培训学习资料-1822菱形(1)
菱形(PPT课件)
情 欣赏下面几个图形—— 景 创 设
• 请你用手中的平行四边形纸片， 折出一个菱形，想想看，怎么 折？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
AB=BC ABCD
四边形ABCD是菱形
讨论：菱形有什么性质呢？
DOAຫໍສະໝຸດ C菱形的性质：B
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边都相等；
的中点，连结EG与FH交于点O，则图中
的菱形共有（ ）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
6.如图，菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上 的点，且CE=CF。 求证：AE=AF
成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。 ——爱迪生
过关斩将
3 . 已知菱形两条对角线的长分别是12和16， 求菱形的面积。
菱形的面积=对角线乘积的一半
1.已知菱形的周长是12cm，那
么它的边长是__3_c_m__.
A
D
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，
O
则∠BAC＝__6_0_度___.
C
B
3.菱形ABCD中,O是两条对角线的
交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求
则∠ABC=________.
2
3．如图，在菱形ABCD中，已知AB＝10,AC＝16,
那么菱形ABCD的面积为
.
D
A
O
C
B
课外作业
4．菱形具有而一般四边形不具有的性质是 ( )
A. 两组对边分别平行
B. 两组对边分别相等
C. 一组邻边相等
D. 对角线相互平分
5．如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边
18.2.2 菱形(第1课时)
对角相等 四个角都是直角 对角相等
对角线互相平分
对角线互 相平分且 相等
两条对角线互相 垂直平分，并且 每一条对角线平 分一组对角
探究新知 素养考点 1 利用菱形的性质求线段的长
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，BD＝ 12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD. ∵AC＝6cm，BD＝12cm， ∴AO＝3cm，BO＝6cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理,得
A
O
C
证明：∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
D
∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A.24m
B.12m
C.96m
D.48m
探究新知 知识点 3 菱形对角线的性质
观察：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚 线剪下，打开即得一个菱形.
操作：在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图 形(如图），并回答以下问题:
探究新知
问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
探究新知
画出菱形的两条折痕,并 通过折叠手中的图形回答以 下问题： 问题：菱形的四条边在数量上有什么关系? 猜想：菱形的四条边都相等.
探究新知
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，
对角线AC与BD相交于点O. 求证:AB = BC = CD =AD.
八年级数学下册精品课件 第十八章 18.2.2菱形(1)
两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积
（结果保留小数点后一位）．
A
B
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O
D
C
课堂小结
（1）什么样的图形叫做菱形？菱形与平行四边形有 什么关系？
（2）菱形具有哪些性质？哪些是一般平行四边形所 具有的？哪些是一般平行四边形不具有的？菱 形的性质与矩形的性质有什么相同点和不同点？
（3）结合本节课的学习，谈谈研究几何图形性质的 体会．
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课后作业
作业： 教科书第57页练习1，2； 教科书第60页习题18.2第5，7题.
