2019年高考数学专题训练：数列求和解答压轴题(含解析)
2019年高考数学专题6.1数列的通项公式与求和试题理.doc
2019年高考数学专题6.1 数列的通项公式与求和试题理【三年高考】1. 【2017课标II ，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏 B ．3盏 C．5盏 D．9盏【答案】B2.【2017课标II ，理15】等差数列n a 的前n 项和为n S ，33a ，410S ，则11nk kS 。
【答案】21n n 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有：1123434102a d a d，解得111a d，数列的前n 项和111111222n n n n n n n S na d n ,裂项有：1211211kS k k k k ，据此：11111111221......21223111nk kn S nn n n 。
3. 【2017山东，理19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n xx x x ,所围成的区域的面积n T .。
全国卷一专用2019年高考理科数学总复习数列求和
全国卷一专用2019年高考理科数学总复习数列求和一、基础巩固组liii 11. 数列1 ,3 ,5 ~,7~,…,(2 n-1)+ ,…的前n项和S的值等于()1 1A.n 2+1 -B.2 n2-n +11 1C.n 2+1- —D. n2-n+1-2. 在数列｛a n｝中,a=-60, a n+1=a n+3,则|a 1|+|a 2|+ …+|a so|=( )A.-495B.765C.1 080D.3 1053. 已知数列｛a n｝的前n项和S满足S+S=S+m,其中mn为正整数，且a=1,则a。
等于()A.1B.9C.10D.5514. 已知函数f(x)=x的图象过点(4,2),令a n=@+lHfE, n€ N.记数列｛a n｝的前n项和为S,则S 018 等于()A. <2 018-1B. M2 OI8+1c. c y D.”「m+1_!_ —1—n5. 已知数列｛a n｝中,a n=2 +1,则m.七否+…+ _ -=( )1 1A.1+B.1-2nC.1 -D.1 +2n土[_L_l6. 设数列｛a n｝的前n项和为S,a=2,若S+1=—S,则数列仏汕宀的前2 018项和为 __________________ .7. 已知等差数列｛a n｝满足：a5=11, a2+a6=18.(1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵若b n=a n+2n,求数列｛b n｝的前n项和S.二、综合提升组8. 如果数列1,1 +2,1 +2+4,…,1 +2+22+…+2n-1,…的前n项和S>1 020,那么n的最小值是( )A.7B.8C.9D.109. (2017山东烟台模拟)已知数列｛a n｝中,a1=1,且a n+1=沁品丄,若b n=a n a n+1,则数列｛ b｝的前n项和S为( )2n flA.;站1.B.亠i'I.2n 2TF1c. ~r D.A1.10. (2017福建龙岩一模)已知S为数列｛a n｝的前n项和，对n € N都有S=1-a n,若b n=log 2禺,则丄+丄1虹破虹旳+••• +治》+1=311. (2017广西模拟)已知数列｛ an｝的前n项和为S,且S= a n-1( n € N*).(1) 求数列｛a n｝的通项公式；5 1 十_ 1 ](2) 设b n=2log3 - +1,求鋼w 却回+…+也治.三、创新应用组12. (2017全国I ,理12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4 ,8,1,2,4,8,16, …,其中第一项是2°,接下来的两项是2°,2 1,再接下来的三项是20,2 1,2 2,依此类推•求满足如下条件的最小整数 的整数幕•那么该款软件的激活码是 （ ） A 440 B. 330 C. 220 D. 110 N ：N>100且该数列的前 N 项和为2数列求和 --=n 2+1-： 1. A 该数列的通项公式为 a n =(2 n-1)+ ,则S=[1+3+5+…+(2 n-1)] + - 2. B 由 a 1=-60, a n+1=a n +3 可得 a n =3n-63,则 a 21=0, |a 1|+|a 2|+ …+|a 30|=- (a 1 +Q — a20) +(a 21+—a 3°) =S3L 2S °=765,故选 B . 3. A ■/ S+Sn=S +m , a 1=1,S=1.可令 m=,得 S+1=S+1,S+1-S n =1,即当 n 》l 时，a n+1=1,二 ae=1. 1 1 4. C 由 f (4) =2,可得 4a =2,解得 a=I ,则 f (x ) = ■. 1 1 Jn+T -你a n = ’ “ ”” I- . ■-S 2 018 =日+a 2+a 3—+a 2 018=( 心-浙!) +( ..1'•- .2)+( L - ；)+••• +( _n+1 n n+1 n n5. C a n+1-a n =2 +1- (2 +1) =2 - 2 =2 ,V2019-1. 所以 1 0096 - ：丄+丄 -^―- +• - + 务山讣: n+2 .异+1 _ 1=1-匚°.°$+1= S 1, « "又 a =2, I•__寸 I •'一 一 . … /• S=n ( n+1).n+1 n n-1 '■ ■■ nd n-2 n-3•••当n 》2时，S= 当n=1时也成立， •••当 n >2 时,a n =S-S n-1=n ( n+1) -n ( n-1)=2n.当 n=1 时,a 1=2 也成立,所以 .1 _ 1 _ 1/I 1 A UnOn+i 2n2(n +1) 4\n n+1/' -的前2 018项和 a n =2 n.2=n (n+1).则数列 =-l !三「 1 1 \2 018 2 019 _ 2 019/ 4 0387.解(1)设｛a n ｝的首项为a 1,公差为d. 由 a 5=11, a 2+a 6=18, +4d = 117(2^ = 18, 得 解得 a i =3, d=2,所以 a n =2n+1. ⑵ 由 a n =2n+1 得 b n =2n+1+2n ,123 n 2 2⑴巧2n+1贝U S=[3+5+7+…+(2n+1)] +(2 +2 +2 +• +2)= n+2n +_T"^= n+2n+2-2.2n -1 n&D a n =1+2+2+…+2 =2 -1.