李亚普诺夫稳定性分析和二次型最佳控制
控制系统的李雅普诺夫稳定性分析教材
（Bounded Input Bounded Output）稳定性。
26
4)、不同的稳定性概念 2）内部稳定性（或称状态稳定性）：
系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收 敛性，而与输入作用无关。 系统的稳定性都是相对具体的某个平衡状态而言的。 李雅普诺夫稳定性问题就是研究系统在其平衡状态 附近自由运动的行为特征，指的正是内部稳定性。
Modern Control Theory
预备知识--控制系统的李雅普诺夫(Lyapunov) 稳定性分析
主要内容
李雅普诺夫意义下的稳定性 平衡状态 稳定、渐近稳定、大范围稳定、不稳定的定义 李雅普诺夫稳定性理论 李雅普诺夫第一法 线性系统的稳定判据 非线性系统的稳定判据 李雅普诺夫第二法 预备知识 几个稳定判据 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用
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例1、试分析如下所示系统的渐近稳定和BIBO稳定。
y 0 1 x
解: 1、 | I A | ( 1) 6 0.
1 G ( s ) c ( sI A) b 2、 s3
1
1 2
2 3 故系统不是渐近稳定的。
闭环极点 s=-3 ，位于s 平面左半部分，所以系统为 输入输出稳定。 结论： BIBO稳定 渐近稳定。
3） 与t0无关 一致渐近稳定
19
S(ε) S(δ)
x0
. .x
状态轨迹具 有：有界性 和渐近性
e
渐近稳定性的几何表示
x2
S ε
(b)
x2 x1
平衡状态
说明：
渐近稳定性表明系统 能完全消除扰动的影 响； 但，只是一个局部概 念，依赖系统的平衡 状态。
第5章李雅普诺夫稳定性分析
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
控制系统的李雅普诺夫稳定性分析
8.3控制系统的李雅普诺夫稳定性分析稳定性描述系统受到外界干扰，平衡工作状态被破坏后，系统偏差调节过程的收敛性。
它是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
经典控制理论用代数判据、奈氏判据、对数频率判据、特征根判据来判断线性定常系统的稳定性，用相平面法来判断二阶非线性系统的稳定性，这些稳定性判据无法满足以多变量、非线性、时变为特征的现代控制系统对稳定性分析的要求。
1892年，俄国学者李雅普诺夫建立了基于状态空间描述的稳定性理论，提出了依赖于线性系统微分方程的解来判断稳定性的第一方法（称为间接法）和利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数借以判断稳定性的第二方法（称为直接法）。
李雅普诺夫提出的这一理论是确定系统稳定性的更一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统，它有效地解决过一些用其他方法未能解决的非线性微分方程的稳定性问题，在现代控制系统的分析与设计中，得到了广泛的应用与发展。
8.3.1 李雅普诺夫稳定性概念忽略输入后，非线性时变系统的状态方程为（8-70） (,)t =&xf x 式中 x —n 维状态向量；T —时间变量；(,)t f x —n 维函数，其展开式为12(,,,,)i i n xf x x x t =&L （n i ,,1L =） 假定方程的解为 ，x 0和t 0 分别为初始状态向量和初始时刻，。
00(;,)t t x x 0000(;,)t t =x x x 1.平衡状态 如果对于所有t ，满足(,)e e t =&xf x =0 （8-71） 的状态x e 称为平衡状态（又称为平衡点）。
平衡状态的各分量不再随时间变化。
若已知状态方程，令 所求得的解x ，便是平衡状态。
0=&x对于线性定常系统，其平衡状态满足=&xAx 0e =Ax ，如果矩阵A 非奇异，系统只有唯一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
现代控制理论 6-3 李雅普诺夫第二法(直接法)
1 2 1 2 kx1 + mx2 2 2
⎡x ⎤ x= ⎢ 1⎥ ≠0 ⎣ x2 ⎦ ⎡x ⎤ x= ⎢ 1⎥ =0 ⎣ x2 ⎦
V (x ) > 0 V (x ) = 0
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3
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& ⎡ x1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎧ x1 = x2 ⎪ x=⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎨ k μ & & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦ ⎪ x2 = − x1 − x2 m m ⎩
在零平衡状态 xe=0 的邻域内
5,
x ≠ 0,
V (x ) > 0 V (x ) = 0 V (x ) < 0
⇒ V (x ) 不定
前页
10
5
例：已知 x = [x1 x2 x3 ]，确定标量函数的定号性
T
2 2 (1) V (x ) = x14 + 2 x2 + x3
解： x = 0, V (x ) = 0
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2 返回
1
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& m&& = −kx − μx x
1 选取 x = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦
返回
⎡x ⎤
⎡ x⎤
k
& ⎧ x1 = x2 ⎪ 状态方程 ⎨ k μ & ⎪ x2 = − m x1 − m x2 ⎩
系统能量
V (x ) =
⇔ λp < 0 ⇔ λp ≤ 0
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例：确定下列二次型的定号性。
2 2 V (x ) = x12 + 2 x2 − x3
第五章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析汇总
Re(i ) 0, (i 1, 2,..., n) lim x(t ) 0, 系统渐近稳定。
t
如果只有一个（或一对）特征值的实部等于0，其余特征值实 部均小于0，则系统仅仅可能是李亚普诺夫意义下的稳定性。
线性定常系统的特征值判据： 系统 x Ax 渐近稳定的充要条件是A的特征值均具有负实 部，即：Re( i ) 0 (i 1,2,, n) 证明：假定A有相异特征值 1 ,..., n 根据凯莱哈密顿定理：矩阵指数eAt为 e1t ,..., ent的线性组合
