博士研究高等数值分析试题
数学博士试题及答案解析
数学博士试题及答案解析一、选择题（每题5分，共20分）1. 假设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b) = 0，则下列哪个选项是正确的？A. f(x)在[a, b]上恒等于0B. 存在至少一个点c∈(a, b)，使得f'(c) = 0C. f(x)在[a, b]上至少有一个极大值或极小值D. f(x)在[a, b]上单调递增或递减答案：B解析：根据罗尔定理，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且f(a) = f(b)，则存在至少一个点c∈(a, b)，使得f'(c) = 0。
因此，选项B是正确的。
2. 假设随机变量X服从标准正态分布，那么P(|X| < 1)的值是多少？A. 0.5B. 0.6827C. 0.8413D. 0.9772答案：C解析：标准正态分布的累积分布函数（CDF）表或计算器可以告诉我们，P(|X| < 1) = P(-1 < X < 1) = Φ(1) - Φ(-1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6827，其中Φ表示标准正态分布的CDF。
因此，选项C是正确的。
3. 假设矩阵A是一个3x3的奇异矩阵，那么下列哪个选项是正确的？A. |A| = 0B. A的行列式为正C. A可逆D. A的秩小于3答案：A解析：奇异矩阵是指行列式为零的矩阵，因此选项A是正确的。
选项B不正确，因为奇异矩阵的行列式可以是正数、负数或零。
选项C不正确，因为奇异矩阵不可逆。
选项D不正确，因为奇异矩阵的秩可以是0、1或2，但不一定是小于3。
4. 假设函数g(x) = x^3 - 3x + 1，那么g'(x)的表达式是什么？A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3x + 1C. 3x^2 - 3x + 1D. x^3 - 3x^2 + 1答案：A解析：对g(x) = x^3 - 3x + 1求导，得到g'(x) = 3x^2 - 3。
高等工程数学数值分析部分试题(3)
一、填空题
1. 设*
2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*
x 有 位有效数字. 2. 数值求积公式⎰++≈10)1(6
1)21(32)0(61)(f f f dx x f 具有 次代数精度 . 3. 已知352)(4
7+++=x x x x f ，则均差=]2,,2,2[810 f .
4.取步长2.0=h ,用Euler 法求解初值问题x y y +-=',1)0(=y ,10≤≤x 的迭代格式为________.
二、计算题
1. 当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
2. 确定求积公式101()()(0)();h h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。
3. 设线性方程组b X =A 的系数矩阵为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=a a a A 232131 试求能使Jacobi 迭代收敛的a 的取值范围。
4. 写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解初值问题)10(<<+='x y x y ,1)0(=y 的计算公式,并计算出1y 的近似值.(精确到小数点后四位)。
数值分析(研)试题答案
沈阳航空航天大学研究生试卷（A ）2011-2012学年第一学期课程名称：数值分析出题人: 王吉波审核人:一、填空题（本题40分每空4分）1．设),,1,0()(n jx l j 为节点n x x x ,,,10的n 次基函数，则)(i j x l ji j i ,0,1。
2．已知函数1)(2xxx f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 0。
3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数83,81)3(2)3(1)3(0CCC ，则)3(3C 81。
4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式,2,1,0,)()1(kf Bxxk k 收敛的充分必要条件是1)(B 或 B 的谱半径小于 1 。
5．设矩阵1221A，则A 的条件数2)(A Cond = 3 。
6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过0.005cm 才能使其面积误差不超过12cm。
7.要使求积公式)()0(41)(111x f A f dxx f 具有2次代数精确度，则1x 2/3 ，1A 3/4。
