2009-2010-1线代A卷参考答案
完整word版线性代数考试题及答案解析
WORD格式整理……_…_学年第一学期期末考试－20102009_…__…_试卷《线性代数》…__…__…_分钟完卷。
分，1201、本试卷共6页，五个大题，满分100答卷说明：_…_…__…号2、闭卷考试。
…学）线（_总分五三四一二_…__…题号_…__…_分数_…__…_…________________ :_____________ 总分人：评阅人…_名…姓…) 分分,共24一、单项选择题。
(每小题得分……）级封班（11?31_…__…111?3__?…行列式【】1._1?311…__…_3111?_…_业……专3021(B) (D)(A) (C) …__…__…???A?A32?3?A阶方阵，数2. 】设，为，则【_…__）_6?624?24 (D) (A) (C) (B) _密_系（n,BA,阶方阵，则下列式子一定正确的是【】3.已知为…__…__…_222B?2(A?B)AB?A?BAAB? (A) (B)_…_…__…_22B?A?B?B)(A?)(A BA?AB (D) (C)_…__…_…_?0??aA?A3A【】4.设，则为阶方阵, _…__……243aaaa (D) (A) （ B) (C)AB等价，则有 5.设矩阵与【】专业技术参考资料WORD格式整理R(A)?R(B)R(A)?R(B) (A) (B)R(A)?R(B)R(A)R(B)的大小不能确定 (C) 和 (D)n Ax?0Ax?0A r有非零解的系数矩阵【】6.设，则元齐次线性方程组的秩为的充分必要条件是r?nr?nr?n nr? (B) (C) (D) (A)a,a,,a(m?2) 向量组】【 7. 线性相关的充分必要条件是m21a,a,,a (A) 中至少有一个零向量m12a,a,,a (B) 中至少有两个向量成比例m12a,a,,a m?1(C) 个向量线性表示中每个向量都能由其余m21a,a,,a m?1(D) 个向量线性表示中至少有一个向量可由其余m21n A与对角阵相似的充分必要条件是阶方阵】8. 【nn)?R(A A个互不相同的特征值有(A) (B)n AA一定是对称阵个线性无关的特征向量 (D)(C)有) 分,共15二、填空题。
09年10月线性代数(经管类)试题答案
全国2009年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式0111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式=21A （ B ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=C （ A ） A ．ABB ．BAC ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c A 的行列式1|-=A |，则=-1*)(A （ A ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----d cb aB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dD ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d cb as 21（）的秩不为零的充分必要条件是（ B ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ C ） A ．n A r =)(B ．m A r =)(C ．n A r <)(D ．m A r <)(7．已知3阶矩阵A 的特征值为1,0,1-，则下列矩阵中可逆的是（ D ） A ．AB ．A E -C ．A E --D ．AE -2．．A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101011001433241214321A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001010A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ D ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z --- C ．232221z z z -- D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．已知行列式422221111-=-+-+b a b a b a b a ，则=2211b a b a_________．12．已知矩阵)1,1,2(),1,2,1(-=-=B A ，且B A C =，则=C _________．13．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333022A ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-121A _________．14．已知矩阵方程B XA =，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1201A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0111B ，则=X _________．15．已知向量组a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a _________．16．设)0,1,0(,)0,0,1(21==αα，且22211,αβααβ=-=，则21,ββ的秩为_________．17．设3元方程组增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++01001010a a ，若方程组无解，则a 的取值为_______．19．已知向量k )2,,3(=α与k ),1,1(=β正交，则数=k _________．20．已知321321)3()1(),,(x a x x a x x x f +++-=正定，则数a 的取值范围是_________． 21．计算行列式1111111111111111---+-----+=x x x x D 的值．解：1111111111111111111111111111---+-----=---+-----+=x x x x x xx x x x x D 4000000000111x xx xx =--=．22．设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA +=，求||B ．解：由E B BA +=，得E E A B =-)(，1)(--=E A B ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-111110012112E A ，21111||=-=-E A ，21||||1=-=-E A B ． 23．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-313232121ax x a x x a x x ，（1）讨论常数321,,a a a 满足什么条件时，方程组有解．