论极限理论的微分之谜
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第１ ５卷 第 ４期
２１ ０ ２年 ７月
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ 高 ０ＬＬＥ 学 ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｅ Ｎ 等 数 ＧＥ 研 究 Ｃ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ＿ ５ ＮＯ ４ 【１ 。 ． Ｊ１ ｕ．。２ １ ０２
论 极 限 理 论 的 微 分 之 谜
（ ． 家庄 广 播 电视 大 学 科 学技 术部 ，河 北 石 家庄 ０ ０ ８ ； １石 ５ ０ １ ２ ．石 家 庄 经 济 学 院 信 息 工 程 学 院 ，河北 石 家庄 ０ ０ ３ ） ５ ０ １
摘 要 第 一代 微 积 分存 在第 二 次数 学 危 机 （ 分 之 谜 ） 第 二 代 微 积 分 没 有 解 决 第 二 次 数 学 危 机 ． 微 ，
关键 词 第 ～ 代 微 积 分 ； 二 次 数 学 危 机 （ 分之 谜 ）第 二 代 微 积 分 第 微 ；
中 图分 类 号 ０ ｌ２ ７ 文 献标 识 码 Ａ 文 章编 号 １ ０ — ３ ９ ２ １ ） ４ ０ ４ — ３ ０ ８１９ （０ ２ ０—０ ４０
ｄｙ
一
量 或微 分 ｄ ｘ一 ０ 因此 ， ． 第一 代微 积分说 不清楚 到底
是 ｄ ｘ≠ ０还是 ｄ ｘ一 ０ 即产生 了 ｄ ， ｘ≠ ０和 ｄ ｘ一 ０ 的矛盾 ． 个 矛 盾 由于 ｄ 这 ｘ叫做 微 分 而 叫做 微 分 之 谜， 由于微 分之 迷是微 积分 理论 中 的内容 ， 以这个 所 谜 也 叫做微 积分 之谜 ； 为这 个 谜 主 要是 英 国哲 学 因 家 贝克莱指 出的 ， 以这个 谜又 叫做 贝克 莱悖论 ； 所 因 为这个 谜很 难揭 开 ， 以这个 谜 还 叫做 第 二次 数 学 所 危机 ． 贝克 莱悖 论和 第 二 次数 学 危 机 把 这个 微 分 之
极 限理 论 （ 准 分 析 法 或第 二 代 微 积 分 ）存 在 标 ｉ大错 误 ： 没 有揭 开 微 积 分之 谜 ， 形 成 严 重 的 ① ②
逻 辑 困难 ， 与 物 理 实 践 不 相 符 合 ． 文 用 在 极 限 ③ 本
谜推 上 了世界数 学 大难题 的宝 座 ， 它 著名 于天 下． 使
导 数 的过程 为ｌ ： 函数 — ｚ 的 自变量 ｚ 化 无 】 令 变
穷 小 量 ｄ ≠ ０ 则 Ｙ随 之 变 化 增 量 ｄ 所 以 ｚ ， ，
ｄ 一 （ ＋ ｄ 一 ｚ。一 ｙ ｘ）
Ａｙ
一
２ ｘ＋ （ ｘＡ ＡＸ） ，
２ ｘＡｘ ＋ （ Ａｘ） 。
△． Ｊ ３
１ｙ ） Ｙ ＝＝ ＝
—
Ｆ（ ｘ ｄ 。一 ｄ ）｛ 一
（） １
（ｘ＋ Ａ ）Ｉ 一 ２ ｘ ０— ２ ｘ＋ ０＝ ２ ． ＝ ｘ ＝
