人教版八年级数学下册《二次根式》全章复习与巩固(提高)知识讲解及例题解析
(完整)八年级下册二次根式知识点总结和练习题及答案,推荐文档
二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0 时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则 a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.a b b aba 知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六： 与 的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在是正实数，0，负实数。
但 与 都是非负数，即 ， 。
人教版八年级数学下册课件 《二次根式》单元复习
bb
②二次根式的除法公式的逆用: a = a (a≥0,b＞0).
bb
(3)二次根式的加减
法则:二次根式加减时,先将二次根式化成最简二次根式,再将 被开方数相同的二次根式进行合并.
(4)二次根式的混合运算
①二次根式的混合运算顺序: 与实数的混合运算顺序一样,先算 乘方 ,再算 乘除 , 最后算 加减 ,有括号的先算括号内的运算(或先去掉括 号). ②在二次根式的混合运算中,实数的运算律、多项式的乘法 法则、多项式的乘法公式仍然适用.
8.(创新题)(2021 娄底)若 2,5,m 是某三角形三边的长,则
(m－3)2+ (m－7)2等于( D )
A.2m－10 B.10－2m
C.10
D.4
知识点三:二次根式的运算 (1)二次根式的乘法 ①二次根式的乘法公式:
a· b= ab(a≥0,b≥0).
②二次根式的乘法公式的逆用: ab= a· b(a≥0,b≥0).
25.【例 5】(人教 8 下 P15)已知 x= 3+1,y= 3－1, 求下列各式的值: (1)x2+2xy+y2; (2)x2－y2. 解:(1)当 x= 3+1,y= 3－1 时, 原式=(x+y)2=( 3+1+ 3－1)2=12. (2)当 x= 3+1,y= 3－1 时, 原式=(x+y)(x－y)=( 3+1+ 3－1)( 3+1－ 3+1)=4 3.
精典范例
x－2
21.【例 1】(全国视野)(2021 怀化)式子 y= x－3 中 x 的取值范围是 x≥2且x≠3 .
人教版初中数学八年级下册《二次根式复习课》PPT课件
┃ 知识归类
3．二次根式的运算
a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)；
a＝ b
a b (a≥0，
b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式 ，
再将
被开方数相同 的二次根式进行合并．
分母 开得尽方
课标（RJ）
考易点混攻辨略析: a2 与 a2的区别：(1)表示的意义不同. a2 表示非负实数 a 的
二次根式复习课
知识归类
┃知识归纳┃
1．二次根式的概念
一般地，形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式；
注意： a (a≥0)是非负数，即 a≥0.(双重非负性) [易错点] (1)二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有 意义； (2) 9是二次根式，虽然 9＝3，但 3 不是二次根式．因此二次 根式指的是某种式子的“外在形态”．
算术平方根的平方； a2表示实数 a 的平方的算术平方根．(2)运算 的顺序不同. a2 是先求非负实数 a 的算术平方根，然后再进行平 方运算；而 a2则是先求实数 a 的平方，再求 a2 的算术平方根．(3) 取值范围不同．在 a2 中，a 只能取非负实数，即 a≥0；而在 a2中， a 可以取一切实数．
课标（RJ）
考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一 二次根式的概念
课标（RJ）
┃ 知识归类
2．二次根式的性质
( a)2＝ a
(a≥0)
a a>0， ； a2＝a＝ 0 a＝0，
-a a<0.
化简二次根式时注意: ab＝ a· b (a≥0，b≥0)
ab＝
a b
(a≥0，b>0)
课标（RJ）
┃ ►考点考攻点略二 二次根式性质的运用
最新人教版初中八年级下册数学【二次根式复习】教学课件
初中数学 解决问题
7．计算：( 8 2) 1 ． 2
8．已知：x 2 3 ，y 2 3 ，求代数式 x2 xy y2的值．
9．已知 a 5 1，求代数式 a2 2a 7 的值．
初中数学 解决问题
7．计算：( 8 2) 1 ． 2
解：原式= (2 2 2) 1 2 1 1．
初中数学 解决问题
1．若 3 m 为二次根式，则 m的取值范围是 m≤3 ．
2．在根式 ① ( y 1)2 ②
x③ 5
27mn ④
是
④
．（填序号）
a2 b 中，最简二次根
式
3．已知 y x 2 2 x 3 ，求 xy 的值．
8
解：∵ x 2 0,
2 x 0.
