深圳市必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测(含答案解析)

一、选择题

1．已知,,(0,)x y t ∈+∞，且

11t

x y

+=， A ．当2t =时，当且仅当2x y ==时，2x y +有最小值 B ．当8t =时，当且仅当25

3

x y ==

时，2x y +的最小值为25 C ．若2x y +的最小值为9，则t 的值为2 D ．若2x y +的最小值为25，则t 的值为6

2．已知,,a b c ∈R ，0a b c ++=，若2320(0)ax bx c a ++=≠的两个实根是1x ，2x ，

则1211

2121

x x +--的最小值是（ ） A ．

3 B ．

33

C ．3

D ．23

3．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、

2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）

A ．甲

B ．乙

C ．甲、乙一样

D ．无法确定

4．若不等式210x ax -+≥对一切[2,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．0

B ．2

C ．

52

D ．3

5．若直线220ax by +-=(),a b R +

∈平分圆2

22460x

y x y +---=，则21

a b

+的最小

值是（ ）. A ．1

B ．5

C ．42

D ．322+

6．若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ??

-<

，则a b -=（ ） A ．4-

B ．14

C ．10-

D ．10

7．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2

134m m a b

+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,3-

B ．[]2,6-

C ．[]6,2-

D ．[]

3,4-

8．已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则 ( ) A ．ab≤ B ．ab≥ C ．a 2+b 2≥2

D ．a 2+b 2≤3

9．若两个正实数,x y 满足11

2x y

+=，且不等式2x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,2- B ．()4,1- C ．()

()

,12,-∞-+∞

D ．()

(),14,-∞-+∞

10．若直线20(,1)ax by a b +-=>始终把圆222220x y x y +---=的周长分为

1:2．则

11

a b

+的最大值为（ ）

A ．4-

B ．2-

C 1

D

11．下列命题中正确的是（ ） A ．若ac bc >22，则a b >

B ．若a b >，则

11a b

< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-

D ．若a b >，c d <，则

a b c d

> 12．集合{

}

2

230A x x x =--≤，{}

1B x x =>，则A B =（ ）.

A ．()1,3

B ．(]1,3

C ．[)1,-+∞

D ．()1,+∞

二、填空题

13．有一块直角三角形空地ABC ，2

A π

∠=

，250AB =米，160AC =米，现欲建一矩

形停车场ADEF ，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，则停车场面积的最大值为________平方米.

14．设函数()()2

,f x x ax b a b R =++∈，若关于x 的不等式()06f x x ≤≤-+的解集为

[]{}2,36?，则b a -=__________．

15．若a ，b 为实数，且12,12a b ≤≤≤≤，则2

1a b ab

+的最小值是________． 16．已知3x <，则函数4

()3

f x x x =

+-的最大值是________. 17．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是?，则实数a 的取值范围是______． 18．若对于(0,)2

x π

∈，不等式

22

19sin cos m

x x

+≥恒成立，则正实数m 的取值范围为__________

19．已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4a +9b ，则a +b +c 的最小值为_____． 20．已知0a >，0b >，若不等式

212m a b a b

+≥+恒成立，则m 的最大值为______． 三、解答题

21．已知0,0x y >>，且2223x y +=． （1）求xy 的最大值；

（2）求

22．2018年10月23日，习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经5年规划，9年建设，总长约55公里，总投资约1100亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响.港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海旅游线路增添新亮点.某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会.据市场调查，当每张门票售价定为x 元时，销售量可达到()150.1x -万张.现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万张)成反比，并且根据调查，每张门票售价定为100元时，旅游公司获得的总利润为340万元.（每张门票的销售利润＝售价－供货价格）.

（1）求出每张门票所获利润()f x 关于售价x 的函数关系式，并写出定义域； （2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值.

23．设函数()2

1f x mx mx =--.

（1）若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求m 的取值范围； （2）若对于[1,3]x ∈，()1f x m x >-+-恒成立，求m 的取值范围.

24．已知函数1

()42

f x x x =+

-. （1）当2x >时，求函数()f x 的最小值；

（2）若存在(2,)x ∈+∞，使得()42a a

f x ≤-成立，求实数a 的取值范围

25．解关于x 的不等式-2≤2x +x -2≤4

26．（1）已知2x <，求()9

2

f x x x =

+-的最大值； （2）已知x 、y 是正实数，且9x y +=，求13

x y

+的最小值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

当2t =时，121x y +=，()1222x y x y x y ??+=++ ???展开后利用基本不等式即可判断A ；当当8t =时，181x y +=，()2812x y x y x y ??

+=++ ???

展开后利用基本不等式即可判断

B ；

(

)1221212122x y x y t t t x y x t y tx y ??+=++=+++≥++=++ ???