（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3121321110110011101110011),(a a a a a a a b A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--→32121000110011a a a a a ，0321=++a a a 时，方程组有解． （2）),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000011001121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-→0000110101221a a a ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=333213211x x x a x x a a x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1110221k a a a ． 24．设向量组T T T T )3,6,2,0(,)1,3,0,1(,)3,1,1,2(,)0,1,4,1(4321-=--=--==αααα，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=3130631120140121),,,(4321αααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------3130643024700121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------2470643031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------612210643031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------15500930031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3100310031300121 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000310031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000310060303021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000310020103021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000310020101001，向量组的秩为3，321,,ααα是一个极大线性无关组，=4α32132ααα+-．25．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3421A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1205B ，存在TT )1,1(,)2,1(21-==αα，使得,511αα=A 22αα-=A ；存在T T )1,0(,)1,3(21==ββ，使得2211,5ββββ-==B B ．试求可逆矩阵P ，使得B AP P =-1．解：由题意，A 的特征值为1,5-，对应的线性无关特征向量为21,αα；B 的特征值为1,5-，对应的线性无关特征向量为21,ββ．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==1211),(211ααP ，则1P 是可逆矩阵，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1005111AP P ；令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1103),(212ββP ，则2P 是可逆矩阵，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1005212BP P ． 由上可得=-111AP P 212BP P -，从而B P P A P P=--)()(121112，即B P P A P P =---)()(1211121，令=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--13/113/23101121131110312111121P P ，则P 是可逆矩阵，使得B AP P =-1．26．已知323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=，求正交变换Py x =，将二次型化为标准形．解：原二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011101110A ．=-||A E λλλλ111111------λλλλλλλλ1111111)2(1212112-----=-------==++-=101011001)2(λλλ)2()1(2-+λλ，A 的特征值为=1λ12-=λ，23=λ．对于=1λ22=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------111111111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 ，⎪⎩⎪⎨⎧==--=3322321x x x x x x x ，取=1α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011，=2α⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101， 先正交化：11αβ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011，1211222||||),(βββααβ-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12/12/101121101． 再单位化：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==02/12/1||||1111ββp ，==222||||1ββp ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--6/26/16/1． 对于23=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------211121112→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000110101 ，⎪⎩⎪⎨⎧===333231x x x x x x ，取=3α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111，单位化为==333||||1ααp ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3/13/13/1．令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/16/203/16/12/13/16/12/1P ，则P 是正交矩阵，经过正交变换Py x =后，原二次型化为标准形 2322212y y y +--． 四、证明题(本题6分)27．设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若01≠k ，则向量组32,,ααβ也线性无关．证：设033221=++ααβx x x ，即0)()(33132212111=++++αααx x k x x k x k ．由321,,ααα线性无关，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=00031321211x x k x x k x k ．若01≠k ，则方程组的系数行列式01001001321≠=k k k k ，只有0321===x x x ，所以32,,ααβ线性无关．。