总结： 二次根式要求被开方数
初中数学 复习运算
乘法： a b = ab （a≥0，b≥0）；
反之： ab= a b（a≥0，b≥0 ）．
乘除运算
除法： a a （a≥0，b＞0 ）； bb
运算
aa 反之： （a≥0，b＞0 ）．
bb
加减运算
步骤：“一化简、二判断、三合并”； 依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
（2）∵ x 5 0, 1 x 0.
∴ -5≤x<1.
总结：转化为解不等式组.
初中数学 综合应用
例2 两个最简二次根式 a b 与 c b 相加得 6 5 ，求 a+b+c的值．
初中数学 综合应用
例2 两个最简二次根式 a b 与 c b 相加得 6 5 ，求 a+b+c的值． 解：∵ a b c b 6 5， ∴ b=5， ∴ a 5 c 5 (a c) 5 6 5. ∴ a+c=6， ∴ a+b+c=11．
第十六章 二次根式整理与复习 课件(共21张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
二次根式的乘法 积的算术平方根的性质
二次根式的除法 商的算术平方根的性质
ab (a≥0，b≥0), a (a≥0，b＞0) b
3种思想方法：整体思想，转化思想，分类讨论思想
回顾与思考
1．当 x 是怎样的实数时， x 在实数范围内有意义？
2．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根 式的例子吗？ 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得
a(a 0), 4个性质：( a )2=a(a≥0)；a2 =｜a｜=0(a 0), 积的平方根的性质
a(a 0); 商的平方根的性质 a a (a≥0，b＞0)
bb
ab a b (a≥0，b≥0)；
3种运算：二次根式的乘除运算，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算
2个互逆过程： a b
（3）原式 =(2 3 )2 ( 6 )2 （4）原式 =(8 3 - 9 3) 6
=12-6 =6
=- 2 2
复复习习巩巩固固
（5）（2 2 3 3）2 （5）原式 =(2 2)2 + 2 2 2 3 3 + (3 3)2
=8 + 12 6 + 27 =35 + 12 6
复习巩固
（6）（ 3 1 2 - 1 1）2 23 4
解：由题意得：I 2 5 1=30 即I = 6
I≈2.45
答：电流 I 的值约为2.45A.
拓广探索
【选自教材第19页 复习题16 第8题】
8. 已知 n 是正整数， 189n 是整数，求 n 的最小值.
解： 189n 3 3 21 n 又 n 是正整数， 189n也是正整数 所以 n 的最小值是21.
解：由题意得：
πr 2 =πOD2 π(OC 2 OD2 ) π(OB2 OC 2 ) 4
新人教版八年级数学下《二次根式》 复习课件
a2 与 a2的联系：仅当 a≥0 时，有 a2＝ a2.
►
考点三
二次根式的化简
例3 把下列各式化成最简二次根式
(1) 1.5
(2)
解：
4a 2 16a 2
解：
3 6 2 2
20a 2 2 5a
[解析]化简二次根式的方法： （1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因式分解,然后利用积的 算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平方根的性质,将其变为 二次根式相除的形式,然后利用分母有理化,将式子化简。
► 考点二 二次根式性质的运用
例 2 如图 21－1 所示是实数 a、 b 在数轴上的位置， 化简： a2 － b － a－b2.
2
图 21－1
[解析] 解决此问题需要确定a、b及a－b的正负．
解：根据实数 a、b 在数轴上的位置可知 a<0，b>0，所以 a －b<0，所以 a2－ b2－ a－b2＝ |a|－b－|a－b|＝－a－b－[－ (a－b)]＝－a－b＋a－b＝－2b.
