等差等比数列知识点梳理及经典例题

A、等差数列知识点及经典例题

一、数列

由

n

a与

n

S的关系求

n

a

由

n

S求

n

a 时，要分n=1

和n

≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段

函数的形式表示为1

1

(1)

(2)

n

n n

S n

a

S S n

-

=

?

=?

-≥

?

。

〖例〗根据下列条件，确定数列{}n a的通项公式。

分析：（1）可用构造等比数列法求解；

（2）可转化后利用累乘法求解；

（3）将无理问题有理化，而后利用

n

a与

n

S的关系求解。

解答：（1）

（2）

……累乘可得，

故

（3）

二、等差数列及其前n 项和 （一）等差数列的判定

1、等差数列的判定通常有两种方法：

第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。

（1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列；

（2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2

n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等

差数列。

注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 〖例〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2

n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{

1

n

S }是等差数列； （2）求n a 的表达式。

分析：（1）1120n n n n S S S S ---+=g →

1n S 与1

1n S -的关系→结论； （2）由

1

n

S 的关系式→n S 的关系式→n a

解答：（1）等式两边同除以1n n S S -g 得11n S --1n S +2=0，即1n S -11n S -=2（n ≥2）.∴{1n S }是以11S =1

1

a =2

为首项，以2为公差的等差数列。

（2）由（1）知

1n S =11S +（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴n S =1

2n

,当n ≥2时，n a =2n S ·1n S -=12(1)n n -。又∵112a =，不适合上式，故1

(1)

2

1(2)

2(1)

n n a n n n ?=??=?

?≥-??。

【例】已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1.其前n 项和S n 满足2S n ＝2pa 2n ＋a n －p (p ∈R)，

则{a n }的通项公式为________． ∵a 1＝1，∴2a 1＝2pa 21＋a 1

－p ， 即2＝2p ＋1－p ，得p ＝1. 于是2S n ＝2a 2n ＋a n －1.

当n ≥2时，有2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1，两式相减，得2a n ＝2a 2n －2a 2n －1＋a n －a n －1，整理，得2(a n ＋a n

－1)·(a n －a n －1－1

2

)＝0.

又∵a n >0，∴a n －a n －1＝12，于是{a n }是等差数列，故a n ＝1＋(n －1)·12＝n ＋1

2

.

（二）等差数列的基本运算

1、等差数列的通项公式n a =1a +（n-1）d 及前n 项和公式11()(1)

22

n n n a a n n S na d +-=

=+，共涉及五个量1a ，n a ，d,n, n S ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；

2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

注：因为

11(1)222

n S d d d

n a a n n =+-=+-，故数列{n S n }是等差数列。

〖例〗已知数列{n x }的首项1x =3，通项2(,,)n n x p nq n N p q *

=+∈为常数，且1x ，4x ，5x 成等差数

列。求：

（1）,p q 的值；

（2）数列{n x }的前n 项和n S 的公式。

分析：（1）由1x =3与1x ，4x ，5x 成等差数列列出方程组即可求出,p q ；（2）通过n x 利用条件分成两个可求和的数列分别求和。

解答：（1）由1x =3得23p q +=……………………………………①

又45

4515424,25,2x p q x p q x x x =+=++=且，得55

32528p q p q ++=+…………………②

由①②联立得1,1p q ==。

（2）由（1）得，n x n

n +=2

（三）等差数列的性质 1、等差数列的单调性：

等差数列公差为d ，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。 ★2、等差数列的简单性质：略

典型例题

1．等差数列{}n a 中, 若100,252==n n S S ，则=n S 3225；

2.（）在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S 9等于 （ A ） A ．18 B 27 C 36 D 9

3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 24

4、等差数列{a n } 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( C )

(A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(卷)已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453

n n A n B n +=+，则使得n n a b 为整数的正

整数n 的个数是（ D ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

6、在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.

由a n ＋1＝2a n ＋3，则有a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)， 即

a n ＋1＋3a n ＋3

＝2.