09-10第一学期3学分(A卷)参考答案
⎛2 5 4 5 5⎞ 解方程组 ( A − E ) x = 0 求得 λ = 1 的一个特征向量为 ξ1 = ( 2, 4,5 ) ，单位化得 p1 = ⎜ ⎜ 15 , 15 , 3 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
T
T
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 0 2 ξ1 = p1 − p3 = ( p1 + p2 ) − ( p2 + p3 ) = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ , ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 0 1 ξ 2 = p2 − p4 = ( p2 + p3 ) − ( p3 + p4 ) = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝1⎠ ⎝ 1 ⎠
T T
为 A 相应于 λ2 的两个线性无关的特征向量，证明向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 线性无关。 （1）解：由 b1 , b2 ," , bn 由 a1 , a2 ," , an 的线性表出关系式可知 B = AK ，其中
T (kB) = A(kB) − ( kB)T A = kAB − kBT A = kT ( B) 故 T 是 V 上的一个线性变换。
(2). T ( E11 ) = ⎜
⎛ 0 −2 ⎞ ⎛0 1⎞ ⎟ = −2 E12 − 2 E21 ， T ( E12 ) = ⎜ ⎟ = E12 − E21 − 4 E22 ⎝ −2 0 ⎠ ⎝ −1 − 4 ⎠
A = ( a1
a2
a3 " an ) ， B = ( b1
厦门大学线代期末试题及答案
一．（填空题（每小题4分，共20分）1． 令 ()()1,0,3,5,2,8,6,9,TTA B ==-则T A B =_______， T AB =______________.2．若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，123,,βββ是它的 三个解向量，且12(2,6,3),T ββ+=-23(6,8,5),T ββ+=-则该线性方 程组的通解是__________.3. 设123625t A t t ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的行向量线性相关，则实数t 满足的条件是 _________.4．令ii A 是三阶矩阵A 的元素ii a 的代数余子式（i =1，2，3），若A 的特征值为3，4，5，则112233A A A ++=__________.5．若101020105A c c ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪-⎝⎭是正定矩阵，则c 的取值范围为 ___________.二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，则____________. （1）A+B 为正交矩阵 （2）A-B 为正交矩阵（3） B AB 为正交矩阵（4）k AB 为正交矩阵(k >0为实数)厦门大学2009级《线性代数A 》课程试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师： 试卷类型：（A 卷） 2010.06.132．设A 为m 阶可逆矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，则可逆分块矩阵 OA DB O ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵是____________.（1）11A O O B --⎛⎫⎪⎝⎭ （2）11O B A O --⎛⎫⎪⎝⎭ （3） 11B O OA --⎛⎫⎪⎝⎭ （4）11O A BO --⎛⎫ ⎪⎝⎭3． 设α与β是线性无关的单位向量，则α与β的内积必 ____________.（1） >0 （2）<0 （3）>1 （4）<14.设A 为n 阶可逆矩阵，1*,,T A A A -分别是A 的转置矩阵，逆矩阵和伴随矩阵，若ξ是A 的特征向量，则下列命题中的不正确的是________.（1）ξ是T A 的特征向量 （2）2ξ是1A -的特征向量 （3）3ξ是*A 的特征向量（4） 4ξ是kA 的特征向量（k 为常数）5.设222623222,000222000A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则____ ____. （1）A 与B 是相似的且是合同的 （2）A 与B 是相似的但不是合同的 （3）A 与B 不是相似的但是合同的 （4）A 与B 不是相似的也不是合同的三．（15分）试求五元齐次线性方程组123451234512345330,30,0x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪-++-+=⎨⎪+++-=⎩的解空间V(作为5R 的子空间)的一组规范（标准）正交基。
江西农业大学2009—2010第一学期《线性代数》试卷_(A) - 副本
线
= (−2, 4, b)T 线性相关，则 a = − 2
b=
6
.
二．单项选择题（2 分×6=12 分）
1. 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列各式不 正确 的是（ B ）. ． ．． A. ( A + B ) =A + B
T T T
B. ( A + B )
T
−1
=A−1 + B −1
T T
·
a13 a23 = （ D ）. a33
D. −16
C. 16
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3. 设 α1 ， α 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， β 是对应的齐次方程组 Ax = 0 的解，则
Ax = b 必有一个解是（ D ）.
A. α1 + α 2 B. α1 − α 2 C. β + α1 + α 2 D. β + α1 +
2 2
姓名：
AB = BA
.
不
5. 已知 3 阶方阵 A 的特征值分别为 1 ﹑ −2 ﹑ 3 ，则 A =
− 6 ， A−1 = − 1 ， A∗ = 36 ，
6
A − 2E = 4 .
软 件 097
订
6. 方程组 内
λ x1 + x2 = 0
x1 + λ x2 = 0
有非零解，则 λ = 1 或 − 1 .
订
C. ( AB )
−1
= B −1 A−1 a12 a22 a32
D. ( AB ) = B A
院系：
装
装
全
线代I2009A
③ A 与 B 有相同的秩； （必要）
.
④
A 与 B 有相同的正、负惯性指数.
5．设 A, B 均为正交矩阵, 则 ( AB ) , A* , A3 , B −1 AB, A* A 中, 共有（ ③ ）个正交矩阵。
T
① ③
3； 5；
② 0； ④ 4.
得 分
二、填空题 (每小题 3 分，共 15 分)
2 2
④ ⎢
⎣
⎢ 2A
⎥ ⎡ BT ≅⎢ 3B ⎥ ⎦ ⎣
⎤ ⎥. A ⎦
T
4．设 A, B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件为 （ ④ ① A 与 B 有相同的特征值；(充分)
）.