（ｘ＋ ｄ ）１ 一 一 ２ ２ ｘ 。 ｄ ｘ＋ ０— ２ ． ｘ
文 ［ － 。 ：最后 我们来 看 看 自变 量 ｚ的本 身 ： ２¨ 说 “ １ 它 的增量 Ａ 就 叫做它 的微 分 ， ｘ， 即规定
Ａｙ ＝ （ ＋ Ａｘ） 。一 ｚ 一 。＋ ２ ｘＡｘ＋ （ Ａｘ） 一 ｚ 一
理 论求 导公 式 中加 入 公 式 的方 法 ， 明上 述 三 大错 证
误 的 ①． ・
牛顿 、 布尼 茨创立 的微 积分 理论 —— 无 穷小 莱 量分 析法 （ 第一 代微 积分 ）定义 并求 函数 Ｙ— ｚ 。的
收 稿 日期 ： ０ ２ ０ — ７ 修 改 日期 ： ０ ２０ ８ ２ １ － ４０ ； ２ １ ７２
ｄ 墅［ ≠）一 ｄＬ ｄ ０ ｚ （ ］ ｄ ｚ 一ｚ ０
一
ｌ ｉ ｍ［（ｘ＋ ｄ ） ｄ ２ ｘ （ ｘ≠ ０ ］一 ） ｌ （ ｘ＋ ｄ ） ｄ ｉ ２ ｍ［ ｘ （ ｘ可 等于 ０ ］一 ）
△． ２ ５
＋ ２ ｄ ＋ （ ｘ） ｘ ｘ ｄ 一
２ ｘ ＋ （ ｘ） ｘｄ ｄ 。，
—
、
把 函数 Ｇ ）一 （
Hale Waihona Puke 一２ ｚ＋ △ 在 位 一 ０时 的 极 限 ｚ
挚一
ｄｊ ｒ
ｄｓ
一２＋ｄ． ｚ ｚ
值定义 为函数 Ｙ— ｚ 的导数 ， 。 记做 或＿ 于 是 有 ｄ ｙ
柯西 等人创 立 的微 积分 理 论 — — 标 准 分 析 法
（ 限理 论或第 二 代微 积 分 ）定 义并 求 函数 Ｙ— 。 极
的导数 的过 程 为 。书 ： 函数 — ｚ “ 令 的 自变 量 ｚ 变化 任意 增量 Ａ ｘ≠ ０ 则 Ｙ随之变 化增 量 Ａ ， 以 ， ｙ所
ｄｘ — Ａｘ ， ” … ．
从 上述 式 （ ）的推 导 知 ， 一 代 微积 分 在 推 导 出 函 １ 第 数 Ｆ（ ｘ 一 ２ ＋ｄ ｄ） ｘ ｘ时 ， 穷小量或 微分 ｄ 无 ｘ≠ ０ 然 ， 而在定 义并 求 函数 Ｙ— ｚ 的导数 时 ， 。 又改成 无 穷小
所 以第 二代 微 积 分 的上 述 式 （ ）中 的 Ａ ２ ｘ可 换 成 如 ， 于是 式 （ ）就变 为 ２
，
ｄ ｙ
把 函 数 Ｆ（ ｘ 一 ２ ＋ ｄ ｄ） ｘ ｘ在 ｄ ｘ一 ０ 的 函数 值 定 义 时
一
一
［（ 。＝ 筮 ≠） ］
（） ２
为 函数 Ｙ— ｚ 的导 数 ， 记做 Ｙ 或 ｙ， １ 于是 有 ９
Ｌ，
ｌ ｉ ｍ［（ｘ＋ Ａ ） △ ２ ｘ （ ≠ ０ ］＝ ） ＝ ＝ ｌ （ ｘ＋ △ ） △ ｉ ｍ［ ２ （ 可等 于 ０ ］＝ ）
（ｘ＋ ｄ ）Ｉ ： ２ ｘ ｏ一 ２ ｘ＋ ０— ２ ． ｘ （ ａ ２）
从上 述式 （ａ 的 推导 知 ， 二代 微 积 分 在推 导 ２） 第
出 函数 Ｇ（ ）＝ ． 一 ２ ｄ ＝Ａ ＝ ｙ ＿ ＋ ｄ － 定 义 函 数 Ｙ — ｚ并
作 者 简介 ： 教 民 （ ５－） 男 ， 北 晋 州 人 ， 授 ， 事 数 学 、 理 、 师 １４ － ， 河 ９ 教 从 物
２１ ０ ２年 ７月