分别令129t ++=

和1225t ++=即可求出t 的值，可判断选项C 、D ，进而可得正确选项. 【详解】

对于选项A ：当2t =时，12

1x y

+=，

(

)122225259x x y x y x y x y y ??+=++=++≥+= ???

，

当且仅当12

122x y y x x y ?+=??

??=??

即3x y ==时等号成立，所以3x y ==时，2x y +有最小值，

故选项A 不正确； 对于选项B ：当8t =时，

18

1x y

+=， (

)188222171725x x y x y x y x y y ??+=++=++≥+= ???

，

当且仅当18

128x y y x x

y ?+=??

??=??即510x y =??=?时等号成立，所以510x y =??=?时，2x y +有最小值，

故选项B 不正确；

对于选项C ：(

)12212221x y x t y tx y t t x y x y ??+=++=+++≥++

???

12t =++

129t ++=

即

0=

=

即2t =，当且仅当12122x y y x x y ?+=??

??=??

即3x y ==时等号成立，所以2t =，故选项C 正确；

对于选项D ：(

)12212221x y x t y tx y t t x y x y ??+=++=+++≥++

???

12t =++

1225t ++=

即

0=

=，

即8t =，当且仅当12

128x y y x x

y ?+=??

??=??即510x y =??=?时等号成立，所以8t =，故选项D 不正确；

故选：C 【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

2．D

解析：D 【分析】 根据

12112121x x +--

≥. 【详解】

因为2

320(0)ax bx c a ++=≠的两个实根是1x ，2x ， 所以1223b

x x a +=-

，123c x x a

=， 所以

12112121

x x +--

≥=

=

==， 因为0a b c ++

=，

所以=.即12

11212

1x x +--≥

122121x x -=-时，等号成立.

所以1211

2121

x x +--

的最小值是 故选：D 【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

3．B

解析：B 【分析】

分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论. 【详解】

对于甲方案，设每年购买的数量为x ，则两年的购买的总金额为12p x p x +， 平均价格为

1212

22

p x p x p p x ++=； 对于乙方案，设每年购买的总金额为y ，则总数量为

12

y y

p p +， 平均价格为12121

2

22p p y

y

y p p p p =

++

.

因为()()()()2

2

1212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以，121212

22p p p p p p +>+. 因此，乙方案的平均价格较低. 故选：B. 【点睛】

方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商

4．C

解析：C 【分析】

采用参变分离法对不等式变形，然后求解变形后的函数的值域，根据参数与新函数的关系求解参数最值. 【详解】

因为不等式210x ax -+≥对一切[)2,x ∈+∞恒成立，

所以对一切[)2,x ∈+∞，2

1ax x ≤+，即21

x a x

+≤恒成立．

令()[)()211

2,x g x x x x x

+==+∈+∞．

易知()1

g x x x

=+

在[)2,+∞内为增函数． 所以当2x =时，()min 52g x =，所以a 的最大值是5

2

．故选C ． 【点睛】

常见的求解参数范围的方法：

（1）分类讨论法（从临界值、特殊值出发）； （2）参变分离法（考虑新函数与参数的关系）.

5．D

解析：D 【分析】

根据条件可知直线过圆心，求解出,a b 的关系式，利用常数代换法以及基本不等式求解出

21

a b +的最小值. 【详解】

因为直线220ax by +-=(

),a b R

+

∈平分圆2

22460x

y x y +---=，所以直线

220ax by +-=过圆心，

又因为圆的方程()()2

2

1211x y -+-=，所以圆心为()1,2，所以222a b +=，即

1a b +=，

所以

()21212333b a a b a b a b a b ??+=+?+=++≥+=+ ???

取等号时222a b =即a =，此时21a b ==，

故选：D. 【点睛】

本题考查圆的对称性与基本不等式的综合应用，其中涉及到利用常数代换法求解最小值，对学生的理解与计算能力要求较高，难度一般.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.

6．C

解析：C

【分析】

由题意可知方程220ax bx ++=的根为11

,23

-

，结合根与系数的关系得出12,2a b =-=-，从而得出-a b 的值.

【详解】

由题意可知方程220ax bx ++=的根为11,23

- 由根与系数的关系可知，11112,2323b a a

-+=--?= 解得12,2a b =-=- 即12210a b -=-+=- 故选：C 【点睛】

本题主要考查了根据一元二次不等式的解集求参数的值，属于中档题.

