基于分离变量法的瞬态高温外推测试研究

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基于克拉伯龙方程的密闭空间气体瞬时温度测试方法研究

基于克拉伯龙方程的密闭空间气体瞬时温度测试方法研究发布时间：2022-11-10T08:54:25.674Z 来源：《科技新时代》2022年11期作者：杨启斌[导读] 由于现有的温度测试设备时间响应较慢，对瞬间产生的高温暂未有理想的测试方法。

（贵州航天计量测试技术研究所）摘要：由于现有的温度测试设备时间响应较慢，对瞬间产生的高温暂未有理想的测试方法。

本文提出了一种密闭空间气体动态温度的测试方法，该方法主要用于测试密闭容器中产生的瞬间高温气体，如榴弹炮在开炮瞬间的弹膛内温度、枪械在扳机撞击子弹瞬间的温度等。

运用较为成熟的高响应压力传感器和克拉伯龙方程，通过对密闭空间中压力的测量，换算出该压力值时密闭空间高压气体的温度值。

关键词：克拉伯龙方程；压力传感器；密闭空间；瞬间高温气体引言由公式（1）、（2）、（3）可得高压气流的瞬时温度值 T 为：随着国防工业水平的不断发展，现代科技的发展对温度测量的要求越来越高，目前的温度测量方法主要是红外测温仪、铂电阻、热电T ? PVnRπPr 2hM mR（4）偶等，这几中方法的时间响应较慢，无法满足高响应的温度测量需求。

本文通过用克拉伯龙方程（即理想气体方程）与高响应压力传感器相结合的方式，通过以火炮等为研究模型，对其发射瞬间的压力进行测量，再通过理性气体方程，计算出发射瞬间的温度值。

研究内容测试原理 2.1.1克拉伯龙方程克拉伯龙方程描述的是物质在一阶相变相平衡时候物理量的变化方程。

即定量分析物质在摩尔数相同时物质体积（V）、温度（T）、压强（P）的关系。

它是由法国工程师克拉伯龙在 1843 年提出的PV/T=R（常数）推导而来，后经俄国化学家门捷列夫完善，其表达式为：PV=nRT （1）式中 P 为压强（Pa） V 为体积（m3）n 为物质的量（mol） T 为温度（K）R 为常数从上式（1）中可知，当体积 V、物质的量 n 不变时，温度 T 和压力 P 成正比例关系。

一维热传导方程数值解法及matlab实现分离变量法和有限差分法

一维热传导方程数值解法及matlab实现分离变量法和有限差分法一维热传导方程的Matlab解法：分离变量法和有限差分法。

问题描述：本实验旨在利用分离变量法和有限差分法解决热传导方程问题，并使用Matlab进行建模，构建图形，研究不同情况下采用何种方法从更深层次上理解热量分布与时间、空间分布关系。

实验原理：分离变量法：利用分离变量法，将热传导方程分解为两个方程，分别只包含变量x和变量t，然后将它们相乘并求和，得到一个无穷级数的解。

通过截取该级数的前n项，可以得到近似解。

有限差分法：利用有限差分法，将空间和时间分别离散化，将偏导数用差分代替，得到一个差分方程组。

通过迭代求解该方程组，可以得到近似解。

分离变量法实验：采用Matlab编写代码，利用分离变量法求解热传导方程。

首先设定x和t的范围，然后计算无穷级数的前n项，并将其绘制成三维图形。

代码如下：matlabx = 0:0.1*pi:pi;y = 0:0.04:1;x。

t] = meshgrid(x。

y);s = 0;m = length(j);for i = 1:ms = s + (200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t));endsurf(x。

t。

s);xlabel('x')。

XXX('t')。

zlabel('T');title('分离变量法（无穷）');axis([0 pi 0 1 0 100]);得到的三维热传导图形如下：有限差分法实验：采用Matlab编写代码，利用有限差分法求解热传导方程。

首先初始化一个矩阵，用于存储时间t和变量x。

然后计算稳定性系数S，并根据边界条件和初始条件，迭代求解差分方程组，并将其绘制成三维图形。

代码如下：matlabu = zeros(10.25);s = (1/25)/(pi/10)^2;fprintf('稳定性系数S为:\n');disp(s);for i = 2:9u(i。

