第六章 位移法-2
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第6章 位移法
0
1
60kN 1
21kN/m
1
150kN.m 2
1.5
1
3
弯矩，作弯矩图。
已知各杆线刚度：梁 为1，柱为1.5。 （2）固端弯矩为
F 01
2m 2m 4
1.5
5m
5
8m (a)荷载图
4m
2m
2。 解：（1）基本未知量为 1 、
3 1 F M Pl 90kN m M Pl 30kN m 10 8 8 1 F F M 12 21 64 112kN m M 21 112kN m 12 F M 23 50kN m
上式称为等截面直杆的转角位移方程，反映杆端力与杆 端位移间的关系。其中固端弯矩和剪力与跨间荷载有关，称 为载常数。常用荷载下的载常数见表 6.1。
6.2 等截面直杆的转角位移方程
6.2.2 转角位移方程的简化
转角位移方程 (6.2) 适用于两端均为刚结点的一般形式, 对
于下列两种特殊情况,方程形式可以简化。
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
（3）建立位移法方程
结点1： F M12 4i21 2i22 M12 41 22 112 M14 4 1.51 61
F M10 i11 M10 1 90
(e) (f)
结点 1 的力矩平衡方程：
0 2m
30kN
7.2kN/m 1 2 2m
20kN
3 2m
2 4m (a)荷载图
1.5
3
3m
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
(3) 利用转角位移方程（6.2），写出结点 1 和结点 2 相关 杆件的近端弯矩，并按力矩平衡条件建立基本方程。
1
60kN 1
21kN/m
1
150kN.m 2
1.5
1
3
弯矩，作弯矩图。
已知各杆线刚度：梁 为1，柱为1.5。 （2）固端弯矩为
F 01
2m 2m 4
1.5
5m
5
8m (a)荷载图
4m
2m
2。 解：（1）基本未知量为 1 、
3 1 F M Pl 90kN m M Pl 30kN m 10 8 8 1 F F M 12 21 64 112kN m M 21 112kN m 12 F M 23 50kN m
上式称为等截面直杆的转角位移方程，反映杆端力与杆 端位移间的关系。其中固端弯矩和剪力与跨间荷载有关，称 为载常数。常用荷载下的载常数见表 6.1。
6.2 等截面直杆的转角位移方程
6.2.2 转角位移方程的简化
转角位移方程 (6.2) 适用于两端均为刚结点的一般形式, 对
于下列两种特殊情况,方程形式可以简化。
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
（3）建立位移法方程
结点1： F M12 4i21 2i22 M12 41 22 112 M14 4 1.51 61
F M10 i11 M10 1 90
(e) (f)
结点 1 的力矩平衡方程：
0 2m
30kN
7.2kN/m 1 2 2m
20kN
3 2m
2 4m (a)荷载图
1.5
3
3m
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
(3) 利用转角位移方程（6.2），写出结点 1 和结点 2 相关 杆件的近端弯矩，并按力矩平衡条件建立基本方程。
《结构力学》第6章 位移法
结构力学
第6章 位移法
●第6章 位移法方程
● (1)关于内力符号的规定
● 对单跨超静定梁仅由荷载引起的杆端弯矩和杆端剪力，
分别称为固端弯矩和固端剪力，用
表示。
图6.1
●(2)关于杆端内力及杆端位移的正负号规定
图6.2 图6.3
表6.1 等截面直杆的杆端弯和剪力 表6.1(续表)
● (2)有侧移刚架的计算 ● 例6.3 用位移法计算图6.19(a)所示的刚架，并作内力图。
图6.19
图6.20
图6.21
●例6.4 计算图6.22(a)所示带 有斜横梁的刚架，绘M图。忽 略横梁的轴向变形。
图6.22
●*例6.5 计算图6.23(a)所示有斜柱的刚架。
图6.23
图6.24
●6.3 位移法的基本原理 ●6.3.1 位移法的基本假定 ●6.3.2 位移法的基本原理
图6.4
图6.5
●6.3.3 位移法的基本未知量和基本结构 ●(1)结点角位移
图6. 6
