初中数学二次函数的图象变换：平移、对称与旋转

平移、对称、旋转

①二次函数图象平移规律：沿Y轴平移，简称“上加下减”；沿X 轴平移，简称“左加右减”

②二次函数对称的坐标规律：

（1）关于X轴对称的点，横坐标相同，

纵坐标互为相反数

（2）关于Y轴对称的点，纵坐标相同，

横坐标互为相反数

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐

标都互为相反数

③二次函数图象的旋转规律：

（1）绕原点旋转180°，顶点纵横坐标与

a全部符号变相反

（2）绕顶点旋转180°，顶点坐标符号不

变，a符号变相反

初中数学专题-二次函数图象与性质

初中数学专题-二次函数图象与性质知识点一、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadratic funcion) .其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项. 知识点二、二次函数的图象及画法二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同. 1. 用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点. 2. 用平移法画图象由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a 值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k). 知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 1.函数y=ax2(a≠0)的图象与性质：函数a的符号图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最大(小) 值 y=ax2a>0 向上 (0，0) y轴x>0时，y随x增大而增大 x<0时，y随x增大而减小当x=0时， y最小=0 y=ax2a<0 向下 (0，0) y轴x>0时，y随x增大而减小 x<0时，y随x增大而增大当x=0时， y最大=0 2.函数y=ax2+c(a≠0)的图象及其性质: (1)当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最小=c (2)当a<0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最大=c 3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质：

第三次课二次函数的平移翻折与旋转问题abc符号问题

二次函数的平移、翻折与旋转以及a、b、c符号问题 1、抛物线的一般式与顶点式的互化关系：y＝ax2＋bx＋c————→y＝a(x＋b 2a)2＋ 4ac－b2 4a 2、强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。 3、抛物线的平移抓住关键点顶点的移动；例题： 1、（2015?龙岩）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案．解答：解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，化为一般式，得 y=﹣2x2﹣4x﹣3，故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质． 2、（2015?湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和．

考点：二次函数图象与几何变换．专题：新定义．分析：连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式．解答：解：连接AB，根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM， ∵OA=MA， ∴△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），则，解得：则抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x，抛物线C2的解析式为y=x2+2x，故答案为：y=﹣x2+2x，y=x2+2x． w W w .x K b 1.c o M 点评：此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．

二次函数图象的平移和对称变换

二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题有关图象的变换一般可采用两种基本的方法，其一是利用特殊点进行变换，其二是利用坐标变换的规律进行变换。所谓利用特殊点进行变换，即选取原图象上一些特殊的点，把这些点按指定的要求进行变换，再把变换后的点代入到新的解析式中，从而求出变换后的解析式，利用特殊点进行变换，又可以从一般形式入手，选取图象上的三个特殊的点进行变换，也可以把一般形式化为顶点式，选取顶点作为特殊点，然后进行变换。利用坐标变换的方法，根据题目的要求，利用坐标变换的规律，从而进行变换。下面由具体的例子进行说明。一、平移。例1、把抛物线y=x2-4x+6向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，求其图象的解析式。法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0，6），（1，3），（2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到三个新点（-3，2），（-2，-1），（-1，-2），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax2+bx+c中，求出各项系数即可。例2、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其向上平移4个单位，再向右平移3个单位，求其解析式。法（二）先利用配方法把二次函数化成2 =-+的形式，确定其顶点（2，-3），然 () y a x h k 后把顶点（2，-3）向上平移4个单位，再向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点为（5，1），因为是抛物线的平移，因此平移前后a的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中a=2，且顶点为（5，1），就可以求出其解析式了。

【平移规律：在原有函数的基础上“左加右减、上加下减”】. 法（三）根据平移规律进行平移，不论哪种抛物线的形式，平移规律为“左右平移即把解析式中自变量x改为x加上或减去一个常数，左加右减，上下平移即把整个解析式加上或减去一个常数，上加下减。” 例3、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其向上平移4个单位，再向右平移3个单位，求其解析式。平移后的图象的解析式为：y=2(x-3)2-8（x-3）+5+4.然后化简即可。针对练习 1、求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位。 2、抛物线2 y x =怎样平移得到的？ 2 2(1)3 y x =-+是由抛物线2 3、若抛物线2 y x =-向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得到的解析式。二、二次函数图象的轴对称变换二次函数图象的对称一般有关于x对称和关于y对称等情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于x轴对称例4、把抛物线y=x2-4x+6关于x轴对称后，求其图象的解析式。法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0，6），（1，3），（2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求关于x轴对称后得到三个新点（0，-6），（1，-3），（2，-2），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax2+bx+c 中，求出各项系数即可。例5、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其关于x轴对称后的解析式。法（二）