建筑用材料导热系数和热扩散系数瞬态平面热源测试法

建筑用材料导热系数和热扩散系数瞬态平面热源测试法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：建筑用材料的导热系数和热扩散系数是评价材料隔热性能的重要参数之一，对于建筑物的保温和节能效果起着关键作用。

为了准确测定建筑材料的导热系数和热扩散系数，研究人员设计了一种全新的测试方法——瞬态平面热源测试法。

瞬态平面热源测试法是一种基于热传导原理的新型测量技术，通过在材料表面施加瞬态热源，观察材料中温度的变化情况，从而计算出材料的导热系数和热扩散系数。

相比传统的试样厚度等不同形式的热传导试验方法，瞬态平面热源测试法有以下优点：瞬态平面热源测试法采用平面热源施加在材料表面，能够模拟实际建筑中的热传导情况，更加贴近实际使用环境，提高了测试的准确性和可靠性。

瞬态平面热源测试法的测试过程简单方便，不需要复杂的试样制备过程，减少了实验中的人为误差。

测试时间较短，可以快速得到建筑材料的热传导参数，提高了研究效率。

瞬态平面热源测试法可以实现对不同材料的导热系数和热扩散系数的高精度测量。

根据瞬态热源施加后材料表面温度的变化情况，可以更加准确地计算出材料的热传导性能，为建筑设计和材料选择提供了重要参考。

瞬态平面热源测试法在建筑材料热传导性能研究中的应用广泛。

通过对不同种类及厚度的建筑材料进行瞬态平面热源测试，可以评估材料的隔热性能，指导建筑节能设计和保温材料的选择。

在新型建筑材料的研发过程中，瞬态平面热源测试法也可以用于评估材料的热传导性能，为材料的改良和优化提供科学依据。

瞬态平面热源测试法是一种有效的建筑材料导热系数和热扩散系数测量方法，具有测试准确、简便快捷、精度高等优点。

在建筑保温节能领域具有广泛的应用前景，将为建筑材料性能评估和建筑节能设计提供重要支持。

期待瞬态平面热源测试法的进一步研究和应用，为建筑行业的可持续发展做出贡献。

第二篇示例：建筑用材料的导热系数和热扩散系数是衡量建筑材料热传导性能的重要指标，它们直接影响建筑物的隔热性能和节能效果。

瞬态平面热源法测试导热系数的研究

山东建筑大学硕士学位论文瞬态平面热源法测试导热系数的研究姓名：孙亮亮申请学位级别：硕士专业：供热、供燃气、通风及空调工程指导教师：方肇洪20070501山，【，Ｕ盹大增嘎士爿ｗｔ论文热源法可将探头做成圆盘形或正方形，将涉及柱坐标中的二维或直角坐标系中的三维瞬态导热，理论基础更加复杂，但测试的精度提高，制取试样更加方便。

现在比较常用的是圆盘形探头。

瞬态平面热源法是近几年发展起来的一种新的测试方法，它的特点是：（１）能够测试的试样种类多，包括金属和非金属材料以及液体材料等：（２）可测试的导热系数范围大，可以覆盖０．００５—５００ｒｇ／（ｍ・ＩＣ）的范围，即几乎所有材料的导热系数；（３）测试时间短，试样达到温度平衡后从开始加热到输出数据仅需数十秒；（４）精度高，导热系数的测试精度可达５％，热扩散率的精度可达１０％；（５）要求的试样小，且试样制备简单。

瞬态平面热源法的缺点是由于受探头制作材料的限制，最高测试温度不超过７００＂Ｃ，不过这一指标今后还有改进的余地。

在瞬态平面热源法中，先把探头放置在两片试样中间，形成夹层结构，然后探头以恒定的功率加热试样，通过测试探头平均温度随时间的变化就可以得出试样的导热系数和热扩散率。

在测试过程中，探头既被用作加热热源又被用作温度传感器。

具体结构如图１．４所示。

图１－４瞬态平面热源法测试结构示意图测试静试样与探头要和测试环境达到一样的温度，当试样被看作是无限大介质时，加热过程中只有探头和试样之问的热量交换，可以看作是有限尺度的面热源在无限大介质中的导热过程，形成的温度场可以用格林函数法来求解。