8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解LU A，135945-2791260945-0451827-9189A其中，则13213012-100120001L，9548100918-9027-9189U二、（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3x 的系数是6，试确定数据y 。
答案：利用Lagrange 插值多项式，)()()()()()()()()()(3322110033x l x f x l x f x l x f x l x f x L x P 及基函数的表达式可知3x 的系数为))()(()(3020100x x x x x x x f +))()(()(3121011x x x x x x x f +))()(()(3212022x x x x x x x f +))()(()(2313033x x x x x x x f （5分）代入有关数据得15.122)1(5.013)5.1()5.0(5.006y解得y=4.25.（5分）三、（15分）试导出计算)0(1a a的Newton 迭代格式，使公式中（对n x ）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。
博士入学数学(高等数学、数值分析)课考试大纲
博士入学数学（高等数学、数值分析）课考试大纲
高等数学部分（50分）
1. 极限与连续
数列的极限，函数及函数的极限，极限的性质及运算法则，无穷小的比较，函数的连续性。
2. 导数与微分
导数的概念，导数的基本公式，导数的四则运算及求导法则，高阶导数，微分，函数的极值。
3. 微分中值定理
微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式。
4. 积分
原函数与不定积分，定积分的概念与性质，换元积分法，分部积分法，微积分学基本定理，定积分的应用。
5. 微分方程
微分方程的基本概念，一阶微分方程，几种可积的高阶微分方程，线性微分方程及其通解的结构，常系数齐次（非齐次）线性微分方程。
6. 多元函数微积分
多元函数，偏导数与高阶偏导数，全微分，复合函数及隐函数的求导法，多元函数的极值，二重积分。
7. 无穷级数
无穷级数的敛散性，正项级数敛散性的判别，任意项级数，绝对收敛，幂级数及幂级数的收敛半径和收敛域，函数的幂级数展开。
数值分析部分（50分）
1．非线性方程求根
简单迭代法、牛顿法、割线法及其计算效率。
2．线性代数方程组的数值解法
向量与矩阵范数，高斯列主元消去法，误差分析；雅可比迭代法、高斯—赛德尔迭代法、超松弛迭代法及其收敛性讨论。
3．插值与拟合逼近
函数的拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值、样条插值；曲线拟合的最小二乘逼近方法；误差分析。
4．数值积分
代数精度，低阶牛顿—柯特斯求积公式及其复化，龙贝格算法；高斯积分公式；数值积分公式的稳定性。
5．常微分方程初值问题的数值解法
常用单步法和多步法及其稳定性讨论；预测—校正格式。
博士研究生入学考试《数值分析(机电院)》考试大纲
博士研究生入学考试《数值分析（机电院）》考试大纲第一部分考试形式和试卷结构一、考试方式：考试采用闭卷笔试方式，试卷满分为100分。
二、考试时间：180分钟。
三、试卷内容结构：约占 60%，主观题约占 40%。
四、试卷题型结构：试卷由三部分组成：选择/判断、填空、分析/计算。
其中：1、选择/判断题，约占20%。
测试考生对本课程基本概念、基本知识和数值计算常用算法设计与分析方法的掌握程度。
2、填空题，约占40%。
测试考生运用数值计算相关基础知识和基本方法，开展计算、简要分析以及求解实际问题的能力。
3、分析、计算题，约占40%。
测试考生综合运用数值计算理论、典型方法解决综合问题，并开展相关计算方法收敛性以及误差分析等能力。
第二部分考察的知识及范围1.误差度量与数值算法设计误差基本概念：误差来源与分类，截断误差、舍入误差、绝对误差、相对误差，有效数字以及数值稳定性。
函数计算误差分析：一元函数误差估计，四则运算误差估计。
数值算法设计原则：简化计算步骤以节省计算量（秦九韶算法）、减少有效数字损失，选择数值稳定的算法。
2.函数的插值方法以及误差估计插值问题的基本概念：插值问题的描述，插值多项式的存在和唯一性，差商、差分的概念以及性质。
拉格朗日插值：线性插值与抛物插值，n次拉格朗日插值，插值余项公式。
牛顿插值：均差的概念与性质，牛顿插值公式及其余项，差分的概念与性质。
埃尔米特插值：两点三次埃尔米特插值及其余项，n点埃尔米特插值，非标准埃尔米特插值及其余项。
分段低次插值：分段线性插值，分段三次埃尔米特插值。
三次样条插值：三次样条函数建立，三次样条插值方法。
3.函数逼近与曲线拟合正交多项式：函数内积、欧几里德范数，正交函数序列，正交多项式，勒德让多项式，切比雪夫多项式。
最佳平方逼近：最佳平方逼近问题及解法，基于正交函数、勒德让多项式、切比雪夫多项式的最佳平方逼近。
最小二乘法：最小二乘曲线拟合问题的提出和解法，最小二乘计算，最小二乘法的应用（算术平均、超定方程组）。
北京交通大学计算数学考博参考书和考博真题
北京交通大学计算数学考博参考书和考博真题一、专业介绍计算数学也叫做数值计算方法或数值分析。