初中数学二次函数图像的平移

二次函数图象的平移【知识要点】 1．二次函数()02≠+=a c ax y 的图象画法．方法一，用“列表、描点、连线”方法来画；方法二，将二次函数()20y ax a =≠的图象向上平移c 个单位. 2．二次函数()02≠+=a c ax y 的性质二次函数 02 3．利用二次函数()02 ≠+=a c ax y 的性质解有关简单的实际问题. （1）根据题意建立二次函数关系式，并注意其定义域；（2）应用二次函数()02 ≠+=a c ax y 的性质解决相关的实际问题. 4．y=ax 2 +bx+c 配成顶点式的一般步骤：【经典例题】例1 （1）在同一直角坐标系中，分别画出下列函数的图象．221x y -=，2212+-=x y ，12 1 2--=x y .

（2）在同一坐标系中画出函数y=x 2，y=(x+1)2，y=(x －2)2 的图像，并说出它们的位置关系。例2 如图，一次函数b ax y +=2与二次函数b ax y -=2在同一坐标系中的图象是（）. 例3 （1）抛物线y=23 12 +x 的顶点坐标是，对称轴是。（2）y=2x 2 +5的顶点坐标是，对称轴是，开口方向，当x= 时，y 有最值为，这是由y=2x 2 得到的。（3）y=－8x 2 沿y 轴向上平移4个单位得y= ，其对称轴为，顶点坐标为。（4）已知函数y=ax 2 与函数y=－2 3 2x +c 的图象形状相同，且将抛物线y=ax 2沿对称轴平移2个单位就得到与抛物线y=－ 2 3 2x +c 完全重合，则a= ，c= （5）一条抛物线其形状与抛物线y=2x 2 相同，对称轴与抛物线y=(x －2)2 相同，且顶点的纵坐标是3，则这条抛物线的函数解析式是。（6）将抛物线y=7(x －2)2 向左平移2个单位所得的抛物线的函数关系式是：。（7）函数y=(3－2x)2 －2有最值，当x= 时，这个值等于。例5 直接说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。（1）y=2(x+3)2 +5 （2）y=－3(x －1)2 －2 （3）y=4(x －3)2 +7 （4）y=－5(x+2)2 －6 O A O B O C O D

二次函数图像的变换

二次函数是初中数学中最精彩的内容之一，也是历年中考的热点和难点。其中，关于函数解析式的确定是非常重要的题型。而今年的中考正是面临新课程改革，教材的内容和学习要求变化较大，其中一个突出的变化就是强化了对图形变换的要求，那么二次函数和图形变化的结合，将是同学们在学习中不可忽视的内容。图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换，那么二次函数的图像在其图形变化(平移、轴对称、旋转)的过程中，如何完成解析式的确定呢？解决此类问题的方法很多，关键在于解决问题的着眼点。笔者认为最好的方法是用顶点式的方法。因此解题时，先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，再根据具体图形变换的特点，确定变化后新的顶点坐标及a值。 1、平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。例1.将二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为_____ 分析：将y=x2-2x-3化为顶点式y=(x-1)2-4，a值为1，顶点坐标为(1，-4)，将其图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么顶点也会相应移动，其坐标为(2，-2),由于平移不改变二次函数的图像的形状和开口方向，因此a值不变，故平移后的解析式为y=(x-2)2-2。 2、轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。例2.求抛物线y=x2-2x-3关于x轴以及y轴对称的抛物线的解析式。分析：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，a值为1，其顶点坐标为(1，-4)，若关于x轴对称，a值为-1，新的顶点坐标为(1，4)，故解析式为y=-(x-1)2+4；若关于y 轴对称，a值仍为1，新的顶点坐标为(-1，-4)，因此解析式为y=(x+1)2-4。 3、旋转：主要是指以二次函数图像的顶点为旋转中心，旋转角为180°的图像变换，此类旋转，不会改变二次函数的图像形状，开口方向相反，因此a值会为原来的相反数，但顶点坐标不变，故很容易求其解析式。例3.将抛物线y=x2-2x+3绕其顶点旋转180°，则所得的抛物线的函数解析式为________ 分析：y=x2-2x+3=(x-1)2+2中，a值为1，顶点坐标为(1，2)，抛物线绕其顶点旋转180°后，a值为-1，顶点坐标不变，故解析式为y=-(x-1)2+2。

