凸函数的性质及其应用1
凸函数 凹函数
凸函数凹函数凸函数与凹函数是微积分中常见的概念，一般用于描述函数的形态。
它们的定义都是在定义域上，凸函数是函数在定义域内的任意两点之间的连线所形成的线段上的所有函数值不超过该线段端点的函数值，凹函数则是函数在定义域内的任意两点之间的连线所形成的线段上的所有函数值都不少于该线段端点的函数值。
简单来说，凸函数就是“弯弯的”向上的函数，凹函数则是“弯弯的”向下的函数。
下面我们将详细介绍凸函数和凹函数的定义以及一些例子和应用。
一、凸函数1.1 定义：若函数 f(x) 的定义域 D 是一个凸集合，并且对于 D 中的任意两点 x1, x2 以及任意实数λ ∈ [0,1]，都有：f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)则函数 f(x) 称为凸函数。
其中，λx1 + (1-λ)x2 是点 x1 和 x2 之间的中点，λ表示分配参数，(1-λ)表示剩余参数。
1.2 示例：函数 f(x) = x2 + 2x + 1 在 (-∞,+∞) 上是一个凸函数。
这个二次函数开口向上，图形很像一个碗，我们可以根据凸函数定义来验证它是否是凸函数。
首先，函数的定义域为 (-∞,+∞)，包含了所有的实数，是一个凸集合；其次，在该定义域内，任取两点 x1和x2，且λ∈[0，1]，我们可以在两点间连接一条线段，然后将这条线段分割为λx1和(1-λ)x2两部分，其中λx1表示x1所占的比重，(1-λ)x2表示x2所占的比重。
因为 f(x) 是一个二次函数，所以它是圆形的，当λ=0.5 时，分割点正好在圆心上，所以分割点的函数值就等于函数的最小值，即：f(λx1 + (1-λ)x2) = f((x1+x2)/2) = (x1+x2)2/4 + 2(x1+x2)/2 + 1 = (x1+x2)2/4 + x1 + x2 + 1/2。
此时，我们将 f(x1) 和 f(x2) 带入定义式中计算：λf(x1) + (1-λ)f(x2) = λ(x1)2 + 2λx1 + λ + (1-λ)(x2)2 + 2(1-λ)x2 + 1-λ= λx1^2 + (1-λ)x2^2 + 2λx1 + 2(1-λ)x2 + λ + 1-λ= λx12 + (1-λ)x22 + 2λx1 + 2(1-λ)x2 + 1我们可以发现，当将上式中“+λ+1-λ”化简后，它们和上面的 f(x1) + f(x2) 等价，且还多了一些其他的正数。
凸函数一些命题的证明与应用
凸函数一些命题的证明与应用
1. 凸函数的性质
（1）凸函数的定义：凸函数是指在它的定义域上，任意两点之间的连线都在函数的图像之上的函数。
（2）凸函数的性质：
（a）凸函数的图像是一个连续凸集；
（b）凸函数在其定义域上单调递增或单调递减；
（c）凸函数的导数存在且连续；
（d）凸函数的二阶导数存在且连续；
（e）凸函数的图像没有拐点。
2. 证明：凸函数的图像是连续凸集
证明：设函数f(x)在定义域D上为凸函数，若a，b∈D，则有f(a)≤f(b)。
证明：令c∈[a,b]，由凸函数的定义可得f(c)≤f(b)，从而有
f(a)≤f(c)≤f(b)，即函数f(x)在[a,b]上是单调递增的，因此f(x)的图像是连续凸集。
3. 凸函数的应用
（1）凸优化：凸优化是指求解凸函数的最优解，它是最优化理论中最重要的研究方向之一，用于解决最优化问题，如求解最小值、最大值等。
（2）凸分类：凸分类是指将样本点按照凸函数的函数值进行分类，它是机器学习中常用的分类方法之一，用于解决分类问题。
（3）凸回归：凸回归是指用凸函数来拟合样本数据，它是统计学中常用的回归方法之一，用于解决回归问题。
凹函数与凸函数的性质及应用
凹函数与凸函数的性质及应用函数的凸性和凹性是用来描述函数图像弯曲方向的重要性质。
凸函数和凹函数在形状上有明显的区别，这些区别可以通过函数的导数，特别是二阶导数来刻画。
1.2.凹函数（Concave Function）：o凹函数的图像呈现一种“向下凹”或“向上凸”的形状。
也就是说，如果我们在函数的图像上任意取两点并连接这两点形成一条线段，那么这条线段将始终位于函数图像的上方。
o从数学角度来说，如果一个函数在其定义域内的任意两点x1和x2之间，对于任意实数λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称该函数为凹函数。