被开方数相同 最简二次根式
ab
a (a≥0，b≥0)； ＝ b
a b
(a≥0，
，
的二次根式进行合并．
二次根式的性质 依据：
乘法：
a b ab
b
乘法与除法
法则
除法： a
a 0，b 0
a a o，b 0 b
运 算
加法与减法
计算结果化为最简二次根式 注意：
二次根式加减时，可以先将二次根式化成 法则： 最简二次根式，再将被开方数相同的二次 根式进行合并 合理运用去括号法则和运算律 注意：
人教版初中数学八年级下册第十六章二次根式知识清单(原卷版+解析)
第十六章二次根式知识清单一、二次根式的概念一般地，我们把形如___________的式子叫做二次根式，“____”称为二次根号. 【深度理解】1.________________________________________________________2.________________________________________________________3.________________________________________________________4.________________________________________________________5.________________________________________________________二、二次根式的有意义的条件1.________2....有意义的条件：_________3.有意义的条件：________4.二次根式与分式的和如B CB有意义的条件：_______________三、二次根式的性质性质一：一般地，__________________即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.注意：___________________________________________________________. 性质二：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的_________.四、代数式及其写法思考：到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？【归纳】代数式书写格式注意事项：1.________________________________________________________________2.________________________________________________________________3.________________________________________________________________4.________________________________________________________________5.________________________________________________________________六、二次根式的乘法1.二次根式的乘法法则：__________________________即：二次根式相乘，________不变，________相乘.语言表述：____________________________________________________. 2.积的算术平方根的性质：__________________________语言表述：____________________________________________________.七、二次根式的除法1.二次根式的除法法则： ______=ba (a ≥0，b ＞0) 即：二次根式相除，________不变，________相除.语言表述：___________________________________________.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得_________(0,0,0).a b n=≥>≠ 2.二次根式的商的算术平方根的性质:_____(0,0).a b =≥> 语言表述：_______________________________________________.八、最简二次根式(1) _________________________；(2) _________________________________________.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做___________________.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为__________，并且______中不含二次根式.九、二次根式的加减1.化成_______________后，被开方数________的几个二次根式，叫做___________________.2.二次根式加减时，可以先将二次根式化成_______________，再将被开方数_____的二次根式(________________)进行合并.加减法的运算步骤：(1)______________________________________；(2)______________________________________；(3)______________________________________.