二次函数解析式及图象变换

二次函数解析式及其图象变换模块一二次函数的解析式知识导航 1. 一般式： y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 若已知条件为二次函数图象上三点的坐标，通常先设抛物线的解析式为一般式，列出关于a 、b 、c 的方程，求出a 、b 、c 的值，就可以得到二次函数解析式． 2. 顶点式：y ＝a （x －h ）2＋k ．若已知顶点坐标、对对称轴、最大值或最小值，通常先设抛物线的解析式为顶点式，再列出方程（组）求待定系数． 3. 交点式：y ＝a （x －x 1)(x －x 2) 若已知与x 轴的两交点（x 1，0)、(x 2，0），通常先设抛物线的解析式为两点式，再列出方程（组）求待定系数.（仅用于选项或打草稿）例1：（1）一个抛物线经过（0，0）、（－1，1）、（1，9）三点，求这个抛物线的解析式．（2）一个抛物线的顶点为（3，3）、且经过点（2，1）求这个抛物线的解析式．（3）一个抛物线经过（－1，0）、（3，0）、（1，4）三点，求这个抛物线的解析式．练习：（1）一个抛物线经过（－1，20）、（0，8）、（2，8）三点，求这个抛物线解析式．（2）一个抛物线经过（2，1）、（1，3）两点且对称轴为x ＝－2 1，求这个抛物线解析式．（3）一个抛物线经过（－1，3）、（1，3）、（2，6）三点，求这个抛物线的解析式．例2：（1）已知抛物线y ＝a （x ＋2）2－1交x 轴于A 、B 两点（A 点在B 点的左边）且AB ＝2，求抛物线解析式．（2）已知二次函数y ＝ax 2＋4a x ＋c 的最大值为4，且图象过点（－3，0），求二次函数的解析式．练习：（1）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴是直线x ＝1，且图象过点A （3，0）和B （－2，5），求函数的解析式．

初中数学中考复习二次函数专题讲义(含解析)

二次函数专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2 可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a b x 2- =时，a b a c y 442-=最值。

二次函数平移、旋转、轴对称变换汇总

二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换）一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。抛物线的上下平移：___________________ y=a（x-h）2+k y=a（x-h）2+k ± m 抛物线的左右平移：___________________ y=a（x-h）2+k y=a（x-h ± m）2+k 练习：（ 1）函数图象沿 y 轴向下平移 2 个单位，再沿 x 轴向右平移 3 个单位，得到函数______________ 的图象。（2）抛物线y x2 2x 5向左平移3个单位，再向下平移 6 个单位，所得抛物线的解析式是。 2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。 1）将抛物线绕其顶点旋转180 （即两条抛物线关于其顶点成中心对称） 22 y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y a x h k 。（2）将抛物线绕原点旋转180 （即两条抛物线关于原点成中心对称） 22 y a x h k 关于原点对称后，得到的解析式是 y a x h k 。练（1）抛物线y 2x2 4x 6 绕其顶点旋转180 后，所得抛物线的解析式是（2）将抛物线y＝x2＋1绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（）2 2 2 2 A．y＝－x2B．y＝－x2＋1 C．y＝x2－1 D．y＝－x2－1 3、抛物线的轴对称变换：关于 x 轴对称 y ax2 bx c关于 x轴对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c ； 22 y a x h k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y a x h k ；关于y 轴对称 22 y ax2 bx c关于y 轴对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c； 22 y a x h k 关于y 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；练习：已知抛物线C1：y （x 2）2 3 （1）抛物线C2与抛物线C1关于y 轴对称，则抛物线C2的解析式为 2）抛物线C3与抛物线C1关于x 轴对称，则抛物线 C 3的解析式为总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变。二、二次函数的系数与图象的关系。热身练习：1、抛物线y=ax2+bx+c 的开口方向与有关。 2、抛物线 2 y=ax2+bx+c 的对称轴是. 3、抛物线 2 y=ax2+bx+c 与y 轴的交点坐标是，与x 轴的交点坐标是。

