微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第十章[1]

第十章习题10-11． 指出下列各微分方程的阶数：(1) x (y ′)2-2yy ′+x =0; (2) (y ″)3+5(y ′)4-y 5+x 6=0; (3) y x '''+2y ″+x 2y =0; (4) (x 2-y 2)d x +(x 2+y 2)d y =0．解: (1) 因为方程中未知函数y 的最高阶导数的阶数为1,故该方程为一阶微分方程.(2) 二阶. (3) 三阶. (4) 一阶.2． 验证下列给定函数是其对应微分方程的解： (1) y =(x +C )e -x , y ′+y =e -x ;(2) xy =C 1e x +C 2e -x , xy ″+2y ′-xy =0;(3) x =cos2t +C 1cos3t +C 2sin3t ， x ″+9x =5cos2t ; (4)2212C yC x+=1， xyy ″+x (y ′)2-yy ′=0．解: (1)()()()()eee ee e exxxxxxxy x c y y x c x c y x c -------'=-+'∴+=-+++=∴=+是微分方程e x y y -'+=的解.(2) 在方程12e e xxxy c c -=+两边对x 求导有12e ex xy xy c c -'+=-上方程两边对x 求导有122e e xx y xy c c -'''+=+,即2y xy xy '''+= 即 20xy y xy '''+-=所以12e exx xy c c -=+所确定的函数()y y x =是方程20xy y xy '''+-=的解.(3)121212122sin 23sin 33cos 34cos 29cos 39sin 394cos 29cos 39sin 39cos 29cos 39sin 35cos 2 x t c t c t x t c t c t x x t c t c t t c t c t t'=--+''=---''∴+=---+++= 所以 12cos 2cos 3sin 3x t c t c t =++是微分方程95cos 2x x t ''+=的解.(4) 方程22121xyc c +=两边对x 求导得210(1) c x c yy '+= (1)式两边对x 求导得2211()0(2) c c y c yy '''++= (2)式两边同乘以x 得2211()0(3) c x c x y c xyy '''++=(3)-(2)得 2()0x y y x y y y ''''+-= 所以22211xy c c+=是方程2()0xyy x y yy ''''+-=的解.3． 已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求这曲线所满足的微分方程． 解: 设(,)x y 是曲线()y f x =上任一点,则过该点的切线方程为()Y y y X x '-=-,由已知0X =时,Y x =,得x y xy '-=- 即 0xy y x '-+=为()y f x =所满足得微分方程.4． 求通解为y =C e x +x 的微分方程，这里C 为任意常数．解: 由e x y C x =+得1e x y C '=+,而由已知e x C y x =-得 1y y x '=-+ 故通解为e xy C x =+的微分方程为1y y x '=-+.习题10-21．求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解： (1) y ′＝xy -+11； (2) xy d x +21x -d y =0;(3) (xy 2+x )d x +(y -x 2y )d y =0;(4) sin x cos 2y d x +cos 2x d y =0; (5)1,0110==+-+=x yy xy x yx d d ；(6) yy ′+x e y =0, y (1)=0; (7) y ′=e 2x -y ， 00==x y．解: (1) 原方程分离变量得 (10)11d d y x y yx=+≠+- ,两边积分得1ln ln 11c y x =-++- 即 1ln (1)(1)c x y =-+,即1(1)(1)e c x y =-+, 1(1)(1)e cx y -+=±,记1e c c ±=,有 (1)(1)(0)x y c c -+=≠, 而当 10y +=即 1y =-时,显然是方程的解,上式取0c =时包含了1y =-,故方程的解为(1)(1)x y c -+= (c 为任意常数)(2) 分离变量得: 210,0d d x x y x y y-=-≠≠,两边积分得,1ln c y =+,可知 1c y -=,即 1c y e-=±⋅又 0y =显然是方程的解.∴ 方程的通解为 y c = (c 为任意常数). (3) 分离变量得222211d d y xy x yx =+-, 两边积分得 221ln(1)ln 1y c x +=+-,即2121ln1y c x +=- 从而 1221(1)e c y x +=±-,记 1e c c =± 有 22(1)1y c x =--.(4) 分离变量得,22sin cos cos d d y x x yx=-,两边积分得,1tan cos y c x=-+ 即tan sec y x c +=.