沪教版初三秋季5 相似三角形的判定与性质

合集下载

沪科九年级数学上相似三角形的判定PPT学习教案

1
k2 .当且仅当这两个三角形全等时，才有 k=1 =k12.
因此，三角形全等是三角形相似的特例.
第5页/共24页
三.类比猜想
1.两个三角形全等的判定有哪几种方法？ 2.是不是需要所有的对应边和对应角都相等？ 3.猜想：两个三角形相似是不是也有简便的方法？简析：1.两个三角形全等的判定方法有：SAS、ASA、SSS、AAS,直角三角形还有HL.
的过程中，培养学生有条理的分析和推理
能力.
第18页/共24页
内容分析
相似三角形的判定是本章的重点内容之一.本节课是相似三角形的判定的第一课时，首先讲述了相似三角形的有关概念，然后通过探究得出三角形一边的平行线的判定定理. 三角形一边的平行线的判定定理不仅可以直接用来证明有关的三角形相似的问题，而且还是证明其他三个判定定理的主要依据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的预备定理.熟练掌握这一定理对后面三个定理的证第明19页/至共24页关重要.
沪科九年级数学上相似三角形的判定
会计学
1
一.复习回顾
前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念，下面请同学们思考以下几个问题：
1.什么样的两个多边形是相似多边形？ 2.辨析
(1)四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？ (2)四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？ 3.什么是相似比（相似系数）？简答：1.两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度
AB BC CA . AB BC CA
第3页/共24页
相似三角形的相似比
将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为
△A′B′C′∽△ABC的相似比记为，练习 3.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△ DEF的相似比和△DEF与△ABC的相似比是否相等？如果不相等，和满足什么关系？如果AB=2，DE=2呢？

沪教版九年级(上)数学秋季课程第2讲相似三角形(解析版)