初中数学知识归纳二次函数的像与变换

初中数学知识归纳二次函数的像与变换初中数学知识归纳：二次函数的像与变换二次函数是数学中常见的一种函数类型，在初中数学中也是必学的内容之一。本文将为大家归纳总结二次函数的像与变换，帮助大家更好地理解和应用这一知识点。一、二次函数的定义与性质回顾二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数且 a ≠ 0。其中，a 称为二次函数的系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项。二次函数的图像一般为抛物线。回顾一些基本性质： 1. 当 a > 0 时，二次函数的图像开口向上，称为上凸抛物线； 2. 当 a < 0 时，二次函数的图像开口向下，称为下凸抛物线； 3. 二次函数的对称轴为 x = -b/2a； 4. 二次函数的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。二、二次函数的像像，顾名思义，是指函数的输出值。对于二次函数来说，我们可以通过以下方法来确定其像。 1. 顶点坐标

根据二次函数的性质，顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。这个点的纵坐标即为函数的像。 2. 函数图像通过函数的图像，我们可以很直观地看出函数的像。对于上凸抛物线，像是抛物线上方的所有点的集合；对于下凸抛物线，像是抛物线下方的所有点的集合。 3. 利用函数值我们可以直接计算二次函数在某个特定自变量取值下的函数值，即 f(x)，这个值就是函数在该自变量下的像。三、二次函数的变换在学习二次函数时，我们还需要了解一些常见的变换，包括平移、伸缩和翻转。 1. 平移二次函数的平移是指通过改变函数的横坐标和纵坐标，将函数的图像在平面上移动。平移的方式有水平平移和垂直平移。水平平移：函数 y = f(x) 左移 h 个单位的变换可表示为 y = f(x - h)；右移 h 个单位的变换可表示为 y = f(x + h)。垂直平移：函数 y = f(x) 上移 k 个单位的变换可表示为 y = f(x) + k；下移 k 个单位的变换可表示为 y = f(x) - k。 2. 伸缩

二次函数图像的转化与性质

二次函数图像的转化与性质二次函数是初中数学中的重要内容，它的图像具有独特的特点和性质。在学习二次函数时，我们不仅需要了解它的基本形式和图像特点，还需要学习如何进行图像的转化。本文将介绍二次函数图像的转化方法以及转化后的性质，帮助中学生更好地理解和应用二次函数。一、平移变换平移变换是指将二次函数的图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的单位长度。平移变换可以改变二次函数图像的位置，但不改变其形状。常见的平移变换有水平平移和垂直平移两种。 1. 水平平移水平平移是指将二次函数的图像沿着横轴方向移动。具体操作是，在二次函数的自变量x中加上一个常数h，即可实现水平平移。例如，对于二次函数y=x^2，若要将其向右平移2个单位，则可得到新的函数y=(x-2)^2。这样，二次函数的图像将整体向右平移2个单位。 2. 垂直平移垂直平移是指将二次函数的图像沿着纵轴方向移动。具体操作是，在二次函数的因变量y中加上一个常数k，即可实现垂直平移。例如，对于二次函数y=x^2，若要将其向上平移3个单位，则可得到新的函数y=x^2+3。这样，二次函数的图像将整体向上平移3个单位。二、翻折变换翻折变换是指将二次函数的图像沿着横轴或纵轴方向翻折。翻折变换可以改变二次函数图像的形状，但不改变其位置。常见的翻折变换有关于x轴翻折和关于y 轴翻折两种。

