声波有限差分数值模拟

2P
x2
1 x2
[
5 2
Pn i, j,k
4 3
P P n i 1, j,k
n i 1, j,k
1 12
P P n i2, j,k
n i2, j,k
]
2P y2
1 y2
[
5 2
Pn i, j,k
4 3
P P n i, j 1,k
n i, j 1,k
1 12
P P n i, j 2,k
u(xΒιβλιοθήκη a)a2 2!2u x2
a4 4!
4u x4
(n为偶数)
an n!
nu xn
o(an )
（2-4）
二、声波方程的差分近似
（2-4）中分别取 a x a 2 x a 3 x
并做 o(a6 ) 误差截断得：
u(x x) 2u(x) u(x x) x2 2u x4 4u x6 6u
用类似的方法可以求得
2u 的四阶误差截断表达式：
x2
2u
x2
1 x2
{
5 2
u(x)
4 3
u(x
x) u(x
x) 1 u(x 2
12
x) u(x 2
x)}
2u 的二阶误差截断表达式：
x2
（2-8） （2-9）
2u
x2
1 x
2
u
(
x
x) 2u(x) u(x x)
（2-10）
二、声波方程的差分近似
2u x2
b1 x2
1 x2
3r1
3 10
r2
1 45
r3
二、声波方程的差分近似
2u
x2 的六阶误差截断表达式：
2u
x2
1 x2
{
49 18
u(x)
3 2
u(x
x) u(x x) 3 u(x 2
20
x) u(x 2 x) 1 u(x 3 x) u(x 3 x)}
90
f (t) 为频带有限的震源子波，震源位于 (xs , ys , zs ) 处。
对微分方程进行差分近似时，主要利用了Taylor级数展开理论：
Taylor's Theorem
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(x
x0 )n
2
2! x2 4! x4 6! x6
u(x 2 x) 2u(x) u(x 2 x) 22 x2 2u 24 x4 4u 26 x6 6u
2
2! x2 4! x4 6! x6
u(x 3 x) 2u(x) u(x 3 x) 32 x2 2u 34 x4 4u 36 x6 6u
2
2! x2 4! x4 6! x6
x ex y ey z ez
为梯度算子
通常，介质密度相对于其速度变化很小，可以近似地将密度看作常数：
2P v22P S t 2
二、声波方程的差分近似
三维常密度声波方程：
2P t 2
v2
2P x2
2P y2
2P z 2
S
（2-1）
其中： S (x, y, z,t) (x xs ) ( y ys ) (z zs ) f (t)
以下讨论声波模拟的有限差分方法
内容提要
一、声波方程 二、声波方程的差分近似 三、吸收边界条件
一、声波方程
声波方程：2P t 2
v2
1P
S
即
2P v2 2P 1 P S t 2
其中： P P(x, y, z,t) 为声压 v v(x, y, z) 为速度
(x, y, z) 为密度 S S(x, y, z,t) 为震源
声波有限差分数值模拟 ——基于完全匹配层吸收边界条件
地震资料的数值模拟作用： 1）模拟地震记录，检验处理结果的好坏、处理方法的有效性； 2）正演模拟可以作为反演研究的基础。
固体弹性介质简化为声学介质： 研究地震波传播问题及地震成像方法时，为了方便求解，只研究
纵波的波场特征及成像方法。这种做法是对实际问题的良好近似。因 为地表附近存在低速带，地震反射记录中横波信息的能量非常微弱。
取 x、y、z、t 方向的差分网格间距分别为 x、 y、 z、t
令
Pn i, j,k
P(i
x, j
y, k
z,n t)
，在 (i
x, j
y, k
z,n t) 点考虑差分近似
以时间二阶空间四阶误差截断为例，有：
2P
t 2
1 t2
2
Pn i, j
,k
P P n1 i, j,k
n 1 i, j,k
就可以得到对应的差分方程：
二、声波方程的差分近似
1
t2
2Pi,nj,k
P P n1 i, j,k
n 1 i, j,k
n i, j 2,k
]
2P z 2
1 z2
[
5 2
Pn i, j,k
4 3
P P n i, j,k 1
n i, j,k 1
1 12
P P n i, j,k 2
n i, j,k 2
]
2P t 2
v2
2P x2
2P y2
2P z 2
S
将上面式子代入声波方程（2-1）
并将速度取为 v(i x, j y,k z) ，震源项取为 S(i x, j y,k z,n t)
令
r1 u(x
x) 2u(x) u(x 2
x)
u(x 2 x) 2u(x) u(x 2 x)
r2
2
r3 u(x 3
x) 2u(x) u(x 3 2
x)
b1
x2 2u x2
b2
x4 4u x4
b3
x6 6u x6
（2-5）
二、声波方程的差分近似
（2-5）可以写成
1 1 1
r1 r2 r3
2! 22
2! 32
4! 24
4! 34
6! 26
6! 36
b1 b2 b3
（2-6）
2! 4! 6!
求解方程组（2-6）得
3
b1 b2 b3
39 3
30
3 10 4
12
1
45 1
3 2
r1 r2 r3
（2-7）
所以
Rn
(x)
where
Rn (x)
f (n1) ( ) (n 1)!
(
x
x0
) n 1
where is some point between x0 and x
二、声波方程的差分近似
设 u u(x, y, z, ) 是一个多元函数， x 是它的一个自变量
为了表述方便，当研究
2u x2
的差分近似时，先将 u u(x, y, z,
) 记为 u u(x)
u a2 2u
u(x a) u(x) a
x 2! x2
an nu o(an ) n! xn
（2-2）
u (a)2 2u
u(x a) u(x) (a)
x 2! x2
(a)n nu o(an) n! xn
（2-3）
由（2-2）和（2-3）得
u(x
a)
2u(x) 2