o凹函数的二阶导数在其定义域内始终非正，即f''(x) ≤0。
如果二阶导数在某个区间内严格小于零，则称该函数在该区间内是严格凹的。
3.4.凸函数（Convex Function）：o凸函数的图像呈现一种“向上凸”或“向下凹”的形状。
也就是说，如果我们在函数的图像上任意取两点并连接这两点形成一条线段，那么这条线段将始终位于函数图像的下方。
o从数学角度来说，如果一个函数在其定义域内的任意两点x1和x2之间，对于任意实数λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称该函数为凸函数。
o凸函数的二阶导数在其定义域内始终非负，即f''(x) ≥0。
如果二阶导数在某个区间内严格大于零，则称该函数在该区间内是严格凸的。
这些性质使得我们能够通过观察函数的二阶导数来判断函数的形状，从而更好地理解函数的性质和行为。
在优化问题、经济学、概率论和统计学等多个领域，凸性和凹性的概念都非常重要，因为它们可以帮助我们分析和解决各种问题。
例如，在优化问题中，凸函数通常比凹函数更容易处理，因为凸函数的最优解通常是全局最优解，而凹函数的最优解则可能是局部最优解。
凸函数和凸的
凸函数和凸的凸函数和凸集是数学中的两个重要概念，在数学和工程应用中非常常见。
本文将着重介绍这两个概念的定义、性质和应用。
一、凸函数1. 定义对于实数集合X上的函数f，如果对于任意的x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，都有f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)则称f是X上的凸函数。
简单来说，就是图像上任意两点连线在函数图像下方时，该函数为凸函数。
如下图：2. 性质（1）凸函数的一阶导数单调增加。
（2）如果f(x)在[a,b]内是凸函数，则∀x∈(a,b)，有f(x)≤f(a)+f'(a)(x−a)或f(x)≤f(b)+f'(b)(x−b)（即解析式可以被类比为斜率大于等于零的直线），同时也可以得出：f(a)+f(b)2≥f(a+b2)即弦比切的定理。
（3）如果f(x)在[a,b]上是二次凸函数，则额外满足：f(a+x+b−a−2x2b−a)≤f(a)+f(b)2−f'(a)(b−a)4根据其定义可知，凸函数有一个很好的性质，即对于任意一个凸函数f(x)，其局部最小值也是全局最小值。
这个性质在优化问题中非常有用。
3. 应用凸函数在优化问题中很常见，比如线性规划、非线性规划、半正定规划以及凸优化等。
此外，凸函数在机器学习中也有非常广泛的应用，比如核方法、支持向量机等。
二、凸集1. 定义凸集是指对于一个实数集合X，如果对于其中的任意两个点x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，有αx1+(1−α)x2∈X则称X是凸集。
也就是说，凸集内的任意两点连线上的任意一点也在凸集内。
如下图：2. 性质（1）凸集的交仍为凸集。
（2）凸集的凸组合一定在该凸集内。
（3）凸集的闭包也是凸集。
（4）如果X是凸集，则对于x∈X，X是以x为球心的超球体内的凸集。
3. 应用凸集和凸函数在很多方面都是密切相关的，比如凸优化和半正定规划等都涉及到凸集的概念。
凸集也被广泛应用于统计学和经济学中，例如一些概率模型的凸包上界（convex hull upper bound）和有效边界（efficient set）等等。
凸函数的性质与应用
学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级2009级姓名zym论文题目凸函数的性质与应用指导教师555职称副教授成绩2011 年06月10日目录摘要 (2)关键词 (2)Abstract (2)Keywords (2)前言 (2)1 凸函数的定义 (2)2 凸函数的性质 (4)2.1f为I上凸函数的充要条件 (4)2.2 f为区间I上的可导函数的相关等价论断 (4)3凸函数的应用 (6)参考文献 (7)函数的性质与应用学生姓名: *** 学号: 20095031390 数学与信息科学学院 数学与应用数学 指导教师: *** 职称: 副教授摘 要：本文从凸函数的定义出发,总结了凸函数的性质与应用 