简单说成“__________________________”十、二次根式的混合运算二次根式的混合运算的顺序：_____________________________________________________ ___________________________________________________________________.第十六章二次根式知识清单一、二次根式的概念一般地，我们把形如√a (a≥0)的式子叫做二次根式，“√ ”称为二次根号. 【深度理解】1.表示a的算术平方根；2.a可以是数，也可以是式；3.形式上含有二次根号√ ；4.a≥0，√a≥0 (双重非负性)；5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.二、二次根式的有意义的条件1.单个二次根式如√A有意义的条件：A≥02.多个二次根式相加如√A +√B+...+√N 有意义的条件：00...0A B N ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥；≥；≥；3.二次根式作为分式的分母如√A 或√1A 有意义的条件：A ＞0 4.二次根式与分式的和如√AB 或√A +CB 有意义的条件：A ≥0且B ≠0三、二次根式的性质 性质一：一般地，(√a)2=a (a ≥0)即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a ≥0这一限制条件.这是使二次根式√a 有意义的前提条件. 性质二：一般地，根据算术平方根的意义， √a 2=a (a ≥0)，√a 2=−a (a ＜0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. √a 2=| a |四、代数式及其写法回顾我们学过的式子，如5，a ，a+b ，-ab ，st ，-x 3，√3，√a (a ≥0)，它们都是用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.代数式书写格式注意事项：1.表示数的字母相乘时，可用“· ”代替乘号或省略不写.如：a ×b 通常写作a ·b 或ab.2.数和字母相乘时，数字应写在字母前面.如：a ×2通常写作2a.3.带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数.如：323×a 通常写作113a.4.含有字母的除式中用分数线代替除号.如：3÷y 通常写作: 3y .5.最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把代数式括起来.如：温度由2℃上升t ℃后是(2+t)℃.六、二次根式的乘法1.二次根式的乘法法则：√a •√b =√ab (a ≥0，b ≥0)即：二次根式相乘，________不变，________相乘.语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.2.积的算术平方根的性质：√ab =√a ⋅√b （a≥0，b ≥0）语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.应用范围：我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.七、二次根式的除法1.二次根式的除法法则：√a √b =√ab (a ≥0，b ＞0)即：二次根式相除，________不变，________相除.语言表述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得(0,0,0).a b n=≥>≠2.二次根式的商的算术平方根的性质:(0,0).a b=≥>语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.八、最简二次根式(1) 被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.九、二次根式的加减1.同类二次根式:化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式.2.二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式(同类二次根式)进行合并.加减法的运算步骤：(1)化—将非最简二次根式的二次根式化简；(2)找—找出被开方数相同的二次根式；(3)并—把被开方数相同的二次根式合并.“一化简二判断三合并”十、二次根式的混合运算1.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.2.二次根式与乘法公式的综合运用：二次根式中单乘多、多乘多、多除单与整式乘法非常相似，均可以运用整式乘法法则与整式乘法公式进行计算.运用的乘法公式主要是：平方差公式与完全平方公式.。
新人教版八年级数学下册专题复习：《二次根式》的巩固与提升分专题例谈
