量子Fourier变换的分解

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第 ! 期 ! !!!!!!!!!!!!!! 量子 a $ + J 8 J变换的分解
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&’ 6 6 整 数的模! 加群 ! 根据 " # 式! 量 ^ + N < > I证明了群 P $ + J 8 J变换可以在量子计算机上有效实现 ) & . ! 上的 a ! ! 子a $ + J 8 J变换 " % %% 在这些基态上的作用为 6%
量子 a $ + J 8 J变换的分解
李!莉! 曹怀信
" 陕西师范大学 数学与信息科学学院 !陕西 西安 ( # . " " ) !
摘要 ! 量子 a 是量子计算中的一种重要算法 & 量子计算 $ + J 8 J变换 ! _ + 7 , N + 6a $ + J 8 JH J 7 , < L $ J 6" 机可以使用基于 S I $ J的量子 a $ + J 8 J变换和基于 ‘ J $ O J的量子搜 索算 法来解 决 那 些 在 经 典 计 算机上需要过多资源才能求解的问题 & 将作用在 6 量子比特 上的 量子 a $ + J 8 J变换 " 6 分 解为有 限个简单酉算子的乘积 # 并给出 了 相 应 的 图 示 说 明 # 使得人们可以更好地理解与应用量子 a $ + / J 8 J变换以及它的有效线路 & 关键词 ! 量子 a 分解 $ 矩阵 $ 基态 $ 门 $ + J 8 J变换 $ 中图分类号 ! @. ( (!! 文献标识码 ! A
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"卷 !!!!!! 纺 ! 织 ! 高 ! 校 ! 基 ! 础 ! 科 ! 学 ! 学 ! 报 !!!!!!!!! 第 !
6 其中 !A ( ! 为向量的长度 & 6 为 了便于计算 ! 需要把整数<* " #! $ 写成二进整数形式<( < 其中< #! "! .! !! ! *. < < < < . !# 6! .! !! 6 6 . 6 ! " G* K . * * 0 $且<(< 又用二进小数"& % % % ! "! . ! ! ! & !0 20 # 0 ! 0 0#0 < < < < < < < < . ! 6 K K .# G 表示 K K . G 0 0 *" 其中< #! $ "! . & < < K! K .! G * " 0
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国家自然科学基金资助项目 " # $ 陕西省自然科学基金资助项目 " # . " 4 ) . . . 1 ! " " ! A " ! !! 基金项目 ! ! 曹怀信 " # ! 男! 陕西省西安市人 ! 陕西师范大学博导 ! 教授 & % . 3 4 0 / 5 / 6 7 8 % > 7 $ I B , , + & = + & > , 万方数据 !! 通讯作者 !<
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’ . 近年来 ! 量子力学已经给物理界提供了许多有效描述 ! 许多新发现都被应用于量子信息和量子计算& & ’ ’ ! 1 / 2 而经典世界的许多可行性算法在量子世界里已经不可用& ! 比如 ! 一个未知的量子态是不可克隆的& &
数学或计算机科学中解决问题的最重要的方法之一 ! 是把问题变换为其他解为已知的问题 & 有些这类 变换出现得非常频繁 ! 并且用于非常多的不同场合 ! 以 致 形成 了对这 些变换 自 身 的 研 究 领 域 & 量子计算的 一项伟大发现就是 ! 某些这样的变换在量子计算机上 的计 算 ! 可 以比在经典 计 算 机 上 快 得 多 ! 这个发现能 针对量子计算机建立快速算法 & 离散 a 按通常的数学记号 ! 离散 a $ + J 8 J变换就是这类变换之一 & $ + J 8 J 变换 是作用 在复 A 维欧氏 空 间 % 上的酉变换 ! 当输入为复向量 " (! 其输出为复向量 " (! ! 其中 R RA*.#时 ! U UA*.# "! "!
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! 8 9 . + < (! # " # R B 9 ( "! .! A *. & . !" X U 9 ^ < J A A <(" L 6 ! 6 在 量子计算中 ! 称空间 % 中的元素 " 维复列向量 # 为6 量子比特 " # 作用在空间 ! _ + 7 , N + 6Z 8 N &因而 !
H H #! ! #! 定义 -’( ( R RG ) 8 8\’( ( - 复向量 & U U .! .! 6) ! H #! ! #! #! ) -’<8\’( ( R RG ( 8 ( U U U U .( .! 6) .! 6) H ( #! #! #! R R RG RG U U U. ! U6 ) & . .! . 6! *+ 称其为 8 经常用 8 #8 或8 #! 表示 8 -’与 8\’的张量积 ( & 8 .’ !’ 6’ .! !! 6’ .’ !’ <8 <#< ! 或者简记为 8 & 8 6’ . !# 6’
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" " " . 1 > ! 满足 ; 8 ! ’ ! ’ ( ’ ! ’ ) 所以 ! 称矩阵 3 S (8 S3 ! - 8 3 8 S *% & ; 为变换门 & 定理 .! 量子 a $ + J 8 J变换 6 6 可分解为 ( ) 6 " " " ! !6*. #! ! 0 6 (" 6 . 6 !# ! . 6 ! .! * * #( ( ! ( 其中 !! : : : ! 7 7 7 . (: 6( 6 . <7 .) ! <7 6 !) . <7 6 .) ! ( ( . <: 6 .) . <: 6 ! <7 . )#( . <: ! < * * * * * 万方数据 ) ( ) ! #! ( ) ( ) ! ! ( ) 7 7 ! 7 ! 7 6 1 . <: . <7 6 ! 6 . ( 7 6 ! <: ! 6 ! <: . <7 . 6 (7 6 . <: . " . ( ; <7 6 ! ( . * * * * * * *
易知 ! 量子 a )下的矩阵为 $ + J 8 J变换 " ! 6 在量子计算基 ( 0. . . # !
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这时 ! " 6 在计算基上的作用可表示为 ’ ’ ’ " 68 ! 8" ! 8" 0!" = 0 = 0 = ’ ’ ’ . ! 8. !" ! 8. 68 5 &( " & (6 6 6 !!!! 6 6 6 ’ ’ ’ 8! *. " 8! *. ! *. 1 > 1 > 68 1 > 5 以下将变换 " 不加区别 ! 即将其视为矩阵 ( ) 2 & 6 与其矩阵表示6 6 等同 ! 用% 表示单位矩阵% ( 阵) 8 9 (
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Hale Waihona Puke Baidu
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