●(2)独立的结点线位移
图6.7
图6.8 图6.9
图6.10 图6.11
●6.3.4 位移法的典型方程
图6.12
图6. 13
图6.14
图6.15
● 6.4 位移法应用举例 ● 6.4.1 位移法计算步骤 ● 6.4.2 计算示例 ● (1)连续梁及无侧移刚架的计算 ● 例6.1 试用位移法求作图6.16(a)所示连续梁的内力图。
图6.16
●例6.2 求作图6.17(a)所示刚架的弯矩图。
图6.17
图6.25
●(3)有悬臂的处理 ●例6.6 计算图6.26(a)所示结构，绘M图。
图6.26
第6章 位移法
●第6章 位移法方程
● (1)关于内力符号的规定
● 对单跨超静定梁仅由荷载引起的杆端弯矩和杆端剪力，
分别称为固端弯矩和固端剪力，用
表示。
图6.1
●(2)关于杆端内力及杆端位移的正负号规定
图6.2 图6.3
表6.1 等截面直杆的杆端弯和剪力 表6.1(续表)
● (2)有侧移刚架的计算 ● 例6.3 用位移法计算图6.19(a)所示的刚架，并作内力图。
图6.19
图6.20
图6.21
●例6.4 计算图6.22(a)所示带 有斜横梁的刚架，绘M图。忽 略横梁的轴向变形。
图6.22
●*例6.5 计算图6.23(a)所示有斜柱的刚架。
图6.23
图6.24
●6.3 位移法的基本原理 ●6.3.1 位移法的基本假定 ●6.3.2 位移法的基本原理
图6.4
图6.5
●6.3.3 位移法的基本未知量和基本结构 ●(1)结点角位移
图6. 6
●(2)独立的结点线位移
图6.7
图6.8 图6.9
图6.10 图6.11
●6.3.4 位移法的典型方程
图6.12
图6. 13
图6.14
图6.15
● 6.4 位移法应用举例 ● 6.4.1 位移法计算步骤 ● 6.4.2 计算示例 ● (1)连续梁及无侧移刚架的计算 ● 例6.1 试用位移法求作图6.16(a)所示连续梁的内力图。
图6.16
●例6.2 求作图6.17(a)所示刚架的弯矩图。
图6.17
图6.25
●(3)有悬臂的处理 ●例6.6 计算图6.26(a)所示结构，绘M图。
图6.26
第六章 位移法
F M BA 0 F M BC
ql 2 8
2）令B结点产生转角 B ( ) 。此时AB、BC杆 类似于B端为固端且产生转角 的单跨超静定梁。 B
9
A A
i i
B
B
i
C i
B 3i B
B
B
3i B
B
EI i l
C
3）杆端弯矩表达式
M BA 3i B M BC ql 2 3i B 8
F l/2 A B EI = 常数 l D l l
结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。 力 法：六个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
C
F
B
C
B
F
B
B
C
l
l/ 2
l/2
A
l/ 2
l/ 2
三次超静定图示刚架
力
法：三个未知约束力。
位移法：一个未知位移（θB）。
二、 位移法基本思路
（８-6）
位移法典型方程的物理意义：基本结构在荷载和 各结点位移共同作用下，各附加约束中的反力等于零, 反映了原结构的静力平衡条件。
二、位移法典型方程
对于具有n个独立结点位移的的结构,有n个基本 未知量,可建立n个平衡方程，位移法典型方程
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22 Z 2 r2 n Z n R2 P 0 rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
r11 r 21 rn1
r12 r1n Z1 R1P 0 Z R 0 r22 r2 n 2 2P rn 2 rnn Z n RnP 0
ql 2 8
2）令B结点产生转角 B ( ) 。此时AB、BC杆 类似于B端为固端且产生转角 的单跨超静定梁。 B
9
A A
i i
B
B
i
C i
B 3i B
B
B
3i B
B
EI i l
C
3）杆端弯矩表达式
M BA 3i B M BC ql 2 3i B 8
F l/2 A B EI = 常数 l D l l
结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。 力 法：六个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