主要内容包括代数方程、线性代相关书籍数方程组、微分方程的数值解法，函数的数值逼近问题，矩阵特征值的求法，最优化计算问题，概率统计计算问题等等，还包括解的存在性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题。
五次及五次以上的代数方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代数方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是数值分析的方法。
对于一般的超越方程，如对数方程、三角方程等等也只能采用数值分析的办法。
怎样找出比较简洁、误差比较小、花费时间比较少的计算方法是数值分析的主要课题。
在求解方程的办法中，常用的办法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。
迭代法的计算是比较简单的，是比较容易进行的。
迭代法还可以用来求解线性方程组的解。
求方程组的近似解也要选择适当的迭代公式，使得收敛速度快，近似误差小。
在线性代数方程组的解法中，常用的有塞德尔迭代法、共轭斜量法、超松弛迭代法等等。
此外，一些比较古老的普通消去法，如高斯法、追赶法等等，在利用计算机的条件下也可以得到广泛的应用。
在计算方法中，数值逼近也是常用的基本方法。
数值逼近也叫近似代替，就计算机与计算数学是用简单的函数去代替比较复杂的函数，或者代替不能用解析表达式表示的函数。
数值逼近的基本方法是插值法。
初等数学里的三角函数表，对数表中的修正值，就是根据插值法制成的。
在遇到求微分和积分的时候，如何利用简单的函数去近似代替所给的函数，以便容易求到和求积分，也是计算方法的一个主要内容。
微分方程的数值解法也是近似解法。
常微分方程的数值解法由欧拉法、预测校正法等。
偏微分方程的初值问题或边值问题，常用的是有限差分法、有限元素法等。
有限差分法的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变量的微分方程和定解条件。
求出差分方程的解法作为求偏微分方程的近似解。
本学科培养科学计算方面高层次的专门人才：具有比较扎实和宽广的数学和计算数学基础，掌握现代的科学计算方法和相应的软件，了解本学科的重要进展与动向，并在某个方向受到进一步的专业训练，具有独立进行科学研究和解决实际问题的能力，并做出有一定创造性的成果;较熟练地掌握一门外国语，能阅读本专业的外文资料;毕业后能从事与科学计算相关的科研，教学和实际工作。
数值计算(数值分析)试题及答案
武汉理工大学研究生课程考试标准答案用纸课程名称：数值计算（A ） 任课教师 ：一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分） 1.将227和355113作为 3.14159265358979π=L 的近似值，它们各有几位有效数字， 绝对误差和相对误差分别是多少3分）2分）2.已知()8532f x x x =+-，求0183,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L ，0193,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L .(5分）3.确定求积公式10120()(0)(1)(0)f x dx A f A f A f '≈++⎰中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。
解：要使其代数精度尽可能的高，只需令()1,,,m f x x x =L L 使积分公式对尽可能大的正整数m 准确成立。
由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即2m =。
由()1f x =数值积分准确成立得：011A A += 由()f x x =数值积分准确成立得：121/2A A += 由2()f x x =数值积分准确成立得：11/3A =解得1201/3,1/6,2/3.A A A === (3分）此时，取3()f x x =积分准确值为1/4,而数值积分为11/31/4,A =≠所以该求积公式的最高代数精度为2次。
(2分）4.求矩阵101010202A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的谱半径。
解 ()()101011322I A λλλλλλλ--=-=---矩阵A 的特征值为1230,1,3λλλ=== 所以谱半径(){}max 0,1,33A ρ== (5分）5. 设10099,9998A ⎛⎫= ⎪⎝⎭计算A 的条件数()(),2,p cond A P =∞.解：**19899-98999910099-100A A A A --⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭矩阵A 的较大特征值为，较小的特征值为，则1222()198.00505035/0.0050503539206cond A A A -=⨯==(2分）1()199********cond A A A -∞∞∞=⨯=⨯= (3分）22001130101011010220100110110()(12)()(12)()()()()()x x x x x x x x H x y y x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x x x ----=-+-------''+-+---(5分）并依条件1(0)1,(0),(1)2,(1) 2.2H H H H ''====，得2222331()(12)(1)2(32)(1)2(1)211122H x x x x x x x x x x x =+-+-+-+-=++ (5分）2.已知()()()12,11,21f f f -===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