7．C

解析：C 【分析】

由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得1

12ab

，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围． 【详解】 解：

两个正实数a ，b 满足3a ，

1

2

，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab

∴，∴

1

12ab

． ∴不等式21

34m m a b +

+恒成立，即234a b m m ab

++恒成立， 即

21

4m m ab

+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，

故选：C ． 【点睛】

本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．

8．C

解析：C 【解析】 选C.由

≥

得ab≤

=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.又

a2+b2≥2ab?2(a2+b2)≥(a+b)2?a2+b2≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立. 9．C

解析：C

【解析】

正实数x,y 满足11

2 x y

+=，

则()

111

1122

22224

y x

x y x y

x y x y

??

+=++=+++=

?

??

，

当且仅当1,

y x x y

==+取得最小值2.

由2

x y m m

+<-有解,可得22

m m

->，

解得m>2或m

本题选择C选项.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

10．B

解析：B

【分析】

由圆的方程得圆心和半径，根据圆的周长被分为1:2，可推出圆心到直线的距离为1，即22

2

1

a b

a b

+-

=

+

，化简整理后，再结合基本不等式的性质可得ab的最小值，再求出

11

a b

+

的最大值．

【详解】

把圆222220

x y x y

+---=化成标准形式为22

(1)(1)4

x y

-+-=，其中圆心为(1,1)，半径为2．

设直线与圆交于A、B两点，圆心为C，

因为直线把圆的周长分为1:2，所以

1

360120

3

ACB

∠=??=?，

所以圆心(1,1)C 到直线20ax by +-=的距离为1

1=，

因为a ，1b >，所以202()a ab b -++=，

由基本不等式的性质可知，22()4ab a b ab +=+， 当且仅当a b =时，等号成立，此时有2(22)ab +，

所以1

(2)

111112222(2ab a b a b ab ab ab

+++===+

+=+． 所以

11

a b +的最大值为2- 故选：B ． 【点评】

本题主要考查直线与圆的综合问题，除圆的标准方程、点到直线的距离公式等基础知识外，还涉及利用基本不等式的性质求最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

11．A

解析：A 【分析】

对于选项A ，由不等式性质得该选项正确；对于选项B ，11b a a b ab

--=符号不能确定，所以该选项错误；通过举反例说明选项C 和选项D 错误. 【详解】

对于选项A ，若ac bc >22，所以20c >，则a b >，所以该选项正确；

对于选项B ，11b a

a b ab

--=符号不能确定，所以该选项错误； 对于选项C ，设1,0,1,3,2,3a b c d a c b d ===-=--=-=，所以a c b d -<-，所以

该选项错误；

对于选项D ，设0,1,2,1,0,1,a b a b

a b c d c d c d

==-=-=-==∴<，所以该选项错误； 故选：A 【点睛】

本题主要考查不等式的性质，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12．B

解析：B 【分析】

求得集合{}|13A x x =-≤≤，结合集合交集的概念及运算，即可求解.

【详解】

由题意，集合{}

{}2

230|13A x x x x x =--≤=-≤≤，{}

1B x x =>，

根据集合交集的概念及运算，可得{}(]|131,3A B x x =<≤=.

故选：B. 【点睛】

本题主要考查了集合交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合A ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

二、填空题

13．【分析】设米米根据可得出利用基本不等式可求得的最大值即为所求【详解】设米米则即整理可得由基本不等式可得当且仅当时即当时等号成立因此停车场面积的最大值为平方米故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式 解析：10000

【分析】

设AD x =米，AF y =米，根据tan DE CF AC

ABC BD EF AB

∠=

==可得出16254000x y +=，利用基本不等式可求得xy 的最大值，即为所求.

【详解】

设AD x =米，AF y =米，则250BD AB AD x =-=-，

160CF AC AF y =-=-，

tan DE CF AC ABC BD EF AB ∠=

==，即160160

250250

y y x x -==-，整理可得16254000x y +=， 由基本不等式可得400016252162540x y x y xy =+≥?=，10000xy ∴≤，

当且仅当162516254000x y x y =??+=?时，即当125

80x y =??=?

时，等号成立.

因此，停车场面积的最大值为10000平方米. 故答案为：10000. 【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

14．【分析】根据不等式的解集可得为对应方程的根分析两个不等式对应方程的根即可得解【详解】由于满足即可得所以所以方程的两根分别为而可化为即所以方程的两根分别为且不等式的解集为所以解得则因此故答案为：【点睛 解析：27

【分析】

根据不等式的解集可得2、3、6为对应方程的根，分析两个不等式对应方程的根，即可得解. 【详解】

由于6x =满足()060f ≤≤，即()63660f a b =++=，可得636b a =--， 所以，()()()2

63666f x x ax a x x a =+--=-++，

所以，方程()0f x =的两根分别为6、6a --，

而()6f x x ≤-+可化为()()2

1670x a x a ++-+≤，即()()670x x a -++≤，

所以，方程()6f x x =-+的两根分别为6、7a --，

76a a --<--，且不等式()06f x x ≤≤-+的解集为[]{}2,36?，

所以，63

72a a --=??

