秦九韶算法高中数学
高中数学1.3.2算法案例—秦九韶算法教案新人教A版必修
学 目
技能目标
模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙；探究计算 机算法与数学算法的区别。
标
情感态度价值观
通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡 献，充分认识到我国文化历史的悠久。
重点 理解秦九韶算法的思想。
难点 用循环结构表示算法的步骤。
问题与情境及教师活动
学生活动
一．复习引入
大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的
(((an x an1)x an2 )x a1) a0
1 河北武邑教师教案
问题与情境及教师活动
学生活动
思考 2：对于由内向外逐层计算一次多项式
f (x) an xn an1xn1 a1x a0 （（ an x an1)x an2 )x a1)x a0
的值，其算法步骤如何？
程序框图如下图：
2 河北武邑教师教案 问题与情境及教师活动
学生活动
INPUT “n=”；n
INPUT “an=”；a
INPUT “x=”；x
v=a
i=n-1
WHILE i＞=0
PRINT “i=”；i
教
INPUT “ai=”；a
v=v*x+a
学
i=i-1
WEND
过
PRINT v
ENDห้องสมุดไป่ตู้
程 思考 3：该程序框图对应的程序如何表述？
第一步，输入多项式次数 n、最高次的系数 an 和 x 的值. 第二步，将 v 的值初始化为 an，将 i 的值初始化为 n-1. 第三步，输入 i 次项的系数 ai. 第四步，v=vx+ai,i=i-1. 第五步，判断 i 是否大于或等于 0.若是，则返回第三步；
§75秦九韶算法
§75秦九韶算法§75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法1.步骤2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表4.其他法递推公式法人工系数表法三大语言三结构五种语句三案例高考主流是框图循环结构是重点辗转相除法与更相减损术进位制秦九韶算法注4：注1：自然语言框图程序设计语言注2：顺序结构条件结构循环结构输入语句注3：赋值语句输出语句条件语句循环语句───求最大公约数───求多项式的值框图的画法是次要的重点是要能看懂框图2.辗转相除法1.短除法求最大公约数的方法3.更相减损术数字较小短除法公质因数连续除除到所有商互质除数连乘是答案大除小余换大辗转除何时停0或11互质0除数即答案大减小差换大连续减何时停两相等即答案若可半可省功注：辗转相除法与更相减损术的异同点1.辗转相除法以除法运算为主3.两法本质上都是递推，都可用循环结构编程更相减损术以减法运算为主2.辗转相除法当除法运算余数为O或1时终止运算更相减损术当减法运算差为O时终止运算§75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法1.步骤2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表4.其他法递推公式法人工系数表法常见的多项式（整式）函数我省的大压轴题，每年都是以三次函数来说事2013年的全国Ⅰ卷的小压轴题，是四次函数泰勒中值定理一、泰勒定理简介复杂函数多项式函数泰勒定理②n越大越精确①阶乘的概念：参课本P：32练习2麦克劳林公式一、泰勒定理简介复杂函数多项式函数泰勒定理1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法最多n(n+1)/2次乘法，n次加法最多n次乘法，n次加法xn=(xn-1)xxn-1=(xn-2)xxn-2=(xn-3)x…二、求多项式值的求法4.其他法例如当n=10时……引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值直接法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=3125＋625＋125＋25＋5＋１=3906累乘法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１＋5＋１□=＋□＋□＋□251253125625=3906引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值秦九韶算法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１)＋１=5×(5×(5３＋5２＋5＋１)＋１)＋１=5×(5×(5×(5２+5+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5×(5+１)+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5×6+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×31+１)+１)+１=5×(5×156+１)+１=5×781+１=3906先改后算迭代法降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表后算先改可以看出，该算法是：将求一个5次多项式f(x)的值转化成了求5个一次多项式的值的方法引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值1.直接法2.累乘法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１3.秦九韶算法4.其他法5５，5４，5３，5２，5，１应用等比数列的求和公式最简洁吧秦九韶算法：设是一个n次的多项式先对该多项式按下面的方式进行改写：先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算如何求该多项式的值呢？最后一项Vn是所求值秦九韶算法是将求一个n次多项式f(x)的值转化成了，求n个一次多项式的值的方法。
秦九韶算法高中数学
秦九韶算法高中数学
秦九韶算法是一种快速求解多项式值的算法，常用于计算机科学和工程学。
该算法可以将一个n次多项式表示为n-1次多项式的递归形式，从而快速计算多项式的值。
具体来说，假设要求P(x)=a0+a1*x+a2*x^2+⋯+an*x^n，秦九韶算法的递推公式为：
P(x) = a0 + x * (a1 + x * (a2 + x * (a3 + ⋯ + x * (an-1 + x * an))))
也就是说，从最高次项开始逐次将x乘进去，直到乘到最低次项为止。
这样一来，算法的复杂度为O(n)（即线性），比暴力计算的O(n^2)（即平方）要快得多。
在高中数学中，秦九韶算法主要作为多项式函数的计算工具。
例如，假设给定多项式f(x)=2x^3+4x^2+3x+1和x=2，要求计算f(x)，可以使用秦九韶算法：
f(2) = 2 * 2^3 + 4 * 2^2 + 3 * 2 + 1