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ 高 ０ＬＬＥ 学 ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｅ Ｎ 等 数 ＧＥ 研 究 Ｃ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ＿ ５ ＮＯ ４ 【１ 。 ． Ｊ１ ｕ．。２ １ ０２
论 极 限 理 论 的 微 分 之 谜
（ ． 家庄 广 播 电视 大 学 科 学技 术部 ，河 北 石 家庄 ０ ０ ８ ； １石 ５ ０ １ ２ ．石 家 庄 经 济 学 院 信 息 工 程 学 院 ，河北 石 家庄 ０ ０ ３ ） ５ ０ １
摘 要 第 一代 微 积 分存 在第 二 次数 学 危 机 （ 分 之 谜 ） 第 二 代 微 积 分 没 有 解 决 第 二 次 数 学 危 机 ． 微 ，
关键 词 第 ～ 代 微 积 分 ； 二 次 数 学 危 机 （ 分之 谜 ）第 二 代 微 积 分 第 微 ；
中 图分 类 号 ０ ｌ２ ７ 文 献标 识 码 Ａ 文 章编 号 １ ０ — ３ ９ ２ １ ） ４ ０ ４ — ３ ０ ８１９ （０ ２ ０—０ ４０
ｄｙ
一
量 或微 分 ｄ ｘ一 ０ 因此 ， ． 第一 代微 积分说 不清楚 到底
是 ｄ ｘ≠ ０还是 ｄ ｘ一 ０ 即产生 了 ｄ ， ｘ≠ ０和 ｄ ｘ一 ０ 的矛盾 ． 个 矛 盾 由于 ｄ 这 ｘ叫做 微 分 而 叫做 微 分 之 谜， 由于微 分之 迷是微 积分 理论 中 的内容 ， 以这个 所 谜 也 叫做微 积分 之谜 ； 为这 个 谜 主 要是 英 国哲 学 因 家 贝克莱指 出的 ， 以这个 谜又 叫做 贝克 莱悖论 ； 所 因 为这个 谜很 难揭 开 ， 以这个 谜 还 叫做 第 二次 数 学 所 危机 ． 贝克 莱悖 论和 第 二 次数 学 危 机 把 这个 微 分 之
极 限理 论 （ 准 分 析 法 或第 二 代 微 积 分 ）存 在 标 ｉ大错 误 ： 没 有揭 开 微 积 分之 谜 ， 形 成 严 重 的 ① ②
逻 辑 困难 ， 与 物 理 实 践 不 相 符 合 ． 文 用 在 极 限 ③ 本
谜推 上 了世界数 学 大难题 的宝 座 ， 它 著名 于天 下． 使
导 数 的过程 为ｌ ： 函数 — ｚ 的 自变量 ｚ 化 无 】 令 变
穷 小 量 ｄ ≠ ０ 则 Ｙ随 之 变 化 增 量 ｄ 所 以 ｚ ， ，
ｄ 一 （ ＋ ｄ 一 ｚ。一 ｙ ｘ）
Ａｙ
一
２ ｘ＋ （ ｘＡ ＡＸ） ，
２ ｘＡｘ ＋ （ Ａｘ） 。
△． Ｊ ３
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—
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（） １
（ｘ＋ Ａ ）Ｉ 一 ２ ｘ ０— ２ ｘ＋ ０＝ ２ ． ＝ ｘ ＝
（ｘ＋ ｄ ）１ 一 一 ２ ２ ｘ 。 ｄ ｘ＋ ０— ２ ． ｘ