--=?

，解得9a =-，则18b =，因此，27b a -=.

故答案为：27. 【点睛】

关键点点睛：本题主要考查一元二次不等式与方程之间的关系，即不等式解集的端点即为对应方程的根，本题在理解2、3、6分别为方程()()660x x a -++=、

()()670x x a -++=的根，而两方程含有公共根6，进而可得出关于实数a 的等式，即

可求解.

15．【分析】利用基本不等式得到通过求出进而求解【详解】由得又因为所以当时此时成立可得时满足条件所以的最小值是；故答案为：【点睛】关键点睛：解题的关键在于基本不等式后得到的求最值得到进而求解

【分析】

利用基本不等式，得到2

1a b ab +≥=

，通过求出min

?=??求解 【详解】

由12,12a b ≤≤≤≤

得，

21a b ab +≥=，又因为12b ≤≤，所以，当2b =

时，min

?=??21a b ab =成立，可得，2a b =

，a =2b =时，满足条件，所以，

2

1a b ab +

的最小值是2

；

故答案为：2

【点睛】

关键点睛：解题的关键在于基本不等式后得到的

min

2?=??，进而求解

16．【分析】配凑成再用利用均值不等式直接求解【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为:【点睛】此题考查利用基本不等式求最值属于基础题方法点睛：均值不等式成立的3个条件一正二定三相等一正：的范围要为正 解析：1-

【分析】

配凑成()4()333f x x x ?

?=--+??-??

，再用利用均值不等式直接求解． 【详解】 因为3x <，所以

()()

43333413f x x x ?

?=--+≤-=-=-??-??

.当且仅当43=

3x x --，即1x =时等号成立， 故答案为: 1- 【点睛】

此题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.

方法点睛：均值不等式a b +≥成立的3个条件“一正、二定、三相等”． 一正：,a b 的范围要为正值

二定：当,a b 为大于零的变量，那么

a b +、最值．

三相等：验证均值不等式在给定的范围内能否满足取等号的条件．

17．(－13)【解析】由题意得

解析：(－1,3) 【解析】

由题意得222

min (23)2122113x x a a a a a -+>--∴>--?-<<

18．【分析】由不等式恒成立转化为的最小值大于9构造利用基本不等式求的最小值【详解】当时等号成立若不等式恒成立则即即故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围重点考查利用1的变形利用基本不等式 解析：[)4,+∞

【分析】

由不等式恒成立，转化为

221sin cos m

x x

+的最小值大于9，构造()22

2222

11sin cos sin cos sin cos m m x x x x x x ??+=++ ???

，利用基本不等式求 221sin cos m

x x +的最小值. 【详解】

22sin cos 1x x += ，0m >

()2222

2222

1cos sin sin cos 1sin cos sin cos m x m x x x m x x x x ??∴++=+++ ???

11m m ≥++=++ 当2222

cos sin sin cos x m x x x

=时，等号成立，

若不等式2219sin cos m

x x

+≥恒成立，则19m ++≥，

即

)

2

19≥134m ≥?≥.

故答案为：[

)4,+∞ 【点睛】

本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，重点考查利用”1”的变形，利用基本不等式求最小值，属于中档题型，本题的关键是根据22sin cos 1x x +=，已知变形为

()22

2222

11sin cos sin cos sin cos m m x x x x x x ??+=++ ???

. 19．10【分析】由得出利用基本不等式即可得出答案【详解】（当且仅当时取等号）故答案为：10【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用属于中档题

解析：10 【分析】

由49abc a b =+得出94

c a b

=+，利用基本不等式即可得出答案. 【详解】

49abc a b =+

4994

a b c ab a b

+∴=

=+

9410a b c a b a b ++=++

+≥=（当且仅当3,2a b ==时，取等号） 故答案为：10 【点睛】

本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.

20．9【分析】将题目所给不等式分离常数利用基本不等式求得的最大值【详解】由得恒成立而故所以的最大值为【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略考查利用基本不等式求最值考查化归与转化的数学思想方法属于

解析：9. 【分析】

将题目所给不等式分离常数m ，利用基本不等式求得m 的最大值. 【详解】 由

212m a b a b +≥+得()212m a b a b ??

≤++ ???

恒成立，而

()212225a b a b a b b a ??++=++ ???5549≥+=+=，故9m ≤，所以m 的最大值为9. 【点睛】

本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

三、解答题 21．无 22．无 23．无 24．无

25．无26．无