所以数列{a n ＋3}是以a 1＋3为首项、公比为2的等比数列，即a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.

7、已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为1

4

的等差数列，则|m －n |的值等于________．

如图所示，易知抛物线y ＝x 2－2x ＋m 与y ＝x 2－2x ＋n 有相同的对称轴x ＝1，它们与x 轴的四个交点

依次为A 、B 、C 、D .

因为x A ＝14，则x D ＝7

4.

又|AB |＝|BC |＝|CD |，所以x B ＝34，x C ＝5

4.

故|m －n |＝|14×74－34×54|＝1

2

.

8、在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________． 设公差为d ，则11(－3＋4d )＝5(－3＋7d )－13，

∴d ＝59

.

∴数列{a n }为递增数列．

令a n ≤0，∴－3＋(n －1)·59≤0，∴n ≤32

5，

∵n ∈N *.

∴前6项均为负值，∴S n 的最小值为S 6＝－29

3.

6.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足73

3n n S n T n +=

+，则88

a b = 6 . 7．（卷）（16）（本小题共13分）

已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =。 （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d 。 因为366,0a a =-=

所以11

26

50a d a d +=-??+=? 解得110,2a d =-=

所以10(1)2212n a n n =-+-?=- （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-

所以824q -=- 即q =3

所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)

4(13)1n n n b q S q

-=

=-- ★等差数列的最值：

若{}n a 是等差数列，求前n 项和的最值时，

（1）若a 1>0,d>0,且满足1

0n n a a +≥??≤?，前n 项和n S 最大；

（2）若a 1<0,d>0，且满足10

n n a a +≤??

≥?，前n 项和n S 最小；

（3）除上面方法外，还可将{}n a 的前n 项和的最值问题看作n S 关于n 的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n N *∈。 〖例〗已知数列{}n a 是等差数列。

（1）若,(),;m n m n a n a m m n a +==≠求 （2）若,(),.m n m n S n S m m n S +==>求 解答：设首项为1a ，公差为d ， （1）由,m n a n a m ==，1n m

d m n

-=

=-- ∴()(1)0.m n m a a m n m d n n +=++-=+?-=

（2）由已知可得11

(1)2,(1)2n n m na d m m n ma d

-?

=+???-?=+??解得221.2()n m mn m n a mn m n d mn ?++--=???

-+?=?? 1()(1)

()()2

m n m n m n S m n a d m n +++-∴=++

=-+

【例】已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *，满足关系式2S n ＝3a n －3.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1

log 3a n ·log 3a n ＋1

，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正整数n ，总有

T n <1.

(1)解 ①当n ＝1时，由2S n ＝3a n －3得，2a 1＝3a 1－3， ∴a 1＝3.

②当n ≥2时，由2S n ＝3a n －3得， 2S n －1＝3a n －1－3.

两式相减得：2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，即2a n ＝3a n －3a n －1， ∴a n ＝3a n －1，又∵a 1＝3≠0，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝3n . 验证：当n ＝1时，a 1＝3也适合a n ＝3n . ∴{a n }的通项公式为a n ＝3n .

(2)证明 ∵b n ＝1

log 3a n ·log 3a n ＋1＝1

log 33n ·log 33n ＋1

＝1

(n ＋1)n ＝1n －1

n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)

＝1－

1n ＋1

<1. 等差数列习题

1. 设｛a n ｝为等差数列，S n 为｛a n ｝的前n 项和，S 7＝7，S 15＝75，已知T n 为数列｛S n n

｝的前n 项数，

求T n ．

2．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，12,633==S a ． （１）求数列{}n a 的通项公式；（２）求

n

S S S 1

1121+++Λ． 12.解：设数列｛a n ｝的公差为d ，则S n ＝na 1＋1

2

n （n －1）d ．

∵S 7＝7，S 15＝75，∴???7a 1＋21d ＝7 15a 1＋105d ＝75， ∴?