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猜想证明 形成性质
问题5 现在，我们得到了菱形的性质．如果把矩形 和菱形的性质进行比较，发现它们很相似．你能写出矩 形、菱形的定义及它们的特殊性质并进行比较吗？
矩形和菱形特殊性质比较
平行四边形
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矩形 轴对称性
菱形
四个角是直 角（相等）
四条边 相等
对角线 相等
对角线互 相垂直
• 学习重点： 菱形性质的探索、证明和应用．
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创设情境 引出课题
问题1 我们已经学习了特殊的平行四边形——矩 形，它是从哪个角度特殊化来进行研究的？它有哪些 性质？
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创设情境 引出课题
特殊化
平行四边形的性质
矩形的性质
对边相等
对边相等
对角相等 对角线互相平分
四个角都是直角 对角线互相平分且相等
八年级 下册
18.2.2 菱形（1）
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课件说明
• 本课通过类比矩形，把平行四边形的边特殊化，引 入菱形的概念，研究菱形的性质．
1822菱形的性质与判定(精讲)-2021-2022学年八年级数学下学期重要考点(人教版)(原卷版)
18.2.2菱形的性质与判定菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.注意：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.题型1：菱形的定义1.在▱ABCD中，添加以下哪个条件能判断其为菱形（）A．AB⊥BC B．BC⊥CD C．CD⊥AC D．AC⊥BD【变式11】在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为菱形，需添加的条件是（）A．∠A＝∠C B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD【变式12】下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（）A．一组邻边相等的平行四边形B．一条对角线平分一组对角的四边形C．四条边都相等的四边形D．对角线互相垂直平分的四边形菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.注意：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.题型2：菱形的性质求长度2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（）A．B．8C．D．16【变式21】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，O为AC、BD的交点，H为AD上的中点，则OH的长度为（）A．3B．4C．2.5D．5【变式22】如图，菱形ABCD的周长是16，∠BAD＝60°，则AC的长为．【变式23】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B的坐标为．题型3：菱形的性质求角度3.已知菱形ABCD中，∠D＝150°，连接AC，则∠BAC等于（）A．10°B．15°C．20°D．25°【变式31】如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度数．【变式32】如图，在正五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠F AE的度数为（）A．30°B．32°C．36°D．40°题型4：菱形的性质与等面积法4.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（）A．B．C．4D．8【变式41】如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（）A．24B．10C．D．【变式42】已知：如图所示，菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点，已知BD＝4，求菱形ABCD的周长和面积．题型5：菱形的性质简单综合5.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，且E为边AB的中点．（1）求∠A的度数；（2）如果AB＝4，求对角线AC的长．【变式51】如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF．（1）求证：△ADE≌△CDF；（2）若∠DEF＝65°，求∠EDB的度数．菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.注意：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.题型6：菱形的判定（条件选择）6.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD，AC与BD互相平分B．AB＝BC＝CD＝DAC．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD【变式61】如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定▱ABCD为菱形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD【变式62】已知O为▱ABCD对角线的交点，下列条件能使□ABCD成为菱形的是（）A．AB＝BC B．AC＝BDC．OA＝OC，OB＝OD D．∠A＝∠B＝∠C＝90°题型7：菱形的判定（四边相等）7.如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．（1）求证：AB＝AD；（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．【变式71】如图，在四边形ABCD中，∠C＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．（1）求证：∠BOD＝∠C；（2）若BC＝CD，求证：四边形OBCD是菱形．【变式72】已知：如图，P是线段AB上的一点，分别以线段AP，PB为一边在AB的同侧作等边三角形APE和等边三角形PBF，连接EF，点G，M，N，H分别是四边形ABFE的边AB，BF，FE，EA的中点，连接HG，GM，MN和NH．求证：四边形GMNH为菱形．题型8：菱形的判定（平行四边形+邻边相等）8.如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．【变式81】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．【变式82】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E．求证：四边形BDCE是菱形．题型9：菱形的判定（平行四边形+对角线互相垂直）9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE＝ED＝DB，DG⊥AC于点G，EF⊥BC于点F，求证：四边形DFGE是菱形．