e At R1e1t ... Rn ent
x xe ( x1 xe1 ) 2 ... ( xn xen ) 2
2
2
2
由范数的定义可知，向量 ( x xe ) 的范数可写成
通常又将 x xe 称为 围之内时，则记为
x 与 xe 的距离。当向量 ( x xe ) 的范数限定在某一范
x xe
0
xe
与经典控制理论的区别： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 平衡点/BIBO； 状态稳定/输出稳定； 经典控制的稳定大致对应于现代控制的渐进稳定； 即便输出稳定，状态可能不稳定； 李雅普诺夫意义下的稳定在经典中是不稳定的； 经典控制不需要一致性、全局性概念。
5.2 李雅普诺夫稳定性理论 一、李雅普诺夫第一方法 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用状态方程解的性质来 判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系 统以及线性时变系统和非线性系统可以线性化的情况。
意义：当系统运动到xe点时，系统状态各分量将维持平衡， 不再随时间变化。 平衡点：由系统状态在状态空间中所确定的点 求法：1、线性定常系统
基于正定二次型的李雅普诺夫稳定性分析
基于正定二次型的李雅普诺夫稳定性分析摘要：李雅普诺夫稳定性理论以状态向量描述为基础，不仅适用于单变量、线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、时变系统。
但要应用李氏判据判断系统稳定性，就要涉及到系统矩阵A特征值的求解以及根据系统状态方程构造正定二次型的李雅普诺夫函数来判断系统稳定性。
1.问题的提出我们在处理实际工程问题时，经常需要判断系统稳定性，一般稳定性判据都有一定局限性，李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、时变系统，它以状态向量描述为基础，结合正定二次型的相关知识对系统稳定性进行判断。
2.问题的求解李雅普诺夫稳定性理论分析系统稳定性的两种方法：（1）利用线性系统微分方程的解来判断系统的稳定性——李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法的主要内容1）用一次近似式表示状态方程，即：X=AX+B(x)如果A的全部特征值都具有负实部，则系统在平衡点xe=0处是稳定的，且系统的稳定性与高阶项B(x)无关。
2）如果X=AX+B(x)的A的特征值中至少有一个具有正实部，则无论B(x)如何，系统在平衡点xe=0处为不稳定的。
3）如果X=AX+B(x)的A的含有等于零的特征值，则系统的稳定性由B(x)决定。
李雅普诺夫第一法是根据系统矩阵A的特征值来判断系统的稳定性的。
（2）构造李雅普诺夫函数，利用构造的李氏函数判断系统稳定性——李雅普诺夫第二法（直接法）观察振动现象，若系统能量(含动能和位能)随时间推移而衰减，则系统迟早会达到平衡状态。
基本思想：若系统内部能量随时间↑而↓,最终到达静止状态，系统稳定。
虚构一个能量函数（李雅普诺夫函数)V(x，t)=f（x1，x2，……x n，t）V(x)=f（x1，x2，……x n）V(x,t)或V(x)是一个标量函数。
能量总大于零，故为正定函数。
能量随随时间增加而衰减，即：V(x，t)或V(x)的导数小于零。
第五章李雅普诺夫稳定性分析讲诉
第六章 李雅普诺夫稳定性分析在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。
因为它关系到系统是否能正常工作。
经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。
分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。
1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。
§6-1 外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。
一、外部稳定性1、定义（外部稳定性）：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。
(外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明：（1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的[]∞∈0t ，恒有∞<≤k t h )(成立。
（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。
2、系统外部稳定性判据线性定常连续系统∑),,(C B A 的传递函数矩阵为Cxy Bu Ax x=+=BUA sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+=B A sIC s G 1)()(--=当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。
【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121160 ， []x y 10= 试分析系统的外部稳定性。
李雅普诺夫稳定性理论
定义三 对所有的状态(状态空间的所有点)，如 果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则 称平衡状态xe为大范围渐近稳定。
定义四 :如果从球域 S( )出发的轨迹，无论球
域选得多么小，只要其中有一条轨迹脱离球域， 则称平衡状态xe为不稳定。
❖线性系统：如果它是渐近稳定的，必是有大 范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的 大小无关)。
❖非线性系统：稳定性与初始条件大小密切 相关,系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。
三. 李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
xAx x(0)x0 t 0
李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i1,2,n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。
2) 选取不当，会导V致( x , t ) 不定的结果。
2) 这仅仅是充分条件。
3)
例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
x 1 x 2 x 2 x 1 x 2
解: x 1x 2 0 x1x2 0 即 xe 0
.