《二次根式》的巩固与提升分专题例谈赵化中学 郑宗平在数式相关的题型中，含二次根式的题是同学们感到比较头疼的，特别是其综合解答题的正确率也比较低；二次根式涵盖知识点多，解答的技巧性强；不但在代数中占据很重要的位置，而且有时在几何计算中也常能发挥很关键的作用，二次根式是很能考查同学们在初中阶段的数学素养的；下面我“分类”例举的一部分题型是对二次根式的巩固与提升，让我们来共同探究.一、善于挖掘隐含条件，准确的“移进”和“移出”.例（ ）A.--分析a 0≤的条件.这是因为根据二次根式的定义可知3a 0-≥，所以a 0≤==-，故选C.例2.把(a 1- .分析：(a 1-101a>-的条件，所以1a 0->，可得a 1<，所以a 10-<；所以 ()a 11a -=--=则(a 1-===故应填-.点评：关于二次根式的根号内外的“移进”和“移出”，关键是要抓住二次根式的被开方数是a 进行“移进”和“移出”的变形化简；这类题在考试中常出现在考题的填空和选择题中，是正确率比较低的热点考题.追踪练习：1.把下列各式化简：①；②.2.把根号外的因式“移入”根号内：①...(x 1-.-二、利用二次根式中的算术平方根的双重非负数性[ )a 0≥有a 00≥]巧解题例1.x y 、6y =-，求1x y -的值？分析：根据式子有13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩，从中可求得x 的值，进一步求得y 的值，使问题得以解决.略解：根据题意可知：13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩ 解得：1x 3=；把1x 3=6y-有：6y -，解得：y 6= 所以111x y 636183--⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.例2.已知：2a 12a +=，求20151ab 2⎛⎫⎪⎝⎭的值？分析：2a 2a 10-+=()2a 10-=，利用非负数的性质可求得ab 、的值.略解：2a 2a 10-+= ，进一步可得()2a 10-=0≥，()2a 10-≥∴ ()2a 10⎧-=⎪ ∴a 10a b 10-=⎧⎨++=⎩ 解得：a 1b 2=⎧⎨=-⎩∴()()20152015201511ab 121122⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.例3.的值？分析：本题显得比较抽象，似乎难以找到突破口，但题中有二次根式这一重要特点，所以抓住23a 0-≥，可求得a 0=. 略解：23a 0-≥，可得a 0≤ ；又∵a 0≥ ∴a 0= ∴原式32106+++=.点评：二次根式的算术平方根的双重非负数性是属于考试中的高频考点，这个知识点容易与其它知识点联姻构成有一定含金量的综合题，而双重非负数性在其中扮演的往往是关键角色，上面的几道例题就是要抓住算术平方根及其被开方数都是非负数的破题；比如很多同学对于例3这类题不知从何入手，但只要抓住本题是二次根式构建的，从被开方数是非负数这点入手，就可以隐藏在其中的a 的值挖出来，从而使问题得以解决.追踪练习：1.已知y=2.已知a 40-+=,化简并求22222a ab a abb a b +-+-的值？3.若2m 6m 9-+xy 的值？ 4.5.已知2014a a -+=，试求2a 2014-的值？三、逆用()2a a 0=≥即()2a a 0=≥巧化简.例1.化简： 分析：根据题中式子可知,a 0b 0≥≥，∴,22a b ==∴22a b -=-=,L等，即逆用()2a a 0=≥可以巧化简.略解：原式=()()222222⎛⎫-⎪+⎪⎪⎭=22⎛⎫+=ab+⋅=abab++=ab ab-==a bab+-例2.分析：本题按常规可以把分母中根号化去，但若用()2aa 0=≥可以进行巧算，更简捷.分子分别有)231=，22253=-=-=.略解：原式=21=-=点评：逆用()2a a 0=≥即()2a a 0=≥来化简、计算或分解因式等往往能起到“四两破千斤”的作用.比如例2的计算化简（主要把分母中的根号化去，即分母有理化），按常规方法要分子和分母要同时乘以有理化因式，在计算中是容易出错的，但用()2a a 0=≥进行巧算，可以做到快速准确.追踪练习：1.. 2.化简：⎫3.已知：y18=a 计算或化简.例1.若0m 1<<111m 1m⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭. 分析：本题关键是含二次根号的部分化简.的221m 2m+-可以借助因式分解的方法化成21m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭a=来可将根号化去.略解：∵0m 1<<2111m m m m m m -=-=-=∴原式=()()21m 1m 1m 11m 11m1m m 1m m m 11m 1m +---⎛⎫⨯+⨯=⨯⨯= ⎪++++⎝⎭. 例2.若ab c 、、为ABC 的三边.分析：a的部分的正负情况是本题的关键，根据三角形三边之间的关系可以搞定.略解：∵a b c、、为ABC的三边∴,,a0b0c0>>>；a b c-<；b c a+>；c b a-<.∴,,,a b c0a b c0b c a0c b a0++>--<+->--<∴原式=a b c a b c b a c c b a+++--+-+---=a b c a b c b a c c b a++-+++-++--=2a2b4c-++例3.分析：双重二次根式的计算或化简往往是同学们感到比较抽象的.