关键词：凸函数;性质;应用The properties and application of convex functionAbstract: From the definition of convex function, summarizes the convex function of theproperties and application.Key word: the definition of convex function; properties; application前言我们已经熟悉函数()2f x x =和()f x =的图象,它们不同的特点是:曲线2y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线y 则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.下面通过一些例子来讨论凸函数的性质及应用,利用凸函数判断不等式的大小.1 凸函数的定义定义 1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x ,2x 和任意实数()0,1λ∈总有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-， ()1则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≥+-, ()2则称f 为I 上的凹函数.如果若()1、()2中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.例1 证明:f 为I 上凸函数的充要条件是对任何1,2x x I ∈,函数()()()121f x x ϕλλλ=+-为[]0,1上的凸函数.证 (必要性) 若f 为I 上的凸函数,则[]()12,0,1,0,1t α∀∈∈t ,有()()()()12121222111t t f t t t t t x ϕαααααα+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+-++-+⎣⎦()()11212122211f t x t x x t x t x αααα=+-+---⎡⎤⎣⎦()()()1121212222111f t x t x x t x x t x αααααα=+-+-+---⎡⎤⎣⎦()()()()11122122111f t x t x t x t x αα⎡⎤=+-+-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()11122122111f t x t x f t x t x αα≤+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()121t t αϕαϕ=+-，因此ϕ是[]0,1上的凸函数.(充分性) 若ϕ是[]0,1上的凸函数,则 []()12,0,1,0,1t α∀∈∈t , 则有()()()()121211t t t t ϕαααϕαϕ+-≤+-⎡⎤⎣⎦对 1,2y y I ∀∈,不妨设 12y y <,取1,2x x I ∈,使 1122x y y x ≤≤≤ , 并记()()111122212211y t x t x y t x t x =+-⎧⎪⎨=+-⎪⎩ 易知[]12,0,1t ∈t . ()0,1α∀∈,则()()()()()()()()121212111f y f y t t t t αααϕαϕϕαα+-=+-≥+-()()()121122211f t t x t t t x αααα⎡⎤=+-+--+⎣⎦ ()()()()()11122122111f t x t x t x t x αα⎡⎤=+-+-+-⎣⎦()()121f y y αα=+-，即f 是I 上的凸函数.2 凸函数的性质2.1 f 为I 上凸函数的充要条件引理1 f 为I 上的凸函数的充分必要条件是:对于I 上的任意三点123x x x <<, 总有()()()()21322132f x f x f x f x x x x x --≤-- ()3 引理2 f 为I 上的凸函数的充分必要条件是:对于I 上的任意三点123x x x <<,总有()()()()()()213132213132f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤--- ()4 2.2 f 为区间I 上的可导函数的相关等价论断定理1 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价: 1 f 为I 上凸函数; 2 'f 为I 上的增函数;3 对I 上的任意两点()1212,x x x x <有()()()()21121'f x f x f x x x ≥+-.