设 V(x)x12x2 2 则 V(x) 2x22
.
可见V
( x )与 x1 .
结论：
1) 若 Re(i) 0 i1,2,,n ，则非线
性系统在 x e 处是渐近稳定的，与 g ( x)
2) 无关。
2) 若 Re(i) 0 Re(j ) 0 ij1,,n
3) 则不稳定。
3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g (x)有关，
4)
g(x)50) 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
4.4 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
1．线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
李亚普诺夫稳定性分析和二次型最佳控制
5.6.3 二次型最优控制问题现在我们来研究最优控制问题。
已知系统方程为Bu Ax x+= (5.20) 确定最优控制向量)()(t Kx t u -=(5.21) 的矩阵K ，使得性能指标(5.22)达到极小。
式中Q 是正定（或正半定）Hermite 或实对称矩阵，R 是正定Hermite 或实或实对称矩阵。
注意，式(5.22）右边的第二项是考虑到控制信号的能量损耗而引进的。
矩阵Q 和R 确定了误差和能量损耗的相对重要性。
在此，假设控制向量)(t u 是不受约束的。
正如下面讲到的，由式(5.21）给出的线性控制律是最优控制律。
所以，若能确定矩阵K 中的未知元素，使得性能指标达极小，则)()(t Kx t u -=对任意初始状态x (0)而言均是最优的。
图5.6所示为该最优控制系统的结构方块图。
图5.6 最优控制系统现求解最优控制问题。
将式(5.21）代入式(5.20），可得()xAx BKx A BK x =-=- 在以下推导过程中，假设BK A -是稳定矩阵，BK A -的所有特征值均具有负实部。
将式(5.21）代入（5.22），可得⎰⎰∞∞+=+=0)()(xdtRK K Q x dtRKx K x Qx x J H H H H H依照解参数最优化问题时的讨论，取⎰∞+=0)(dtRu u Qx x J HH)()(Px x dtd x RK K Q x HH H -=+ 式中的P 是正定的Hermite 或实对称矩阵。
于是])()[()(x BK A P P BK A x x P x Px xx RK K Q x H H H H H H -+--=--=+ 比较上式两端，并注意到方程对任意x 均应成立，这就要求)()()(RK K Q BK A P P BK A H H +-=-+-(5.23)根据Lyapunov 第二法可知，如果BK A -是稳定矩阵，则必存在一个满足式(5.23）的正定矩阵P 。
稳定性与李雅普诺夫
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
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5.6.3 二次型最优控制问题现在我们来研究最优控制问题。
已知系统方程为x Ax Bu (5.20) 确定最优控制向量u(t) Kx(t) (5.21) 的矩阵K，使得性能指标HHJ 0 (x H Qx u H Ru)dt (5.22)达到极小。
式中Q是正定(或正半定) Hermite 或实对称矩阵，R 是正定Hermite 或实或实对称矩阵。
注意，式(5.22 )右边的第二项是考虑到控制信号的能量损耗而引进的。
矩阵Q和R确定了误差和能量损耗的相对重要性。
在此，假设控制向量u(t) 是不受约束的。
正如下面讲到的，由式(5.21 )给出的线性控制律是最优控制律。
所以，若能确定矩阵K中的未知元素，使得性能指标达极小，则u(t) Kx(t) 对任意初始状态x(0) 而言均是最优的。
图5.6 所示为该最优控制系统的结构方块图。
图5.6 最优控制系统现求解最优控制问题。
将式(5.21 )代入式(5.20 )，可得x Ax BKx (A BK)x 在以下推导过程中，假设 A BK 是稳定矩阵， A BK 的所有特征值均具有负实部。
将式(5.21 )代入( 5.22 )，可得J (x H Qx x H K H RKx)dtx H (Q K H RK)xdt依照解参数最优化问题时的讨论，取x H(Q K H RK)x d(x H Px)dt式中的P是正定的Hermite 或实对称矩阵。