DABCE相似三角形是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的判定和相似三角形的性质；重点是根据已知条件灵活运用不同的判定定理对三角形相似进行判定，并结合相似三角形的性质进行相关的证明，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合，以及相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．1、相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中，A A ∠=∠， ADEB ∠=∠，AEDC ∠=∠；12AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．相似三角形内容分析知识结构模块一：相似三角形的判定知识精讲2 / 31ABCA 1B 1C 1根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽ABC ∆．3、相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：A BCDEABCDEABCDEABCA 1B 1C 1ABCA 1B 1C 14、相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．5、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．6、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．ABCA 1B 1C 14 / 31【例1】如图，已知点P 是ABC ∆中边AC 上一点，联结BP ，要使ABP ∆∽ACB ∆，那么应添加的一个条件为____________，或____________，或____________．【答案】C ABP ∠=∠，ABC APB ∠=∠，AB APAC AB=．【解析】根据相似三角形的判定定理1和判定定理2，题目中有公共角，只需要加上一个等角或夹这个角的两边对应成比例的条件即可．【总结】考查相似三角形判定定理的应用，注意对定理内容的把握，判定定理2一定是夹等角的两条边对应成比例．【例2】下列命题正确的是（） A ．有一个角是40°的两个等腰三角形相似 B ．有一个角是106°的两个等腰三角形相似 C ．面积相等的两个直角三角形相似D ．两边之比为3 : 5的两个直角三角形相似【答案】B【解析】有一个角是40°的等腰三角形，不能确定这个角是顶角还是底角，即不能确定三角形形状，A 错误；有一个角是106°的等腰三角形，可以确定这个角一定是等腰三角形的顶角，则底角大小也必相同，根据相似三角形判定定理1，B 正确；面积相等的直角三角形，底边长和高长都不能确定，形状不确定，C 错误；两边之比为3:5，不能确定这两条边是否同为两直角边或者一斜边一直角边，即不能确定直角三角形形状相同，D 错误．【总结】考查相似三角形判定定理的应用，注意一定要对题目提供的条件进行分析的基础上再确定是否能用判定定理证明相似．【例3】下列4⨯4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则例题解析ABCPAB C与ABC ∆相似的三角形所在的网格图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据已知ABC ∆，得对应两直角边之比2ABBC=，三角形与ABC ∆相似，则两条直角边之比也为2，只有C 选项满足．【总结】相似三角形判定定理2可转化为一个三角形中的夹等角的两条边对应成比例．【例4】如图，ABC ∆中，AE 交BC 于点D ，C E ∠=∠，:3:5AD DE =，AE = 8，BD = 4，则DC 的长等于（）A ．415B ．125C ．174D ．154【答案】D【解析】由:3:5AD DE =，AE = 8，可得3AD =，5DE =，由C E ∠=∠，结合一对对顶角BDE ADC ∠=∠，可得BDE ∆∽ADC ∆，由此则有BD DE AD CD =，代入即为453CD =，即得:154CD =，故选D ．【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合应用，注意题目中相似图形的对应关系，对应成比例的线段和点一定要准确．【例5】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似；A BCDE6 / 31乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（） A ．两人多对 B ．两人都不对C ．甲对乙不对D ．甲不对，乙对【答案】C【解析】直角三角形扩张以后得到的三角形三边分别与原三角形平行，得到两三角形三个内角都相等，根据相似三角形判定定理1，可知相似，甲对；乙向外扩张后，矩形两邻边分别变为5和7，3557≠，两矩形的边不对应成比例，可知两矩形不相似，乙不对，故选C ．【总结】对于三角形来讲，三角形个内角相等则各对应边比例相等，可以得到两三角形相似，对于其它的多边形来说，角相等不能保证相似，必须再确定两图形的对应边对应成比例才能判定相似，注意相似成立的条件．【例6】如图，ABC ∆中，AB = AC = 5，BC = 6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则 MN =______．【答案】125．【解析】连结AM ．由AB = AC = 5，M 为BC 中点，可知AM BC ⊥，3BM CM ==，由勾股定理可得：224AM AC CM =-=．由面积法，可得：AM MC MN AC ⋅=⋅，即得431255AM MC MN AC ⋅⨯===．【总结】考查图形性质的综合应用，本题中也可用“子母三角形”通过相似解题．【例7】如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP // DF ，且与AD 相交于点P ，则图中有______对相似的三角形．【答案】6．【解析】////AB CD AD BC ，，结合BP // DF ，由相图1图2 11 1 1111 ABCD EFPABCNMABCDEF似三角形预备定理，知CDF ∆、BEF ∆、ABP ∆、AED ∆四三角形两两相似，即共有6对相似三角形．【总结】考查相似三角形的预备定理，由平行可证相似，同时考查相似三角形的传递性．【例8】如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，90ABC ∠=︒，AB = 8，AD = 3，BC = 4，点P 为AB 边上一动点，若PAD ∆与PBC ∆是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是（）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】与是相似三角形，根据相似三角形判定定理2，首先易得 90A B ∠=∠=︒，则只需要两三角形夹直角的两边对应成比例即可，分成两种情况讨论，即AD AP BP BC =或AD APBC BP=，可分别得到2AP =或6AP =或247AP =，即满足条件的P 点有3个，故选C ．【总结】考查相似三角形判定定理2的应用，注意进行分类讨论，要经过准确计算，不能直接分两种情况得出两种结果．【例9】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC = 3，AC = 4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（）A ．32B ．76C ．256D ．2【答案】B【解析】根据勾股定理，可得225AB BC AC =+=，则有 1522BD AB ==，由90BDE ACB ∠=∠=︒，A ∠为公共角，根据相似三角形判定定理1，可证ABC ∆∽EBD ∆，则有AB BD BE BC =，代入线段可求得256BE =，则76CE BE BC =-=．【总结】考查相似三角形判定定理和性质的综合应用，先判定再应用性质．【例10】如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且AFE B ∠=∠．（1）求证：ADF ∆∽DEC ∆；（2）若AB = 8，AD =63，AF =43，求AE 的长．