其具体分析过程将在第二章中详述。

Ｏ．１４０．１２０ｌＯｅＯ０８０．０６０．０４Ｏ０２Ｏ．ＯＯＯ，０Ｏ．５ｌ０ｌ５２．０Ｆｏ图２－－４圆盘热源所在表面不同半径处的温图２－５不同Ｆｏ下的温度分布将式（２—１２）和（２－１３）分别代入式（２－ｔ０）中。

经整理得郭等（３．７５时，附－－。

尸万１．｜ｏｅ０７ｄｏＬｍ删Ｌｅ文一号舛善６ｑ掺）“一勰’当罟洲时，硪胪专ｒ窘Ｉ：叫ｅｘｐ（一嗲Ｍｆ７酬．５０＂２‘・（等卜’搬（２－２５）（２—２６）第三章瞬态平面热源法的实验研究３．１瞬态平面热源法的测试设备本实验中采用的测试设备是ＨｏｔＤｉｓｋ热常数分析仪，其组成装置如图３－１所示。

基于k型热电偶的瞬态高温测试调理电路

基于k型热电偶的瞬态高温测试调理电路近年来，随着技术的发展和经济的迅速增长，高温对工程设计和运行起着越来越重要的作用，因此瞬态高温测量技术的研究和应用也变得日益重要。

虽然基于K型电热电偶的瞬态高温测试调理电路在近几年已经取得了一定的成就，但在技术上仍存在一定的不足之处。

本文将从理论和实践两个方面对K型热电偶瞬态高温测试调理电路进行研究，重点研究基于K型热电偶的瞬态高温测试调理电路的原理、构成、原理图及其性能特点。

一、K型热电偶瞬态高温测试调理电路的原理K型热电偶瞬态高温测试调理电路是一种由K型热电偶模拟信号转换模块、双稳态模块、比例稳定模块和数字模拟转换模块等组成的高精度瞬态测试调理电路，用于瞬态加热或照明温度及时准确测量。

K型热电偶瞬态高温测试调理电路采用双稳态模拟技术和比例稳定技术来确保高精度的瞬态测量，同时利用数字模拟转换技术来实现温度数据的准确转换。

二、K型热电偶瞬态高温测试调理电路的构成K型热电偶瞬态高温测试调理电路由K型热电偶模拟信号转换模块、双稳态模块、比例稳定模块和数字模拟转换模块组成。

1.K型热电偶模拟信号转换模块由K型热电偶信号转换器、K型热电偶放大器、滤波电路和K型热电偶模拟电路组成，用于检测温度上升的瞬态过程并将温度的变化反映为电压的变化。

2.双稳态模块是采用双稳态技术确保瞬态测量精度的组成部分，其中包括一个双稳态放大器、一个位置控制电路和一个空间控制电路。

3.比例稳定模块采用比例稳定技术，用于消除由K型热电偶模拟电路所产生的温度变化影响，从而保证瞬态测量精度。

4.数字模拟转换模块是采用数字模拟转换技术，将温度信号转换成标准的数字模拟信号，以便进行测试分析或数据存储的组成部分。

三、K型热电偶瞬态高温测试调理电路的原理图K型热电偶瞬态高温测试调理电路的原理图主要由K型热电偶信号转换模块、双稳态模块、比例稳定模块和数字模拟转换模块组成。

输入端是K型热电偶，其输出信号经由K型热电偶模拟信号转换模块转换成标准信号，经由双稳态模块和比例稳定模块稳定后送入数字模拟转换模块进行数据转换，最后送到控制系统处进行测量和显示。

基于蓝宝石光纤传感器的瞬态高温测试及校准技术

基于蓝宝石光纤传感器的瞬态高温测试及校准技术3王　高3,徐兆勇,周汉昌(中北大学仪器科学与动态测试教育部重点实验室,山西太原030051)摘要:构建了一种镀有陶瓷薄膜的蓝宝石光纤为传感器的瞬态高温测试系统。

系统包括蓝宝石高温光纤、锥形高温光纤、耦合器、传输光纤及光电探测器件。

基于Plank黑体辐射定律,分析了系统工作原理,并以MA TL AB进行了仿真研究。

将已标定过的高温钨铼热电偶(测温度范围为1000～2000℃)和蓝宝石光纤温度传感器同时置于乙炔焰热源所形成的恒温区域中进行静态标定,结果表明,测量范围从1200℃到2000℃,测量不确定度(精度)为1℃。