于是x H(Q K H RK)x x H Px x H Px x H[(A BK)H P P(A BK)x]比较上式两端，并注意到方程对任意x 均应成立，这就要求(A BK)H P P(A BK) (Q K H RK) (5.23)根据Lyapunov 第二法可知，如果A BK 是稳定矩阵，则必存在一个满足式(5.23 )的正定矩阵P。
因此，该方法由式(5.23 )确定P 的各元素，并检验其是否为正定的(注意，这里可能不止一个矩阵P满足该方程。
如果系统是稳定的，则总存在一个正定的矩阵P 满足该方程。
这就意味着，如果我们解此方程并能找到一个正定矩阵P，该系统就是稳定的。
满足该方程的其他矩阵P不是正定的，必须丢弃)。
性能指标可计算为J x H(Q K H RK)xdt x H Px x H( )Px( ) x H(0)Px(0)由于假设A-BK的所有特征值均具有负实部，所以x( ) 0 。
因此J x H (0)Px(0) (5.24) 于是，性能指标J可根据初始条件x(0) 和P求得。
为求二次型最优控制问题的解，可按下列步骤操作：由于所设的 A 是正定Hermite 或实对称矩阵，可将其写为R T H T 式中T 是非奇异矩阵。
于是，式(5.23 )可写为(A H K H B H)P P(A BK) Q K H T H TK 0 上式也可写为A H P PA [TK (T H) 1B H P]H [TK (T H ) 1B H P] PBR 1B H P Q 0求J 对K的极小值，即求下式对K 的极小值x H[TK (T H) 1B H P]H [TK (T H) 1B H P]x( 见例5.21) 。
由于上面的表达式不为负值，所以只有当其为零，即当TK (T H) 1B H P时，才存在极小值。
因此K T 1(T H) 1B H P R 1B H P (5.25)式(5.25 )给出了最优矩阵K。
所以，当二次型最优控制问题的性能指标由式(5.22 ) 定义时，其最优控制律是线性的，并由u(t) Kx(t) R 1B H Px(t)0 0给出。
式(5.25 )中的矩阵 P 必须满足式(5.23 )，即满足下列退化方程A H P PA PBR 1B H P Q 0 (5.26) 式 (5.26 )称为退化矩阵黎卡提方程，其设计步骤如下：1 、求解退化矩阵黎卡提式 (5.26 )，以求出矩阵 P 。
如果存在正定矩阵 P (某 些系统可能没有正定矩阵 P )，那么系统是稳定的，即矩阵 A BK 是稳定矩阵。
2 、将矩阵 P 代入式(5.25 )，求得的矩阵 K 就是最优矩阵。
例 5.9 是建立在这种方法基础上的设计例子。
注意。
如果矩阵 A BK 是稳 定的，则此方法总能给出正确的结果。
确定最优反馈增益矩阵 K 还有另一种方法，其设计步骤如下：1 、由作为 K 的函数的式 (5.23 )中确定矩阵 P 。
2 、将矩阵 P 代入式(5.24 ),于是性能指标成为 K 的一个函数。
3 、确定 K 的各元素，使得性能指标为极小。
这可通过令J/ k ij 等于零，并解出 k ij 的最优值来实现 J 对 K 各元素 k ij 为极小。
这种设计方法的详细说明见例 5.11 和 5.12 。
当元素 k ij 的数目较多时， 该方 法很不便。
如果性能指标由输出向量的形式给出，而不是由状态向量的形式给出，即 HHJ 0 (y H Q y u H Ru)dt 则可用输出方程y Cx 来修正性能指标，使得 J 为H H HJ 0 (x H C HQCx u H Ru)dt(5.29)且仍可用本节介绍的设计步骤来求最优矩阵 K 。
[ 例 5.9] 研究如图 5.7 所示的系统。
假设控制信号为u(t) Kx(t) 试确定最优反馈增益矩阵 K ，使得下列性能指标达到极小T2J(x TQx u 2 )dt式中Q01由图 5.7 可看出，被控对象的状态方程为x Ax Bu式中以下说明退化矩阵黎卡提代数方程如何应用于最优控制系统的设计。
求解(5.26 )，将其重写为A H P PA PBR 1B H P Q 0注意到 A 为实矩阵， Q 为实对称矩阵， P 为实对称矩阵。