注意 论断3 的几何意义是:曲线()y f x =上任意一点处的切线(如果存在)总是在它的任一切线的上方，这是可导凸函数的几何特征. 定理2 设f 在区间I 上二阶可导,则有f 在I 上为凸函数()0f x ''⇔≥, x I ∈ 定理3 设f 是区间I 上的可微凸函数,则有0x I ∈是f 的极小值点()00f x '⇔=.例2 证明:()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有一阶和二阶导数，那么若在(,)a b 内"()0f x >，则()f x 在[],a b 上的图形是凸的.证 设1x 和2x 为[],a b 内任意两点,且12x x <,记 1202x x x +=, 2001x x x x h -=-=, 则10x x h =-, 20x x h =+ 由拉格郎日中值公式得()()()0001'f x h f x f x h h θ+-=+, ()()()0002'f x f x h f x h h θ--=-,其中1201,01θθ<<<<. 两式相减,即得()()()()()00001022''f x h f x h f x f x h f x h θθ++--=+--⎡⎤⎣⎦.对()'f x 在区间[]0201,x h x h θθ-+上再次利用拉格郎日中值公式可得()()()()2010212''''f x h f x h h f h θθξθθ+--=+⎡⎤⎣⎦,其中0201x h x h θξθ-<<+, ()"0f ξ>, 故有()()()00020f x h f x h f x ++-->,即()()()0002f x h f x h f x ++->,则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭, 所以()f x 在[],a b 上的图形是凸的.定理 4 设f 是开区间I 上的一个凸函数,若[],I αβ⊂,则f 在[],αβ上满足利普希茨()Lipschitz 条件.证: 当取定[],I αβ⊂后,由于I 是开区间,必能在I 中选取四点,,,,a b c d 满足.a b c d αβ<<<<<应用引理2，任取[],,,x x x x αβ''''''∈<，得到()()()()()()f b f a f x f x f d f c b a x x d c'''---≤≤'''---.现令()()()()max ,f b f a f d f c L b a d c ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭,则有()()f x f x L x x'''-≤'''-, [],,x x αβ'''∈由于上述常数L 与[],αβ中的点,x x '''无关,因此f 在[],αβ上满足利普希茨条件:0,L ∃>使()()f x f x L x x ''''''-≤-, [],,x x αβ'''∀∈.由[],αβ在I 上的任意性，证得f 在I 的任意内闭区间上都满足利普希茨条件.注 由定理4和引理2,可得以下两个重要推论:推论1 若f 在开区间I 上为凸函数,则f 在I 中处处连续.推论2 若f 在开区间I 上为凸函数,则f 在I 中每一点处的左、右导数都存在. 定理5 (詹森(Jensen)不等式)若f 为[],a b 上凸函数，则对任意[],,0i i x a b λ∈> ()11,2,...,,1ni i i n λ===∑，有()()()1111n n n n f x x f x f x λλλλ+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+. ()53凸函数的应用例2 证明不等式()3a b c a b c abc a b c ++≤，其中,,a b c 均为正数.