以脉冲CO2激光器输出阶跃热信号为动态激励源,获得温度传感器的动态响应曲线,其时间响应达30ms,并且重复性非常好。

运动乙炔焰模拟测试结果表明,高温测试范围可达2000℃,可用来对兵器及国防工业等诸多涉及燃烧和爆炸等过程的瞬态温度进行测试。

关键词:蓝宝石光纤;瞬态高温;传感器;静态标定;动态性能;响应时间中图分类号:TN247 文献标识码:A 文章编号:100520086(2005)0420441203T ransient High T emperature Measurement B ased on S apphire Fiber Sensor and C alibration T echnologyWAN G Gao3,XU Zhao2yong,ZHOU Han2chang(Key Laboratory of Instrumentation Science&Dynamic Measurement EMC North University of China, Shanxi Taiyuan030051,China)Abstract:This novel transient high temp erature measurement system consists of the sap2 phire high temperature fiber sensor,tap er high temp erature fiber,coupler,transmission fi2 ber and photo2detector.The working principle was analyzed according to the Plank’s law of blackbody radiation and simulation was p erformed with the MAT LAB software.The static calibration was achieved by placing the calibrated high temperature W2Re thermocouple and this novel sensor to gether into the steady high temp erature region of oxyacetylene flame.Calibration results indicate that temp erature measurement range is1200℃to2000℃and the uncertain of1%can be achieved,and the dynamic respondent time is less than 30ms.The experiment of testing the moving oxyacetylene flame shows that this sensor can be used to measure the transient high temp erature up to2000℃.K ey w ords:sapphire fiber;transient high temperature;sensor;static calibration;dynamic performance;re spondent time1　引　言兵器及国防工业等诸多行业涉及燃烧和爆炸过程的研究,这些过程异常复杂,温度持续时间短,各种传统技术很难奏效。

温压炸药爆炸瞬态高温测试技术研究

温压炸药爆炸瞬态高温测试技术研究
马旭静;孙鹏;张骏虎;刘睿辰;王高
【期刊名称】《计算机测量与控制》
【年(卷),期】2024(32)3
【摘要】为评估温压炸药的热毁伤性能,针对其爆炸瞬间产生高温高压场温度变化剧烈、持续时间短、测量难度大且难以测到爆炸瞬间火球温度分布的问题,提出了一种接触式与非接触式测温混合测试方法,搭建了红外热像仪和热电偶测温系统,对洞内外两发温压炸药的爆炸过程进行测试;使用两台红外热像仪分别以高低帧频拍摄,同时在距离爆心一定距离处布置钨铼热电偶,从不同时间不同位置获取了火球不同维度的信息,实现了爆炸温度变化全过程的高帧频、高分辨率完整记录;对温压爆炸过程中温度变化进行了精细化研究;其中,洞内爆炸最高温度可达1 800℃以上,火球最大直径约为8.3 m,洞外爆炸最高温度可达1 700℃以上,火球最大直径约为7.7 m,山洞的限制作用使得火球最高温度更高,1 800℃以上持续时间为14 ms,热毁伤效果更强;洞内外温压弹爆炸最高温度测试结果的最大偏差分别为5.1%和5.8%,平均偏差为5.45%,处于一定合理的范围内,可以满足爆炸场测试需求。

【总页数】8页(P204-210)
【作者】马旭静;孙鹏;张骏虎;刘睿辰;王高
【作者单位】中北大学省部共建动态测试技术国家重点实验室;山西江淮重工有限责任公司
【正文语种】中文
【中图分类】TJ55;TK311
【相关文献】
1.多元醇与硝基甲烷、硝酸异丙酯对温压炸药爆炸超压的影响
2.温压炸药爆炸冲击波在爆炸堡内的传播规律
3.温压炸药爆炸过程的瞬态温度
4.温压炸药爆炸瞬态多光谱真温高温计的研究
5.泄压口面积对温压炸药内爆炸准静态压力的影响
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文章编号:167323193(2010)0220150206

基于分离变量法的瞬态高温外推测试研究Ξ

郝晓剑1,2,李科杰1,姜三平2,周汉昌2,王　瑞2(1.北京理工大学机电学院,北京100081;