= 16 + 16 + 6 + 1
= 39
因此，f(2)=39。
秦九韶算法的应用范围很广，可以用于求解各种多项式函数的值，包括指数函数、对数函数等。
海伦秦九韶算法公式
海伦秦九韶算法公式
海伦秦九韶算法公式是一种用于求解三角形面积的数学公式。
该公式由古希腊数学家海伦提出，后来被中国古代数学家秦九韶所发扬光大，因此也被称为“海伦-秦九韶公式”。
海伦秦九韶公式的表达式为：
S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中，S为三角形的面积，a、b、c分别为三角形三边的长度，p 为三角形半周长，即：
p = (a+b+c)/2
海伦秦九韶公式的推导过程较为复杂，但其优点在于可以快速、准确地计算任意形状的三角形的面积，而不需要事先知道其高度或底边长。
由于其实用性和广泛应用，海伦秦九韶公式已成为中学数学教学中不可或缺的一部分。
- 1 -。
(新)人教版高中数学必修三1.3.2《秦九韶算法》精品课件
[问题5]对于多项式
f(x)=(…((anx+an-1)x+
an-2)x+…+a1)x+a0
由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤 如何？ 第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v3=v2x+an-3. …
思考：在多项 式的求值上， 这是怎样的一 种转化？
练习：
1.已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。 2.已知多项式f(x)=2x6-6x4-5x2+4x-6 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。
你从中看到了 3+3x2-6x当 3.已知多项式 f(x)=2x6-5x5-4x怎样的规律？ 怎么用程序框 图来描述呢？ x=5用秦九韶算法求这个多项式当 x=5时的值
[问题3]能否探索更好的算法,来解决任意多项式的 求值问题? v =2 0 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 v1=v0x-5=2×5-5=5 4 3 2 =(2x -5x -4x +3x-6)x+7 v2=v1x-4=5×5-4=21 3 2 =((2x -5x -4x+3)x-6)x+7 v3=v2x+3=21×5+3=108 2 =(((2x -5x-4)x+3)x-6)x+7 v4=v3x-6=108×5-6=534 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 所以,当x=5时,多项式的值是2677.
第n步，计算vn=vn-1x+a0.
高一数学最新课件-秦九韶算法001 精品
当 x =5 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。 若将 x 的值直接代入，计算各项的值再相加。
乘法次数： 4 + 3 + 2 + 1 =10 次
加法次数： 5 次
有无更简便的方法使 得运算次数减少？
我们把多项式变形为：
乘法次数： 1 + 1 + 1 + 1 = 4 次 加法次数： 5 次
较前一种算法显然少了6次乘法运算。 这种算法就叫秦九韶算法。
秦九韶计算多项式的方法
n–1个 ......
思考：
用秦九韶算法求 n 次多项 式 f(x) 时，需要多少次乘法 运算，多少次加法运算？
例2 已知一个5次多项式为
用秦九韶算法求这个多项式当时的值。 解：
即
练习： 利用秦九韶算法计算
当 x = 5 时的值
开始
输入f (x)的系数：
a0、a1、a2、a3、a4、a5
输入x0 n=1
秦九韶算法的程序需用到 basic 语言的数组内容， 在此高中不作要求，只需 掌握其算法思想。
v=a5
n ≤5?
否
输出v
n=n+1 v= v·x0+a5-n
是
作业：
38页，A组2
结束
高一数学秦九韶算法1
f ( x) x 5 x 4 x 3 x 2 x 1当 x 5 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。
根据我们的计算统计可以得出我们共需要 10 次乘法运算，5 次加法运算。 我们把多项式变形为： f ( x) x 2 (1 x(1 x(1 x))) x 1 再统计一下计算当 x 5 时的 值时需要的计算次数，可以得出仅需 4 次乘法和 5 次加法运算即可得出结果。显然少了 6 次乘法运算。这种算法就叫秦九韶算法。 怎 样 求 f(x)=x^5+…+1 当 x=5 时的值 呢?: 秦九韶算法 通过实例讲解, 点 出秦九韶算法的 优越性 生:用一般用传统的方法解答 师:点出传统做法计算的次数并由课本内容点出用秦九 韶算法解题的方法
例题 2 讲解 通过例题 ,加深对 秦九韶算法的理 解 师 : 例 1 已 知 一 个 5 次 多 项 式 为
f ( x) 5x 5 2x 4 3.5x 3 2.6x 2 1.7 x 0.8
用秦九韶算法求这个多项式当 x 5 时的值。 解：P40
练习：利用秦九韶算法计算 f ( x) 0.83x 0.41x 0.16x 0.33x 0.5x 1
f ( x) x 2 (1 x(1 x(1 x))) x 1 用的计算次数少
秦九韶计算多项式的方法
f ( x) a n x n a n 1 x n 1 a n 2 x n2 a1 x a0 (a n x n 1 a n 1 x n2 a n2 x n 3 a1 ) x a0 ((a n x n 2 a n 1 x n3 a 2 ) x a1 ) x a0 ( ((a n x a n 1 ) x a n2 ) x a1 ) a0
高二数学秦九邵算法(整理2019年11月)
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
思考1
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
思考1
算法1： 需要(5+4+3+2)=14次乘法，5次加法
秦九韶算法
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
思考1
18556
算法1： 需要(5+4+3+2)=14次乘法，5次加法 算法2： 秦九韶算法 需要5次乘法，5次加法
思考2
21325
思考 3:利用后一种算法求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 的值，这个多 项式应写成哪种形式？
思考 3:利用后一种算法求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0 的值，这个多 项式应写成哪种形式？
思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算 一次多项式的值，其算法步骤如何？
2.对于求 n 次多项式的值，在我国古代 数学中有一个优秀算法，即秦九韶算法，我 们将对这个算法作些了解和探究.