• S.=(21-1)+(2 2-1)+…+(2 n -1) =(21+22+- +2n )-n=2n+1-n- 2,S=1 013 <1 020, S 10=2 036 >1 020, •使 S>1 020 的 n 的最小值是 10. 靭]=19. B 由 a n+1=. ： • ■：,得M .-A ：+2,•数列是以1为首项,2为公差的等差数列，,1七=2n-1,又b n =a n a n+1,1 _ 1 (2n l)(2n+l) _ 2跆出i+n-,故选B .fl*110- 对 n € N 都有 S n =1-a n ,当 n=1 时，a i =1-a i ,解得 a i =_i_a n-1 .S 1-1=_a n-1-1 (n 》2),②•••①-②得a n = 即 a n =3 a n-1, •数列｛ a n ｝是首项为2,公比为3的等比数列，•a n =2 •3n-1.(2)由(1)得 b n =2log 3•••丄+丄12. A 设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第 3组,以此类推，设第n 组n(l+n)1-2112(1-2勺的项数为n ,则前n 组的项数和为- 第n 组的和为_T=2n -1,前n 组总共的和为 ——-n=2n+1-2-n./• b n = 当 n 》2 时，a n =S-S n-1=1-a n -(1 -a n-1), 化为a n =•••数列｛a n ｝是等比数列，公比为.1 - 1一* ■前■■ =— ---------------------- a=(訴/• b n =log 2a n =-n贝 U 一 一 一 一 +…+311.解(1)当 n=1 时，ai=a 1-1, 3当 n 》2 时，■/ S=_◎二,首项为1一一=——・— =+ fl-1")1｝+…+=1-./• a i =2. 1,①-+1=2n-1, 亠=丄+丄_ - +• + (扫鼎)]=爲1 <2n-3)(2n-X)= “「「+••• +由题意，N>100,令一>100,得n》14且n€ N,即N出现在第13组之后.若要使最小整数说:碓kN满足：N>100且前N项和为2的整数幕，则S- :应与-2-n互为相反数，即2-1=2+n(k€N, n》14),所以k=log 2(n +3),解得n =29, k=5.所以N= 二+5=440,故选A.。
2019高考数学二轮复习 第二部分 专题三 数列 专题强化练九 数列的求和及综合应用 文
专题强化练九 数列的求和及综合应用一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＝a 5.令b n ＝(－1)n －1a n ，则数列{b n }的前2n 项和T 2n 为( )A ．－nB ．－2nC ．nD ．2n 解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 3＝a 5得3a 2＝a 5，即3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2， 所以a n ＝2n －1，所以b n ＝(－1)n －1(2n －1)，所以T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(4n －3)－(4n －1)＝－2n . 答案：B2．已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n＋12n 的前n 项和，若m ＞T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( )A ．1 026B ．1 025C ．10 24D ．1 023 解析：因为2n＋12n ＝1＋12n ，所以T n ＝n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n ＋1－12n ，所以T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210，又m ＞T 10＋1 013恒成立， 所以整数m 的最小值为1 024. 答案：C3．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A ．9 B ．15 C ．18 D ．30解析：因为a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，所以数列{a n }是公差为2的等差数列． 所以a n ＝－5＋2(n －1)＝2n －7. 令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥72.所以n ≤3时，|a n |＝－a n ；n ≥4时，|a n |＝a n . 则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.答案：C4．(2018·衡水中学月考)数列a n ＝1n （n ＋1），其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9 解析：由于a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1. 因此1－1n ＋1＝910，所以n ＝9. 所以直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，所以在y 轴上的截距为－9. 答案：B5．(2018·河南商丘第二次模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ≥2(n ∈N *)，且S n为{a n }的前n 项和，则( )A ．a n ≥2n ＋1B ．S n ≥n 2C ．a n ≥2n －1D ．S n ≥2n －1解析：因为a 2－a 1≥2，a 3－a 2≥2，…，a n －a n －1≥2，且a 1＝1. 各式相加，得a n －a 1≥2(n －1)，则a n ≥2n －1(n ≥2)． 则S n ＝a 1＋a 1＋…＋a n ≥1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 答案：B 二、填空题6．(2018·江西名校联考)若{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前2 018项和为________．