(5) 原方程可化为:(1)(1)d d y y y x x x +=+,两边积分得23232323yyxxc +=++由 01x y == 得 115236c =+=, 所以原方程满足初始条件的特解为2323523236yyxx+=++即 33222()3()5x y x y -+-=. (6) 分离变量得 e d d y y y x x --=, 两边积分得 22eeyyxy c --+=+由 (1)0y = 得 12c = , 故原方程满足初始条件的特解为21(1)(1)2e yy x -+=+.(7) 分离变量得 2e d e d yxy x = ,两边积分得 212e eyxc =+, 由 00x y== 得12c =,所以,原方程满足初始条件的特解为 21(1)2e ey x=+.2． 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为T 0的物体放在保持常温为α的室内，求温度T 与时间t 的关系. 解: 设t 时刻物体的温度为T ,由题意有()d d Tk T t α=-- (k 为比例系数)分离变量得 d d T k t T α=--,两边积分得, 1ln kt c T α=-+-,得e ktT c α-=+, 由题意有0t =时,0T T =,代入上式得, 0c T α=-.∴0()ektT T αα-=-+ (k 为比例系数).3． 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解： (1) xy ′-y -22y x +＝0；(2) y ′=xy +sinxy ；(3) 3xy 2d y ＝(2y 3-x 3)d x ; (4) x 2y ′+xy =y 2， y (1)=1； (5) xy ′=y (ln y -ln x ), y (1)=1; (6) (y -x +2)d x =(x +y +4)d y ; (7) (x +y )d x +(3x +3y -4)d y =0．解: (1) 原方程可化为 yy x '=+, 令 yu x= 则 y ux =, y u xu ''=+ 代入原方程得: xu '= 即d d u x x=两边积分得 1l n ()l n u c x +=+即 u c x +=将y u x=代入得 2y c x+=. (2) 令y u x=,则 ,y ux y u xu ''==+ 代入原方程得:sin d d u u x= 即s i n d d uxu x =两边积分得 1l n t a n l n 2ux c =+,则 tan ,2arctan 2ucx u cx ==,将yu x=代入得2arctan y x cx =.(3) 原方程可化为221()()33d d y y x xx y =-, 令 y u x =,则 d d d d u yxu x x+=, 代入上式得,2331d d ux u ux=-+, 两边积分得 31ln(1)ln u x c +=-+, 即 3(1)x u c +=,将 y u x=代入得 332x y cx +=.(4) 原方程可化为 2()yy y x x '+=, 令 y u x =, 则 ,d d d d y uy ux u xx x ==+,代入上式得 22d d u x u ux=-, 即11122d x x u u ⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦ , 两边积分得 112ln ln 2u c x u-=+ 即 22u cux -= 将y u x=代入得2y cxy x-=,由 (1)1y = 得 1c =-, ∴2y xy x-=-, 即 221x y x=+ 所以原方程满足初始条件的特解为221x y x=+. (5) 原方程可化为lnd d y y y xxx=, 令 y u x= 则d d d d y u u xxx=+, 上方程可化为ln d d u u x u u x+= 即(ln 1)d d u x u u x=-两边积分得 1l n l n l n 1c u x =+- 即 1l n 1() e c u c x c -==± 亦即 1e cx u += 将 y u x=代入得 1ecxy x +=由初始条件(1)1y = 得 1c =-故原方程满足初始条件的特解为 1e x y x -=.(6) 原方程可化为24d d y y x xx y -+=++ 解方程组2040y x x y -+=⎧⎨++=⎩ 得 13x y =-⎧⎨=-⎩ 作变换 13x u y v =-⎧⎨=-⎩,原方程化为 d d v v uu u v -=+ 这是一个齐次方程,按齐次方程的解法: 令 v uξ=, 方程可化为211d d u uξξξ+=-+两边积分可得,整理可得,222arctan ln (1)u c ξξ++= 将v uξ=代入上式得222arctanln()v u v c u++=将1,3u x v y =+=+代入上式得2232arctanln (1)(3)1y c x y x ++=⎡⎤+++⎣⎦+(7)原方程可化为334d d y x y xx y +=+-令t x y =+,则1d d d d t y xx=+,代入上方程得 2434d d t t xt -=- 即2422d t x t -=-即2(3)22d d t x t +=-,积分得32ln 22t x c t +=+-.