C
F
B
C
B
F
B
B
C
l
l/ 2
l/2
A
l/ 2
l/ 2
三次超静定图示刚架
力
法：三个未知约束力。
位移法：一个未知位移（θB）。
二、 位移法基本思路
（８-6）
位移法典型方程的物理意义：基本结构在荷载和 各结点位移共同作用下，各附加约束中的反力等于零, 反映了原结构的静力平衡条件。
二、位移法典型方程
对于具有n个独立结点位移的的结构,有n个基本 未知量,可建立n个平衡方程，位移法典型方程
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22 Z 2 r2 n Z n R2 P 0 rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
r11 r 21 rn1
r12 r1n Z1 R1P 0 Z R 0 r22 r2 n 2 2P rn 2 rnn Z n RnP 0
结构力学第6章 位移法
§6-6
位移法计算对称结构
§6-6
位移法计算对称结构
§6-6
位移法计算对称结构
§6-6
位移法计算对称结构
§6-6
位移法计算对称结构
§6-6
位移法计算对称结构
§6-6
位移法计算对称结构
§6-6
位移法计算对称结构
§6-6
位移法计算对称结构
第6章 小结
力法、位移法对比 力法 基本未知量：多余约束力 基本结构：一般为静定结构。 作单位和外因内力图 由内力图自乘、互乘求系数， 主系数恒正。 建立力法方程（协调） X 解方程求多余未知力 迭加作内力图 用变形条件进行校核 不能解静定结构
位移法的基本原理及基本方程
Y 0
由结点平衡：
NDB
2 2 建立力的 FNDB FNDC FNDA FP NDA NDC 2 2 平衡方程 EA(2 2) D FP 2L Fp 位移法方程 2 PL 由方程解得： (2 2) EA
把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ： 2 FP P FNDB FNDA FNDC 2 2 2 2
B C
2
D
41.7
C D E
A
EMPF来自m CB 41 . 7 kN .m
F
基本体系
F1P=40－41.7= －1.7 F2P=41.7
3i 2i A 3i B 4i C D
k11=4i+3i+3i= 10i k21=2i
E
1.5i M 1
F
A
B
2i
4i 2i C 3i
D
k22=4i+3i+2i= 9i k21=2i
第六章位移法
第六章位移法学习目的和要求位移法是超静定结构计算的基本方法之一，许多工程中使用的实用计算方法都是由位移法演变出来的，是本课程的重点内容之一。
本章的基本要求：1.熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移法典型方程的建立及其物力意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。
2.熟记一些常用的形常数和载常数。
3.熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。
4.掌握利用对称性简化计算。
5.重点掌握荷载荷载作用下的计算，了解其它因素下的计算。
6.位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平衡方程法。
要求熟练掌握一种，另一种了解即可。
学习内容位移法的基本概念。
跨超静定梁的形常数、载常数和转角位移方程。
位移法基本未知量和位移法基本结构的确定。
用位移法计算刚架和排架。
利用对称性简化位移法计算。
直接用结点、截面平衡方程建立位移法方程。
§6.1位移法基本概念1、位移法的特点：欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
超静定结构计算的两大基本方法是力法和位移法。
力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）。
位移法的特点：基本未知量——独立结点位移；（例子86）基本体系——一组单跨超静定梁；（例子87）基本方程——平衡条件。
（例子88）因此，位移法分析中应解决的问题是：①确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。