解析：因为a n b n ＝1，且a n ＝n 2＋3n ＋2， 所以b n ＝1n 2＋3n ＋2＝1n ＋1－1n ＋2，故b 1＋b 2＋…＋b 2 018＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019－12 020＝12－12 020＝1 0092 020.答案：1 0092 0207．(2018·衡水中学质检)已知[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.在数列{a n }中，a n ＝[lg n ]，n ∈N *，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝________．解析：当1≤n ≤9时，a n ＝[lg n ]＝0， 当10≤n ≤99时，a n ＝[lg n ]＝1， 当100≤n ≤999时，a n ＝[lg n ]＝2， 当1 000≤n ≤2 018时，a n ＝[lg n ]＝3.故S 2 018＝9×0＋90×1＋900×2＋1 019×3＝4 947. 答案：4 9478．(2018·河北邯郸第一次模拟)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －a n＝2n＋1，且S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2，则2T n ＝________．解析：因为T n －S n ＝b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b n －a n ＝2＋22＋…＋2n ＋n ＝2n ＋1＋n －2.又S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2.相加，得2T n ＝2n ＋2＋n 2＋n －4＝2n ＋2＋n (n ＋1)－4.答案：2n ＋2＋n (n ＋1)－4三、解答题9．记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由S n ＝2n 2＋n ，得 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n －[2(n －1)2＋(n －1)]＝4n －1. 又a 1＝3满足上式， 所以a n ＝4n －1(n ∈N *)． (2)b n ＝1a n a n ＋1＝1（4n －1）（4n ＋3）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－14n ＋3所以T n ＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫13－17＋(17－111)＋…＋(14n －1－14n ＋3)]＝14(13－14n ＋3)＝n12n ＋9.10．(2018·日照调研)已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＝12，a 1·a 4＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(n ＋1)a n ，求{b n }的前n 项和S n .解：(1)因为数列{a n }是等比数列，且a 2·a 3＝a 1·a 4＝27，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 3＝12，a 2·a 3＝27，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 3＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，a 3＝3，(舍去) 所以q ＝3，a n ＝a 2·3n －2＝3n －1.(2)b n ＝(n ＋1)3n －1，所以S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2×30＋3×31＋4×32＋…＋(n ＋1)×3n －1，①所以3S n ＝2×31＋3×32＋4×33＋…＋(n ＋1)×3n，② 由①－②得－2S n ＝2＋31＋32＋33＋…＋3n －1－(n ＋1)×3n＝2＋3（1－3n －1）1－3－(n ＋1)×3n ＝12－12(2n ＋1)·3n.故S n ＝（2n ＋1）·3n4－14.11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式． (2) 设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得2T n ≤λ－2 018对任意n ∈N *都成立的实数λ的取值范围．解：(1)因为点(n ，S n )均在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上，所以S n ＝3n 2－2n . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5. 又a 1＝1也满足a n ＝6n －5， 所以a n ＝6n －5(n ∈N *)． (2)因为b n ＝3a n a n ＋1＝3（6n －5）[6（n ＋1）－5]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，所以T n ＝12[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12(1－16n ＋1)＝3n6n ＋1，所以2T n ＝6n 6n ＋1＝1－16n ＋1＜1.又2T n ≤λ－2 018对任意n ∈N *都成立， 所以1≤λ－2 018，即λ≥2 019. 故实数λ的取值范围是[2 019，＋∞)．。
2019届高考数学二轮复习查漏补缺练习：解答必刷卷3《数列》(含解析)
