布莱克-斯科尔斯模型

S1 = 100 × e
+0.10
= 110.52
− 0.10
S 2 = 110.52 × e
价格回到初始水平。
= 100
• 收益通常符合正态分布。 例如，投资者以100元的价格买入一种股票， 例如，投资者以100元的价格买入一种股票， 投资收益增长10%的可能性或概率，与收益 投资收益增长10%的可能性或概率，与收益 减少-10%的可能性同样存在。所以，收益 减少-10%的可能性同样存在。所以，收益 符合正态分布的特征。
2. 如果 ST <X 期权到期时损价，并且 max（ST－X,0）＝ （ ）＝0 ）＝
• 如果把P定义为ST>X的概率，那么（7）式 如果把P定义为S >X的概率，那么（7 可以重新表达为：
= P × (E [ST S T > X ] − X )
E [CT ] = P × ([ST S T > X ] − X ) + (1 − P )× 0
St x= S0
• 所以，相对价格的期望就可以表达如下： 所以，相对价格的期望就可以表达如下：
µt + St E = e S 0 σ 2t
2
(6)
小结
• 利用相对价格的自然对数估算收益。 式（1 式（1） • 收益遵循正态分布。式（2） 收益遵循正态分布。式（2 • 价格遵循对数正态分布。式（4） 价格遵循对数正态分布。式（4 • 相对价格的期望表达式（6）。 相对价格的期望表达式（6
ln (S t ) ~ ln (S 0 ) + N µ t , σ
（3） 其中S 是常数, 其中S0是常数, ln(S0)=0.
(
t
)
∵
ln 1 = log e e = 0
0
• 由式（2），还可得到： 由式（ ），还可得到 还可得到：
St N (µt ,σ t ) ~e S0
以及预期收益： 以及预期收益：
• 根据看涨期权的定义，期权到期时的期望 值是：
E [CT ] = E [max (ST − X ,0 )] 其中，
(7 )
E [CT ] − −看涨期权到期时的期望 值 ST − −到期时的基础资产价格 X − −期权的执行价格
• 期权到期时，基础资产价格有两种可能： 1. 如果 ST >X 期权到期时溢价，并且 max（ST－X,0）＝ T－X （ ）＝S ）＝
• 计算结果如下： 价格上涨10%：100×10%＝ 价格上涨10%：100×10%＝10, S1=100+10=110 价格下降10%：110×（－10％） 价格下降10%：110×（－10％） ＝11, S2=110 - 11=99 结果：价格小于初始水平。
• 也可以将相对价格相乘而获得同样的 结果， 结果，即： 110/100=1.10 以及 99/110=0.90 相对价格的乘积为： 相对价格的乘积为： 1.10× 1.10×0.90=0.99 再将此结果乘以初始价格就是所得到结 果。
收益正态分布
随机密度
收益
• 现在，我们求证价格分布的特征。 设：价格每年上涨10%，四年内价格分别如 设：价格每年上涨10%，四年内价格分别如 下： 100; 110.52; 122.14; 134.99; 149.18。 149.18。 后一年的价格变动幅度大于前一年的价格变 动幅度。 再看： 价格每年下降10%,四年内价格分别如下： 价格每年下降10%,四年内价格分别如下： 100; 90.48; 81.87; 74.08; 67.03。 67.03。 后一年的价格变动幅度小于前一年的价格变 动幅度。
(14)
２. σ的确定 为了求出基础金融资产到期时的期望值 E[ST|ST>X]的表达式，需要将正态分布曲线 >X]的表达式，需要将正态分布曲线 从Ｘ至∞ 从Ｘ至∞的值加总起来。期望值公式的推导 过程比较复杂，这里给出最终结果如下：
N (d1 ) E [S T ST > X ] = S 0 e N (d 2 )
二. 期权定价的B－S模型 期权定价的B
• 金融资产的合理价格是这种资产的期望值。 这一原理同样适用于期权。 • 期权到期时的合理价格就是可能出现的每 一种价值与其概率的乘积之和。 • 期权可以取任意多的价值，所以应该采用 连续分布。 • 在连续分布条件下，某一范围的特定结果 的概率应由该段曲线以下的面积来表示。
• 在现实金融市场上，绝大多数的金融产品 在现实金融市场上， 如价格、利率等的变化， 如价格、利率等的变化，都呈对数正态分 模型就是以此假定作为基础。 布。B－S模型就是以此假定作为基础。 • 假定： 假定： 投资者以100元的价格买入某种股票 元的价格买入某种股票， 投资者以100元的价格买入某种股票，如果 股价一开始上升10%，然后又下跌10%， 股价一开始上升10%，然后又下跌10%，股 价是否回到初始状态100元呢 元呢？ 价是否回到初始状态100元呢？最终结果是 99元，而不是100元。 99元 而不是100元