【变式91】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接EC，当∠BAC ＝90°时，说明四边形ADCE是菱形的理由．【变式92】如图，在三角形纸片ABC中，AD是△ABC的角平分线，把△ABC进行折叠，使点A与点D 重合，折痕与AB相交于E，与AC相交于F，求证：四边形AEDF是菱形．题型10：菱形的判定与性质最值问题10.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在BD上，点E为CD中点，且PC+PE＝1，则边AB的最大值等于（）A．1B．C．D．【变式101】菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边AB、BC的中点，点P是对角线AC上的一个动A点，则PM+PN的最小值是．【变式102】如图，四边形ABCD是菱形，点E为AB的中点，延长CD至F，使得DF＝CD，连接EF分别交AD，AC于点M，N．（1）求证：AC⊥EF；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，且P为AC上一点（P与点A不重合），连接PB和PE可得△PBE，求△PBE周长的最小值．题型11：菱形的判定与性质多结论问题11.如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD；其中正确结论的是（）A．①②③B．①②④B．C．①③④D．②③④【变式111】如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD ＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD＝BE．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【变式112】如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC＝CE；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④四边形ABED的面积为AB2．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个题型12：菱形的判定与性质动点问题12.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5cm，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）当t为何值时，DF⊥ED；（2）当t为何值时，四边形AEFD是菱形？【变式121】如图1，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝6，P点是底边BC上的一个动点．PD∥AC，PE ∥AB．（1）求四边形ADPE的周长；（2）点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由；（3）如果ABC不是等腰三角形（图2）其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，并说明理由．【变式122】如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB＝60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM．（1）求证：DM＝ME；（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．。
18.2.2_菱形(1)
版权所有-
A
D
1
2 7
已知四边形ABCD是菱形
8
1、图中有哪些相等的线段？ 5 6 3 4 2、图中有哪些相等的角？ B C 3、图中有哪些等腰三角形？ 4、图中有哪些直角三角形？ 5、菱形是轴对称图形吗？它有几条对称 轴？分别是什么？对称轴间有什么关系？
A B
O
C
D
版权所有-
解：∵花坛ABCD是 菱形 ， ∴AC⊥BD ,
1 1 ABC 60 ° .30° ∠ABO= ∠CBO = ∠ __ =× = 2 2 1 1 在Rt△OAB中，AO= AB = 2 × 20 = 10 , 2
(菱形的两条对角线 互相垂直 )
一组邻边相等
菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平 行四边形成为怎做菱形；
AB=BC ABCD
版权所有-
四边形ABCD是菱形
思考：菱形的边、角、对角线有什么样的 性质呢？
A O D
D O C
A E
版权所有-
版权所有-
变式题（1）：菱形两条对角线长为6和8，菱形 的边长为 5 ，面积为 24 。
（2）：菱形ABCD的面积为96，对角线 AC长为16 ，此菱形的边长为 10 。
A D O C
版权所有-
B
例：如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了 两条小路AC和BD，求两条小路的长和花 2 坛的面积
A
D
O
C
又∵BO=DO ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD B 同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
版权所有-
18.2.2 菱形(1)
BO=10 3
∴花坛的两条小路长 AC=2AO=20(m)
BD=2BO=20 3 =34.64（m）
花坛的面积
S S 菱形ABCD=4X 三角形0AB
=½AC · BD=200 3 =346.4（㎡）
1．定义：
2．性质：
18.2.2 菱 形 （1）
漳县第三中学
张科平
1.掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形 的关系． 2.理解并掌握菱形的性质1、2；会用这些 性质进行有关的论证和计算．
1、重点：菱形的性质1、2． 2、难点：菱形的性质及菱பைடு நூலகம்知识的综合应 用．
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱 形的纸片？
我们这样做：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿 图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
请同学们观察剪好的菱形，说说它的四条边有什么关系？ 两条对角线有什么关系？
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边都相等； （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条 对角线平分一组对角； （4）菱形是轴对称图形；也是中心对称图形；
有个国度，每对情侣间要有一个图形来诠释他们的爱情。有位王子和他 的妃子的感情就是菱形，开始他们没注意什么，他们幸福的生活在一起，但 有一天他们才感到他们的感情不稳定，王子就找到全国最有智慧的数学家， 数学家说，这里因为菱形是很不稳定的图形，轻易会变形。王子问他怎么办， 无论如何他都不会离开妻子的，数学家被感动了，说，在很远的地方有个树 林，只有把那里的树枝作为你们菱形的对角线，才会稳定，但是你们要长期 住在那里，离开繁华的皇宫，你们愿意吗？王子和他妻子当然愿意了！后来 呢，他们就花了一个月时间到了那个森林，再后来他们就幸福了，那带对角 线的菱形一直挂在他们小屋的窗上，每天有花香鸟鸣，虽然离开了繁华的城 市，但他们却一点不感到寂寞，反而更幸福了。从此，那个国家每对情侣都 带有菱形，但是都是带有对角线的，直到现在，人们还把带对角线的菱形当 作稳定的向征。