②确定结构独立的结点位移。
③建立求解结点位移的位移法方程。
下面先看第一个问题：确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。
2、杆端力和杆端位移的正负规定：杆端转角θA 、θB，弦转角β＝Δ/l都以顺时针为正。
杆端弯矩对杆端以顺时针为正，对结点或支座以逆时针为正。
剪力使分离体有顺时针转动趋势时为正，否则为负。
（与材料力学相同）3、等截面直杆的形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力。
如右图两端固定梁，由右端单位转角作用下产生的杆端力，可用力法求解，并令：得到杆端弯矩（即形常数）为：各种情形的形常数都可有力法求出如下表：4、等截面直杆的载常数:仅由跨中荷载引起单跨超静定梁的杆端力称为载常熟，也叫固端力。
第六章位移法
第六章位移法一、几个值得注意的问题1、位移法的适用条件（1）位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定结构；正，顺时针为负。
4柱顶有相同的水平线位移。
(图中的-=50。
B 点以6-1-17 用位移法计算某一结构后，当荷载改变了，这应重新计算位移法基本方程式中的全部系数和自由项。
( )6-1-18 图6-1-5所示结构对称，荷载为反对称,用位移法计算时结点位移基本未知量最少可取为2个。
( )图6-1-56-1-19 位移法典型方程的右端项一定为零。
（)6-1-20 用位移法求解结构内力时如果PR一定为零。
（）M图为零，则自由项1P6-1-21 结构按位移法计算时，其典型方程的数目与结点位移数目相等。
()6-1-22 位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
( )6-1-23 位移法的基本结构为超静定结构。
( )6-1-24 位移法是以某些结点位移作为基本未知数，先求位移，再据此推求内力的一种结构分析的方法。
（）6-1-26 图6-1-7所示结构的位移法基本体系，其典型方程系数k为20，图中括号内数字为线刚度。
11（）6-1-306-1-31 超静定结构中杆端弯矩只取决于杆端位移。
（）6-1-32 位移法中的固端弯矩是当其基本未知量为零时由外界因素所产生的杆端弯矩。
（）6-1-33 图6-1-12a对称结构可简化为图（b）来计算。
（）6-1-34 位移法中角位移未知量的数目恒等于刚结点数。
（）q，线位移未知量为_______。
图6-2-26-2-3 图6-2-3所示结构位移法基本方程的系数k11= __________EI/l。
A.18；B. 16；C.15；D.17。
A.附加约束i发生Z i=1时在附加约束i上产生的反力或反力矩；B.附加约束i发生Z i=1时在附加约束j上产生的反力或反力矩；C.附加约束j发生Z j=1时在附加约束i上产生的反力或反力矩；D.附加约束j发生Z j=1时在附加约束j上产生的反力或反力矩。
第六章 位移法
r11 Z1
EI
B
2EI iBC iCE 4
r EI 21 C
EI iBA iCD 4
E
M 0
2EI
A 0.5EI
D
M
图
1
r11 3EI
r12
r Z2 2EI 22
E
B
EI C
EI
1.5EI
r12 r21 EI r22 4.5EI
A
D 0.5EI M 2图
R R 30
Z1
R11
7EI l
Z1
实现位移状态可分两步完成：
1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作 用下，附加约束上产生附加约束力； 2）在附加约束上施加外力，使结构发生与原结构一 致的结点位移。
分析：
1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特 征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；
2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约 束上的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。
原结构上原本没有附加刚臂，故基本结构附加刚臂 上的约束力矩应为零。即
R1F
ql2 8