【答案】（1）略；（2）6ABCD PABCDE8 / 31AB CDEF【解析】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，////AB CD AD BC ∴，．180ADF DEC B C ∴∠=∠∠+∠=︒，． 180AFE AFD AFE B ∠+∠=︒∠=∠，， AFD C ∴∠=∠，∴ADF ∆∽DEC ∆．（2）解：由（1）ADF ∆∽DEC ∆，∴AF AD CD DE=，即43638DE=，解得：12DE =． AE BC ⊥，∴90EAD ∠=︒，根据勾股定理，即得：226AE DE AD =-=．【总结】考查相似三角形判定定理1，和相似三角形的相关性质的结合应用，先判定再应用性质，过程中注意对相关图形及性质的应用．【例11】如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且CDE ABD ∠=∠．（1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DFGB DB=．【答案】略．【解析】证明：（1）AD // BC ，AB = DC ，GBAD CDA∴∠=∠．AB DC AD AD==，，ABD DCA∴∆≅∆．ACD ABD∴∠=∠．CDE ABD∠=∠，ACD CDE∴∠=∠．//AC DE∴．AD // BC，∴四边形ACED是平行四边形．（2）//AD BC，∴AD DFBC FB=．AD DFBC AD DF FB∴=++．四边形ACED是平行四边形，∴AD CE=，∴AD DFBC CE DF FB=++，即AD DFBE DB=．//AD BE，∴DG ADGB BE=，∴DG DFGB DB=．【总结】考查相似中有平行线的情况，即可直接利用图形中的“A”字型和“8”字型等基本图形进行等比例转化．【例12】如图，在ABC∆中，AB = AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，DF⊥AC，DF 与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G．（1）求证：2AD DG BD=；（2）联结CG，求证：ECB DCG∠=∠．【答案】略【解析】证明：（1）1122AB AC AE AB AD AC===，，，AD AE∴=．AB CDEFG10 / 31BAD CAE ∠=∠， BAD CAE ∴∆≅∆， ABD ACE ∴∠=∠．AD CD DF AC =⊥，， AF CF ∴=． GAC ACE ∴∠=∠．ABD GAD ∴∠=∠． ADB GDA ∠=∠， ADG ∴∆∽BDA ∆．AD DGBD AD∴=，即证2AD DG BD =．（2）AD CD =，2AD DG BD =，2CD DG GB ∴=⋅．即CD GB DG CD=． GDC BDC ∠=∠， GDC ∴∆∽CDB ∆． DBC DCG ∴∠=∠． AB AC =，同（1）易证ECB DBC ∠=∠，ECB DCG ∴∠=∠．【总结】本题综合性较强，一方面考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，另一方面考查了相似三角形的判定及性质，解题时注意对条件认真分析以及灵活运用．【例13】在ABC ∆中，AB = 40，AC = 24，BC = 32，点D 是射线BC 上的一点（不与端点重合），联结AD ，如果ACD ∆与ABC ∆相似，求BD 的值．【答案】14或50或64．【解析】由AB = 40，AC = 24，BC = 32，三角形三边满足222AC BC AB +=，即ABC ∆为直角三角形，其中90ACB ∠=︒，D 在射线BC 上，相似三角形对应关系不确定，可知存在以下几种情形：（1）D 在线段BC 上，此时ADC ∆∽BAC ∆，则有AC DCBC AC=，可得18DC =，则321814BD BC DC =-=-=；（2）D 在线段BC 延长线上，ADC ∆∽BAC ∆时，同（1）可得50BD BC DC =+=；（3）D 在线段BC 延长线上，DAC ∆∽BAC ∆时，则有DAC ∆≌BAC ∆，264BD BC ==．【总结】相似三角形的存在性问题，题目未给明对应关系，一定要注意进行分类讨论，本题中的点在射线上则更需要注意在线段延长线上时的情况．【例14】正方形ABCD 的边长为1，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ，求当BM 为多少时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为多少？【答案】12BM =时四边形ABCN 有最大面积58．【解析】由90B ∠=︒，则有90BAM AMB ∠+∠=︒，AM ⊥MN ，则90NMC AMB ∠+∠=︒，NMC BAM ∠=∠，由90B C ∠=∠=︒，可证ABM ∆∽MCN ∆．则AB BMMC CN =，设BM x =，则1MC x =-，2CN x x =-，则有()()2211115122228ABCNS CN AB BC x x x ⎛⎫=+⋅=-++=--+ ⎪⎝⎭．由此可知当12x =，即12BM =时，四边形ABCN 有面积最大值58．【总结】考查“一线三直角”得到相似的基本模型，综合二次函数的最值问题．【例15】如图，将边长为6 cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则EBG ∆的周长为______cm ．【答案】12．【解析】设DF x =，根据翻折的性质，则有EF x =， 6AF x =-，在Rt AEF ∆中，用勾股定理，则有222AE AF EF +=，即()22236x x +-=，解得154x =，则94AF =，由90A ∠=︒，则有90AFE AEF ∠+∠=︒，同时90FEG D ∠=∠=︒，则90AEF EBG ∠+∠=︒，ABCDE FGH QA BCDNM12 / 31K MNHG FEDC BA得：AFE BEG ∠=∠，由90A B ∠=∠=︒，可证AEF ∆∽BGE ∆．则AE AF EFBG BE GE==，即9153443BG GE ==，解得4BG =，5EG =，故12EBG C cm ∆=．【总结】考查“一线三直角”得到相似的基本模型．【例16】如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 4 cm ，BC = 2 cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1 cm /s 的速度从A 点出发，沿着A B A →→的方向运动，设点E 的运动时间为t 秒，联结DE ，当t 为何值时，BDE ∆是直角三角形？【答案】955t =或5t =或35t =或1155t =．【解析】根据勾股定理，可得2225AB AC BC =+=，点E 沿 A B A →→运动时，B ∠大小固定不变，可能存在90DEB ∠=︒和 90EDB ∠=︒两种情形：（1）当90DEB ∠=︒时，由B B ∠=∠，90DEB C ∠=∠=︒，得DEB ∆∽ACB ∆，则有DB EBAB BC =，即1225EB =，得55EB =，此时存在两种情形，即955t =或1155t =；（2）当90EDB ∠=︒时，由B B ∠=∠，90EDB C ∠=∠=︒，得EDB ∆∽ACB ∆，则有EB DBAB BC =，即1225EB =，得5EB =，此时存在两种情形，即5t =或35t =．【总结】本题主要考查动点的分类讨论问题，注意运动过程中的不变量．【例17】如图，ABC ∆中，4AB = 5AC ，AD 为ABC ∆的角平分线，点E 在BC 的延长线上， EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG = FD ，联结EG 交AC 于点H ，若点H 是AC 的中点，求AGFD的值．【答案】43．【解析】延长AC 到M ，使AM AB =，连结DM ，过点M 作//MN AD 交GE 于点N ，交BE 于K ．∵AD 为ABC ∆的角平分线， ∴点D 到AB 、AC 的距离相等．则54ABD ACD S BD AB CD S AC ∆∆===．ABCDEAB AM BAD MAD AD AD =∠=∠=，，，BAD MAD∴∆≅∆，54DM BD DC∴==．//MN AD，4DC ACCK CM∴==．54DK DC DM∴==，即M DK∆是等腰三角形．EF AD FG FD⊥=，，DEG∴∆是等腰三角形．