2.中北大学仪器科学与动态测试教育部重点实验室,山西太原030051)

摘　要:　提出了一种利用蓝宝石光纤黑体腔温度传感器外推测量高温的新方法,建立了测量瞬态高温的黑体腔外推模型,利用分离变量法对其求解.在此基础上,利用CO2激光器模拟瞬态高温热源,用传感器和高速红外测温仪同时测量黑体腔内外膜层温度变化情况.实验结果表明:利用分离变量法求得的外温度和红外测温仪测得的温度在变化趋势及峰值方面表现出了比较好的一致性,从而证明了外推模型的正确性.同时,利用Ansys软件对黑体腔的瞬态受热传热过程进行仿真,从反面验证了外推模型的正确性.

关键词:　外推法;黑体腔;分离变量法;蓝宝石光纤温度传感器中图分类号:　TN248.4 文献标识码:A doi:10.3969󰃗j.issn.167323193.2010.02.013

AnExtrapolationMeasuringMethodforTransientHigh-TemperatureBasedonSeparationofVariables

HAOXiao2jian1,2,LIKe2jie1,JIANGSan2ping2,ZHOUHan2chang2,WANGRui2(1.SchoolofMechatronicsEngineering,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,Chinai;

2.KeyLaboratoryofInstrumentationScience&DynamicMeasurement(NorthUniversityofChina

MinistryofEducation,Taiyuan030051,China)

Abstract:Basedonsapphireopticalfiberblackbodycavitytemperaturesensor,anextrapolationmeasur2ingmethodfortransienthigh2temperaturewaspresented.Themathematicalmodelwasestablishedandsolvedbyseparationofvariables.Onthisbasis,byCO2lasersimulatingthetransienthigh2temperatureheatsource,thesensorsandhigh2speedinfraredthermometerweresimultaneouslyusedtomeasurethetemperaturechangeinsideandoutsidetheblackbodycavityfilm.Theexperimentalresultsshowthattheextrapolationtemperaturesobtainedbyseparationofvariablesareconsistentwiththetemperaturesdetectedbyinfraredthermometerinthechangetrendencyandthepeakvalueaspects,whichprovesthecorrectnessoftheextrapolationmodel.Atthesametime,Ansyssoftwareisusedtosimulatethetran2sientheattransferprocessoftheblackbodycavityheated,whichprovesthecorrectnessofextrapolationmodelintheoppositedirection.Keywords:extrapolation;blackbodycavity;separationofvariables;sapphireopticalfiberblackbodycavitytemperaturesensor

Ξ收稿日期:20092102

0　引　言外推法属于热传导的反问题,在这一研究领域里,一些学者做了不少研究和探讨,并给出了一些相关结论,但是这些研究基本上是纯数学理论的探讨和证明.由于实际工程问题的复杂性,只有极少数反问题能够得到解析解,绝大部分反问题给出的是数值解.采用数值方法是当前求解热传导反问题应用较为广泛的手段.

上述的数值方法都涉及到高斯误差补函数的2n重积分,而高斯误差补函数的2n重积分的计算过程相当复杂,这就给求解过程带来了一定的难度.

物体的导热规律表明:物体内部某等温面与边界条件之间、内部各等温面之间,均存在一定的联系,

采用传热模型,借助初始条件与边界条件,便可定量地确定出物体内部各等温面上的温度变化规律[124].

外推方法则是依据这种关系,从测试物体内部某一等温面上的温度变化规律出发,采用一定的模型与合适的解法,外推出物体边界或内部其它等温面上温度变化规律的过程.若将由边界条件、初始条件以及传热模型确定物体内部温度变化的物体导热过程称为正面解,则由物体内部某等温面上的温度变化规律、初始条件以及模型外推出边界值或内部其它等温面上温度变化的外推过程就是反面解[5210].

采用外推方法后,仪器只要记录下黑体腔内部幅度较低、变化较慢的温度,然后通过分析黑体腔的导热规律,建立瞬态加热的黑体腔传热模型,就可以用外推方法得出黑体腔表面幅度高、变化快的温度.