华南理工大学研究生数值分析试卷
（一）1.计算81269322345++-+-=xx x x x P 时，为了减少乘除法运算次数，应把它改写成什么形式？成什么形式？2.设有递推公式,...2,1.1610=-==-n y y e y n n ，如果取'00718.2y e y =»=作近似计算，问计算到10y 时误差是初始误差的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？时误差是初始误差的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？（二）1.满足1+n 个相同插值条件的n 次牛顿插值多项式)(x N n 与n 次拉格朗日插值多项式)(x L n 是恒等的，对吗？（回答“对”或“错”）2.试用两种方法求满足插值条件2)2(,0)1()1(,1)0('====p p p p 的插值多项式)(x p 。
（三）1.若已有同一个量的多个近似值，通常取其算术平均作为该量的近似值。
指出这种做法的理论依据（不必详细推导）。
2.在某试验过程中，变量y 依赖于变量x 的试验数据如下：的试验数据如下：:x 1 2 3 4 :y 0.8 1.5 1.8 2.0 试求其形如2bx ax y +=的拟合曲线。
的拟合曲线。
（四）1.设有插值型求积公式)()(011k n k k x f A dx x f åò=-»，则å=nk k A 0等于哪个常数？等于哪个常数？2.确定下列求积公式的求积系数101,,AA A -: )1()0()1()(10111f A f A f A dx x f ++-»--ò 使公式具有尽可能高的代数精度；并问所得公式是不是Gauss 型公式？型公式？（五）1.Gauss 消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？A ．提高计算速度；B 提高计算精度；C 简化计算公式；D.提高算法的数值稳定性；E.节省存储空间存储空间2.用列主元Gauss 消去法解方程组（用增广矩阵表示过程，不用求系数矩阵行列式值）：úúúûùêêêëé-11.031045321úúúûùêêêëé321x x x =úúúûùêêêëé201（六）给定线性方程组úûùêëé-5.1112úûùêëé21x x =úûùêëé-48 试构造解此方程组的Jacobi 迭代公式和Guass-Seidel 迭代公式，这两种迭代收敛吗？迭代公式，这两种迭代收敛吗？2.已知求解线性方程组b Ax =的分量迭代格式的分量迭代格式ii k k a x x w +=+)()1(n i x a b n j k j ij i ,...,2,1),(1)(=-å= 试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；并证明当A 是严格对角占优阵且21=w 时此迭代格式收敛。
数值分析试题库与答案解析
模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2．设152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，342⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ，则 ∞A = .， 1x = ______.3．已知y =f (x )的均差（差商）01214[,,]3f x x x =，12315[,,] 3f x x x =，23491[,,]15f x x x =，0238[,,] 3f x x x =, 那么均差423[,,]f x x x = .4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C 则)4(3C ＝ .5．解初始值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进的Euler 方法是 阶方法；6．求解线性代数方程组123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩的高斯—塞德尔迭代公式为 ，若取(0)(1,1,1)=-x, 则(1)=x .7．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 . 8．1(), (),, ()n x x x 是以整数点01, ,, ,n x x x 为节点的Lagrange 插值基函数，则()n kjk k xx =∑= .9．