∵//MN AD，GDE DKM∴∠=∠．∵DK DM DE GE==，，KDM DEG∴∠=∠．//GE DM∴．∴四边形DMNG是平行四边形．2MN GD FD∴==，又H是AC中点，22AG AG AHFD MN HM∴==．∵12211342ACAHHM AC AC==+,∴43AGFD=．【总结】考查角平分线，等腰三角形，全等，相似，平行四边形知识的综合应用，难度大，主要在于添加正确的辅助线．1、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．2、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比．模块二：相似三角形的性质知识精讲14 / 313、相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【例18】如果两个相似三角形的面积之比是9 : 25，其中小三角形一边上的中线长是12 cm ，那么大三角形对应边上的中线长是______cm ．【答案】20【解析】根据相似三角形面积比等于相似比平方，可知两三角形相似比3:5k =，两三角形对应中线长之比也等于3:5k =，即得大三角形对应边上中线长为312205cm ÷=．【总结】考查相似三角形的面积比和对应中线比与相似比的关系．【例19】在ABC ∆中，DE // BC ，且D 在AB 边上，E 在AC 边上，若:1:4ADE BCED S S ∆=，则:ADE ABC C C ∆∆=______，:AD DB =______．【答案】5:5，()51:4+【解析】:1:4ADE BCED S S ∆=，得:1:5ADE ABC S S ∆∆=，可得相应相似比1:55:5k ==，则:5:5ADE ABC C C k ∆∆==，:5:5AD AB k ==，()():5:5551:4AD DB =-=+．【总结】考查相似三角形的面积比和对应边长比和周长比与相似比的关系．【例20】如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，90B ACD ∠=∠=︒，AB = 2，DC = 3，则ABC ∆ 与DCA ∆的面积比为（）A ．2 : 3B ．2 : 5C ．4 : 9D ．2:3【答案】C【解析】由AD // BC ，可得BCA CAD ∠=∠，结合 90B ACD ∠=∠=︒，可证ABC ∆∽DCA ∆，则有23AB k DC ==，则222439ABC DCA S k S ∆∆⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故选C ．【总结】考查相似三角形的面积比与相似比的关系．例题解析ABCDAB CDE 【例21】如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值为（）A ．只有1个B ．可以有2个C ．可以有3个D ．有无数个【答案】B 【解析】由6834=，可知这两条边分别为对应边，相似比2k =，第一个直角三角形中第三边长有两种情况，即226810+=或228627-=，由此得102x=或272x =，解得5x =或7x =，故选B ．【总结】考虑相似三角形的相似比，一定要确立好对应关系．【例22】如图，D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，23AD AE DE AB AC BC ===，且ABC ∆与ADE ∆的周长之差为15 cm ，求ABC ∆与ADE ∆的周长．【答案】45ABC C cm ∆=，30ADE C cm ∆=．【解析】23AD AE DE AB AC BC ===，可知ADE ∆∽ABC ∆，其相似比23k =，则23ADE ABC C k C ∆∆==，又15ABC ADE C C ∆∆-=，可得：45ABC C cm ∆=，30ADE C cm ∆=．【总结】考查相似三角形的判定和性质的结合应用．【例23】如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE // AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______．【答案】1:20．【解析】由:1:4BDE CDE S S ∆∆=，即得:1:4BE CE =，由DE // AC ，即得：14BD BE AD CE ==，可得：14BCD ACD S BD S AD ∆∆==，则有120BDE ACD S S ∆∆=．【总结】等高三角形面积比等于底边长之比，结合三角形的相似性质即可．AB CD E16 / 31MNDCBA【例24】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，将ABC ∆沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB边上的点D 处，已知MN // AB ，MC = 6，23NC =，那么四边形MABN 的面积是______．【答案】183．【解析】连结CD ，即得MN 垂直平分CD ，由MN // AB ，即得M 是AC 的中点，CMN ∆∽CAB ∆，则221124CMN CAB S CM S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此可得：133362318322MABN CMN S S MC NC ∆==⨯⋅=⨯⨯=．【总结】考查翻折与相似性质的结合应用．【例25】如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 6，AD = 9，BAD ∠的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线与F ，BG AE ⊥于G ，42BG =，则EFC ∆的周长为______．【答案】8．【解析】由//AD BC ，得DAE AEB ∠=∠，由AE平分BAD ∠，得BAE DAE AEB ∠=∠=∠，可得6AB BE ==，由BG AE ⊥，42BG =，根据勾股定理可得222GE BE BG =-=，则有24AE GE ==，3EC BC BE =-=，由//AB CF ，得EAB ∆∽EFC ∆，由此即得623ABE EFC C BE C EC ∆∆===，由16ABE C AB BE EC ∆=++=，得8EFC C ∆=．【总结】考查相似三角形结合平行四边形特殊图形性质，构造“A ”“8”字型等相关基本图形的应用，本题中注意运用“角平分线与平行线相结合得到等腰”的基本模型．【例26】如图，在ABC ∆中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，ABC DEFGABCDE过点E 作ED // BC 交AB 于点 D ．（1）求证：AE BC BD AC =；（2）如果3ADE S ∆=，2BDE S ∆=，DE = 6，求BC 的长．【答案】（1）略；（2）10．【解析】（1）证明：//ED BCDE AEDEB EBC BC AC∴∠=∠=， DBE EBC ∠=∠ DEB DBE ∴∠=∠ DE BD ∴= BD AEBC AC∴=即证AE BC BD AC = （2）解：由3ADE S ∆=，2BDE S ∆=，即得32ADE BDE S AD BD S ∆∆==，则有35AD AB =，由ED // BC ，可得：35DE AD BC AB ==，代入求得10BC =．【总结】考查相似三角形面积比与等高三角形面积比的结合应用以及“角平分线与平行线相结合得到等腰”的基本模型的应用．【例27】如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AB = 10，BC = 6，在线段AB 上取一点 D ，作DF AB ⊥交AC 于点F ，现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为1A ，AD 的中点E 的对应点记为1E ，若11E FA ∆∽1E BF ∆，则AD =______．【答案】165．【解析】由90ACB ∠=︒，AB = 10，BC = 6，根据勾股定理得 228AC AB BC =-=，由90C EDA ∠=∠=︒，A A ∠=∠，可证ADE ∆∽ACB ∆，则有AF AD DFAB AC BC ==，可设3DE a =，则45AD a AE a ==，，122DE AD a ==，则13EF a =，根据翻折性质，得111213A E AE a E F EF a ====，， 1106BE a =-，11E FA ∆∽1E BF ∆，则有11111E F E AE B EF =，即13210613a a a a=-，解得45a =，由此即得1645AD a ==．