解答必刷卷(三) 数列考查范围:第28讲~第32讲题组一真题集训1.等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{a n}的通项公式;(2)记S n为{a n}的前n项和,若S m=63,求m.2.设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.3.设{a n}是等差数列,其前n项和为S n(n∈N*);{b n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为T n(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求S n和T n;(2)若S n+(T1+T2+…+T n)=a n+4b n,求正整数n的值.题组二模拟强化4.已知数列{a n}满足a1=1,a n-a n-1=2n-1(n≥2,n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列b n=log2(a n+1),求数列的前n项和S n.5.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-11.(1)求证:数列{a n}是等差数列;(2)令b n=|a n|,求数列{b n}的前10项和S10.6.在数列{a n}中,a1=1,a n+1=(1)证明:数列a2n-是等比数列;(2)若S n是数列{a n}的前n项和,求S2n.7.已知数列{a n}为等差数列,且a2+a3=8,a5=3a2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记b n=,设{b n}的前n项和为S n,求使得S n>的最小的正整数n.解答必刷卷(三)1.解:(1)设{a n}的公比为q,由题设得a n=q n-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故a n=(-2)n-1或a n=2n-1.(2)若a n=(-2)n-1,则S n=.由S m=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若a n=2n-1,则S n=2n-1.由S m=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.2.解:(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n,故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)a n-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)a n=2,所以a n=(n≥2).又由题设可得a1=2,从而{a n}的通项公式为a n=.(2)记的前n项和为S n,由(1)知==-,则S n=-+-+…+-=.3.解:(1)设等比数列{b n}的公比为q.由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因为q>0,所以可得q=2,故b n=2n-1.所以T n==2n-1.设等差数列{a n}的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故a n=n,所以S n=.(2)由(1),有T1+T2+…+T n=(21+22+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2.由S n+(T1+T2+…+T n)=a n+4b n,可得+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍)或n=4.所以,n的值为4.4.解:(1)∵a n-a n-1=2n-1(n≥2,n∈N*),∴a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+(a n-2-a n-3)+…+(a2-a1)+a1,即a n=2n-1+2n-2+2n-3+…+22+21+1,则a n==2n-1.(2)b n=log2(a n+1)=n,则==-,∴S n=-+-+-+…+-=1-=.5.解:(1)证明:∵a n=2n-11,∴a n+1-a n=2(n+1)-11-2n+11=2(n∈N*),∴数列{a n}为等差数列.(2)由(1)得b n=|a n|=|2n-11|,∴当n≤5时,b n=|2n-11|=11-2n,当n≥6时,b n=|2n-11|=2n-11.∴S10=[55-2×(1+2+3+4+5)]+[2×(6+7+8+9+10)-55]=50.6.解:(1)证明:设b n=a2n-,则b1=a2-=a1+1-=-,因为=====,所以数列a2n-是以-为首项,为公比的等比数列.(2)由(1)得b n=a2n-=-·=-·,即a2n=-·+,由a2n=a2n-1+(2n-1),得a2n-1=3a2n-3(2n-1)=-·-6n+,所以a2n-1+a2n=-·+-6n+9=-2·-6n+9,故S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)=-2×++…+-6×(1+2+…+n)+9n=-2×-6·+9n=-1-3n2+6n=-3(n-1)2+2.7.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,依题意有解得从而数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,n∈N*.(2)因为b n==-,所以S n=-+-+…+-=1-.令1->,解得n>1008.5,故使得S n>的最小正整数为1009.。
2019版高考数学(文)第5章 数列 第4讲数列求和 Word版含解析
第讲数列求和
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点数列求和的六种方法
．公式法
．分组求和法
．倒序相加法
．并项求和法
．裂项相消法
．错位相减法
[必会结论]
常见的拆项公式
()＝－；
()＝；
()＝－.
[考点自测]
．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()如果数列{}为等比数列，且公比不等于，则其前项和＝.() ()当≥时，＝.()
()求＝＋＋＋…＋时只要把上式等号两边同时乘以即可根据错
位相减法求得．()
()若数列，－，…，－－是首项为，公比为的等比数列，则数列{}的通项公式是＝.()
答案()√()√()×()√
．[·长沙模拟]已知数列{}的通项公式是＝(－)·(－)，则＋＋…＋等于() ．．．－．－
答案
解析∵＝(－)(－)，∴＋＋…＋＝－＋－＋－…－＋＝(－＋)＋(－＋)＋…＋(－＋)＝×＝.