解方程组=Ax b 的简单迭代格式(1)()k k +=+xBx g 收敛的充要条件是 .10．设(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====，则()f x 的三次牛顿插值多项式为 ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式()p x 满足：(1)15p =，(1)20p '=，(1)30p ''=(2)57p =，(2)72p '=.2．构造代数精度最高的形式为10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰的求积公式，并求出 其代数精度.3．用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x .4．用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式拟合以下数据：5．用矩阵的直接三角分解法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x .6 试用数值积分法建立求解初值问题0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩的如下数值求解公式1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+.三、证明题（10分）设对任意的x ，函数()f x 的导数()f x '都存在且0()m f x M '<≤≤,对于满足20Mλ<<的任意λ，迭代格式1()k k k x x f x λ+=-均收敛于()0f x =的根*x .参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.9115； 4. 1645； 5. 二； 6. (1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩, ，，0.1543)7. 1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-; 8. j x ; 9. ()1B ρ<; 10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题 1．差商表：233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+ 令(2)57p =，(2)72p '=，求出a 和b. 2．取()1,f x x =，令公式准确成立，得：0112A A +=,011123A A +=, 013A =, 116A =. 2()f x x =时，公式左右14=；3()f x x =时，公式左15=, 公式右524=∴ 公式的代数精度2=.3．此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。
2013数值分析研究生试题
xk 1 xk
3 2 xk xk 1 2 3x k 2 x k
（5）
a 10 1 ，要使 lim A k 0 ，a 应满足___________； A 0 k 2
解
a 1
已知方程组
（6）
5 x 2 y 8 ，其雅可比法的迭代矩阵是______________， 3x 20 y 26
1 2 。 3 4
（1）求 A p , p 1,2, （2）求 A 的谱半径 ( A) 。 解 （1） A 1 max(4,6) 6, A max(3,7) 7 ，
10 14 AT A 。 14 20
2 T 由 | A A I | 0 ，得 30 4 0 。解得 15
证明 lim f [ x 0 , x1 , , x n ]
2
证明：查 p( x ) (f(x)-p(x), j ) =(f, j )- (p(x), j )
a
k 0 k
nk(ຫໍສະໝຸດ x)--------5 分
注意到 ak 是法方程组的解。而法方程组
0 , 0 0 , 1 0 , n a 0 ( f , 0 ) 1 , 0 1 , 1 1 , n a1 ( f , 1 ) 两边的 j-th 分量为 , , , a ( f , ) n 1 n n n n n 0
3
f ( n) ( x 0 ) h 0 n! ( n) f ( ) 证明：因 f [ x 0 , x1 , , x n ] --------7 分 n! (x0 ,x0 +nh) 注意到 n 阶导数连续性，--------12 分 两边取极限 ok! --------15 分 5. （10 分）设 f(x)在有限维内积空间＝span{0 , …, n }上的最佳平方逼近为 p(x), 试证明， f(x)-p(x)与中所有函数正交。
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一、写出5n =时 Lagrange 插值基函数2()l x 的表达式；解：0134522021232425()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x -----=-----二、设)(f x 的函数值及导数值为：312110='==)(f ,)(f ,)(f ，试求次数不超过2的插值多项式。