证 设()ln ,0f x x x x =>.由()f x 的一阶和二阶导数()'ln 1f x x =+，()1"f x x=可见,()ln f x x x =在0x >是为严格凸函数,依詹森不等式有()()()()133a b c f f a f b f c ++⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，从而()1ln ln ln ln 333a b c a b c a a b b c c ++++≤++， 即3a b ca b c a b c a b c ++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，又因3a b c++≤，所以 ()3a b c a b c abc a b c ++≤.例3 设f 为开区间I 内的凸函数,证明f 在I 内任一点0x 都存在左,右导数. 证 下面只证凸函数f 在0x 存在右导数,同理可证也存在左导数. 设 120h h <<, 则对 00102x x h x h <+<+ (这里取充分小的2h ,使02x h I +∈), 由引理中的()()()()()()213132213132f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---, 有()()()()01002012f x h f x f x h f x h h +-+-≤. 令()()()00f x h f x F h h+-=,故由上式可见F 为增函数.任取'x I ∈且0'x x <,则对任何0h >,只要0x h I +∈,也有()()()()()0000''f x f x f x h f x F h x x h-+-≤=-.由于上式左端式一个定数,因而函数()F h 在0h >上有下界.根据定理3极限()F h 存在,即()0'f x +存在.参考文献:[1]华东师范大学数学系.数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001. [2]毛羽辉. 数学分析选论[M]. 北京: 科学出版社, 2003. [3]李成章, 黄玉民. 数学分析[M]. 北京: 科学出版社, 1999. [4]刘斌. 一元分析学[M]. 北京: 科学出版社, 2010. [5]张筑生. 数学分析新讲[M]. 北京: 北京大学出版社, 1990.学年论文成绩评定表。
凸函数的性质和应用
续
由定理２，可得Ｆ（茹）：丛三Ｌ盟是单调递增的 石一再Ｏ
所以，＋（髫）在（口，６）上是单调递增的。ｚ Ｅ Ｄ
广＋（茹）在（ｎ，６）上的不连续点有至多可数个．即除了
至多可数个点外，处处存在．
所以．，Ｘ篁）＝厂＋（茗）＝广一（茗）
ＸＥ Ｄ
由于当Ｚ Ｅ Ｄｌ时，＋（￡）是单调递增
所以以茹）也是单调递增
故＿ｒ为，＝（Ｏ，＋＊）上的凹函数。
ｈ半≥÷㈨ｚ， 根据定理８的反向不等式取Ａ。＝÷（１＝１，２，＾，ｎ）
ｎ
，ｌ
而ｓ半 又因以ｘ）＝ｚｎｘ是单调递增函数，所以又得不等式
再作ｇ（髫）：一ｚｎ。 显然ｇ（ｘ）＝｛＞ｏ
故有，ｇ（石）为，＝（ｏ，＋＊）上的凸函数．取Ａｌ＝÷ ，●
故有，一饥卫—兰—ｉ 上＋上＋人＋上 ｓ一上［ｈ上＋＾＋ｊｎ
２００５年第５期
沙洋师范高等专科学校学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｙａｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｎｏ．５ ２００５
定理８可得詹森不等式成立。）
３、凸函数的应用（詹森不等式的应用）
ｓ而ｓ坐半 例：证明： 一
［蔓丛丛］告
其中石ｉ＞０（ｉ＝１，２，工，ｎ）
证明：作，（石）：ｚｎ菩（；＞ｏ），由于厂（石）：一丢＜ｏ 茗
［３］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．高等教育
出版社．１９９９．
［４］毛羽辉．数学分析选论［Ｍ］．科学出版社，１９９１．
［５］列玉建，傅沛仁．数学分析讲义（上册第三版）
［Ｍ］．高等教育出版社，１９８１． ［６］胡长松．实变函数［Ｍ］．科学出版社，２００２．
（责任编辑：闫涛涛）