．[·吉林模拟]数列{}，{}满足＝，＝＋＋，则{}的前项之和为()
答案
解析＝＝＝－，
＝＋＋＋…＋
＝－＋－＋－＋…＋－＝－
＝.故选.
．[课本改编]数列，，，，，，…的前项和＝.
答案－
解析＝(＋＋＋…＋－)＋＝－＋－＝－.
．[·南京模拟]已知＝，设＝，记{}的前项和为，则＝.。
2019年高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题42数列数列的求和3裂项相消法求和文含解析20190510327
专题42 数列 数列的求和3（裂项相消法求和）【考点讲解】一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法.考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述：求数列前n 项和的基本方法（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和；等差：；等比：公比是字母时需要讨论.(理)无穷递缩等比数列时，qa S -=11（2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式：；；；；（3）倒序相加法求和：如果一个数列{}na ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法.（4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =⋅，其中{}n a 、{}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.（5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．【解析】（Ⅰ）由已知得，131+=+n n n a a a ，∴3111+=+n n a a ，即3111=-+nn a a ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项11=a ,公差3=d 的等差数列.∴,故(Ⅱ) ∵.。
2019-2020年高考数学压轴题集锦——数列(二)
2019-2020年高考数学压轴题集锦——数列（二）1.数列{}n a 的前n 项和为n S ，*23()n n S a n n =-∈N ． （1）证明数列{}3n a +是等比数列，求出数列{}n a 的通项公式． （2）设21(3)3n n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． （3）数列{}n b 中是否存在三项，它们可以构成等比数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．2.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n n S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和为*2()n n S n =∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”．（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值．3.已知点(,)()n n a n ∈N *在函数()22f x x =--的图象上，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n T 是6n S 与8n 的等差中项．（1）求数列{}n b 的通项公式．（2）设83n n c b n =++，数列{}n d 满足11d c =，()n n l d c n d +∈=N *．求数列{}n d 的前n 项和n D ．（3）在（2）的条件下，设()g x 是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数1x ，2x ，恒有121221()()()g x x x g x x g x =+成立，且(2)g a =（a 为常数，0a ≠），试判断数列121n n d g d ⎧+⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭是否为等差数列，并说明理由．4.已知等比数列{}n a 的公比1q >，11a =，且1a ，3a ，214a +成等差数列，数列{}n b 满足： 1122(1)31n n n a b a b a b n +++=-⋅+，*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式．（Ⅱ）若8n n ma b -≥恒成立，求实数m 的最小值．5.已知每项均为正整数的数列1:A a ，2a ，3a ，4a ，，n a ，其中等于i 的项有k 个(1,2,3)i =，设12(1,2,3)j j b k k k j =+++=，12()(1,2,3)m g m b b b nm m =+++-=．（1）设数列:1A ，2，1，4，求(1)g ，(2)g ，(3)g ，(4)g ，(5)g ． （2）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数()g m 的最小值．6.已知数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列．（Ⅰ）证明：当01q <<时，{}n a 是递减数列．（Ⅱ）若对任意*k ∈N ，都有k a ，2k a +，1k a +成等差数列，求q 的值．7.已知数列{a n }满足a n =2a n-1-2n +5，（n ∈N 且n ≥2），a 1=1，（I ）若b n =a n -2n +1，求证数列{b n }（n ∈N *）是常数列，并求{a n }的通项；（II ）若S n 是数列{a n }的前n 项和，又c n =（-1）n S n ，且{C n }的前n 项和T n ＞tn 2在n ∈N *时恒成立，求实数t 的取值范围。
2019高考等比数列的前n项和10大题(答案及解析)