【总结】考查翻折的性质与相似结合，可以把对应边之比转化为同一个三角形的边长之比．【例28】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 5，BC = 3，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且BD = CE ，设点C 关于DE 的对称点为F ，若DF // AB ，则BD 的长为______．ABCD E F A 1E 118 / 31MFEDCBA【答案】1．【解析】延长DF 交AC 于M ，由勾股定理，可得224AC AB BC =-=，90DFE C DMC A ∠=∠=︒∠=∠，，EFM ∴∆∽DCM ∆∽BCA ∆．3345EF DC BC EF BC EM MC AC EM AB ∴=====，．设BD x =，则有CE EF x ==，53EM x =，3DC x =-，83MC x =，即有33843x x -=，解得：1x =，即1BD =．【总结】相似三角形的性质可将两个相似三角形对应边之比转化为一个三角形中对应边长之比，便于计算．【例29】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD AB ⊥于点D ．点P 从点D 出发，沿线段CD 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到点C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段CD 的长；（2）设CPQ ∆的面积为S ，求S 与t 之间的关系式，并确定运动过程中是否存在某一时刻t ，使得:9:100CPQ ABC S S ∆∆=？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，CPQ ∆为等腰三角形？【答案】（1）245；（2）2248525S t t =-+， 1.8t =或3t =时，:9:100CPQ ABC S S ∆∆=；（3）125t =或14455t =或2411t =．【解析】（1）根据勾股定理，可得2210AB AC BC =+=，由直角三角形面积法，则有CD AB AC BC ⋅=⋅，解得：245CD =；（2）过点P 作PH AC ⊥交AC 于H ， 90PHC ACB ∠=∠=︒，CPH A ∠=∠， PHC ∴∆∽ACB ∆，PH PCAC AB∴=． ABCDPQH依题意可得CQ PD t ==，则245CP t =-，代入即为：245810tPH -=，解得：42449655525PH t t ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭．21149624822525525S QC PH t t t t ⎛⎫∴=⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭，其中2405t ≤≤；若存在某一时刻，使得:9:100CPQ ABC S S ∆∆=，则有224891685251002S t t =-+=⨯⨯⨯，整理得：2524270t t -+=，解得：12935t t ==，，均符合题意；（3）分类讨论：①CQ CP =，即245t t =-，解得：125t =； ②PQ CP =，根据等腰三角形的性质可得625QC CH CP ==，即得62455t t =-，解得：14455t =； ③CQ PQ =，同理②，可得52465t t =-，解得：2411t =．综上：当CPQ ∆为等腰三角形时，t 的值为125或14455或2411．【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，特别是由动点引起的等腰三角形的问题要注意分类讨论，解题方法比较多样，主要是抓住题目中的条件认真分析．20 / 31A B C【习题1】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC ∆ 相似的是（）A ．B ．C ．D ．【难度】★ 【答案】B【解析】由已知ABC ∆，可得一钝角135ABC ∠=︒，夹这个钝角两边之比22AB BC =，三角形与ABC ∆相似，则必有一角135︒，且夹这个角两边长之比为22，只有B 选项满足．【总结】相似三角形判定定理2可转化为一个三角形中的夹等角的两条边对应成比例．【习题2】如图，D 是ABC ∆的边AC 上一点，CBD ∠的平分线交AC 于点E ，AE = AB ，则长度为线段AD 、AC 长度比例中项的线段是______．【答案】AE 和AB ．【解析】AE = AB ，得ABE AEB ∠=∠，AEB C EBC ∠=∠+∠，即得ABD DBE C EBC ∠+∠=∠+∠，BE 平分CBD ∠，即为DBE EBC ∠=∠，由此可得ABD C ∠=∠，又A A ∠=∠，即证ABD ∆∽ACB ∆，则有AD ABAB AC=，又AE = AB ，即得．【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合应用，先判定相似再应用性质，注意题目中一个条件的多种用途．【习题3】如图，在ABC ∆中，D 、F 是AB 的三等分点，DE // FG // BC ，分别交AC 于E 、随堂检测ABCDEG ．记ADE ∆、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123::S S S =______．【答案】1:3:5．【解析】D 、F 是AB 的三等分点，即::1:2:3AD AF AB =，由DE // FG // BC ，即可得222::1:2:3ADE AFG ABC S S S ∆∆∆=，即()()112123::1:4:9S S S S S S +++=，得123::1:3:5S S S =．【总结】考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，再进行比例转化即可．【习题4】如图，D 是ABC ∆的边BC 上一点，已知AB = 4，AD = 2，DAC B ∠=∠，若ABD ∆的面积为a ，则ACD ∆的面积为______．【答案】13a ．【解析】由DAC B ∠=∠，C C ∠=∠，可得：BAC ∆∽ADC ∆，其相似比422AB k AD ===，由此可得：24BAC ADC S k S ∆∆==，则有3ABD ACD S S ∆∆=，即得：3ACD aS ∆=．【总结】考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，再进行比例转化即可．【习题5】如图，矩形ABCD 中，AB = 3，BC = 4，动点P 从A 点出发，按A B C →→的方向在AB 和BC 上移动，记P A = x ，点D 到直线P A 的距离为y ，则y 关于x 的函数图像ABCDA BCD E FG22 / 31xy xy xy xy OOOO3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 45 MEDC BA大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由运动轨迹可知，动点从A B →的过程中，D 到直线P A 的距离即为AD ，是一条与x 轴平行的直线，D 错误；动点从B C →的过程中，162APD ABCD S S ∆==矩形，即得162xy =，由此可得12y x=，D 直线的距离P A 函数是一段双曲线，可知正确答案是B ．【总结】动点问题，进行准确分段分解，化作一段线段上的运动情况即可．【习题6】如图，已知点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的一点，BC = 3BD ，CE ⊥AD ，则AECE=______．【答案】12．【解析】过点D 作DM AC ⊥交AC 于点M ，则有//DM AB ，则CMD ∆为等腰直角三角形，由CE AC ⊥，可得：ADM ∆∽ACE ∆．12AE AM AM BD CE DM CM CD ∴====．【总结】考查相似三角形性质的应用，构造平行线即可得到相似．