其实关键也是把被开方数部分化成“平方”的形式，本题比较抽象的是被开方数部分是两“项”，但我们若用“拆项”的技巧，可以使问题得以解决.也就是2532-=-=-，此时被开方数可以化成2a=来可将外层根号化去.==点评：a=也是属于考试中的高频考点，这个知识点更容易与其它知识点联姻构成的综合题，本专题的前面两道例题就这方面的题型. 《二次根式》一章“几乎所有”涉及a=的这个二次根式的性质.a抓住这几个环节:首先想办法把被开方数写成2a的形式；a；最后根据绝对值的代数意义[ 即()()a a0aa a0⎧≥⎪=⎨-≤⎪⎩] 来化简.追踪练习：1.计算：①(()2101---+；②.2. 实数m n、如图所示：请化简+3. 1=a？五、利用幂的运算法则、乘法公式等进行二次根式的计算或化简.例.计算：1.))2015201544；2.(21+； 3..分析：本例的3道小题都是幂的运算法则、乘法公式在二次根式中的稍难运算的运用.1小题逆用积的乘方的法则和平方差公式进行计算；2小题可以把括号的其中两项看成一个整体，然后里利用完全平方公式计算；3小题抓住两个括号里的“项”相同．．和互为相反数．．．．．的特征，利用平方差公式可以进行简便运算.略解：1.原式)()()222201520152444151611⎡⎤⎡⎤==-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦；2.原式((2221116⎡=+=-+-+==-⎣L3.原式22235⎡⎡==-=+-=⎣⎣点评：二次根式的运算中，以前学习过的法则、运算律以及乘法公式同样适用.本专题的三个例子都是同学们感到有一定难度的计算题，但是我们运用幂的运算法则、乘法公式使其运算过程大大简化了；运用幂的运算法则、乘法公式要注意两点：其一.运算式子有没有符合法则和公式的结构特征；其二.要有整体的思想.追踪练习：1.计算：①.；②.2⎝⎭；③.2；④.(21；⑤. ))2015201622；⑥. (11+.2. .计算：22-.六、含二次根式的代数式的整数部分与小数部分例.已知a是1-b5的小数部分，c abc的值？分析：由..,14014123<<可得：,,61575823-<--<<<<.由此根据题中的条件可以分别确定题中a b c、、的值.略解：∵..,14014123<<∴,,61575823-<-<-<<∴,,a5b572c2=-=-==11-mn∴())()()()22abc 522522256450⎡⎤=-=--+=--=⎢⎥⎣⎦点评：含二次根式的代数式的值的整数部分与小数部分的确定，关键是确定根式部分值的范围，然后在此基础上确定整个代数式的值的范围，使其整数部分与小数部分得以确定；特别要注意其小数部分往往是一个含二次根式的式子，它是整个式子减去整数，比如上面b c 、的值的确定：,b 572c 2-==，除非题有要求，小数部分不要写成一个近似的小数，而是一个含二次根式的式子，这正是这类题的“魅力”所在，是众命题人青睐和关注的原因.追踪练习：1.若x y 、分别是822xy y -的值？ 2.已知a b 、分别为6-2a b -的值？3.5+的小数部分是a，5b ，求ab 5b +的值？4.的整数部分为a ，小数部分为b ，求22a b +的值？5.已知x是6y2的小数部分，z是)12--的整数部分，求22x z y z -的值？6. 周六，小华的妈妈和小华作了一个小游戏.小华的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若m 表n表示它的小数部分，我这个钱包里的钱数是)m n ⋅元，你猜一下这个钱包的钱数是多少？若猜对了，钱包里的钱就由你支配.”你能运用数学知识帮小华获得支配权吗？七、整体代换·巧变求值.例1.已知x 5y 5=-=+，求223x 5xy 3y ++的值？分析：从要求值的式子特征来看，若直接代入求值计算过程比较繁琐；若从223x 5xy 3y ++变形即()2223x 6xy 3y xy 3x y xy ++-=+-，从已知整体求出xy 和x y +的值，整体代入过程便变得简捷了.略解：∵x 5y 5=-=+∴(((,xy 5525241x y 5510=-+=-=+=-++= ∴原式()22223x 6xy 3y xy 3x y xy 31013001299=++-=+-=⨯-=-= 例2.已知a b =2的值.分析：从要求值的式子特征来看，是以ab 和a b +为架构的；恰巧a b 、互为倒数，所以我们可以先整体求出ab 和a b +的值，在此基础上求代数式的值便轻松了.略解：∵a b=∴((,22ab 1a b 22434314==+==+=++-=L L2a b 11961961196195++==--点评：上面两道题如果直接代入求值，计算量比较大，而且容易出错，通过观察已知和要求的值的式子，发现都可以变形和化简，若运用整体的代换的思想， “两头凑”，也就比较容易求出式子的值.追踪练习：1.若x 2=-2x 4x 6--的值？2.已知：,11a b 22==，求：①.22a ab b -+的值；②.a bba+的值.3.已知：x y y z -=-，求222x y z xy xz yz ++---的值？八、稍复杂的含二次根式的代数式值的大小比较例.的大小.分析：若我们采用“倒数法”，倒数值大的反而小，问题便可以解决.