7EI R11 l Z1
R11 R1F 0 R11 r11Z1
r11Z1 R1F 0 （a）
Z1
ql 3 56 EI
式（a）称为位移法方程。式
r 中由：项。11它称们为的系方数向；规R1定F称与为Z1自方
A 0.5EI
D
M1图
R R 30
10k1NF·m
26.67 26.67 20kN/m
2F
40kN E
B
C
25
r12 B EI
超静定结构计算-位移法
核心是化未知为已 知
求解未知力，将超静定结构化为 静定结构。
第二种基本思路
Z1 1 Z1
FP 2
1
2 ----刚臂,限制转动的约束
EI=常数
EI=常数
Z1
FP 2
3
ll
22
基本结构 3
ll
22
1 EI=常数
1.确定基本未知量
基本体系 3
ll
2.确定基本结构和基本体系
22
3.列位移法方程，求基本未知量
R1=0
1
FP 2
EI=常数
第二种基本思路
Z1
FP 2
1
1
FP
2 EI=常数
3
ll 22
R1=0
EI=常数 基本体系 3
ll 22
R1 R11 R1P 0
3
l 2
Z1
1
l 2
2
EI=常数
3.列位移法方程，求基本未知量
3
l
l
22
1
FP 2
第二种基本思路
FP
2
位R1移1 法Z（1 r典11型方程r1法1 ）步1 骤:
用转角位移方程写出个杆端内力如
下：（其中
）
位移法（平衡方程法思想）步骤:
1.确定基本未知量
4.利用平衡方程，求解基本未知量
2.拆分杆件
5.计算杆端弯矩，区段叠加画弯矩图
3.列转角位移方程，计算杆端内力;
将原结构分解为等截面单跨超静定梁
M AB
2iZ1
6 4
iZ
2
1 24 42 12
2iZ1
3 2
取基本结构如图b。
作X1、X2分别等 于1时的弯矩图 如图c、d。
高级结构力学教学课件第6章位移法
示的杆端力与外荷载的平衡方程。
6.1.3 位移法的基本未知量
1.结点角位移
确定结点角位移的数目比较容易。在位移法中，只有刚结点转角被认为是角位移的
基本未知量，铰接点转角不作为基本未知量。因此，角位移的数目等于原结构中刚
结点的数目。如图6-3（a）所示的连续梁有两个刚结点，相应的角位移为θB、θC；
“拆”一“搭”就得到了求解未知量的位移法方程。
当结构有n个未知量Δ1，Δ2，…，Δn时，结合式（6-9），可列出位移法的典型方程为
39
6.3.2 位移法的典型方程
式中，kii为Δi=1单独作用在基本体系上在自己约束
方向上引起的约束反力，在主对角线上，称为柔度
主系数，总是为正；kij为Δj=1单独作用在基本体系
6.2.2 等截面直杆的形常数
_
取基本体系如图6-7（b）所示，作出X1=1的1图，
如图6-7（c）所示。力法方程为δ11X1=θA，其中
δ11=
1 1
2
( ×1×l× )=
2
3 3
则
X1=
= =3iθA
11
3
3
故MAB=3i、MBA=0，并可以求得FQAB=FQBA=－ ，
上在Δi约束方向上引起的约束反力，不在主对角线
上，称为柔度副系数，根据反力互等定理，kij=kji；
FiP为荷载单独作用在基本体系上在Δi约束方向上引
起的反力，称为自由项。
kii、kij、FiP的计算在后面结合例题进行讲解。
40
6.4 用位移法计算连续梁和无侧移刚架
【例6-1】已知如图6-12（a）所示，作
附加刚臂［见图6-2（b）］，相当于
6.1.3 位移法的基本未知量
1.结点角位移
确定结点角位移的数目比较容易。在位移法中，只有刚结点转角被认为是角位移的
基本未知量，铰接点转角不作为基本未知量。因此，角位移的数目等于原结构中刚
结点的数目。如图6-3（a）所示的连续梁有两个刚结点，相应的角位移为θB、θC；
“拆”一“搭”就得到了求解未知量的位移法方程。
当结构有n个未知量Δ1，Δ2，…，Δn时，结合式（6-9），可列出位移法的典型方程为
39
6.3.2 位移法的典型方程
式中，kii为Δi=1单独作用在基本体系上在自己约束
方向上引起的约束反力，在主对角线上，称为柔度
主系数，总是为正；kij为Δj=1单独作用在基本体系
6.2.2 等截面直杆的形常数
_
取基本体系如图6-7（b）所示，作出X1=1的1图，
如图6-7（c）所示。力法方程为δ11X1=θA，其中
δ11=
1 1
2
( ×1×l× )=
2
3 3
则
X1=
= =3iθA
11
3
3
故MAB=3i、MBA=0，并可以求得FQAB=FQBA=－ ，