【习题7】在同一时刻，两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB = 2 m ，它的影子BC = 1.6 m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM = 1.2 m ，MN = 0.8 m ，则木竿PQ 的长度为______m ．【答案】2.3．A B CDPx yAB CPN MQHMNH G FED C BA【解析】如图有 1.2HN PM ==， 0.8PH MN ==，同一时刻影子与木杆长度所成比例相同，则有AB QHBC HN=，得： 1.5QH =，则 2.3PQ QH HP m =+=．【总结】影长问题转化为相似，同一时刻下相似比相同．【习题8】如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、 F ，BG ⊥AC ，垂足为点G ，BG 交AE 于点H ．（1）求证：ABE ∆∽ECF ∆；（2）找出与ABH ∆相似的三角形，并证明；（3）若E 是BC 的中点，BC = 2AB ，AB = 2，求EM 的长．【答案】（1）略；（2）ECM ∆；（3）223．【解析】（1）证明：EF AE ⊥，90AEB FEC ∴∠+∠=︒．90ABC ∠=︒ 90AEB BAE ∴∠+∠=︒ BAE FEC ∴∠=∠90ABE ECF ∠=∠=︒ ∴ABE ∆∽ECF ∆（2）由（1）BAE FEC ∠=∠，又90ABG GBC GBC BCG ∠+∠=∠+∠=︒ABG ECM ∴∠=∠ ∴ABH ∆∽ECM ∆（3）作MN BC ⊥交BC 于点N ，则有//MN AB ，由BC = 2AB ，得2CN MN =，2BC AB BE CE ==，45AB BE AEB FEC ∴=∠=∠=︒，12EN MN CN ∴==，得1233EN EC ==，则2223EM EN ==．【总结】考查“子母三角形”中相似的应用．【习题9】如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC = 3，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的各边上，EF // AC // HG ，EH // BD // FG ，求四边形EFGH 的周长．【答案】213．【解析】由EF // AC // HG ，EH // BD // FG ，可知四边形EFGH 是平行四边形，且EH AHBD AD=，ABCDEFGH24 / 31HG DH AC AD =，即得：1EH HGBD AC+=，由四边形是矩形，根据勾股定理可得2213AC BD AB BC ==+=，即有113EH HG+=，由此可得：13EH HG +=，故()2213EFGH C EH HG =+=．【总结】考查图形中的“A ”字型等基本图形的叠合应用，可进行比例转化得到一些特定的等量关系即可进行计算．【习题10】如图，在ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC 于点D ，BC = 10 cm ，AD = 8 cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3 cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2 cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、 AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t > 0）．（1）当t = 2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF ∆的面积存在最大值，当PEF ∆的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）略；（2）6；（3）280183t =或4017t =．【解析】（1）证明：当2t =时，24DH t AH ===．AB AC AD BC =⊥，， BD CD ∴=． //EF BC ，EH FH ∴=，∴四边形AEDF 是平行四边形，∵AD EF ⊥，∴四边形AEDF 是菱形．（2）//EF BC ，EF AE AHBC AB AD∴==．由题意，可得：2DH t =，则有82AH t =-，即得：82108EF t-=． 5102EF t ∴=-+1003t ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭．()22115551021021022222PEF S EF DH t t t t t ∆⎛⎫∴=⋅=-+⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭． A BCDEFmH由此可知2t =时，PEF ∆的面积有最大值，此时36BP t ==；（3）①90EPF ∠=︒，分别通过E 、F 向BC 作高，易得两个三角形相似，即有5324521034t tt t t t -=--，解得：280183t =； ②90EFP ∠=︒，过点F 向BC 作高，则有281035t t =-，解得：4017t =； ③90PEF ∠=︒，过点E 向BC 作高，则有2835t t =，此时不存在；综上所述，280183t =或4017t =时，PEF ∆是直角三角形．【总结】本题是一道考查动点问题的综合题，难度较大，第（2）问中求面积最大值时，要运用配方的思想，第（3）问的直角三角形问题要注意分类讨论，求解时通过作高即可转化为“一线三直角”的基本模型进行求解．26 / 31ABCDE【作业1】如图，在ABC ∆中，DE // BC ，12AD DB =，则下列结论正确的是（） A ．12AE AC =B ．12DE BC =C ．13ADE ABC ∆=∆的周长的周长D ．13ADE ABC ∆=∆的面积的面积【答案】C【解析】12AD DB =，DE // BC ，可得两三角形相似，相似比13AD k AC ==，则其对应边、对应周长之比应为13，对应面积比为21139⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选C ．【总结】考查相似图形的性质，各个量之比与相似比的关系．【作业2】如图，在ABC ∆中，点D 和点E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能判定ABC ∆ ∽AED ∆的是（） A ．AED B ∠=∠ B ．ADE C ∠=∠C ．AD AC AE AB=D ．AD AE AB AC=【答案】D【解析】根据相似三角形判定定理1和判定定理2，可知ABC 都正确，故选D ．【总结】考查相似三角形判定定理的应用，可将相似比转化为一个图形中对应边之比．【作业3】一副三角尺按如图所示的方式叠放，则AOB ∆与DOC ∆的面积之比课后作业A BCDEABCDO为____________．【答案】13．【解析】由90ABC BCD ∠=∠=︒，可得//AB DC ，则有AOB ∆∽COD ∆，由30D ∠=︒，可得3DC BC =，由AB BC =，可得：1333AB k BC ===，则有213AOB COD S k S ∆∆==．【总结】考查特殊的直角三角形中的边角关系的转化．【作业4】如图，点D 、E 分别在ABC ∆两边AB 、AC 上，且AD = 31，DB = 29，AE = 30， EC = 32．若50A ∠=︒，则关系式“1ADE B ∠>∠；2AED C ∠=∠；3ADE C ∠>∠；4AED B ∠=∠”中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】由AD = 31，DB = 29，可得60AB AD DB =+=，由AE = 30，EC = 32，可得62AC AE EC =+=，则有AE ADAB AC =，又A A ∠=∠，即得ADE ∆∽ACB ∆，则有ADE C ∠=∠，AED B ∠=∠，可知②③错误，④正确，同时根据“大边对大角”，可知ADE AED ∠<∠，可知①错误，即正确的只有④，故选A ．【总结】考查相似三角形的判定定理2和相关相似性质的结合应用，先判定再应用性质，结合“大边对大角”性质即可解决问题．【作业5】在ABC ∆中，P 是AB 上的动点（P 异于A 、B ），过点P 的一条直线截ABC ∆，使截得的三角形与ABC ∆相似，我们不妨称这种直线为过点P 的相似线．ABCDE。