Ｎａｔｕｒｅ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ＣｏｎＶｅｘ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ
凸函数的性质及其应用
即 证f在 （上x)≥式α中（分x－别x２)令+f（xx＝２) x １ ， x ＝ （∨x３得x∈ ［ ａ ， ｂ ］ ) f （ x x ３３) －－ xf （２ x ２ ) ≥ α ≥ f （ xx ２ ２) －－ fx （１ x １) ，
３ 、应用举例：
例 １：用凸函数方法证明 ｙｏｕｎｇｅｒ 不等式：x a y a ≤α x＋ β y(x，
由于f ２（ x )+f ２（ ｙ ）≥２f（ x ）f（ y ） ，故（Ｄ）式成立，结论得证。 另：设 f （ x )=e－２x＞０ 为 Ｒ 上的凸函数，但 f（ １x ） =e－２x 仍为凸函数 定理 ６：若 f （ x )为区间 Ｉ 上的凸函数，对∨ x ∈ Ｉ，且 x 为 Ｉ 的 内点，则单侧导数f （ ＇－x )，f ＋＇（ x ) 皆存在，且 f ＇－（ x )≤ f ＇＋（ x ) (∨x ∈Ｉ) 推论：若f （x)为区间 Ｉ 上的凸函数，则f（ x ）在区间 Ｉ的内点连续．
仅当对∨ x１，x２，…，xn ∈ Ｉ ，有 n f （ ∑ i＝ １ n x i ）≤n １ ∑ i＝ n１ f （x１） 推论 １：若 f （x ）在区间 Ｉ 上为凸函数，则对 Ｉ 上∨ x１＜x２＜x３，有
f （xx２）２－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－xf （２ x ２） 注：若 f （x ）在 Ｉ 上连续，则上述定义 １，２，３ 等价
的凸函数，反之不真。
证明：要证 f（ 1 x ） 为Ｉ上的凸函数，即证∨x１，x２∈Ｒ，λ∈
（０，１ ）有
１ f （λx１＋（１－λ）x２）
≤ f （ λx １） ＋
１－λ f （x２）
………
凸函数的判定与应用
凸函数的判定与应用凸函数是数学中一种常见的函数类型。
它在优化问题、经济学、工程和自然科学等领域中得到广泛应用。
本文将介绍凸函数的判定准则，以及凸函数在各个领域中的应用。
一、凸函数的定义与性质在数学中，凸函数可以通过其定义和性质来进行判定。
定义：设函数f在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导。
如果对于任意x1、x2∈[a, b]，以及任意0≤t≤1，都满足f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f为[a, b]上的凸函数。
性质：凸函数具有以下性质：1. 对于凸函数f(x)，若f''(x)存在且恒大于等于0，则f(x)是凸函数。
2. 若函数f(x)在[a,b]上是凸函数且在(a,b)内可导，则在(a,b)内f'(x)是递增函数。
二、凸函数与判定方法凸函数的判定方法包括一阶导数、二阶导数和Jensen不等式等。
1. 一阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且对于任意x1、x2∈(a,b)，有f'(x)在[a,b]上单调递增，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。
2. 二阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上两次可导，且对于任意x∈(a,b)，有f''(x)≥0，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。
3. Jensen不等式对于凸函数f(x)，若λ1、λ2、...、λn为非负实数，且满足λ1+λ2+...+λn=1，以及x1、x2、...、xn为任意n个区间[a,b]上的数，则有以下不等式成立：f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)三、凸函数的应用领域凸函数广泛应用于各个领域，包括优化问题、经济学、工程和自然科学。
1. 优化问题在优化问题中，凸函数常被用来描述目标函数或约束条件。
由于凸函数具有良好的性质，如弱凹性和全局极小值，因此可以通过凸优化算法来求解各种优化问题。