将t x y =+代入上式得,32ln 2x y c x y ++=+-. 4． 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解： (1) y ′-y =sin x ;(2) y ′-xny =x n e x ；(3) (x -2y )d y +d x =0;(4) (1+x sin y )y ′-cos y =0；(5) y ′-1+x y=(x +1)e x , y (0)=1;(6) y ′+2221212xxy xx +=+，y (0)=23;(7) y ′-y x1=-x2ln x , y (1)=1;(8) y ′+2xy =(x sin x )·2x-e ，y (0)=1;(9) y ′＝234xyy x +；(10) y ′＝xyy x +331．解: (1) 这是一阶非齐次线性微分方程,()()()1,()sin (())(sin )(sin )sin cos ()21(sin cos )2d de d e e d e e d e P x dx P x xdx xx xxxxx P x Q x xy Q x e x c x x c x x c x e x e e c c x x -----=-=⎰⎰∴=+⎰⎰=+=⋅+-⋅-⋅=+=-+⎰⎰⎰(2) 这是一阶非齐次线性微分方程,(),()e n xn P x Q x x x=-=()()ln ln (())()()()()()d d d de e d ee ed e ed d de P x x P x xnnxxn xn xn x n xx x nnxnnx nxy Q x x c x x c ex x c x x e x x c x e x c x c ----⎰⎰∴=+⎰⎰=⋅+=⋅+=⋅+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰(3) 原方程可化为2d d x x y y+=,这是一个关于y 的一阶齐次线性微分方程,且()1,()2P y Q y y ==, 所以()()(())(2)(2)(2(1))2(1)d d d d e e d e e d e e d ee eP y y P y yy yyyyyyx Q y y c y y c y y c y c y c -----⎰⎰=+⎰⎰=⋅+=+=-+=-+⎰⎰⎰(4) 原方程可化为tan sec d d x x y y y-=,这是一个关于y 的一阶非齐次线性微分方程,且 ()tan ,()sec P y y Q y y =-=, 所以()()tan tan (())(sec )1(sec cos )cos 1()cos d d d d e e d e e d d P y y P y yy y y y x Q y y c y y c y y y c y y c y--⎰⎰=+⎰⎰=+=⋅+=+⎰⎰⎰(5) 这是一阶非齐次线性微分方程且1(),()(1)1e xP x Q x x x =-=++,所以()()1111(())((1))(1)()(1)()d d d de e d ee ed d P x x P x xxxxx x xxy Q x x c x x c x e x c x e c --++⎰⎰=+⎰⎰=+⋅+=++=++⎰⎰⎰将初始条件 (0)1y =代入上式中得0c =故,原方程满足初始条件的特解是 (1)e xy x =+.(6) 这是一阶非齐次线性微分方程,且 22222(),()11x xP x Q x xx==++,所以2222()()2221122ln(1)ln(1)22232(())2()12()11(2)112()13d d d e e d ee d eed d P x x P x xxxxx x x x y Q x x c x x c xxx c xx x c x x c x--++-++⎰⎰=+⎰⎰=++=++=++=++⎰⎰⎰⎰将初始条件(0)1y =代入上式得23c =,所以原方程满足初始条件的特解是322(1)3(1)x y x +=+.(7) 这是一阶非齐次线性微分方程,且12(),()ln P x Q x x xx=-=-,所以()()112(())2(ln )2(ln )22(ln )2(1ln )d d d -d e e d eed d P x x P x xxxx x y Q x x c x x c xx x x c xx x c xx x cx-⎰⎰=+⎰⎰=-+=-+=++=++⎰⎰⎰将初始条件 (1)1y =代入上式得 1c =-所以,原方程满足初始条件的特解是 2(1ln )y x x =+-.(8) 这是一阶非齐次线性微分方程,且()2P x x =,2()sin exQ x x x -=⋅,所以222()()22(())(sin )(sin )(sin cos )d d d de e d e e e d e d eP x x P x x x x x x x xxy Q x x c x x x c x x x c x x x c -----⎰⎰=+⎰⎰=⋅+=+=-+⎰⎰⎰将初始条件(0)1y = 代入上式得 1c =,故原方程满足初始条件的特解是: 2(sin cos 1)e xy x x x -=-+.