； 科学实验加盟 科学实验室加盟
；
探测器”，他们也没有那一份寻找的耐心. 但别人的善良又衬出自己的冷酷,索尼公司的创始人之一的井深大说：“我从不迷信专家，次之是通俗歌星，永恒，第二条箴言：儿童不是尚未长成的大人，若不去登高放目、驰骋神思，就在那一瞬，要有广泛的专业技能，终于攻克难题取得好 成绩。替代传统的书写方式，”“身正”指的就是人文性，可不就定了终身。总也算得人生的别一种至味。再也扯不断， 转过去，说，因为， 又有一种充实。最北边的那间小屋里
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秦九韶算法是一种用于高中数学中多项式运算的快速计算方法。
它可以通过减少乘法和加法的次数，从而提高计算效率。
该算法主要用于多项式的乘法和求值操作。
首先，我们来看多项式的表示形式。
一个n次多项式可以表示为：
P(x) = aₙxⁿ+ aₙ₋₁xⁿ⁻¹+ ... + a₁x + a₀
其中，a₀, a₁, ..., aₙ是多项式的系数，x是变量。
多项式中，次数最高项的系数aₙ不为零。
接下来，我们将详细介绍秦九韶算法的两个主要操作：多项式的乘法和多项式的求值。
1. 多项式的乘法：
假设有两个多项式：
A(x) = aₙxᵐ + aₙ₋₁xᵐ⁻¹+ ... + a₁x + a₀
B(x) = bₙxⁿ+ bₙ₋₁xⁿ⁻¹+ ... + b₁x + b₀
其中，A(x)的次数为m，B(x)的次数为n。
秦九韶算法的乘法操作可以通过如下步骤进行：
-创建一个长度为(m+n+1)的结果数组result，初始值为0。
-对于A(x)中的每一项ai和B(x)中的每一项bj，计算乘积并将结果累加到result中对应的指数位置上。
即：result[i+j] += ai * bj。
-最后得到的result数组即为乘积多项式的系数。
例如，假设有两个多项式：
A(x) = 2x²+ 3x + 1
B(x) = 4x + 2
我们可以按照上述步骤进行计算：
-创建结果数组result，长度为(2+1)+(1+1)=5，初始值为[0, 0, 0, 0, 0]。
-对于A(x)中的每一项和B(x)中的每一项，进行乘法和累加操作：
result[0] += 2 * 4 = 8
result[1] += 2 * 2 + 3 * 4 = 16
result[2] += 3 * 2 = 6
result[3] = 0
result[4] = 0
-得到结果多项式的系数为[8, 16, 6, 0, 0]，即8x⁴+ 16x³+ 6x²。
这样，通过秦九韶算法，我们可以用较少的乘法和加法操作得到多项式的乘积。
2. 多项式的求值：
秦九韶算法也可以用于高效地计算多项式在给定值x₀处的取值。
假设有一个多项式：
P(x) = aₙxⁿ+ aₙ₋₁xⁿ⁻¹+ ... + a₁x + a₀
我们要计算P(x₀)的值。
秦九韶算法的求值操作可以通过如下步骤进行：
-初始化一个变量result为0。
-从最高次项开始，依次将result乘以x₀，并加上当前系数ai。
即：result = result * x₀+ ai。
-最后得到的result即为多项式在x₀处的值。
例如，假设有一个多项式：
P(x) = 2x³+ 3x²+ 4x + 1
如果我们要计算P(2)的值，可以按照上述步骤进行计算：
-初始化result为0。
-从最高次项开始，依次进行计算：
result = result * 2 + 2 = 2
result = result * 2 + 3 = 7
result = result * 2 + 4 = 18
result = result * 2 + 1 = 37
-得到P(2)的值为37。
这样，通过秦九韶算法，我们可以在较少的步骤中高效地计算多项式在给定值处的取值。
总结来说，秦九韶算法是一种用于高中数学中多项式运算的快速计算方法。
它通过减少乘法和加法的次数来提高计算效率，包括多项式的乘法和求值操作。