解：因为若)(x f 在],[b a 上有三阶连续导数，已知)(x f 在],[b a 上两个互异点10,x x 上的函数值)(0x f ，)(1x f 和一阶导数值1()f x '，则次数不超过二次的插值多项式为2010*********010110()(2)()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x L x f x f x f x x x x x x x --+---'=-+--- 并且插值余项为2011()()()(),(,)6R x x x x x f a b ξξ'''=--∈所以本题的插值多项式为222()(1)2(2)3(1)12L x x x x x x x x =---+-=-+ 三、x的插值二次式)(x p 2，使得15225p 13,169p 11121222===)()(,)(p ，解：0(169)(225)1()(169)(225)(121169)(121225)4992x x l x x x --==----1(121)(225)1()(121)(225)(169121)(169225)2688x x l x x x --==-----2(121)(169)1()(121)(169)(225121)(225169)5824x x l x x x --==----插值多项式为2111315()(169)(225)(121)(225)(121)(169)499226885824L x x x x x x x =-----+--2111315(145)(145169)(145225)(145121)(145225)(145121)(145169)499226885824L =-----+--2112024960864012.032967499226885824=+-≈四、对下列数据集，用最小二乘法求解拟合抛物线2210)(x a x a a x y ++=解：取()1x ω=，0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，22()x x ϕ=，22012()p x a a x a x =++，由于 5115i ==∑，510i i x ==∑，52110ii x ==∑，5310ii x ==∑，54134ii x ==∑，5122i i y ==∑，511i ii x y==-∑，52179i i i x y ==∑，从而可得法方程组为012501022010011003479a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解次方程组可得00.6a =- 10.1a =- 2 2.5a = 故所求二次拟和合曲线为20.60.1 2.5y x x =--+。
五、设n x x x x ,,,,210⋅⋅⋅是互不相同的节点，)(x l i 是插值基函数，求证：对任何k =0,1,2,…,n 下式成立： （1） ki n i ki x x l x =∑=)(0（2）0)()(0=∑-=x l x x i ni k i证明：(1) 令()k f x x = （0,1,2,,k n = ）， 则()f x 的Lagrange 插值多项式为()()()()nnk i i i i i i Ln x l x f x l x x ====∑∑其中()(0,1,2,,)i l x i n = 为Lagrange 插值基函数。
插值余项为(1)11()()-()()()(1)!n n Rn x f x Ln x f x n ξω++==+其中 ()()i x x x ω=∏-nn+1i=0，ξ在01,,,n x x x 之间.由于()k f x x = (0,1,2,,)k n = 故(1)()0n f x +=，从而()0n R x ≡,即()()n f x L x ≡), 故()(0,1,2,,)0nk k l x x x k n i i i ===∑=(2) 根据二项式展开定理有： 000(-)()(())()()()nnkknkn j k jn k j ji i j ii j i i i i j j i x x l x C x x l x C x x l x --======-=-∑∑∑∑∑ (1)nk jk jj ji C xx ---∑∑knij=0i=0=l(x) (由(1)结论可得)0(1)(1)knn k jk jjn k j kjjj j C xx C x ---===-=-∑∑ 0(1)(1-1)0nknk j k k jj x Cx -==-==∑六、 证明：若,1)(xa x f -=则()f x 在节点01,,,n x x x 处的 n 阶差商为 012011[,,,,]()()()n n f x x x x a x a x a x =---证明：当n=1时，有01011001()()1[,]()()f x f x f x x x x a x a x -==---结论成立，假设当n=k-1时成立，对n=k 有0121120120[,,,,][,,,][,,,,]n n n nf x x x x f x x x f x x x x x x --=-001112111[]()()()()()()()n n n x x a x a x a x a x a x a x -=-------- 1100111[]()()()()()n n n a x a x x x a x a x -=------ 011()()()n a x a x a x =--- 所以对任何n 上式都成立，证毕。