② A 与 B 有相同的行列式；
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学院
姓名
学号
任课老师
选课号/座位号
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
1 ） 6
1 ⎡ AB, AC, AD⎤ ⎦ 6⎣
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学院
姓名
学号
任课老师
选课号/座位号
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
⎧ x + 5 y + z = 0, 三、已知 R 3 中直线 l : ⎨ 平面 π : x − 4 y − 8 z + 12 = 0. （ 共 12 分） ⎩ x − z + 4 = 0,
零九 至二零
十 零
学年第
一 学期期
末
考试
课程考试题
A 卷 （ 120
分钟） 考试形式： 闭 卷
考试日期 20 10
09-10线代(A)参考答案-黄加增
福建农林大学东方学院考试试卷（A ）2009 ——2010 学年第二学期课程名称： 线性代数 考试时间专业 年级 班 学号 姓名一、填空题（每小题3分，共15分）1、矩阵21002n-⎛⎫ ⎪⎝⎭=21002n ⎛⎫⎪⎝⎭． 2、已知向量组123(1,1,2,1),(1,0,0,2),(1,4,8,)k ααα'''===---线性相关，则k = 2 ．3、设123012001A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭则()1A -*=123012001---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．4、设12,ηη为非齐次线性方程组Ax B =的两个解，则12ηη-是0Ax =的解．5、矩阵104021413A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭对应的二次型是22212313232382f x x x x x x x =+++-．二、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号） （每小题2分，共10分）1 、设4阶行列式D 的第i 行第j 列的元素为ij a , 则D 的展开式中, 下列各项符号为负的是（ C ）． A . 44332211a a a a ； B . 44312312a a a a ； C . 42341321a a a a ；D . 44322113a a a a .2、 已知向量组4321,,,αααα是线性无关，则 ( A )A ．14433221αααααααα-+，＋，＋，线性无关；B ．14433221αααααααα－，－，－，－线性无关；C ．14433221αααααααα++，＋，＋，线性无关；D . 14433221αααααααα－，－，＋，+线性无关． 3、已知A , B 均为n 阶矩阵，则必有( D ). A . 2222)(B AB A B A ++=+ B . B A AB ''=')(C.. =AB 0时，=A 0或=B 0 D . 若AY AX =且0≠A ，则Y X =4、设n 阶矩阵A 满足A A =2, 则A 的特征值为（ D ）. A ．0；B .1；C .1±；D . 0或1.5、如果⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx有非零解，则（ B ）A ．0=kB ．2=kC ．1-=kD ．2-=k三、计算题（每小题10分，共20分）1、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-．解：111100111100x x x D y y y +--=+--101000011000x x y y-=-=22001100x x y x y y-=- 2、101210325A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，用初等变换求1A -．解：()101100101100,210010012210325001022301A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭5110011011002201221001051100272171001122⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎪⎪=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭15112251171122A -⎛⎫-- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭四、解答题（每小题10分，共20分）：1、已知矩阵方程01022010X X ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求矩阵X ．解：0102010220102010X X X E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11022110X -⎛⎫⎛⎫⇒= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 102111021X --⎛⎫⎛⎫⇒= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，又111112121----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭则102110211421021102111X ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、设123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),ααα=-==45(1,1,2,0),(2,1,5,6)αα=-=求向量组的秩及其一个极大无关组.解：用这些向量作为列向量得矩阵A ，并对其施行初等行变换1234103121031210312130110330301101(,,,)2172501101000114214060224200000A αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪--⎪ ⎪ ⎪''''==→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此：(1)其向量组的秩为3；（2）124,,ααα是向量组12345,,,,ααααα的一个最大线性无关组五、应用题（本题13+12=25分）1、设方程组123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问当λ 取何值时， （1）方程组有唯一解；（2）方程组无解；（3）方程组有无穷多解，求其通解解:系数行列式为3212222202(5)2(4)22222254254245011r r r r λλλλλλλλλλ+--------⨯-----=------- 22(1)(10)λλ=---，（1）因此当1,10λλ≠≠时，方程组有唯一解； （2）当10λ=时，51151112128221222225420999099924511018184500063A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方程组无解；（3）当1λ=时，122112212442000024420000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭通解为：12123122010001x x k k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中12,k k 为任意实数。
2012-2013-1线性代数A试卷与答案
,,s、向量组的秩为r，则向量组中三、计算题（每题12分，共60分）1、计算行列式：32142143143243212、已知=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111121X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛523231141，求矩阵X3、求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=+-+-=+-+=+-+261782314620324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。