r =µ +
σ2
2
则可以将公式（６）改写为如下形式：
St = e rt E S0
据此，我们可以将公式（５）表述如下：
2 St σ ] = µt = r − t = µ ∗ E[ln 2 S0
(12)
这就是所要求解的平均收益µ 这就是所要求解的平均收益µ的表达式。
e
−0.0101
= 0.99
与前一种方法计算结果相同。 与前一种方法计算结果相同。
• 在金融领域，采用相对价格的对数比采用 相对价格本身计算，应用更为广泛。 • 首先，将相对价格的对数定义为收益：
S t +1 收益＝相对价格的对数 ＝ ln S t
（1）
• 例如：当初始价格为100，第一期收益提高（＋ 例如：当初始价格为100，第一期收益提高（＋ 10%），第二期收益下降（－10%），由式（1） 10%），第二期收益下降（－10%），由式（1 计算得到：
rt
(15)
其中：
d1 =
S0 σ 2 ln + r + t X 2
σ t
σ2 S0 ln + r − t X 2 d 2 = d1 − σ t = σ t
(16)
期权定价两大问题的汇总
• 回顾一下，期权定价要解决的两大问题： １. 确定Ｐ－－即期权到期时溢价的概率。 ２. 确定E[ST|ST>X]－－ 即期权到期时溢 确定E[S >X]－－ 价的话，基础资产的期望值。 • 现在，我们可以将这两部分的计算公式 （１４）和（１５）代入前面的期权定价 公式（９），就是看涨期权的定价模型。
(8)
其中， E[ST|ST>X]－－ 当ST >X时，ST的期望 >X]－－ >X时 值。 P－－ ST >X的概率。 >X的概率 的概率。
• 上式（８）就是看涨期权到期时的期望值。那么， 在期权交易之初的合理价格就是对式（８）的贴现 值。 • 于是，期权的价格表达如下：
C = P × e − rt × (E [S T S T > X ] − X ) 其中， C − − 看涨期权的合理价格 ｒ－－无风险利率 ｔ－－期权的有效期
• 连续价格变动的刻度标示
67.03 74.08 81.87 90.48
100
110.52
122.14
134.99
149.18
连续价格递减
连续价格递增
• 从上述分析可知，价格的分布将是扭曲的 正态分布，称之为对数正态分布。价格上 涨时，分布呈扩张型态；价格下跌时，分 布呈压缩型态。
价格对数正态分布
在前述式（２）中，收益的标准差被定义为
σ t
将式（１０）和式（１１）合并，有
X P = Pr [S T > X ] = Pr 收益 > ln( ) S0
2 X σ −r − t ln S 2 0 = 1− N σ t
随机密度
价格
• 现在我们回到收益定义：“收益为相对价格 现在我们回到收益定义：“ 的对数” 的对数”，由于收益呈正态分布，满足：
St ~ N µt,σ ln S 0
(
t
)
（2）
式中， µ－－均值，这里指年收益率 σ－－方差开根，这里指年收益标准差
• 由上式（2）可知，价格的对数（不仅相对 由上式（ 可知，价格的对数（ 价格的对数）也是正态分布，因为： 价格的对数）也是正态分布，因为：
(4)
St ] = µt E [ln S 0
(5 )
• 根据期望值的对数与对数的期望值之间的 关系，如果x 关系，如果x是一随机变量，则有： ln [E(x)] = E [ ln(x)] + 0.5 var [ ln(x)] 其中: 其中:
E [ln ( x )] = µ t 1 2 0 . 5 var [ln ( x )] = σ t 2
布莱克－斯科尔斯模型 布莱克－
B－S Model
一. 金融资产的价格特征
• 正态分布现象在自然界和社会中是一种常 见现象。那么， 见现象。那么，金融资产的价格是否也具 有正态分布的特点呢？ 有正态分布的特点呢？ • 符合正态分布的变量一般可以取负值，金 符合正态分布的变量一般可以取负值， 融资产的价格就不可能取负值。 融资产的价格就不可能取负值。因此价格 不符合正态分布的假设。 不符合正态分布的假设。 • 但收益却可以取负值，收益通常符合正态 但收益却可以取负值， 分布的假设。 分布的假设。
• 导出概率Ｐ 这一问题是要求解期权到期时，基础资产 价格超过期权执行价格的概率Ｐ。 这一问题的性质等同于：求解同样时期收 益超出某种既定值的概率。由于收益呈正 态分布，比起对数正态分布更容易处理， 故我们先从收益入手。