七、已知函数()x f y =的数据如下： ()()()122,31,20===f f f ， ()1475=f （1）求()x f y =的三次Lagrange 插值多项式及牛顿差商表和牛顿插值公式，并写出截断误差表达式。
（2）如果再增加一个节点()31f =-，试利用（1）的结果，来求在新的条件下，()x f y =的牛顿差商表和牛顿插值公式，并写出截断误差表达式。
解：（1）Lagrange 插值多项式：320(1)(2)(5)11()(1)(2)(5)(81710)(01)(02)(05)1010x x x l x x x x x x x ---==----=--+----321(2)(5)11()(2)(5)(710)(10)(12)(15)44x x x l x x x x x x x --==--=-+---322(1)(5)11()(1)(5)(65)(20)(21)(25)66x x x l x x x x x x x --==---=--+---323(1)(2)11()(1)(2)(32)(50)(51)(52)6060x x x l x x x x x x x --==--=-+---33201230()()()2()3()12()147()2i i i Ln x l x f x l x l x l x l x x x x ===+++=+-+∑23()214(1)1(1)(2)2n N x x x x x x x x x x =+⋅+⋅-+⋅--=-++截断误差为：(4)()(1)(2)(5)f x x x x ξ---1 Rn(x)=4！(0,5)ξ∈ （2）牛顿差值多项式为：()214(1)1(1)(2)3(1)(2)(5)n N x x x x x x x x x x x =+⋅+⋅-+⋅--+⋅---23422852233x x x x =-+-+截断误差为： (5)()(1)(2)(3)(5)f x x x x x ξ----1 Rn(x)=5！(0,5)ξ∈ 八、若)(x f 在],[b a 上有三阶连续导数，已知)(x f 在],[b a 上两个互异点10,x x 上的函数值)(0x f ，)(1x f 和一阶导数值)(0x f '，试用插值方法导出)(x f 的表达式为)()()()()())(()()()2)(()(120120001100201101x R x f x x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x f +--+'---+-+---= 其中),(),()()(61)(120b a f x x x x x R ∈'''--=ξξ。
九、求满足条件的埃尔米特（Hermite ）插值多项式.十、求在区间]1,0[上，关于权函数=()W x )(),(),(210x g x g x g 。
解：设0()1g x =， 1()g x x a =+ 22()g x x bx c =++则由()0x a dx +=⎰得 2230,-535a a +==由20)0x bx c dx ++=⎰得 2220753b c ++=由203-)()05x x bx c dx ++=⎰得 1680359257b +=⨯⨯从而可得 3105-,-,5921a b c ===故 20123105()1,()-,()-5921g x g x x g x x x ===+十一.给定经验数据试用形如bx ae y =（b a ,为常数0>a ）的经验公式来拟合。
解 对 bx ae y =两边取对数有ln ln y a bx =+，作变换 ln Y y =，ln A a =，则有Y A bx =+，01ϕ=，1x ϕ=，()1x ω≡，为了求出A ，b ，将数据(,)i i x y 转化为(,)i i x Y ，从而有11(,)(1.00,1.629)x Y =，22(,)(1.25,1.756)x Y =，33(,)(1.50,1.876)x Y = 44(,)(1.75,2.008)x Y =，55(,)(2.00,2.135)x Y =，由最小二乘法写出法方程组，由于()5001,15i ϕϕ===∑，()5011,7.5i i x ϕϕ===∑，()52111,11.875i i x ϕϕ===∑，()501,9.404i i Y Y ϕ===∑，()5111,14.422i i Y x Y ϕ===∑，故法方程组为：57.59.4047.511.87514.422A b A b +=⎧⎨+=⎩ 解得 1.122A =，0.5056b =， 3.071Aa e ==，因此最小二乘拟合曲线为0.5056*3.071()x y e x ϕ==十二、 试证函数系0{(),,(),}n x x ϕϕL L 中函数01{(),(),,()}n x x x ϕϕϕL 线性无关的充要条件为Gram 矩阵0001010111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L非奇异，即1det 0n G +≠。