1. 关于x轴翻折关于x轴翻折是指将二次函数的图像沿着x轴翻折。具体操作是，将二次函数的因变量y取相反数，即可实现关于x轴翻折。例如，对于二次函数y=x^2，若要将其关于x轴翻折，则可得到新的函数y=-x^2。这样，二次函数的图像将关于x 轴对称。 2. 关于y轴翻折关于y轴翻折是指将二次函数的图像沿着y轴翻折。具体操作是，将二次函数的自变量x取相反数，即可实现关于y轴翻折。例如，对于二次函数y=x^2，若要将其关于y轴翻折，则可得到新的函数y=(-x)^2。这样，二次函数的图像将关于y 轴对称。三、性质分析通过平移变换和翻折变换，我们可以改变二次函数图像的位置和形状，从而得到新的二次函数。这些新的二次函数仍然保持二次函数的特点和性质。 1. 对称性二次函数的图像具有关于顶点的对称性。无论是水平平移、垂直平移还是翻折变换，都不会改变二次函数图像关于顶点的对称性。 2. 开口方向二次函数的开口方向由二次项的系数决定。若二次项的系数大于0，则二次函数的图像开口向上；若二次项的系数小于0，则二次函数的图像开口向下。在进行平移变换和翻折变换时，开口方向不会改变。 3. 最值二次函数的最值由顶点确定。通过平移变换和翻折变换，我们可以改变二次函数图像的位置，从而改变最值的位置。

初中数学知识点二次函数的像与变化规律

初中数学知识点二次函数的像与变化规律初中数学知识点：二次函数的像与变化规律二次函数是中学阶段数学学习中的一个重要内容，它在实际问题的解决中具有广泛的应用。本文将介绍二次函数的像与变化规律，并通过具体的例子来说明相关概念。二次函数是一个以 x 为自变量的二次多项式，通常表示为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。二次函数的图像是一个抛物线，可以向上开口（a > 0）或向下开口（a < 0）。一、二次函数的像函数的像是函数值的集合，即表示 x 取值范围内对应的 y 值。在二次函数中，像的取值范围与 a 的正负有关。 1. 当 a > 0 时，二次函数开口朝上，图像的最低点成为函数的最小值点，函数的像为大于等于这个最小值的所有实数。即像的取值范围为 [函数的最小值, +∞)。 2. 当 a < 0 时，二次函数开口朝下，图像的最高点成为函数的最大值点，函数的像为小于等于这个最大值的所有实数。即像的取值范围为 (-∞, 函数的最大值]。二、二次函数的变化规律二次函数图像的变化可以通过 a、b、c 的值来确定。 1. 纵向伸缩与平移：

当 a 的绝对值增大时，二次函数图像纵向压缩，图像变窄；当 a 的绝对值减小时，二次函数图像纵向伸展，图像变宽。当 c 的值增加时，二次函数图像向上平移；当 c 的值减小时，二次函数图像向下平移。 2. 横向平移：当 b 的值增加时，二次函数图像向左平移；当 b 的值减小时，二次函数图像向右平移。 3. 对称轴与顶点：二次函数的对称轴是一个垂直于 x 轴的直线，通过开口部分的最低点或最高点的中点。对称轴的方程为x = -b/2a。顶点是对称轴上的点，也是二次函数的极值点。三、实例分析考虑以下二次函数：f(x) = 2x^2 - 4x + 1。 1. 首先计算 a、b、c 的值，得到 a = 2，b = -4，c = 1。 2. 根据 a 的值，可以确定二次函数开口朝上，函数的像为 [函数的最小值, +∞)。 3. 计算对称轴的横坐标，x = -(-4)/(2*2) = 1。因此对称轴的方程为 x = 1。 4. 根据对称轴的值，可以计算顶点的纵坐标。代入函数中，f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1。因此顶点坐标为 (1, -1)。