因此，上式可写为0 p 11 p 12 p 11 p 12 0 1 10 p 12p 22 p 12p 22 0 0该方程可简化为由上式可得到下面 3 个方程1 p 12 0 p 11 p 12 p 22 02p 12 p 222 0将这 3个方程联立，解出 p 11、 p 12、 p 22 ，且要求 P 为正定的，可得参照式(5.25 ),最优反馈增益矩阵 K 为K P 1B H P1 0 1 p 11 p 12 p 12 p22[ p 12 p 22]1 p 11p 12p 12 1 0 0 0 p 22 0 0 0pp00p 11 p 12p 12 p 12 p 22p 12 p 22 1 0 0 0 p 222 0 0 0A 00 10 , B 01图 5.7 控制系统p p 1222 01 1 0[1 2] 因此，最优控制信号为u Kx x12x2(5.28) 注意，由式(5.28 )给出的控制律对任意初始状态在给定的性能指标下都能得出最优结果。
图5.8 是该系统的方块图。
5.7 二次型最优控制问题的MATLAB解法在MATLAB中，命令lqr (A,B,Q,R) 可解连续时间的线性二次型调节器问题，并可解与其有关的黎卡提方程。
该命令可计算最优反馈增益矩阵K，并且产生使性能指标。
J 0 (xQx u Ru)dt在约束方程x Ax Bu 条件下达到极小的反馈控制律u Kx另一个命令K,P,E lqr(A,B,Q,R) 也可计算相关的矩阵黎卡提方程0 PA A H P PBRB H P Q的唯一正定解P。
如果A BK 为稳定矩阵，则总存在这样的正定矩阵。
利用这个命令能求闭环极点或A BK 的特征值。
对于某些系统，无论选择什么样的K，都不能使 A BK 为稳定矩阵。
在此情况下。
这个矩阵黎卡提方程不存在正定矩阵。
对此情况，命令K lqr (A,B,Q,R)K,P,E lqr(A,B,Q,R)不能求解，详见MATLAB Prgram 5.1。
MATLAB Program 5.1%——Design of quadratic optimal regulator system ——%*****Determination of feedback gain matrix K for quadratic %optimal control*****%*****Enter state matrix A and control matrix B*****A=[-1 1;0 2]B=[1;0];%*****Enter matrices Q and R of the quadratic performance%index*****Q=[1 0;0 1];R=[1];%*****To obtain optimal feedback gain matrix,K,enter the%following command*****K=lqr(A,B,Q,R)Warning:Matrix is singular to working precision.K=NaN NaN%***** lf we enter the command [K,P,E]=lqr(A,B,Q,R).then*****[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)Warning;Matrix is singular to working precision.K=NaN NaNP=-lnf -lnf-lnf -lnfE=-2.0000-1.4142[ 例5.10] 考虑由下式确定的系统x x1121xx110ux2 0 2 x2 0证明：无论选择什么样矩阵K，该系统都不可能通过状态反馈控制来稳定（注意，该系统是状态不可控的）定义则A BK 011 k10 1210k1 2 0 1 1 k22因此特征方程为s 1 k 1 1 k 2sI A BK 1 20 s 2(s 1 k 1)(s 2) 0闭环极点为s 1 k 1, s 2由于极点 s 2在 s 的右半平面，所以无论选择什么样的矩阵 K ，该系统都是 不稳定的。
因此，二次型最优控制方法不能用于该系统假设在二次型性能指标中的 Q 和 R 为并且写出 MATLAB Progam 5.1。
所得的 MATLAB 解为K NaN NaN其中 NaN 表示“不是一个数”。
每当二次型最优控制问题问题的解不存在时，MATLAB 将显示矩阵 K 由 NaN 组成。
[ 例 5.11] 考虑下式定义的系统x Ax Bu最优反馈增益矩阵 K 可通过求解下列关于正定矩阵 P 的黎卡提方程得到 A'P PAPBR 1B'P Q 0 其结果为21 P 11将该矩阵 P 代人下列方程，即可求得最可求得最优矩阵 K 为Q 10 01,01 R [1]式中性能指标 J 为这里假设采用下列控制 u确定最优反馈增益矩阵 K 。
J (x'Qx u' Ru) kt 01 QR [1]u KxB 01K R 1B'P21[1] [0 1] 1 1[1 1] 因此，最优控制信号为u Kx x1x2利用MATLAB Program 5.2 也能求解该问题。