文 ［ － 。 ：最后 我们来 看 看 自变 量 ｚ的本 身 ： ２¨ 说 “ １ 它 的增量 Ａ 就 叫做它 的微 分 ， ｘ， 即规定
Ａｙ ＝ （ ＋ Ａｘ） 。一 ｚ 一 。＋ ２ ｘＡｘ＋ （ Ａｘ） 一 ｚ 一
理 论求 导公 式 中加 入 公 式 的方 法 ， 明上 述 三 大错 证
误 的 ①． ・
牛顿 、 布尼 茨创立 的微 积分 理论 —— 无 穷小 莱 量分 析法 （ 第一 代微 积分 ）定义 并求 函数 Ｙ— ｚ 。的
收 稿 日期 ： ０ ２ ０ — ７ 修 改 日期 ： ０ ２０ ８ ２ １ － ４０ ； ２ １ ７２
ｄ 墅［ ≠）一 ｄＬ ｄ ０ ｚ （ ］ ｄ ｚ 一ｚ ０
一
ｌ ｉ ｍ［（ｘ＋ ｄ ） ｄ ２ ｘ （ ｘ≠ ０ ］一 ） ｌ （ ｘ＋ ｄ ） ｄ ｉ ２ ｍ［ ｘ （ ｘ可 等于 ０ ］一 ）
△． ２ ５
＋ ２ ｄ ＋ （ ｘ） ｘ ｘ ｄ 一
２ ｘ ＋ （ ｘ） ｘｄ ｄ 。，
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、
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Hale Waihona Puke 一２ ｚ＋ △ 在 位 一 ０时 的 极 限 ｚ
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柯西 等人创 立 的微 积分 理 论 — — 标 准 分 析 法
（ 限理 论或第 二 代微 积 分 ）定 义并 求 函数 Ｙ— 。 极
的导数 的过 程 为 。书 ： 函数 — ｚ “ 令 的 自变 量 ｚ 变化 任意 增量 Ａ ｘ≠ ０ 则 Ｙ随之变 化增 量 Ａ ， 以 ， ｙ所
ｄｘ — Ａｘ ， ” … ．
从 上述 式 （ ）的推 导 知 ， 一 代 微积 分 在 推 导 出 函 １ 第 数 Ｆ（ ｘ 一 ２ ＋ｄ ｄ） ｘ ｘ时 ， 穷小量或 微分 ｄ 无 ｘ≠ ０ 然 ， 而在定 义并 求 函数 Ｙ— ｚ 的导数 时 ， 。 又改成 无 穷小
所 以第 二代 微 积 分 的上 述 式 （ ）中 的 Ａ ２ ｘ可 换 成 如 ， 于是 式 （ ）就变 为 ２
，
ｄ ｙ
把 函 数 Ｆ（ ｘ 一 ２ ＋ ｄ ｄ） ｘ ｘ在 ｄ ｘ一 ０ 的 函数 值 定 义 时
一
一
［（ 。＝ 筮 ≠） ］
（） ２
为 函数 Ｙ— ｚ 的导 数 ， 记做 Ｙ 或 ｙ， １ 于是 有 ９
Ｌ，
ｌ ｉ ｍ［（ｘ＋ Ａ ） △ ２ ｘ （ ≠ ０ ］＝ ） ＝ ＝ ｌ （ ｘ＋ △ ） △ ｉ ｍ［ ２ （ 可等 于 ０ ］＝ ）
（ｘ＋ ｄ ）Ｉ ： ２ ｘ ｏ一 ２ ｘ＋ ０— ２ ． ｘ （ ａ ２）
从上 述式 （ａ 的 推导 知 ， 二代 微 积 分 在推 导 ２） 第
出 函数 Ｇ（ ）＝ ． 一 ２ ｄ ＝Ａ ＝ ｙ ＿ ＋ ｄ － 定 义 函 数 Ｙ — ｚ并
作 者 简介 ： 教 民 （ ５－） 男 ， 北 晋 州 人 ， 授 ， 事 数 学 、 理 、 师 １４ － ， 河 ９ 教 从 物