相似三角形的性质和判定知识点

相似三角形的性质和判定知识点相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学中具有广泛的应用。

相似三角形的性质和判定是学习和解题的基础，本文将详细介绍相似三角形的性质和判定的知识点。

一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。

两个三角形相似的条件是它们对应角相等，即对应边的比例相等。

二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，如下：1. 对应角相等性质：如果两个三角形相似，它们的对应角相等。

2. 对应边成比例性质：如果两个三角形相似，它们的对应边成比例，即对于第一个三角形的一条边与第二个三角形的相应边的比等于第一个三角形的另一条边与第二个三角形的相应边的比。

3. 半角性质：如果两个三角形相似，它们的角的一半也相等。

4. 高线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的高线与底边之比等于相应边之比。

5. 中线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的中线与底边之比等于相应边之比。

这些性质对于判断和解决相似三角形的问题非常有用。

三、相似三角形的判定判定两个三角形是否相似有几个常用的方法，如下：1. AAA相似判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。

2. AA相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角分别对应两个角相等，则它们相似。

3. SSS相似判定：如果两个三角形的对应边成比例，则它们相似。

4. SAS相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的相邻边的比相等，则它们相似。

这些判定方法能够帮助我们快速确定两个三角形是否相似，从而解决相关问题。

四、相似三角形的实际应用相似三角形的概念和性质在几何学中有广泛的应用。

下面介绍一些实际应用的例子：1. 相似三角形的测量：通过测量一个三角形的边长和角度，可以利用相似三角形的性质计算出其他三角形的边长和角度。

2. 地图比例尺：地图上的比例尺是通过相似三角形的性质确定的。

通过观察地图上的两个相似三角形，可以计算出地图上的实际距离。

3. 光学测距：在实际测量中，通过利用相似三角形的性质可以测量较远距离的物体高度、距离等。

《相似三角形的性质》PPT课件沪科版

(2)由(1)可知△BEF与△AFD的相似比为 1 ，
∴S△BEF∶S△AFD＝1∶9.
3
又∵S△BEF＝6 cm2，∴S△AFD＝54 cm2.
感悟新知
归纳
知3－讲
利用相似比求周长和面积时，先判定两个三角形相似，然后找准相似比，再利用“相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方”解题．警示：不要误认为面积的比等于相似比．
证明： △ABC∽△ABC,
∠B ∠B.
∠BDA ∠BDA 90,
Rt△ABD∽Rt△ABD,
AD AB k. AD AB
知1－导
感悟新知
知1－导
1.(1)相似三角形对应高的比等于相似比． (2)相似三角形对应中线的比等于相似比． (3)相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
2．二级结论：相似三角形对应线段的比等于相似比． 3．易错警示：利用相似三角形的性质时，要注意“对
第22章相似形
22.3 相似三角形的性质
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
相似三角形对应线段的比、相似三角形
周长的比、相似三角形面积的比
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
课时导入
复习提问
引出问题
1.相似三角形的判定方法有哪些? 2.相似三角形有哪些性质? 3.三角形有哪些相关的线段?
感悟新知
知识点 1 相似三角形对应线段的比
知1－导
下面，我们以对应高的比为例，证明如下.
※已知，如图，△ABC∽△A ′ B ′ C′,
它们的相似比为k,AD ,A ′D′是对
应高.求证：
AD AD
AB AB
k.
你能否证明：相似三角形对应中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比.

相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定与性质相似三角形是几何学中的重要概念，它们在很多问题的解决中起着关键作用。

本文将介绍相似三角形的判定方法以及相似三角形的一些性质。

一、相似三角形的判定方法1. AA相似定理AA相似定理是相似三角形的判定方法之一。

当两个三角形的对应角度相等时，这两个三角形是相似的。

具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D，且∠B = ∠E，那么这两个三角形是相似的。

2. SSS相似定理SSS相似定理是相似三角形的判定方法之二。

当两个三角形的对应边长成比例时，这两个三角形是相似的。

具体而言，如果三角形ABC 和三角形DEF满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形是相似的。

3. SAS相似定理SAS相似定理是相似三角形的判定方法之三。

当两个三角形的一个对应边成比例，且两个对应边夹角相等时，这两个三角形是相似的。

具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF和∠A = ∠D，那么这两个三角形是相似的。

二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质相似三角形的对应角是相等的。

如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

2. 对应边成比例性质相似三角形的对应边成比例。

如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AB/DE = BC/EF = AC/DF。

3. 高度与边成比例性质相似三角形的对应边上的高度成比例。

如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AD/DF = BE/EF = CF/DE。

4. 面积与边长平方的比例性质相似三角形的面积与对应边长的平方成比例。

如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，则S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2，其中S(ABC)表示三角形ABC的面积，S(DEF)表示三角形DEF的面积。

5. 定理勾股定理性质边长成比例的三角形中，对应边长的平方和成比例。

相似三角形的性质与判定

相似三角形的性质与判定相似三角形在几何学中是一个重要的概念，它们具有一些特殊的性质和判定条件。

本文将介绍相似三角形的性质和判定方法。

一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

相似三角形的性质有以下几个方面：1. 对应角相等：如果两个三角形的对应角相等，那么它们一定是相似的。

具体来说，如果两个三角形的三个内角两两相等，那么它们是相似的。

2. 对应边成比例：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们一定是相似的。

具体来说，如果两个三角形的三条边各自成比例，那么它们是相似的。

3. 高度比例相等：如果两个相似三角形之间的高度比例相等，那么它们的面积比例也相等。

换句话说，如果两个三角形的高度比例相等，那么它们的面积比例也相等。

二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似有以下几种方法：1. AA判定法：如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么它们是相似的。

这是相似三角形的基本判定法。

2. AAA判定法：如果两个三角形的三个内角两两相等，那么它们是相似的。

这是相似三角形的充要条件，也是最常用的判定法。

3. SSS判定法：如果两个三角形的三条边各自成比例，那么它们是相似的。

这是相似三角形的另一种判定法。

4. SAS判定法：如果两个三角形的两个对应边成比例，且夹角也相等，那么它们是相似的。

三、应用示例下面通过一个具体的示例来说明相似三角形的性质和判定方法。

假设有两个三角形ABC和XYZ，已知∠A = ∠X，∠B = ∠Y，且AB/XY = BC/YZ。

根据AA判定法可知，∠A = ∠X 和∠B = ∠Y，所以三角形ABC 与三角形XYZ相似。

根据对应边成比例可知，AB/XY = BC/YZ，所以三角形ABC与三角形XYZ相似。

因此，根据相似三角形的性质和判定方法，可以得出三角形ABC 与三角形XYZ是相似的。

结论：相似三角形具有相同形状但可能不同大小的特点。

判定两个三角形是否相似可以使用AA判定法、AAA判定法、SSS判定法和SAS判定法。

沪科版九年级上22.3相似三角形的性质课件(共37张PPT)