略解：设m n ==，则m n===∴m n > ∴11m n<点评：平时我们常用“近似数法”、“平方法”和“比差法”等来比较含二次根式的代数式值的大小，但稍微复杂的，这些方法就不管用了，所以必须突破常规才能解决问题.比如本题采用“倒数法”， 通过分母有理化分别求出原式的倒数值，比较其倒数的大小，从而比较原式值的大小.追踪练习：1.比较大小：()--（填“>”或“<”或 “=”）2.()（填“>”或“<”或 “=”）3..4.设a ＞b ＞c ＞d ＞0且，x y z ===．试比较x 、y 、z的大小关系．九、解含无理系数的方程（组）和不等式（组）例1.解x 1+ 分析：本题关键是未知数的系数含有无理数，在系数化为1的时候要特别注意系数的正负情况，同时要注意将结果中分母中的根号化去，即分母有理化.略解：由x 1+得x 1>∴(1x 1>∵10<∴x =∴x 1=--例2.解方程组：2y +=+=分析：解二元一次方程组的方法消元.关键是本题未知数的系数含有无理数，这种特点的方程组若采用代入消元法，过程较为繁琐，一般采用加减法消元.略解：①3y += ③③-②得：y =将y ==解得：x∴原方程组的解是x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点评：解含无理系数的方程（组）和不等式（组）都要注意结果要把分母中的根号化去（即分母有理化），解含无理系数的方程（组）一般采用加减法更简捷，而解含无理系数的不等式（组）要注意的是系数化为1时系数的正负性.追踪练习：1.1+2.解方程组：11+==十、几何计算中的二次根式运算或化简例1.若一个矩形的的周长为cm，一边长为cm ，求另一边长和此矩形的面积？分析：根据矩形的的周长可以先求出两邻边的和（即长与宽的和），再用两邻边的和减去已知的一边长；根据矩形的面积公式可求得矩形的面积. 略解：根据题意和矩形的周长公式可知另一边为：1111122222-=⨯⨯=此矩形的面积为：66==-=故矩形另一边长为(cm ，而矩形的面积为2例2.如图，在方格纸中的小正方形的面积为1，ABC 的三个顶点都在小正方形的格点上，小刚通过观察探究得出如下结论： ①.△ABC 的形状是等腰三角形；②.△ABC的周长是③.△ABC 的面积是5；④.点C到AB ⑤.直线EF 是线段BC 的垂直平分线.你认为刚观察的结论正确的序号有 .解析：结合图形和已知条件可以求出方格纸中的小正方形的边长为1，再根据勾股定理可计算出ABC 的三边长分别为故①正确，②错误；ABC 的面积由间接计算得到：11333122422⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故③错误；利用三角形的等积法：1AB h 42⋅=，h 4=，解得h 故④正确；根据垂直平分线的判定并结合图象可知EF 是线段BC 的垂直平分线，⑤正确.故选①④⑤.点评：几何的相关计算中往往要通过二次根式的计算或化简来解决不在少数，是中考和各类考试的热点考题；这类题型把二次根式的计算或化简和勾股定理即其它几何知识很好结合在一起考察，是数形结合等思想方法较好体现.追踪练习：1.如图在四边形ABCD 中，,,1AB BC DC BC AE CD BC 4⊥⊥===求四边形ABCD 的周长和面积？2.如图一块长方形场地ABCD 的长AB 与宽AD1，DE ⊥AC于点E ，BF ⊥AC 于点F ，连结BE 、DF ；现计划在四边形DEBF 区域内（阴影部分）种植花草，求四边形DEBF 与长方形ABCD 的面积之比.3.已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，B C 、两点在第二象限内，OA 与x 轴的夹角为60°，求出点B 点坐标.。
人教版八年级数学下册第16章二次根式重难点详解
点拨:观察发现已知条件 x, y中的 5 与2
5 2 是一对相反数,而所求式子是这
两个数的平方和与这两个数的乘积的差,故可由已知转变条件,运用完全平方式
简化求值.
栏目名：错题集
解二次根式常见错误分类解析
一、审题不清导致错误 例 1 16 的平方根是______ .
错解： 16 的平方根是 4.
诊断：错把 16 的平方根当成 16 的平方根。
。
栏目名：期末练兵
综合练习题
一、选择题（每小题 3 分,共 30 分）
1．下列各式正确的是（
）
A． 4 2; B. (6)2 6; C. 7 5 7 5; .
D. 52 5
2.下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A． 27
B． 5
C． 12
3.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（
剖析：二次根式 a 中 a 的取值范围为 a 0 ，从而 a 0 。
解：∵ x3 2x2 0; ∴ x x 2 0
而 x 2 0,x 0 即 x 0. 又 x 2 0, x 2
∴ x 的取值范围是 2 x 0 。
例 2 数 a、 b 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所
正解： 5 2 3 5 2 3 15 2 3
3
3
十、乱用运算律导致错误
例 11 计算 6 3 2 .
错解：原式＝ 6 ÷ 3 ＋ 6 ÷ 2 ＝ 2 3 。
诊断：除法没有分配律，本题应分母有理化。
正解： 6 3 2 =
6
6 3 2
诊断:当一个式子与一个多项式相乘时,多项式应注意添括号.