【初中数学复习,二次函数图象的几何变换】

【初中数学复习,二次函数图象的几何变换】二次函数图象的几何变换学问点拨一、二次函数图象的平移变换〔1〕具体步骤：先利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点，然后做出二次函数的图像，将抛物线平移，使其顶点平移到.具体平移方法如下图：〔2〕平移规律：在原有函数的基础上“左加右减〞. 二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是． 5. 关于点对称关于点对称后，得到的解析式是依据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的样子肯定不会发生改变，因此永久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以根据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式已知的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．例题精讲一、二次函数图象的平移变换【例1】函数的图象可由函数的图象平移得到，那么平移的步骤是：〔〕右移两个单位，下移一个单位右移两个单位，上移一个单位左移两个单位，下移一个单位左移两个单位，上移一个单位【例2】函数的图象可由函数的图象平移得到，那么平移的步骤是〔〕右移三个单位，下移四个单位右移三个单位，上移四个单位左移三个单位，下移四个单位左移四个单位，上移四个单位【例3】二次函数的图象如何移动就得到的图象〔〕向左移动个单位，向上移动个单位. 向右移动个单位，向上移动个单位. 向左移动个单位，向下移动个单位. 向右移动个单位，向下移动个单位. 【例4】将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的值为〔〕A．B．C．D．【例5】把抛物线的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的图象的解析式是，则

九年级数学-二次函数的图象和性质

第二十二章二次函数第5讲二次函数的图象和性质【板块一】二次函数的图象和性质题型一开口方向、对称轴、顶点坐标及位置【例1】(1)抛物线y ＝2x ²＋1的开口方向是向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标是 (0，1) ；二次函数 y ＝－ 12 (x ＋1)²﹣2的图象的开口方向是向下，对称轴是直线 x ＝﹣1 ，顶点坐标是(﹣1.﹣2). (2)抛物线y ＝2x ²＋1在x 轴的上方；当x ＞0时，图象自左向右逐渐上升，它的顶点是最低点；抛物线y ＝－12 (x ＋1)²﹣2，当x 为全体实数时，它的图象在x 轴的下方，顶点是最高点。【解析】当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下，y ＝a (x ﹣h )²＋k 的顶点坐标为(h ，k )，对称轴是直线x ＝h ；当a ＞0时，抛物线的顶点为最低点，当a ＜0时，抛物线的顶点为最高点。题型二抛物线的开口大小【例2】如图，若抛物线y ＝ax ²与四条直线x ＝1，x ＝2，y ＝1，y ＝2围成的正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是( ) A .14≤a ≤1 B ．12≤a ≤2 C .12≤a ≤1 D .14 ≤a ≤2 【解析】确定a 的取值范围，就是探究抛物线的开口大小，当抛物线经过点D 时，开口最小；抛物线经过点B 时，开口最大，而这两条抛物线的解析式的a 值分别2， 14，∴14≤a ≤2. 故选Ｄ．【例3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y ＝x ²；②y ＝－ 12 x ²，③y ＝－2x ²的图象，则三个图象I ，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是 ②③① . 【解析】当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下；当|a |越大，开口越小，当|a |越小，开口越大。故

初中数学丢分题压轴大题9年级-2二次函数与平移、翻折、旋转

第二讲二次函数与平移、翻折、旋转丢分原因： 1、未掌握一次函数、二次函数的图像在坐标中平移的性质． 2、不熟悉二次函数顶点式的计算方法． 3、不善于用字母表达动态中的函数解析式．要点提示： 1、二次函数图像平移及旋转一般应将解析式化为顶点式： )0 ,0 ( ) (2> > + - =k h k h x a y． 2、二次函数c bx ax y+ + =2的图像在平移过程中，遵循” 左右移，内加减；上下移，外加减”的方法写出解析式，由于系数a决定了抛物线的开口方向及大小，所以平移时 a值不变，旋转0 180，a值变为相反． 3、数形结合，习惯绘制草图，助力思维解题，顶点的平移方向和距离就是图像的平移方向和距离． 4、顶点在一次函数直线上运动时，顶点的横纵坐标满足一次函数解析式．例题精析：【例1】如图（a），在平面直角坐标系中，抛物线 c bx ax y+ + =2与x轴交于A(1,0)，B(4,0)，与y轴交于点 C．（1）求抛物线的解析式．（2）如图（b），已知(0,1)，将抛物线在点A、B之间部分（含A、B）沿x轴向上翻折，得到图像T（虚线部分），点M为图像T的顶点，现将图像T保持其顶点在直线MN 上平移，得到的图像 1 T与线段BC至少有一个交点，求图像 1 T的顶点横坐标的取值范围．【例2】已知，在平面直角坐标系中，抛物线 1 C: 5 2 4 22 2 1 + + - + - =m m mx x y的顶点P在一条直线l上运动（1）求直线l的解析式．（2）抛物线 1 C与直线l的另一交点为Q，求POQ ∆的面积 [利用图（a）]．（3））如图（b），将抛物线 1 C平移，得到新抛物线 2 C， 2 C的顶点为原点，点A(-1,-2)为抛物线 2 C上一点，过点A 作直线m与抛物线 2 C有且只有一个公共点，且与y轴交于B点，A、C两点关于y轴对称，E，F两点在抛物线上， AB EF//，EC、CF交x轴于M、N，求OM-ON的值．