4、求向量组1234(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(1,2,3)αααα====-的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.5、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010221A 的特征值与特征向量.分）若123,,ξξξ是方程组0AX =的基础解系，证明1323122,2,2ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组的基础解系.2012-2013-1线性代数A 参考答案与评分标准一、 判断题（每题2分，共20分）二、填空题（每空2分，共10分）1、-2；2、43、41； 4、1； 5、111,,632三、计算题（每题12分，共60分）1、解：原式=32110214101431043210……………………………………………（2分） =111022203110432110321121411431432110------= …………………………（6分） =11314021113112011111131120----=----=---- …………（10分）=160113140=- ……………………………………………………（12分）2、解：1141121132111325101X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦----------------------4分 121100121100111010012110101001022101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1310011031202201211001001100212111001122⎡⎤--⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦--⎢⎥⎣⎦--------------10分131221141223113201102232511465122⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦--------------------------12分 3、解：先对增广矩阵进行初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------000000000012210032112442012210122100321121611178231461203211--------------------6分同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+1220324324321x x x x x x x ，一个特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011-----------------------8分选4x 为自由未知量，得到齐次线性方程组的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1105----------------------10分原方程组的通解为+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101211k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11052k +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0011-------------------------12分 4、解:秩为 3，--------------------------6分一个极大线性无关组为123,,ααα. --------------------------10分412335αααα=-+-；--------------------------12分5、解:特征方程为|λE －A|=1010221---+λλλ=(λ+1) (λ－1)2 =0，------4分 ∴A 的全部特征值为λ1=－1，λ2=λ3=1。
2009-2010-1线性代数A卷答案
2009-2010（上）线性代数参考答案A一、填空题（每空3分，共21分）1．12； 2．100122010345⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； 3．14-或； 4．1(3)2A E +； 5．3； 6．(2),(3),(5)；7．555,,423； 24； 8．t 9．相关。
二、（5分）解：312586254310532273222735324112411211010001----==--- ——（3分）07979209726497112===- ——（2分）三、（10分）解：由 2(2)AB A B A E B A =+⇒-=， ——（2分）而101(2)110012A E ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭， ——（2分）101301(2,)110110012014A E A ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭——（2分） 101301100522011211010432012014001223--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭——(2分) 故 522432223B --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭——(2分)四、（10分）解： 123411321326(,,,)151103142A αααα--⎛⎫ ⎪-- ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭——（2分） 1000010200100000⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭——（2分） 由行最简形可得：3A R = ， ——（2分）123,,ααα是向量组A 的一个极大无关组 ，——（2分） 422αα= 。
——（2分）五、（10分）解：由4元 Ax b =的 ()3R A =，可知 0Ax =的基础解系只含一个向量ξ。
—— (2分)由于 123,,ηηη是Ax b =的三个解向量，根据解的性质，可知 2312ηηη+- 是0Ax =的解向量。
—— (4分)令12334256ξηηη⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪⎝⎭，则方程的通解为3243()5465x k k R ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
全国自考历年线性代数试题及答案
全国2010年1月高等教育自学考试 《线性代数（经管类）》试题及答案课程代码：04184试题部分说明：本卷中，A T 表示矩阵A 的转置，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r （A ）表示矩阵A 的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x则行列式（ ）A.32B.1C.2D.38 2.设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=（ ） A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1 C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -13.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（ ） A.-32 B.-4 C.4D.324.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关D. α1，α2，α3一定线性无关5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 C.3D.46.设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.47.设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是（ ） A.m ≥nB.Ax =b （其中b 是m 维实向量）必有唯一解C.r （A ）=mD.Ax =0存在基础解系8.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（ ） A.（1，1，1）T B.（1，1，3）T C.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T9.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 = （ ）A.4B.5C.6D.710.三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=233222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（ ）A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321 B.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963640341 C.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡960642621 D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9123042321二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。