上在Δi约束方向上引起的约束反力，不在主对角线
上，称为柔度副系数，根据反力互等定理，kij=kji；
FiP为荷载单独作用在基本体系上在Δi约束方向上引
起的反力，称为自由项。
kii、kij、FiP的计算在后面结合例题进行讲解。
40
6.4 用位移法计算连续梁和无侧移刚架
【例6-1】已知如图6-12（a）所示，作
附加刚臂［见图6-2（b）］，相当于
结构力学 第六章 位移法-2
令 R ik rik Zk
rik ——基本结构上ZK＝1引起第 i个 附加约束的反力（反力偶）；
则 : r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
n个未知量：
r11Z1＋r12Z2＋…＋r1nZn＋RlＰ＝0 r…21…Z1…＋…r22Z2＋…＋r2nZn＋R2Ｐ＝0
角位移数 —— 结构中刚结点个数。
线位移数 — 将全部刚结点、固端支座视为铰结、铰支， 形成一铰接体系，若该体系几何不变，则线位移数为 零，若几何可变，添加链杆使其几何不变，所加链杆 数即为线位移数。
§6－4 位移法的典型方程及示例
介绍建立位移法基本方程的一般方法。
引入附加约束 附加刚臂——控制结点转动，但不能控制移动 的约束，用“ ”表示。 附加链杆——控制结点水平移动，但不能控制 转动的约束。 位移法的基本结构——原结构引入附加约束后， 转化为由若干单跨超静定梁组成的组合体系。
EI
l
R11 8iZ1 故有：Z1
4iZ1
B
ql2 96i
Z1 4iZ1
q
EI
l
q
EI
l q
EI
l
EI
l
C
C C 2iZ1 C
位移法典型方程的建立
思路：基本结构的受力＝原结构的受力（即：Ri＝0） 表达式：（以两个未知量为例）
原结构
Z1 基本结构
R1 0 R11 R12 R1P 0
Z2 R2 0 R21 R22 R2P 0
• 举例说明：
A
在B截面加附加刚
臂，原结构转化为AB、
BC两个单跨超静定梁的
组合体系——基本结构。
1.考虑变形相同：
在附加刚臂上加角位
rik ——基本结构上ZK＝1引起第 i个 附加约束的反力（反力偶）；
则 : r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
n个未知量：
r11Z1＋r12Z2＋…＋r1nZn＋RlＰ＝0 r…21…Z1…＋…r22Z2＋…＋r2nZn＋R2Ｐ＝0
角位移数 —— 结构中刚结点个数。
线位移数 — 将全部刚结点、固端支座视为铰结、铰支， 形成一铰接体系，若该体系几何不变，则线位移数为 零，若几何可变，添加链杆使其几何不变，所加链杆 数即为线位移数。
§6－4 位移法的典型方程及示例
介绍建立位移法基本方程的一般方法。
引入附加约束 附加刚臂——控制结点转动，但不能控制移动 的约束，用“ ”表示。 附加链杆——控制结点水平移动，但不能控制 转动的约束。 位移法的基本结构——原结构引入附加约束后， 转化为由若干单跨超静定梁组成的组合体系。
EI
l
R11 8iZ1 故有：Z1
4iZ1
B
ql2 96i
Z1 4iZ1
q
EI
l
q
EI
l q
EI
l
EI
l
C
C C 2iZ1 C
位移法典型方程的建立
思路：基本结构的受力＝原结构的受力（即：Ri＝0） 表达式：（以两个未知量为例）
原结构
Z1 基本结构
R1 0 R11 R12 R1P 0
Z2 R2 0 R21 R22 R2P 0
• 举例说明：
A
在B截面加附加刚
臂，原结构转化为AB、
BC两个单跨超静定梁的
组合体系——基本结构。
1.考虑变形相同：
在附加刚臂上加角位
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（3）位移法方程
M AB = 2iθ B − 1.5i∆ − 4
M BA = 4iθ B − 1.5i∆ + 4
M BC = 6iθ B
M DC = −0.75i∆ MBC
B θ B ∆ C ∆
MBC
∑MB = 0
MBA
MBA
M BA + M BC = 0................(1a)
10iθB −15i∆ + 4 = 0.............(1)
2010-11-26
B 4.422 4.422
C
13.896
A
5.685
D
M图（kN·m）
13
小
结