??a 1＝－2

d ＝1

∴S n

n ＝a 1＋12 ·（n －1）d ＝－2＋1

2

·（n －1） ∴S n +1n ＋1 －S n

n ＝12 ∴数列｛S n n ｝是等差数列，其首项为－2，公差为12 ， ∴T n ＝n ·(－2)＋

n （n －1）2 ·1

2 ＝14 n 2－9

4

n ．

14．解：（１）设数列{}n a 的公差为ｄ，由题意得方程组???

??=?+=+1222

336211d a d a ，解得 ??

?==2

2

1d a ，∴数列{}n a 的通项公式为n d n a a n 2)1(1=-+=，即n a n 2=． （２）∵n a n 2=，∴)1(2

)

(1+=+=

n n a a n S n n ． ∴

n S S S 11121+++Λ)

1(1321211+++?+?=n n Λ 1

1

1)111(

)3121()2111(+-

=+-++-+-=n n n Λ． B 、等比数列知识点及练习题

等比数列及其前n 项和 （一）等比数列的判定 判定方法有： （1）定义法：若

11

()()n n n n a a

q q q q a a +-==≥为非零常数或为非零常数且n 2，则{}n a 是等比数列； （2）中项公式法：若数列{}n a 中，2120()n n n n a a a a n N *

++≠=∈g 且，则数列{}n a 是等比数列； （3）通项公式法：若数列通项公式可写成(,0)n n a cq c q n N *

=∈均为不为的常数，，则数列{}n a 是

等比数列；

（4）前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,0,1)n

n S k q k k k q =-≠≠g 为常数且，则数列{}

n a 是等比数列；

注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。

〖例〗在数列{}n a 中，112,431,n n a a a n n N +==-+∈*。 （1） 证明数列{}n a n -是等比数列；

（2） 求数列{}n a 的前n 项和n S ；

（3） 证明不等式14n n S S +≤对任意n N *∈皆成立。

解答：（1）由题设1431,n n a a n +=-+得1(1)4(),n n a n a n n N *

+-+=-∈。又111,a -=所以数列{}

n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列。

（2）由（1）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为1

4n n a n -=+。所以数列{}n a 的前n 项和

141(1)32

n n n n S +-+=+。

（3）对任意的n N *∈，

12141(1)(2)41(1)144[](34)032322n n n n n n n n S S n n ++-++-+-=+-+=-+-≤，所以不等式

14n n S S +≤对任意n N *∈皆成立。

（二）等比数列的的运算

等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量1a ，n ，q ，n a ，n S ，显然，“知三求二”，通常列方程（组）求解问题。解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。

注：在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式。

〖例〗设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且n b =2-2n S ；数列{}n a 为等差数列，且6714,20a a ==。 （1） 求数列{}n b 的通项公式；

（2） 若()n n n c a b n N *=∈g

，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：7

2

n T <。【放缩法】 解答：（1）由n b =2-2n S ，得1122b S =-，又1S =1b ，所以1b =2

3

，由n b =2-2n S ……………………① 得1122n n b S ++=-……………………………………………………②

②-①得112n n n b b b ++-=-，∴

，∴{}n b 是以

23为首项，以1

3

为公比的等比数

列，所以n b =

23·1()3

n

。 （2）∵{}n a 为等差数列，∴75

375

a a d -=

=-，∴从而

∴231

1112[25()8()(31)()]333

3

n n T n =++++-g g g L g ………………………………③

∴23411111112[2()5()8()(34)()(31)()]333333

n n n T n n +=++++-+-g g g L …………………④ ③-④得

=

∴

∴

（三）等比数列性质的应用 ★在等比数列中常用的性质主要有： （1）对于任意的正整数

若

，则特别地，若

；

（2）对于任意正整数

有

；

（3）若数列{}n a 是等比数列，则{}{}{}2

1(0),,n n n n ca c a a a ??≠????