1　蓝宝石光纤黑体腔温度外推测试方法如图1所示,在蓝宝石端部覆盖高温陶瓷材料构成黑体腔,高温材料能够承受3000℃以上的高温.根据黑体探头结构建立的黑体腔模型如图2所示.在测温时,将黑体腔探头置于测温度点上,黑体腔膜层温度迅速上升,当膜层外部温度达到高温Tg时,由于温度作用时间很短,所以黑体腔没有达到热平衡,膜层内侧温度为T

(Tp,没有达到蓝宝石光纤的熔点.根据光纤输出端测得的电压信号,可

以确定输出的黑体腔膜层内表面温度Tp的温度2时间曲线.设黑体腔膜层外表面的温度为Tg,高温陶瓷材料导温系数为a,膜层厚度为∆f,将以上数值代入下文中所建立的传热基本方程中,得出膜层外侧温度T

(t).这样既拓宽了蓝宝石光纤传感器测量温度的范围,又降低了对测试仪器的动态特性要求.

图1　黑体探头结构Fig.1　Structureofblackbodycavityprobe图2　黑体腔外推测温示意图Fig.2　Extrapolativetemperaturemeasurementoffiberblackbodycavity

2　模型的建立及分析

2.1　瞬态加热传热模型的假设实际中,不稳定传热过程都是很复杂的,物体形状的复杂以及在物体边界上换热情况的复杂,使得传热微分方程并不是很容易求解的.因此,往往要做某些假设、近似求解或数值求解.在一些假设条件下建立黑体腔的数学模型,并据此可以建立相关的数学方程,得出方程的解.为了根据实际情况建立较为合理的数学模型,先对黑体腔作如下假设:

151(总第130期)基于分离变量法的瞬态高温外推测试研究(郝晓剑等)© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net1)光纤的顶端假设为圆柱型,黑体腔也是圆柱型.2)由于所测温度场作用给传感器的时间非常短,黑体腔径向温度梯度远大于轴向温度梯度,故可以把温度变化简化为一维,采用直角坐标下的一维方程.

3)设黑体腔材料的导热系数K,导温系数a均为常量,同时不考虑传感器对温度场的影响.综上所述,经过合理简化,可以采用常物性半无限大型物体一维非稳态导热作为蓝宝石光纤黑体腔的物理模型.

2.2　建模为了对具体的传热过程求解,还必须给出传热微分方程的单值条件.

2.2.1　几何条件从图2可以看出,传热物体是个圆柱形空腔.可假设此腔的长度为L0,直径为D,膜层厚度为∆

并设黑体探头的体积为V,表面积为A.

2.2.2　物性条件假设薄膜材料的导温系数、热导率、密度和比热容都为常数,分别用a,Κ,Θ,Cf来表示.

2.2.3　时间条件假设开始时刻(Σ=0)黑体探头与周围环境气体的温度相等,且都记为T0.

2.2.4　边界条件1)第一类边界条件

由于要研究黑体腔的温度响应特性,其温度必随时间变化,所以可设在Σ时刻,黑体腔的温度T=

T(Σ).外推方法是物体导热问题的反面解,那么就可以采用与正面解相同的数学模型,只是初始条件与

边界条件不同.其在直角坐标系下的数学描述为5T5Σ=Α52T

5X2

(0≤X≤L

),(1)

式中:Α为黑体腔材料的导温系数;Σ为时间.

得到传热方程后,问题的关键就在于初始条件及边界条件.可以设黑体腔膜层在进入测温场之前温度为T0,即微分方程的初始条件为T0,数学表述为Σ=0,T(X,0)=T0 (0≤X≤L

0).(2)

对于边界条件,如图2所示,传感器的长度为L0,在其尾端的温度为初始温度T0,其数学表达式X=L0,T(L0,Σ)=T0

(Σ≥0).(3

)

2)第二类边界条件蓝宝石光纤传感器在内膜层Xp处等温面上的实测温度随时间Σ的变化T

(Σ),其数学表达式

X=Xp,T(Xp,Σ)=Tp

(Σ) (Σ>0).(4)

故可得其完整的数学模型5T5Σ=Α52T

5X2

T(X,0)=T0,

T(L0,Σ)=T

T(Xp,Σ)=Tp(Σ).

(5)

2.3　模型求解分离变量法是求解导热微分方程的经典方法,不过分离变量法只能直接求解齐次边界条件下的导热问题.对于非其次边界条件的问题需要进行边界条件齐次化.对式(5)外推模型的边界条件齐次化并用分离变量法求解得到