最小时，|BF 2|+|AF 2|的最大，又当AB ⊥x 轴时，|AB|最小，此时|AB|=22223b b a =，故221283b b -=⇒=．∴选D ． 二、填空题：(本大题共6题，每小题5分，共30分．) 9.23y x =±10.2 11.6 12. 200,210.x R x ∃∈+≤ 13.18.2 14.349． 10．【解析】222222(20)(10)(00)(10)(20)25s --+--+-+-+-==． 11．【解析】a b ⊥(1,5,2)⇒-⋅(,2,2)0m m +=102406m m m ⇒+--=⇒=．12．【解析】全称命题的否定为特称命题． 13．【解析】0.9200.218.2y =⋅+=．14．【解析】以A 为原点AB 为x 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,2AA =,设(),,M x y z ，则(),,AM x y z = ,则111212AA AM z z ⋅≥⇒⋅≥⇒≥ ，从而12-2232==2224M V p V ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=⋅⋅正． 三、解答题：(本大题共6题，满分80．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．（本小题满分12分）解：(1)若在志愿者中随机抽取5名，则抽取比例为51204=………………………2分 ∴年龄大于40岁的应该抽取1824⨯=人. ……………………………4分 (2)上述抽取的5名志愿者中，年龄在20至40岁的有3人，记为1,2,3年龄大于40岁的有2人，记为4,5，……………………………………………6分 从中任取2名，所有可能的基本事件为：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)(3,4),(3,5),(4,5)，共10种，…8分其中恰有1人年龄大于40岁的事件有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)(3,4),(3,5)，共6种，………………………………10分∴恰有1人年龄大于40岁的概率63105P ==.…………………………………12分 16．（本小题满分12分）解：（1）点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部（含边界），……………（1分）满足22(2)(2)4x y -+-≤的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面（含边界）． ……………………（3分）∴所求的概率211244416P ππ⨯==⨯． …………………………（5分） （2）满足,x y ∈Z ，且22x -≤≤，22y -≤≤的整点有25个 …………（8分）满足,x y ∈Z ，且22(2)(2)4x y -+-≤的整点有6个，……………（11分）∴所求的概率2625P =． ………………………………（12分）解 (1)由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a -⋅-<.……………………………1分 又0a >，所以3a x a <<，………2分当1a =时，13x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是13x <<……4分 由2560x x -+≤得23x ≤≤.所以q 为真时实数x 的取值范围是23x ≤≤.…………………………………6分 若p q ∧为真，则23x ≤<，所以实数x 的取值范围是[)2,3．……………8分 (2) 设{}|3A x a x a =<<，{}|23B x x =≤≤…………………………………10分q 是p 的充分不必要条件，则B A ⊂…………………………………………12分所以021233a a a <<⎧⇒<<⎨>⎩，所以实数a 的取值范围是()1,2．………14分18．（本小题满分12分）解：（1）又由直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切得b ==2分由e =得3a == 4分 ∴椭圆方程为22132x y +=…………………………………………………6分 （2）2222123(2)60322x y x x y x ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩251260x x ⇒++=…………8分 21245624∆=-⋅⋅=，设交点,A B 坐标分别为()()1122,,,x y x y ………9分则1212126,,55x x x x +=-⋅=…………………………………………………11分从而||5AB ==所以弦长||AB =14分解：以D 为原点建立如图空间直角坐标系，正方体棱长为2， 则D (0，0，0)、E (0，2，1)、F (1，2，0) 、G (0，1，0) 、A 1 (2，0，2) 、C (0，2，0)，…… 2 (1)则1(2,1,2)AG =-- ，(0,2,1)DE =， (1,2,0)DF =………………………… 3分 ∵1(2,1,2)AG DE ⋅=-- (0,2,1)0⋅=， ∴1A G DE ⊥………………………… 4分 ∵1(2,1,2)AG DF ⋅=-- (1,2,0)0⋅=， ∴1A G DF ⊥………………………… 5分又DE DF D ⋂=，DE DEF ⊂面，DF DEF ⊂面……………… 6分∴1AG ⊥面EFD …………………………………………………………7分 (2)由(1)知1(2,1,2)AG =--为面EFD 的法向量，………………………… 8分 ∵CE ⊥面CFD ，(0,0,1)CE =为面CFD 的法向量，……………… 9分设1A G 与CE 夹角为θ，则11cos AG CE AG CE θ⋅==⋅231-⋅23=-……… 12分 由图可知二面角E DF C --的平面角为πθ-， ∴二面角E DF C --的余弦值为23．…………………………………… 14分 20．（本小题满分14分）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以2121,.x x yy ==-因为11(,)P x y在椭圆上，因此2211132x y += ①又因为OPQ S ∆=所以11||||x y ⋅= ②由①、②得11||| 1.2x y ==此时222212123,2,x x y y +=+=…………… 2分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知0m ≠，将其代入22132x y +=，得222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，其中22223612(23)(2)0,k m k m ∆=-+->即2232k m +>…（*）又212122263(2),,2323km m x x x x k k-+=-=++所以||PQ == 因为点O 到直线l 的距离为d =所以1||2OPQS PQ d ∆=⋅=2|23m k =+又OPQ S ∆=整理得22322,k m +=且符合（*）式， 此时222221212122263(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k -+=+-=--⨯=++ 222222121212222(3)(3)4() 2.333y y x x x x +=-+-=-+=综上所述，222212123;2,x x y y +=+=结论成立。
2013-2014学年上学期期末考试高二数学试卷(理)
2013-2014学年上学期期末考试高二数学试卷（理）注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知点(3,1,4)A -，则点A 关于原点的对称点的坐标为（ ）A ．(1,3,4)--B ．(4,1,3)--C ．(3,1,4)--D ．(4,1,3)-2．已知命题：“若x ≥0，y ≥0，则xy ≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3. “0ab >”是“方程221ax by +=表示椭圆”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．与命题“若a M ∈，则b M ∉”等价的命题是( )A ．若a M ∉，则b M ∉B ．若b M ∉，则a M ∈C ．若a M ∉，则b M ∈D ．若b M ∈，则a M ∉5. 已知空间四边形ABCD 中，,,OA a OB b OC c === ，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN = （ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +- D ．221332a b c +- 6．设α、β、γ为两两不重合的平面，c 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ②如果m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③如果α∥β，c ⊂α，则c ∥β； ④如果α∩β＝c ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，c ∥γ，则m ∥n .其中真命题个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7.将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一顶点是此抛物线焦点的正三角形数记为则()A ．n=0B ．n=1C ． n=2D ．n 38．设F 1，F 2是双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +∙= (O 为坐标原点)，且|PF 1|PF 2|，则双曲线的离心率为( )A. B.1 D. 1+9.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰十角三角形。