人教版初中数学图形的平移,对称与旋转的技巧及练习题附答案

人教版初中数学图形的平移，对称与旋转的技巧及练习题附答案一、选择题 1.如图在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长为4,点A在第二象限内，将 OAB沿射线AO平移，平移后点A的横坐标为4百，则点B的坐标为() A. ( 60,2) B. (673, 273) C. (6, 2) D. (643, 2) 【答案】D 【解析】【分析】先根据已知条件求出点A、B的坐标，再求出直线OA的解析式，继而得出点A的纵坐标，找出点A平移至点A 的规律，即可求出点B的坐标. 【详解】解：.「三角形OAB是等边三角形，且边长为4 ••• A( 2,3, 2), B(0,4) 设直线OA的解析式为y kx,将点A坐标代入，解得：k 3 即直线OA的解析式为：y X3x 3 将点A的横坐标为4 J3代入解析式可得：y 4 即点A的坐标为(4 73, 4) •・•点A向右平移6而个单位，向下平移6个单位得到点A B 的坐标为(0 6 J3,4 6) (6 J3, 2). 故选：D. 【点睛】本题考查的知识点是坐标与图形变化-平移，熟练掌握坐标平面图形平移的规律是解决本题的关键. 2.如图，周长为16的菱形ABCD中，点E, F分别在边AB, AD上，AE= 1, AF= 3, P为 BD上一动点，则线段EP+ FP的长最短为()

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】试题分析：在DC上截取DG=FD=AD- AF=4- 3=1,连接EG,则EG与BD的交点就是P. EG 的长就是EP+FP 的最小值，据此即可求解. 解：在DC上截取DG=FD=AD- AF=4- 3=1,连接EG,贝U EG与BD的交点就是P. •. AE=DG,且AE// DG, ••・四边形ADGE是平行四边形， EG=AD=4. 故选B. 3.如图，。是AC的中点，将面积为16cm2的菱形ABCD沿AC方向平移AO长度得到菱形OB C D ,则图中阴影部分的面积是（） B B 2 2 2 2 A. 8cm B. 6cm C. 4cm D. 2cm 【答案】C 【解析】【分析】根据题意得，？ABCg?OECF且AO=OC」AC ,故四边形OECF勺面积是？ ABCD面积的2 1 4 【详解】解：如图，

2023年中考数学总复习专题20二次函数与对称变换综合问题 (学生版)

专题20二次函数与对称变换综合问题【例1】（2021秋•开化县月考）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”．例如：y＝（x﹣h）2﹣k的“镜像抛物线”为y＝﹣（x﹣h）2+k．（1）请写出抛物线y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标，及其“镜像抛物线”y＝﹣（x ﹣2）2+4的顶点坐标．写出抛物线的“镜像抛物线” 为．（2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C 关于抛物线对称轴对称的点B'，C'，连接BC，CC'，B'C'，BB'． ①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值． ②求正方形BB'C'C所含（包括边界）整点个数．（说明：整点是横、纵坐标均为整数的点）【例2】（2022•巩义市模拟）已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为（﹣1，0），且OB＝OC．（1）求二次函数的解析式；（2）当0≤x≤4 时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？（3）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【例3】（2022•济宁二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．（3）图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标．【例4】（2022•合肥四模）已知抛物线L1：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线L1对称抛物线L2的解析式；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，设M的横坐标为m，记W＝MN﹣2ON，求W的最大值．一．解答题（共20题）