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f(x)+f(y) 2
≥f(
x+y 2
)
即，-
arctanx+arctany 2
≥-
arctan(
x+y 2
)
即
2arctan(
x+y 2
)≥arctanx+arctany
例（2）：已知：xi∈(π,2π),i=1,2,…n
求证：sinx1+sinx2+…+sinxn ≥ x1+x2+…+xn
n
n
证明：设 f(x)=sinx 因为 f''(x)=- sinx 由性质 7，f(x)在(π,2π)为凸
＞f(
x+y 2
)
证明 设 f(t)=tlnt(t＞0)
∴f'(t)=1+lnt f''(t)= 1 (t＞0) t
∴f(t)在(0,+∞)上是严格凸函数,
∴
对坌x,y＞0
且
x≠y，有：f(x)+2f(y)
＞f(
x+y 2
)
即：xlnx+2ylny
＞ x+y 2
ln
x+y 2
即：xlnx+ylny＞(x+y)ln
凸函数的应用领域非常广泛，特别是在不等式的证明中，运用
它解题显得巧妙、简练。通过以上例题可以看出，利用凸函数的性质
证明有关不等式，可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证
明比较容易，证明过程简单的问题，关键是寻找合适的凸函数，若不
能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等
式的目的。
=3x2-x3,h(x)不是(1,3)上的凸函数，原因是 f(x)=3- x 单调递减的。
性质 5：若 f(x)= 在[a,b]上是二阶可导的凸函数，则对[a,b]内任意
的点 x1,x2#43;…+f(xn) n
≥f(
x1+x2+…+xn n
)
证明：由性质 7 知 f''(x)≥0,x∈[a,b]
本案设计中，全玻璃展示柜的出现不仅减轻了柜体的视觉重量
功能区域、干净整洁的环境、良好的通风设施、悦耳的背景音乐、亲
感，而且更加突显展品的视觉效果。专卖店是卖场，是舞台，装饰只 是发挥背景衬托的作用，最重要的还是突出对产品的展示效果，换 句话说就是产品的营销方式是主角、是主题，装饰是道具、是配角。 4 店面入口设计的重要性
理工科研
凸函数的性质及其应用
２００９．３（下旬刊）
狄雷
（南京晓庄学院 江苏·南京 ２１１１７１）
中图分类号：O174.13
文献标识码：A
文章编号：1672- 7894（2009）03- 272- 02
摘 要 给出了凸函数的定义及性质；探讨了凸函数在证明 不等式当中的应用。
关键词 凸函数 性质 应用
凸函数是数学分析中的一个重要概念，它涉及了许多数学命 题的讨论证明和应用。在高等数学中利用导数讨论函数的性质时， 经常遇到这类特殊函数，本文对凸函数的定义、性质作出较为详尽 的介绍，并利用这些特殊性质证明一些初等不等式、函数不等式和 积分不等式。 1 凸函数的定义：
２７２
证明：坌x1,x2∈(a,b)对且 x1＜x2 和坌λ∈(0,1)，因为 f(x)与 g(x)在[a, b]上单调递增。
故[f(x1)- f(x2)][g(x2)- g(x1)]≤0 f(x1)g(x2)+f(x2)g(x1)≤f(x1)g(x1)+f(x2)g(x2) 又因为 f(x)与 g(x)为[a,b]上的凸函数
因此有 f(xi)≥f(c)+f'(c)(xi- c),i=(1,2,…n)
n
所以Σf(xi)≥nf(c) i=1
n
Σ 故
1 n
i
=
1
f(xi)≥f(c)=f(
x1+x2+…+xn n
)
3 凸函数的应用
在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一
类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙。证明不等
注：1）f(x),g(x)非负不能少。 例如 f(x)=- 1,g(x)=x2,x∈(0,1)均为凸函数，但是 h(x)=f(x)g(x)=-x2，
显然 h(x)不是凸函数，原因是 f(x)=- 1 为负。
2）f(x),g(x)单调递增不能少。 例如 f(x)=3-x,g(x)=x2 在(1,3)是非负凸函数，但是 h(x)=f(x)g(x)