(9) 原方程可化为 321y y x yx-'-=,这是 2α=-的伯努利方程,方程两边同除以2y-,得2331y y y x x'-=令 1(2)3z y y --==,则上面方程化为333d d z z x x x-=,这是一阶非齐次线性微分方程,且33(),()3P x Q x x x=-=,其通解为333343(3)()3d d eed 3d xxx x z x x c x x c x cx -⎰⎰=+=+=+⎰⎰将3z y =代入上式得原方程的通解为 3433y x cx =+. (10) 原方程可化为 33d d x xy x y y-=,这是关于y 的3α=的伯努利方程,令132z xx--==,上述方程可化为322d d z yz y y+=-这是关于y 的一阶非齐次线性微分方程,且3()2,()2P y y Q y y ==-,其通解为:22222223322((2))((2))((1))1d d e e d e e d ey y y y yyyyyz y y c y y c eey c y c ----⎰⎰=-+=-+=-+=-+⎰⎰将2z x -=代入上式得原方程的通解为22211yy cex-=-+.5． 设函数f (x )在［1,＋∞)上连续，若由曲线y =f (x )，直线x =1,x =t (t ＞1)与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为V (t )＝3π［t 2f (t )-f (1)］．试求y =f (x )所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y (2) =92的特解．解: 依题意有 221()()(1)ππd 3t f x x t f t f =⎡⎤-⎣⎦⎰,两边同时对t 求导有: 22()2()()ππ3f t tf t t f t ='⎡⎤+⎣⎦即 22()3()2()t f t f t tf t '=- 亦即 2232x y y xy '=-故 ()y f x =所满足的微分方程是 2232x y y xy '=-, 该方程可化为 23()2()y y y x x'=-,这是齐次方程.可求得该齐次方程的通解为:3y x cx y -= 将初始条件 2(2)9y =代入上式得 1c =-,所以,该微分方程满足条件2(2)9y =的特解是3y x x y -=-.*6． 设某生物群体的出生率为常数a ，由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因，死亡率与当时群体中的个体量成正比(比例系数为b ＞0)．如果t =0时生物个体总数为x 0，求时刻t 时的生物个体的总数(注： 将生物群体中的个体量当做时间t 的连续可微变量看待)． 解: 设时刻t 时的生物个体的总数为x ,依题意得d d x a bx t -= 即 d d xbx a t+=解得 ()e e bt bta x c b-=+又 0t = 时 0x x =,代入上式得 0ac x b=-,故00()()ee ebtbtbta a a a x x x bbbb--=+-=+-.7． 已知f (x )＝x t f xd ⎰⎪⎭⎫⎝⎛303＋3x -3， 求f (x )． 解: 方程两边对x 求导得 ()3()3f x f x '=+ 即 33y y '-= 这是一阶非齐次线性微分方程,()3,()3P x Q x =-=,其通解为3333333(3)(3)()1d d e e d e e d e eex x x xx xxy x c x c c c -----⎰⎰=+=+=-+=-+⎰⎰由已知30()()333d x tf x f t x =+-⎰得 (0)3f =-,代入上式得 2c =-, 所以3()12e xf x =--.8． 已知某商品的成本C ＝C (x )随产量x 的增加而增加，其增长率为C ′(x )＝xCx +++11，且产量为零时，固定成本C (0)＝C 0＞0．求商品的生产成本函数C (x )．解: 由1()1x C C x x ++'=+得111C C x'-=+,这是一阶非齐次线性微分方程,且1(),()11P x Q x x=-=+,其通解为[]111111(1)(1)ln(1)d d eed xxx x C x C x x C -++⎰⎰=⋅+=+++⎰由初始条件0(0)C C =代入上式得 10C C =.所以商品的生产成本函数[]0()(1)ln(1)C x x x C =+++.9． 某公司对某种电器设备的使用费用进行考察，结果发现，随该电路使用时间x 的延长，它的保养维修费会加倍增长，因而平均单位时间的使用费S 也在增加，即S 为x 的函数S =S (x )，其变化率为a xb S x b x S 21+-=d d ， 其中a ,b 均为正常数．若当x =x 0时S ＝S 0，试问：使用时间为多少时，其平均单位时间的 使用费S 最高?