AD
∽
所以 AD AB
AD AB
(相似三角形的对应边成比例) 图 18.3
k
结论：相似三角形对应
高的比等于相似比. 图 18.3.9
自主思考--- 类似结论
如图, ABC∽ ABC,相似比为k,
其中AD、 AD分别为BC、 BC边上的中线,
则 AD ____ . A
AD
A'
B
D
B' C
D' C'
拓展训练
2、已知两个等边三角形的边长之比为 2 ：3，且它们的面积之和26cm2，则较小的等边三角形的面积为多少？
2：如图，△ABC~△A'B'C'，它们的周长分别是 60厘米和72厘米，且AB=15厘米，B'C'=24厘米。求：BC、AC、A'B'、A'C'。
解：因为△ABC~△A'B'C'
②相似三角形的对应边______________
想一想: 它们还有哪些性质呢?
你知我知？
（1）一个三角形有三条重要线段： _高__、_中__线_、__角__平_分__线__
（2）如果两个三角形相似，那么这些对应线段有什么关系呢？
观察
ABC∽ABC
相似比为 1
B
2
对应高的比
AD AD ___________
(3) SADE SABC
1 __1__6___ .
A
D
E
(4) SADE S四边形BCED
1 15
B
C
课堂演练
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则对应角的角平分线的比等于__3∶__5__. 2.相似三角形对应边的比为2:5, 那么相似比为___2_:5___, 对应角的角平分线的比为__2_:_5__, 周长的比为____2_:5____, 面积的比为___4_:2_5____.

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

相似三角形的判定与性质
教学内容
一、知识要点
1、相似三角形的判定及性质
(1) 相似三角形的判定方法：预备定理、AA 、SSS 、ASA 、HL 、传递性 (2)相似三角形的性质
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方。

2、三角形相似的基本模型：
(1)平行型：如图，“A”型即公共角对的边平行，“X”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相
似；
常见条件：
①//DE BC ，①::AD AB AE AC =，①AD AC AE AB ⋅=⋅，①ADE B ∠=∠
(2)相交线型：如图，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角(或对顶角)的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.
常见条件：①AD AB AE AC ⋅=⋅①::AD AC AE AB =① ADE C ∠=∠ (3)旋转型：
常见条件：已知①BAC①①DAE ，求证：①BAD①①CAE.
E
A
B
C
D
D
C
B A
F
E
B
C
D
(4)嵌入型：
已知①ABC 是等腰直角三角形，①BAC=90°，①DAE=45°.找出相似的三角形. 已知①ABC 是等边三角形，①DAE=120°.找出相似的三角形.
常见条件：
① 已知①B=①C=①EDF ，找出相似的三角形.
② 已知①B=①C=①EDF ，D 为BC 的中点，找出相似的三角形. (5)一线三等角：
常见条件：B C EDF ∠=∠=∠ (6)子母三角形：(相交线型推广)
常见条件：①，2AC AD AB =⋅①2
BC BD BA =⋅①2CD AD BD =⋅
(7)双高型推广：
左图两对相似三角形：ABD①①①ACE ①OCD①①OBE 中图六对相似三角形：ABD①①①ACE①①OCD①①OBE
右图八对相似三角形：ABD①①①ACE①①OCD①①OBE ①ADE①①ABC ①ODE①①OBC (后两个相似写出证明过程)
常见条件：①ABD ACE ∠=∠，①，①. 3、常见的三角形面积比
(1)如图一：①ABC 中，若BD ：CD=m ：n ，则S ①ABD ：S ①ACD=m ：n
(2)如图二：①ABC 和①BCD 同底，则两个三角形面积之比等于两个三角形BC 边上的高之比.
(3)蝴蝶定理：在梯形ABCD 中，若AO ：OC=m ：n ，则： 1) S ①AOD ：S ①COD=S ①AOB ：S ①BOC=m ：n 2) S ①AOD ：S ①AOB=S ①COD ：S ①BOC=m ：n 3)S ①COD=S ①AOB 4)S ①AOD ：S ①BOC=22:m n
二、例题讲解
例1.如图，梯形ABCD 中，AD ①BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，2AOD S p ∆=，2BOC S q ∆=，试求梯形ABCD 的面积。

ADB AEC ∠=∠,CE AB BD AC ⊥⊥O
D
C B
A
例2.如图，已知ABC ∆中，AC = 3，BC = 4，90C ∠=︒，在ABC ∆内部求做一正方形，问怎样截取可以使正方形的面积最大，并求出此时正方形的边长．
试一试
1.如图，ABC ∆中，四边形DEFG 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在 AB 上，1ADG CDE S S ∆∆==，
3BEF S ∆=，求ABC ∆的面积．
A
B
C
A B
C D
E
F G
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点E、F分别是边AC、BC上的动点，过点E作ED⊥
AB于点D，过点F作FG⊥AB于点G，DG的长始终为2；
（1）当AD＝3时，求DE的长；
（2）当点E、F在边AC、BC上移动时，设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）在点E、F移动过程中，△AED与△CEF能否相似，若能，求AD的长；若不能，请说明理由．
A
B
C
D E
F
P N M
Q
例7.如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△
3（图中阴影部分）的面积分别是
1，4和16．则△ABC 的面积是．
三、巩固练习及家庭作业
1.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝6厘米，BC ＝9厘米，又知△ADC 的面积为12平方厘米，在BA 的延长线取一点E ，且DE ∥AC ，求△ABC 和△AED 的面积．
3.如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，BC = 4cm ，AB = 8cm ，D 、E 、F 分别为AB 、
AC 、BC 边的中点，点P 为AB
边上一点，过点P 作PQ // BC 交AC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，若AP = 3cm ，求正方形PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积．
4.已知：点E在线段AB上，．
（1）如图1，AB是△ABC的边，作EF∥BC交边AC于点F，连接BF．求的值．
5.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在边AB上，DE⊥AB，点E在边BC，点F在边AC上，且∠DEF＝∠
B．
（1）求证：△FCE∽△EBD；
（2）当点D在线段AB上运动时，是否有可能使S△FCE＝4S△EBD？如果有可能，那么求出BD的长；如果不可能，请说明理由．
A
B C
D E 6.如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，45DAE ∠=︒．求证：（1）ABE ∆∽DCA ∆；（2）22BC BE CD =．。