上式两端均乘以 λ（λ≥0） λf[tx1+(1-t)x2]≤λtf(x1)+βλ(1- t)f(x2)=tλf(x1)+(1- t)λf(x2) 由凸函数的定义知 λf(x)是[a,b]上的凸函数。 性质 2：两个或几个凸函数之和仍为凸函数。(若 f(x)与 g(x)均为 [a,b]区间上的函数，则 f(x)+g(x)也是[a,b]区间上的凸函数。 证明：坌x1,x2∈[a,b]和坌λ∈(0,1)，因为 f(x),g(x)都是区间[a,b]6 上 的凸函数： 故 f[λx1+(1-λ)x2]≤λ[f(x1)+(1-λ)f(x2)] g[λx1+(1-λ)x2]≤λg(x1)+(1-λ)g(x2)] 两式相加，便得 f[λx1+(1-λ)x2]+g[λx1+(1-λ)x2]≤λ[f(x1)+g(x1)]+(1λ)[f(x2)+g(x2)] 由凸函数的定义知 f(x)+g(x)也是[a,b]区间上的凸函数。 性质 3：若 φ(u)是单调递增的凸函数，u=f(x)也是凸函数，则复合 函数 φ[f(x)]也是凸函数。 证明：因为 φ(u)是单调递增的凸函数和 u=f(x)是凸函数 故 φ'(u)≥0,φ''(u)≥0,u''(x)≥0 故 φ''(x)=φ''(u)u'(x)+φ'(u)u''(x) 显然 φ''(x)≥0 所以 φ[f(x)]是凸函数 性质 4：设 f(x)与 g(x)都是[a,b]上的非单调递增的凸函数，则 h(x) =f(x)g(x)也是其上的凸函数。
故 f[λx2+(1-λ)x1]≤λf(x2)+(1-λ)f(x1) g[λx2+(1-λ)x1]≤λg(x2)+(1-λ)g(x1) 而 f(x)≥0,g(x)≥0 将上面两个不等式相乘，可得 f[λx2+(1-λ)x1]g [λx2+(1-λ)x1]≤λ2g(x2)f(x2)+λ(1- λ)[f(x2)g(x1)+f(x1)g(x2)]+(1- x2)f(x1)g(x1) 由凸函数的定义知 h(x)=f(x)g(x)是[a,b]上的凸函数
定义：设函数 f(x)在开区间 I 有定义，若 坌x1,x2∈I,坌t∈(0,1)有 f [tx1+(1- t)x2]≤tf(x1)+(1- t)f(x2) ，若上式中 x1≠x2,且不等号是严格不等 号，“<”则称 f(x)在区间 I 是严凸函数。
几何解释：设函数 y=f(x)在区间 I 内有定义，如果对于坌x1,x2∈ I,连接(x1,f(x1))和两点的弦都在介于这两点的弧段之下，则称该函数 在区间内是凸函数。
切的服务是让客户愿意驻足的必要条件，这其中形成了顾客、专卖 店、交易三者之间内在的联系。 5 结语
专卖店室内空间环境是产品的展示环境，室内空间界面设计
应由繁杂转向简单，把顾客视线转移到展示品本身，充分运用现代
设 计 手 法 ，以 虚 显 实 ，产 生“ 大 抵 实 处 之 妙 ，皆 因 虚 处 而 生 ”之 效
函数
由性质 8 sinx1+sinx2+…+sinxn ≥sin x1+x2+…+xn
n
n
命题得证。
3.3 利用凸函数的性质证明积分不等式
例:设 f(x)在[a,b]上可积且 m≤f(x)≤M
φ(t)是在[m,M]上的连续凸函数则
乙 乙 φ( 1
b
f(x)dx)≤
1
b
φf(x)dx)
b-a a
b-a a
（上接第 266 页）
店新一轮的较量，其优劣程度直接会影响到销售业绩。市面上有 乎，让客人快速进入专卖店才是专卖店魅力的首要条件。所以，专卖
一部分专卖店是重视装修效果而轻视产品展示效果，有喧宾夺主 店的布局、入口设计是至关重要的。我们必须思考怎样才能让顾客
的感觉。
很“容易”、“自然”地进入店中，显然这是根本。在设计中，必备的
证明：令
fk,n=f(a+
k n
(b-a))
Δxk,n=
1 n
(b-a)
由于 φ(t)是凸函数，故有 φ f1n+f2n+…+fnn ≤ φ(f1n)+φ(f2n)+…+φ(fnn)
n
n
由定积分的定义在上式中令 n→∞ 时
乙 乙 则有 φ( 1
b
f(x)dx)≤
1
b
φf(x)dx)
b-a a
b-a a
是仔细一看就会发现由要证的不等式怎么也构造不出
f(x)+f(y) 2
,所
以构造辅助函数 f(t)=lnt(t＞0)是不行的.
我们把要证的不等式稍作变形，两边同乘以
1 2
,得到
xlnx+ylny 2
＞ x+y 2
ln
x+y 2