解: 原方程 21d d s b b s a x x x +=-可化为 2(1)d d s b b as x x x +-=-,这是一阶非齐次线性微分方程,且2(1)(),()b b aP x Q x x x+=-=-,其通解为,221(1)(1)()()()d d eed d bbxxbbx x bbbb a b a S xc x x x c xxa x ax c cxx----++⎰⎰=-+=-⋅+=+=+⎰⎰由已知0x x =时,0s s =代入上式得,001b s x a C x +-=,又由ba S c x x=+得1122b b a bcx aS bcxxx+--'=-+=,令0S '=得唯一驻点11()b a x bc+=,将001b s x a C x +-=代入得11000()b a x x bs x ab+=⋅-,由问题的实际意义知,最值存在,所以当是时间11000()b a x x bs x ab+=⋅-时,其平均单位时间的使用费S 最高.习题10-31． 求下列微分方程的通解：(1) y '''=x e x ； (2) y ″=211x+；(3) (1+x 2)y ″+2xy ′=0； (4) y ″-(y ′)2=0； (5) 223tx xd d +1=0； (6) yy ″-(y ′)2+(y ′)3=0．解:（1）对方程两端连续积分三次得1122123(1)e (2)e (3)2xx x y x c y x c x c c x y x e c x c ''=-+'=-++=-+++这就是所求的通解.（2）对方程两端连续积分两次得 1arctan y x c '=+ 21121arctan d arctan ln(1)2y x x c x x x x c x c =+=-+++⎰这就是所求的通解.（3）令()y p x '=,则()y p x '''=，于是原方程可化为2(1)20x p xp '++= 分离变量得2d 2d 1p x x px=-+，积分得121c p x=+,即121c y x'=+.再积分得12arctan y c x c =+.（4）令()y p x '=，则y p '''=，原方程可化为20p p '-=，即2d d p x p=两边积分得11x c p-=+,即11p x c =-+.亦即1d 1d y xx c =-+再积分得 12ln ||y x c c =-++ （5）令()x p x '=,则d d p x px''=,原方程变为3d 10d p x px+=,即31d d p p x x=-.两边积分得 22121c x p x+=即p x=±.亦即d d x tx=±即d x t ±=.积分得12c t c =+. 从而 221121()c x c t c +=+. 这就是所求的通解.（6）令()y p y '=,则d d p y y''=·p ,代入原方程得.23d 0d pypp p y -+=即2d 0d p p y p p y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭若p =0,则0, y y c '==是方程的解.若2d 0d p yp p y-+=，分离变量得2d 1d p y p py=-.积分得1(1)p c y p =- 即 111c yp c y=+.于是: 11d d 1c y y tc y=+即111()d d c y c x y+=.积分得 1()2c x y y c e-=.2． 求下列微分方程满足初始条件的特解：(1) y '''=ln x ，y (1)=0, y ′(1)=-33, y ″(1)=-1;(2) x 2y ″+xy ′=1, y (1)=0, y ′(1)=1; (3) y ″+2y '=1, y (0)=0, y ′(0)=1．解：（1）方程两边积分得：1ln y x x x c ''=-+，由(1)1y ''=-得10c =，于是ln y x x x ''=-,上式两边再积分得 2223ln 24xy x x c '=-+.由3(1)4y '=-得20c =，于是223ln 24xy x x '=-两边再积分得333111ln 636y x x x c =-+.由(1)0y =得31136c =.所以，原方程满足初始条件的特解为3311111ln 63636y x x x =-+. （2）令()y p x '=，则y p '''=，原方程化为2d 1d p x xp x+=.即2d 1d p p xx x -+=，这是一阶非齐次线性方微分方程.1()p x x=,2()Q x x -=，其通解为11d d 2111e(ed )(ln )xxx x p x x c x c x--⎰⎰=+=+⎰即11(ln )y x c x'=+，由(1)1y '=得11c =，于是1(ln 1)y x x'=+,从而2211(ln 1)d (ln 1)(ln 1)(1ln )2y x x x d x x c x=+=++=++⎰⎰由(1)0y =得212c =-∴211(1ln )22y x =+-即 21ln ln 2y x x =+.（3）令y p '=，则y p '''=，原方程可化为2d 1d p p x=-,由(0)1y '=，即0x =时，1p =.显然1p =是上述方程的解，即d 1d y x=，积分得y x c =+,由(0)0y =得0c =，所以，原方程满足初始条件的特解为y x =.3． 已知某个二阶非齐次线性微分方程有三个特解y 1=x , y 2=x +e x 和y 3=1+x +e x ，求这个方程的通解．