2013北京各区县文科数学理科数学二模汇编：创新

2013北京模拟：创新
说明：所有题目的答案详解参考本人另外的文档《2013北京市各区县高三二模好题精选》
【高三二模题组】
1、（2013海淀二模，文理20）设A 是由m n ⨯个正数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为非负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，成为一次“操作”
（I ）数表A 如表1所示，若经过两次“操作”使得到的数表每行的各数之和和每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得到的数表（写出一种方法即可）；
（II ）数表A 如表2所示，若经过任意一次“操作”之后，便可使得到的数表每行的各数之和和每列的各数之和均为非负整数，求整数a 的值；
（III ）对由m n ⨯个正数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”后使得到的数表每行的各数之和和每列的各数之和均为非负整数？说明理由。

表1 表2
2、（2013房山二模，文8）定义运算a c x ax cy b d y bx dy +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦称x a c x y b d y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦
为将点(,)x y 映到点(,)x y ''的一次变换，若21x x y p q y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦
把直线y x =上的各点点映到这点本身，而把直线3y x =上的各点映到这点关于原点对称的点，则p ，q 的值分别是（ ）
A 、3,3p q ==
B 、3,2p q ==-
C 、3,1p q ==
D 、1,1p q ==
14、（2013房山二模，理8）定义运算a c x ax cy b d y bx dy +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦称x a c x y b d y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦
为将点(,)x y 映到点(,)x y ''的一次变换，若21x x y p q y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦
把直线y kx =上的各点点映到这点本身，而把直线y mx =上的各点映到这点关于原点对称的点，则k ，m ，p ，q 的值分别是（ ）
A 、1,2,3,3k m p q ==-==
B 、1,2,3,2k m p q ==-==-
C 、2,3,3,1k m p q =-===
D 、2,1,3,3k m p q =-===
22
221212a a a a a a a a ------
4、（2013房山二模，理20）设3m >，对于项数为m 的有穷数列{}n a ，令k b 为12,,()k a a a k m ≤ 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”。

考察自然数1,2,,(3)m m > 的所有排列，将每种排都视为一个有穷数列{}n c
（I ）若5m =，写出创新数列为3,5,5,5,5的所有数列{}n c ；
（II ）是否存在数列{}n c 的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；
（III ）是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{}n c 的个数；若不存在，请说明理由。

5、（2013西城二模，文理20）已知集合1212{(,,)|,,n n n S x x x x x x = 是正整数1,2,3,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,()1,0x g x x >⎧=⎨-<⎩，对12(,,)n n a a a S ∈ ，定义121()+()++()i i i i i b g a a g a a g a a -=--- ，{2,3,}i n ∈ ，10b =，称i b 为i a 的满意指数。

排列12,,n b b b 为排列12,,n a a a 的生成列，排列12,,n a a a 为排列12,,n b b b 的母列
（文I ）当6n =时，求排列3,5,1,4,6,2的生成列；
（理I ）当6n =时，求排列3,5,1,4,6,2的生成列，以及排列0,1,2,3,4,3--的母列；
（文理II ）证明：若12,,n a a a 和12,,n a a a ''' 为n S 中的两个不同排列，则它们的生成列也不同； （文III ）对于n S 中的排列12,,n a a a ，进行如下操作：将排列12,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其他各项顺序不变，得到一个新的排列。

证明：新的排列各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2；
（理III ）对于n S 中的排列12,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其他各项顺序不变，得到一个新的排列。

证明：一定可以经过有限次变换将排列12,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列。

6、（2013西城二模，文8）已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A 具有性质P ：当a A ∈时，必有6a A -∈，则具有性质P 的集合A 的各数是（ ）
A 、8
B 、7
C 、6
D 、5
7、（2013朝阳二模，文理14）数列{21}n -的前n 项1,3,7,21n - 组成集合{1,3,7,21}n n A =- (*)n N ∈，从n A 中任取(1,2,3,)k k n = 个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为该数本身），记12n n S T T T =+++ 。

例如当1n =时，1{
1}A =，11T =，11S =；当2n =时，2{1,3}A =，1134T =+=，2133T =⨯=，2127S T T =+=；则当3n =时，3S = ；试写出n S = 。

8、（2013朝阳二模，文理20）已知实数12,,(*,2)n x x x n N n ∈≥ 满足1(1,2,)i x i n ≤= ，记121(,,)n i j i j n S x x x x x ≤<≤=
∑ （注：
1i j i j n x x ≤<≤∑表示12,,n x x x 中任意两个不同数的乘积之和） （文理I ）求2
(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值；
（文理II ）当3n =时，求123(,,)S x x x 的最小值；
（文III ）当n 为奇数时，求12(,,)n S x x x 的最小值；
（理III ）求12(,,)n S x x x 的最小值。

答案：
1、（I ）方法不唯一；（II ）1a =；（III ）可以
2、B
3、B
4、（I ）有6个；（II ）,,m m m ；（III ）(1)!1m -+
5、略；
6、B
7、63；(1)122
n n +- 9、（文理I ）1-；2-；（文理II ）1-；（文III ）1(1)2n -
-；（理III ）当n 为偶数时，min 2n S =-；当n 为奇数时，min 1(1)2
S n =-
-。