也是等比数列，若{}n b 是等比数列，

则{}n n a b g 也是等比数列；

（4）数列

仍成等比数列；

（5）数列

是等比数列（q

≠-1

）；

★（6

）等比数列的单调性

注：等比数列中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同。

1.（全国卷2理数）（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 【考查点】考查等差数列的基本公式和性质.

【解析】173454412747()

312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++=

==L

2.

（理数）（6）设{a n }是有正数组成的等比数列，n S

为其前n 项和。已知a 2a 4=1, 37S =,则5S =

（A ）152 (B)314 (C)334 (D)17

2

【考查点】等比数列的通项公式与前n 项和公式。

【解析】由a 2a 4=1可得

2411

a q =，因此

121

a q =

，又因为2

31(1)7S a q q =++=，联力两式有

11(3)(2)0

q q +-=，所以q=12,所以

551

4(1)

3121412S --

==-，

3. （卷）（14）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = 15 。

解： 3161

32332656242S a d S a d ??

=+=?????=+=??

,解得112a d =-??=?，91815.a a d ∴=+=

4. （天津卷）（15）设{a n }

是等比数列，公比q =

S n 为{a n

}的前n 项和。记

*21

17,.n n

n n S S T n N a +-=

∈设

n T 为数列{

n

T }的最大项，则

n = 。

【解析】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。

22n n n n n T ==

17]n =

+-

因为

n +

≧8

，当且仅当n =4，即n=4时取等号，所以当n 0=4时T n

有最大值。

5. （卷）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈

(1)证明：{}1n a -是等比数列；

(2)求数列

{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .

解析：(1) 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以15

1(1)

6n n a a --=-，

又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列； (2) 由(1)知：

1

51156n n a -??

-=-? ?

??，得

1

51156n n a -??

=-? ?

??，从而

1

57590

6n n S n -??

=?+- ?

??(n ∈N *)；

由S n +1>S n ，得1

52

65n -??

<

?

??

，562log 114.9

25n >+≈，最小正整数n =15．

【其他考点题】

1、设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论错误的是（C ） A.d ＜0

B.a 7＝0

C.S 9＞S 5

D.S 6与

S 7均为S n 的最大值

解析：由S 50，又S 6=S 7，∴a 1+a 2+…+a 6=a 1+a 2+…

+a 6+a 7，∴a 7=0，由S 7>S 8，得a 8<0，而C 选项S 9>S 5，即a 6+a 7+a 8+a 9>0?2（a 7+a 8）>0，由题设

a 7=0，a 8<0，显然C 选项是错误的。

2、lim

n →∞2123n

n

++++L ＝（C ） (A) 2 (B) 4 (C) 2

1

(D)0

3、已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，且xy ≠0，那么

y

c

x a +的值为（B ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为22(,),n S pn n q p q R n N =-+∈∈

（Ⅰ）求q 的值；

（Ⅱ）若a 1与a 5的等差中项为18，b n 满足22log n n

a b =，求数列的{b n }前n 项和。

(Ⅰ)解法一：当1n =时，

112a S p q

==-+,

当2n ≥时,2212(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pn p =--.

{}

n a Q 是等差数列, 222p q p p ∴-+=--, 0q ∴=·4分

解法二：当1n =时,

112a S p q

==-+,

当2n ≥时,2212(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pm p =--.

当3n ≥时,

1122[2(1)2]2n a a pn p p n p p

--=------=.

22232a p q p p q

=-++=-+.

又

222232

a p p p =?--=-,

所以3232p q p -+=-,得0q =.·4分

(Ⅱ)解：15

32a a a +=

Q ,318a ∴=.

又362

a p p =--, 6218p p ∴--=, 4p ∴= 86

n a n ∴=-·8分 又

22log n n

a b =得

43

2n n b -=.

12

b

∴=,

4(1)1

4

1

43

2

216

2

n

n

n

n

b

b

--

+

-

===

,即

{}

n

b是等比数列。

所以数列{}

n

b的前n项和

2(116)2

(161)

11615

n

n

n

T

-

==-

-.