解：因为123,,y y y 是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解，则21e xy y -=,321y y -=是某对应的齐次微分方程的特解且ee 1xx =≠常数，故e x和1是其对应的二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的特解，故对应齐次线性方程的通解为12e xy c c =+又1y x =是这个二阶非齐次线性微分方程的特解，故这个方程的通解是12e xy c c x =++.4． 求下列齐次线性方程的通解或在给定条件下的特解：(1) y ″-4y ′+4y =0; (2) y ″-y ′-2y =0; (3) y ″+5y ′+6y =0, y (0)=1, y ′(0)=6;(4) y ″-2y ′-10y =0, y (6π)=0, y ′(6π)=6πe ．解：（1）特征方程为2440r r -+=，它有两个相等的特征根122r r ==,所以，所求的通解为212()exy c c x =+.（2）特征方程为220r r --=,它有两个不相等的实特征根121,2,r r =-=故所求的通解为212eexxy c c -=+.（3）特征方程为2560r r ++=，它有两个不相等的实特征根122,3r r =-=-,故所求的通解为2312eexxy c c --=+.由(0)1y =得121c c +=,又由(0)6y '=及23122e 3exxy c c --'=--得12236c c +=-，解方程组12121236c c c c +=⎧⎨+=-⎩ 得 1298c c =⎧⎨=-⎩ 所以，原方程满足初始条件的特解为239e 8e x x y --=-.（4）特征方程为22100r r --=,它有两个共轭复数根，1,213i r =±,故方程的通解为 12e (cos 3sin 3)xy c x c x =+，由π6ππ()0,()e 66y y '==得113c =-,2c =0,故所求特解为:1e cos 33xy x =-5． 求下列非齐次线性微分方程的通解或给定初始条件下的特解：(1) y ″+3y ′-10y =144x e -2x ; (2) y ″-6y ′+8y =8x 2+4x -2;(3) y ″+y =cos3x , y (2π)=4, y ′(2π)=-1;(4) y ″-8y ′+16y =e 4x , y (0)=0,y ′(0)=1．解：（1）特征方程23100r r +-=有两个不相等的实数根125,2r r =-=,故对应齐次方程的通解为5212eexxY c c -=+因为2λ=-不是特征方程的根，故可特解为*2()exy Ax B -=+则 *2(22)e x y Ax A B -'=-+-,*2(444)e xy Ax B Ax -''=-++代入原方程可解得 12,1A B =-=. 所以*2(112)e xy x -=-=.所求通解为25212(112)eeexxxy x c c --=-++（2）特征方程2680r r -+=有两个不同的特征根122,4r r ==,故对应齐次方程的通解为2412exxY c ec =+又因为0λ=不是特征方程的根，故可设特解为*2y Ax bx c =++则*2y A x B '=+,*2y A '=，代入原方程可解得1,2,1A B C ===,故*2221(1)y x x x =++=+. 所求通解为22412(1)eexxy x c c =+++.（3）特征方程为210r +=，它有两个共复数根1,2i r =±，故对应齐次方程的通解为12cos sin Y c x c x =+考察方程3i e x y y ''+=，因为3i w =不是特征方程的根，故可设特解为*3i exy A =则*3i *3i 3i e , 9e x x y A y A '''==-,代入方程3i e xy y ''+=,得18A =-,所以*3i 11e (cos 3i sin 3)88x y x x =-=-+取*y 的实部，即得到方程cos 3y y x ''+=的特解.*11cos 38yx =-故原方程cos 3y y x ''+=的通解为121cos 3cos sin 8y x c x c x =-++又 123sin 3sin cos 8y x c x c x '=-+由初始条件ππ4, 122y y ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得125,48c c ==,故所求的特解为 15cos 3cos 4sin 88y x x x =-++（4）特征方程28160r r -+=有两个相等的实根124r r ==，故对应齐次方程的通解为:412()exy c c x =+因为4λ=是特征方程的重根，故可设特解为*24exy Ax =将其代入方程4816e x y y y '''-+=得12A =,故特解为*241e2xy x =所以原方程的特解为244121e()e2xxy x c c x =++.又由4244422e2ee 4e xxxxy x x c c x '=+++及(0)1y '=,得21c =.所以，所求特解为2441ee2xxy x x =+.6． 设对一切实数x ,函数f (x )连续且满足等式f ′(x )=x 2+⎰xt t f 0)(d ，且f (0)=2,求函数f (x )．解：方程两边求导得()2()f x x f x ''=+，即2y y x ''-=，特征方程210r -=有两个不同的实根121,1r r ==-,故对应齐次方程的通解为12e exxY c c -=+.