1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程； 有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程； 2、单元分析、建立单元刚度方程是基础； 单元分析、建立单元刚度方程是基础； 3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括 当结点作用有集中外力矩时， 外力矩。 外力矩。 P q A B M MCB C
6 将系数及自由项带入到位移法基本方程中解方程得:Z 5、将系数及自由项带入到位移法基本方程中解方程得:Z1= − 7i 6、绘制弯矩图
16.72 11.57
2010-11-26
3.21 15.85
M图 (kN ⋅ m ) 图
6
例、试用位移法分析图示刚架。 试用位移法分析图示刚架。
q=20kN/m （1）基本未知量 ∆ 1、 ∆ 2
(1/12) × 20×52=41.7 D i=1 C
i=1/2
2m
9/8
E
R1P=40–41.7= –1.7 R2P=41.7
4m
R3P=0
E
F 4m
2010-11-26
5m
4m
3
2m
（6）建立位移法基本方程： 建立位移法基本方程：
9 10Z1 + 2 Z 2 − Z 3 − 1.7 = 0 8 1 2Z1 + 9 Z 2 − Z 3 + 41.7 = 0 2 9 1 35 − Z1 − Z 2 + Z 3 =0 8 2 48
QBA
θB
QCD
∑x=0
QBA + QCD =0…………...(2a)
QAB MAB QBA
QCD
QDC MDC QCD
3i = 2∆ 4 12
6iθB −3.75i∆ + 24 = 0........(2)
（4）解位移法方程
2010-11-26
QBA = 1.5iθ B + 0.75i∆ − 6
（4）解位移法方程
10iθB −1.5i∆ + 4 = 0...........(1) 6iθB −3.75i∆ + 24 = 0........(2)
（5）弯矩图
0.737 θB = i
7.58 ∆= i
MAB= -13.896 kN·m MBA= -4.422kN·m MBC= 4.422kN·m MDC= -5.685kN·m QBA= -1.42kN QCD= -1.42kN
i=3/4 =3/4
D 4m
R1P=40–41.7= –1.7 R2P=41.7
E
i=1/2
F 4m 5m 4m
2010-11-26
2m
9
（6）建立位移法基本方程： 建立位移法基本方程：
（7）解方程求结点位移： 解方程求结点位移：
10 Z1 + 2 Z 2 − 1.7 = 0 2 Z1 + 9 Z 2 + 41.7 = 0
（8）绘制弯矩图
Z1 = 1.15 Z 2 = −4.89
M = M 1 Z1 + M 2 Z 2 + M P
43.5 46.9
24.5 14.7
A
3.45
B
1.7
C 9.8
D
E
2010-11-26
4.89 F
10
M图（kN•m） 图 ）
用位移法分析图示刚架。 例3. 用位移法分析图示刚架。
B 3kN/m ∆ 2i C ∆ ∆
3I0
3I0
D
4m
A
4I0
B
5I0
C
4I0
（2）基本体系 计算杆件线性刚度i， 计算杆件线性刚度 设EI0=1，则 则
E
4m 5m q=20kN/m A 4I0 B ∆ 5I0 1 3I0 E
F
4m ∆2 C 3I0 F 4I0
2m
D 4m
i AB
EI AB E ⋅ 4 I 0 = = =1 l AB 4
1/2 C
i=1/2 i=1
D
Z 3=1 r =(1/6)+(9/16)=35/48 33 4m
r31=r13= –9/8 r32=r23= –1/2
4m
1/2 F 5m
4m
（5）计算自由项：R1P、R2P、R3P 计算自由项：
(1/8) × 20×42=40 A q=20kN/m
i=1 B i=3/4 i=1
例、试用位移法分析图示刚架。 试用位移法分析图示刚架。
q=20kN/m A D 4I0 B 3I0 E F 4m 5m q=20kN/m A 4I0 B ∆ 5I0 1 3I0 E C 3I0 F 4m
2010-11-26
（1）基本未知量 C 3I0 4I0 4m ∆ 1、 ∆ 2、∆3 （2）基本体系 计算杆件线性刚度i， 计算杆件线性刚度 设EI0=1，则 则
3 A Z 1=1
i=1 3B i=3/4 i=1
r22=4+3+2=9 r13=r31=?