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
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《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（提高）
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】
【要点梳理】
知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如
(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如1
3,
,0.02,02
等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：a 0a ≥，即只有
被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.
2.二次根式的性质 （1）； （2）；
（3）
.
要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即
a 2
()a =（
a ≥），如
22211
22););)33
x x ===（0x ≥）.
（2）2
a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取2
a .
（32
a a ，再根据绝对值的意
义来进行化简. （42
a 2a 的异同
不同点：
2
a a 可以取任何实数，而2)a 中的a 必须
取非负数；
2
a a ，2)a =a （0a ≥）.
相同点：被开方数都是非负数，当a 取非负数时，
2
a 2a .
3. 最简二次根式
1）被开方数是整数或整式；
2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
.
要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数
不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根
指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到
最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.
.
知识点二、二次根式的运算
1.乘除法
（1）乘除法法则：
类型法则逆用法则
二次根式
的乘法
0,0)
a b
=≥≥
积的算术平方根化简
公式：
0,0)
a b
=≥≥
二次根式
的除法
0,0)
a b
=≥>
商的算术平方根化简
公式：
0,0)
a b
=≥>
要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式
与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd
⋅=.
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时
只能为正数）.如(4)(9)49
-⨯-≠-⨯-.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
要点诠释：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22
+-=+-=-.
【典型例题】
类型一、二次根式的概念与性质
1． x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)； (2).
【答案】（1）;
（2）.
【解析】(1) 要使在实数范围内有意义，
则必有
∴当时，在实数范围内
有意义； (2) 要使
在实数范围内有意义，则必有
∴当时，在实数范围内
有意义；
【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时
a 才是二次根式.
举一反三： 【变式】已知
，求的值.
【答案】根据二次根式的意义有 将
代入已知等式得
2.（2018•柘城县校级一模）把1a
--中根号外的因
式移到根号内的结果是( ). A a - B ．a - C ．a -- D a 【答案】A.
【解析】由二次根式的意义知1
0a -> ，则0a < ()2
11a a a a
--
=-⨯-=-.
【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其a 是非负数，反过来将根号外的因式移到
根号内时，也必须向里移非负数。
举一反三：
【变式】（2018春•团风县校级期中）已知x 为奇数，且
=，
求•
．
【答案】解：∵
=
，
∴6≤x＜9， ∵x 为奇数， ∴x=7， 则
•
=8×
=12．
3. 实数,,a b c 在数轴上对应的点如图：
22
()1()a c c b a b c --+++.
【答案与解析】由数轴可知0,0,0,,a c b a c b ><<>>并且
b a
>
,0
0,100,0,00,00
a c a c c c a
b b a
b a b
c b c >∴-><∴-<><>∴+<<<∴+<
∴22
()1()a c c b a b c --++-+
=1
-+-++-+
a c c
b a b c
=1
a c c
b a b c
-+---++
=1c-
【总结升华】本题不仅考查了二次根式和绝对值的化简问题，同时考查了学生的观察能力.通过观察确定,,
a b c的大小关系是本题的关键.
【8填空题5】
举一反三：
【变式】∆ABC的三边长为a、b、c，则22
---+-= .
()()
a b c a b c
【答案】22
-.
c a
类型二、二次根式的运算
4．（2015•昆山市一模）计算
（1）
（2）．
【答案与解析】解：（1）原式=2﹣1+3=4；
（2）原式=2﹣3﹣﹣2=﹣﹣3．【总结升华】此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】计算
【答案】
5.已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，化简
【答案与解析】∵a 、b 、c 为△ABC 的三边长，
∴原式
【总结升华】利用三角形任意两边之和大于第三边和
进行化简. 6.若0x >___________x xy xy y xy y
x xy
+-=+-.
【答案与解析】
【总结升华】把分子分母分别分解因式，然后约分，可
()()()()
x x y y x y y x y x x y y x y
x
xy xv y x y xy xy
+-+
+-=+=
+=原式
以简化化简步骤. 举一反三：
【变式】当2
2
121a a a a a a -+=---.
【答案】210.
a a =
=--<由得
2(1)1
=11a a a a -∴=-+
-原式，
将2
a =
==3.。