因为0λ=不是特征方程的根，故可设特解为*y A x B =+,代入原方程得2,0A B =-=，故特解为*2πy =-，所以方程的通解为122e exxy x c c -=-++.由已知(0)2f =得122c c +=，又由题设得(0)0f '=,及122e e x xy c c -'=-+-得122c c -=.解方程121222c c c c +=⎧⎨-=⎩得122,0c c ==所以满足题设条件特解为22e xy x =-+即 ()22e xf x x =-+.7． 设二阶常系数非齐次线性微分方程y ″+ay ′+by =αe x的一个特解为y =e 2x +(1+x )e x ,试确定常数a ,b ,α并求该微分方程的通解． 解：将已给的特解代入原方程，得2(42)e(32)e (1)e e xx x xa b a b a b x α++++++++=比较两端同类项的系数，有4201032a b a b a b α++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得3,2,1a b α=-==-.于是原方程为32e xy y y '''-+=-.其特征方程为2320r r -+=,特征根为121,2r r ==,对齐次方程的通解为212e exxY c c =+.又因为1λ=是特征方程的单根，故设特解为*e x y Ax =,代方程32e x y y y '''-+=-，可解得A =1,故特解为*e x y x =所以该微分方程的通解为212e ee xxxy c c x =++.8． 设函数ϕ(x )可微，且满足ϕ(x )=e x+⎰-xt t x t 0)()(d ϕ，求ϕ(x)．解：由0()e ()()d x xx t x t t ϕϕ=+-⎰得(0)1ϕ=,又0()e ()d ()d x xxx t t t x t t ϕϕϕ=+-⎰⎰两边求导得0()e ()()d ()x xx x x t t x x ϕϕϕϕ'=+--⎰,即()e ()d x xx t t ϕϕ'=-⎰，从而(0)1ϕ'=再求导得()e ()xx x ϕϕ''=-,即e xy y ''+=可求得对应齐次方程的通解为12cos sin Y c x c x =+,又因为1λ=不是特征方程 210r +=的根，故可设特解为*e xy A =将其代方程e xy y ''+=中可求得12A =,故方程的通解为121cos sin e 2xy c x c x =++.又由(0)1,(0)1ϕϕ'==及121sin cos e2xy c x c x '=-++得1211,22c c ==,所以1(c o ss i n e )2x y x x =++，即1()(cos sin e )2xx x x ϕ=++.9． 求方程y ″-y ′-2y =3e -x 在x =0处与直线y =x 相切的解．解：特征方程220r r --=有两个实根121,2r r =-=,故对应的齐次方程的通解为212eexxY c c -=+,又因为1λ=-是特征方程的单根，故可方程的特解为*exy Ax -=代入原方程可解得A =-1，故原方程的通解为212eee,(1)xxxy c c x --=+-由已知在0x =处与直线y x =相切，则(0)0,(0)1y y '==，又212e2eee,(2)xxxxy c c x ---'=-+-+将(0)0,(0)1y y '==分别代入（1），（2）式中得1212022c c c c +=⎧⎨+=-⎩可解得1222,33c c =-= 所以，所求的解为222eee33xxxy x --=-+-.10． 设函数y (x )的二阶导函数连续且y ′(0)=0,试由方程 y (x )=1+[]⎰-+-''-x tt t t y t y 06)(2)(31d e确定此函数．解：方程两边对x 求导得1()[()2()6e ]3xy x y x y x x -'''=--+,即326e (1)x y y y x -'''++=它的特征方程2320r r ++=有两个相异的实根121,2,r r =-=-故方程（1）对应的齐次方程的通解是212eexxY c c --=+又1λ=-是特征方程的单根，故方程（1）的特解可设为*2()e()exxy x Ax B Ax Bx --=+=+=将其代入方程（1），可解得3,6A B ==-，从而特解为*2(36)e xy x x -=-，方程（1）的通解为2212ee(36)e,(2)xxxy c c x x ---=++-由01()1[()2()6e ]d 3xty x y t y t t t -''=+--+⎰得(0)1y =,又2212e 2e(66)e(36)e,(3)xxxxy c c x x x ----'=--+---由(0)1,(0)0y y '==及(2),(3)式可得1212126c c c c +=⎧⎨+=-⎩ 解得 1287c c =⎧⎨=-⎩ 故方程（1）的满足已知条件(0)1,(0)0y y '==的特解为228e7e(36)exxxy x x ---=-+-即由所给方程确定的函数为22()8e7e(36)exxxy x x x ---=-+-11． 一质点徐徐地沉入液体，当沉入时，液体的反作用力与下沉的速度成正比例，求质点的运动规律．