2019高考等比数列的前n 项和10大题（答案及解析）一、选择题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n )[答案] C[解析] 本题主要考查等比数列的性质及求和运算．由a 5a 2＝q 3＝142＝18知q ＝12，而新的数列{a n a n ＋1}仍为等比数列，且公比为q 2＝14，又a 1·a 2＝4×2＝8，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8[1－(14)n ]1－14＝323(1－4－n )．2．正项等比数列{a n }满足a 2a 4＝1，S 3＝13，b n ＝log 3a n ，则数列{b n }的前10项和是() A ．65 B ．－65C ．25D ．－25[答案] D[解析] ∵{a n }为正项等比数列，a 2a 4＝1，∴a 3＝1，又∵S 3＝13，∴公比 q ≠1.又∵S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝13，a 3＝a 1q 2＝1，解得q ＝13.∴a n ＝a 3q n －3＝(13)n －3＝33－n ， ∴b n ＝log 3a n ＝3－n .∴b 1＝2，b 10＝－7.∴S 10＝10(b 1＋b 10)2＝10×(－5)2＝－25. 二、填空题3．等比数列{a n }中，若前n 项的和为S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.[答案] 13(4n －1) [解析] ∵a 1＝S 1＝1，a 2＝S 2－S 1＝3－1＝2，∴公比q ＝2.又∵数列{a 2n }也是等比数列，首项为a 21＝1，公比为q 2＝4，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1(1－4n )1－4＝13(4n －1)． 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 22－S 11＝________.[答案] －65[解析] S n ＝－4－4－4＋…＋(－1)n －1(4n －3)，∴S 22＝－4×11＝－44，S 11＝－4×5＋(－1)10(4×11－3)＝21，∴S 22－S 11＝－65.三、解答题5．数列{a n }中，a 1＝13.前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．[解析] (1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得a n ＋1＝(13)n ＋1(n ∈N *) 又a 1＝13，故a n ＝(13)n (n ∈N *) 从而S n ＝13×[1－(13)n ]1－13＝12[1－(13)n ](n ∈N *) (2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t ，解得t ＝2. 6．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和． [解析] (1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q >0，故q ＝13. 由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ；(2) b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2. 故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2n n ＋1. 7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求{a n }的公比q ；(2)求a 1－a 3＝3，求S n .[解析] (1)依题意，得a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，∵a 1≠0，∴2q 2＋q ＝0.又q ≠0，∴q ＝－12. (2)由已知，得a 1－a 1⎝⎛⎭⎫－122＝3， ∴a 1＝4.∴S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝83⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n . 8．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝n a n，求数列{b ”}的前n 项和S n . [解析] (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，① ∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13.② ①－②得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n ，n ≥2. 又a 1＝13满足上式，∴a n ＝13n (n ∈N *)． (2)∵b n ＝n a n，∴b n ＝n 3n . ∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，③∴3S n ＝32＋2×33＋…＋(n －1)3n ＋n ·3n ＋1.④③－④得，－2S n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3(1－3n )1－3－n ·3n ＋1＝32(3n －1)－n ·3n ＋1 ＝3n ＋12－32－n ·3n ＋1 ∴S n ＝－3n ＋14＋34＋n ·3n ＋12， ∴S n ＝(2n －1)3n ＋14＋34，n ∈N *. 9．已知a 、b 、c 、x 、y 、z 都是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，如果1x ，1y ，1z成等差数列，求证：a ，b ，c 成等比数列．[解析] 设a x ＝b y ＝c z ＝p ，∴x ＝log a p ，y ＝log b p ，z ＝log c p ，∵1x ，1y ，1z 成等差数列．∴2y ＝1x ＋1z， 即：2log p b ＝log p a ＋log p c .∴b 2＝ac ，∵a 、b 、c 均为正数，∴a 、b 、c 成等比数列．10．{a n }是等差数列，且3a 5＝8a 12＞0.数列{b n }满足b n ＝a n ·a n ＋1·a n ＋2(n ∈N *)，{b n }的前n 项和为S n ，当n 多大时，S n 取得最大值？证明你的结论．[解析] 设{a n }的公差为d ，则由3a 5＝8a 12，得3a 5＝8(a 5＋7d )．∴a 5＝－565d ＞0，∴d ＜0.∴a 5＋11d ＝－565d ＋11d ＝－d 5＞0， a 5＋12d ＝－565d ＋12d ＝4d 5＜0，即a 16＞0，a 17＜0. 这样b 1＞b 2＞…b 14＞0,0＞b 17＞b 18＞….其中b 15＝a 15·a 16·a 17＜0，b 16＝a 16·a 17·a 18＞0.由于a 15＝a 5＋10d ＝－65d ＞0， a 18＝a 5＋13d ＝95d ＜0， ∴|a 18|＞|a 15|＝a 15.∴b 16＞|b 15|＝－b 15.∴S 16＝S 14＋b 15＋b 16＞S 14.综上所述，在数列{b n }的前n 项和中，前16项和S 16最大．。