2 D
i=1
= r23=r32=?
A 4m 4 Z 2=1
i=1 B i=3/4
D
C
i=1/2
E
2m
1.5 F 5m
E
F
i=1/2
4
2
i=1 2 C
i=1
312源自4m2010-11-26
4m
A
9/8
i=1 B i=3/4 i=1
A
18.6 5B 26.7
D
C
E 3.6
2010-11-26
M图（kN•m） 图 ）
3.97F
4
超静定梁 例1.绘制图示结构的弯矩图 1.绘制图示结构的弯矩图
P=20kN q=2kN/m
1、基本未知量θB 基本未知量 A EI
3m 3m
B
θB EI
6m q=2kN/m
C 2、基本体系 基本体系 3、位移法方程
P=20kN Z1
A
EI
3m 3m
B
EI
6m
C r11Z 1+R1P=0 设i =
EI 6
4、计算系数及自由项：r11、R1P
2010-11-26 5
4i A 2i EI B 3i EI C
15 A EI B
9 EI C
M1图
r11 4i 3i
M p图
R1p 15 9 B R1P=15-9=6
B r11=4i+3i=7i
5I0
4m ∆2 4I0 4m ∆3 D
2m
i AB
EI AB E ⋅ 4 I 0 = = =1 l AB 4
iBC = 1 , iCD = 1 , iBE = 3 1 , iCF = 4 2
5m
4m
1
2m
（3）位移法方程 r11Z 1+ r12Z 2+ r13Z 3+R1P=0 r21Z 1+ r22Z 2+ r23Z 3+R2P=0 r31Z 1+ r32Z 2+ r33Z 3+R3P=0 （4）计算系数：r11、r12、r13、r21、r22、r23、r31、r32、r33 计算系数： r11=3+4+3=10 r12=r21=2
3 A
i=1 3
r22=4+3+2=9
Z 1=1
i=3/4
2 C
i=1/2 i=1
D
4 A
i=1 B i=3/4
Z 2=1 2
i=1
D
B4 E
i=1
C 2
i=1/2
i=1
3
1.5 F
2010-11-26
E F
1
8
（5）计算自由项：R1P、R2P、R3P 计算自由项：
(1/12) × (1/8) × 20×52=41.7 20×42=40 q=20kN/m A i=1 B i=1 i=1 C
iBC = 1 , iCD = 1 , iBE = 3 1 , iCF = 4 2
4m
2010-11-26
5m
4m
7
2m
（3）位移法方程 r11Z 1+ r12Z 2 +R1P=0 r21Z 1+ r22Z 2+R2P=0 （4）计算系数：r11、r12、r21、r22 计算系数： r11=3+4+3=10 r12=r21=2
2010-11-26 14
M C MCD
q D
（7）解方程求结点位移： 解方程求结点位移：
Z1 = 0.94 Z 2 = −4.94 Z 3 = −1.94
（9）校核 结点及局部杆 件的静力平衡
23.8
（8）绘制弯矩图
M = M 1 Z1 + M 2 Z 2 + M 2 Z 3 + M P
47.8 42.8
条件的校核。 条件的校核。