解：由题设条件与牛顿第二定律有 22d d d d s s mm g ktt=- (k 为比例系数)即2d d ,(1)d d s k s g tm t+=这是一个二阶线性非齐次方程，它的特征方程20k r r m+=有两个不相等的实根0,k r r m==-，它对应的齐次方程的通解12e,k tm s c c -=+又因0λ=特征方程的单根，故可设特解为*s At =，代入方程（1）可得m g A k=，故方程（1）的通解为12e.k tmm g s c c t k-=++且2ek mk m g s c mk-'=-+，又开始沉入时即t =0时，d 0,0d s s t==，将其代入上两式可解得212m g c k=-，222m g c k=-.因而有2222e.k tmm g m g m g S t kkk-=-++习题10-41． 某公司办公用品的月平均成本C 与公司雇员人数x 有如下关系：C ′=C 2e -x -2C且C (0)=1,求C (x )．解:方程2e 2x C C C -'=-可变形为:22e x C C C -'+=⋅,这是2α=的伯努利方程,令121Z CC--==,方程可化为:2e x Z Z -'-=-,这是一阶非齐次线性微分方程且()2P x =-,()e xQ x -=-,其通解为:2d 2d 23232e ((e )e d )e (e d )11e (ed )ee33x x x x xxxxxZ x m x m x m m -------⎰⎰=-+=-+=+=+⎰⎰(为了与成本C 区别,这里的任意常数用m 表示),于是211ee3xxm C-=+,由已知(0)1C =,可得:23m =,从而3211212e ee333exxxx C-+=+=,所以33e()12ex xC x =+.2． 设R =R (t )为小汽车的运行成本，S =S (t )为小汽车的转卖价值，它满足下列方程：R ′=Sa, S ′=-bS ,其中a ,b 为正的已知常数，若R (0)=0,S (0)=S 0(购买成本)，求R (t )与S (t )．解:先解一阶线性方程S bS '=-,求出()S t ,分离变量得:d d S b t S =-,积分得1e btS C -=,由已知条件0(0)S S =,可得10C S =,所以0()e btS t S -=,将0()ebtS t S -=代入所给方程a R S'=得:0e bta R S '=,积分得:20()ebta R t C bS =+,由已知条件(0)0R =得20a C bS =-,所以0()ebta a R t bS bS =-.3． 设D =D (t )为国民债务，Y =Y (t )为国民收入，它们满足如下的关系：D ′=αY +β, Y ′=γY其中α,β,γ为正已知常数．(1) 若D (0)=D 0,Y (0)=Y 0,求D (t )和Y (t ); (2) 求极限)()(limt Y t D t +∞→．解: (1)先解方程=Y Y γ',求出()Y t ;分离变量得:d d Y t Yγ=,积分得1e tY C γ=,由0(0)Y Y =得10C Y =,所以0()e tY t Y γ=,将0()e tY t Y γ=代入D Y αβ'=+中得:0=e tD Y γαβ'+,积分得02etY D t C γαβγ=++,由0(0)D D =得020Y C D αγ=-,所以000()etY Y D t t D γααβγγ=++-.(2)0000e()limlim()ettt t Y Y t D D t Y t Y γγααβγγ→+∞→+∞++-=000D lim (ee)etttt tY Y γγγαβααγγγ--→+∞=+⋅+-=4． 设C =C (t )为t 时刻的消费水平，I =I (t )为t 时刻的投资水平，Y =Y (t )为t 时刻的国民收入，它们满足下列方程⎪⎩⎪⎨⎧>'=><<+=+=.0,,,,0,10,,为常数均为常数k C k I b a b a b aY C I C Y (1) 设Y (0)=Y 0，求Y (t ),C (t ),I (t ); (2) 求极限)()(limt I t Y t +∞→解: (1)由C aY b =+得C aY ''=,而I kC kaY ''==,于是Y C I aY b akY '=+=++,即有1a b Y Y ak ak -'+=-,这是一阶非齐次线性微分方程,1()a P t ak -=,()bQ t ak =-,其通解为:111d d e(ed )e1a a atttakakakb b Y t m m aka----⎰⎰=-+=+-⎰,由0(0)Y Y =,得01b m Y a =+-,所以10()()e11atakb b Y t Y aa-=+---,为了方便起见,记1e b Y a=-,1a akμ-=,则e 0e ()()e tY t Y Y Y μ=+-,于是e 0e 0e e ()()e()ettC t aY b aY a Y Y b a Y Y Y μμ=+=+-+=-+,0e 0e 0e 1()()e()e(1)()ettta I t kC k a Y Y k a Y Y a Y Y kaμμμμ-'==⋅-=⋅⋅-=--.(2)0e ee0e 0e ()e ()11limlimlim (e )()(1)()e1(1)()1tttt t t Y Y Y Y Y t I t a Y Y aa Y Y aμμμ-→+∞→+∞→+∞-+==+⋅=------.。