21.2.2 公式法(复习课件)
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最新人教版初中数学九年级上册《21.2.2 公式法》精品教学课件
2a
写出一元二次方程的根.
b
(2)当∆=0时，代入求根公式： x1 x2
2a
写出一元二次方程的根.
（3）当∆<0时，方程无实数根.
巩固练习
用公式法解方程：
3x 6 x 2 0
2
解：a=3, b=-6, c=-2,
∆=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.
x
A. k>-1
B. k>-1 且k≠ 0
C. k<1
D. k<1 且k≠0
课堂检测
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx
＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵ x 2 2 x m 1 0 没有实数根，
∴ 4-4(1-m)<0, ∴m<0.
2
2
x
对于方程 x ＋mx＝1-2m ，即 mx 2m 1 0 .
a＝1，b＝4 ，c＝﹣2,
△= b2-4ac
△= b2-4ac
=24－4×（﹣1）×（-6）=0.
=16-4×1×（-2）=24＞0.
该方程有两个相等的实数根.
该方程有两个不相等的实数根.
探究新知
（3）4x2+1=-3x;
（4）x²-2mx+4（m-1）=0.
解：移项，得4x2+3x+1=0， 解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,
用判别式△= b2-4ac判定一元二次方程
根的情况.
课后研讨
1.说一说本节课的收获。
2.谈谈在解决实际问题中有哪些需要
注意或不太懂的地方。
请以课堂反思的方式写
一写你的收获。
写出一元二次方程的根.
b
(2)当∆=0时，代入求根公式： x1 x2
2a
写出一元二次方程的根.
（3）当∆<0时，方程无实数根.
巩固练习
用公式法解方程：
3x 6 x 2 0
2
解：a=3, b=-6, c=-2,
∆=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.
x
A. k>-1
B. k>-1 且k≠ 0
C. k<1
D. k<1 且k≠0
课堂检测
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx
＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵ x 2 2 x m 1 0 没有实数根，
∴ 4-4(1-m)<0, ∴m<0.
2
2
x
对于方程 x ＋mx＝1-2m ，即 mx 2m 1 0 .
a＝1，b＝4 ，c＝﹣2,
△= b2-4ac
△= b2-4ac
=24－4×（﹣1）×（-6）=0.
=16-4×1×（-2）=24＞0.
该方程有两个相等的实数根.
该方程有两个不相等的实数根.
探究新知
（3）4x2+1=-3x;
（4）x²-2mx+4（m-1）=0.
解：移项，得4x2+3x+1=0， 解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,
用判别式△= b2-4ac判定一元二次方程
根的情况.
课后研讨
1.说一说本节课的收获。
2.谈谈在解决实际问题中有哪些需要
注意或不太懂的地方。
请以课堂反思的方式写
一写你的收获。
初中数学人教版九年级上册《21.2.2公式法》课件
所以 k≠0且Δ＞0，即 (-4)2-4×k×2＞0，
解得 k＜2且 k≠0，
所以k的取值范畴为 k＜2且 k≠0．
若关于 x 的一元二次方程 x2 －4x＋5＝a 有实数根，则 a 的取值范畴是D
(A． a＜1
)
B． a＞1
C． a≤1
D． a≥1
解：由于关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋5＝a有实数根，
人教版 九年级数学上
21.2.2
公式法
用配方法解一元二次方程的一样步骤：
一移 → 二化 → 三配→ 四开．
1．了解一元二次方程根的判别式．
2．会用一元二次方程根的判别式判定根的情形．
3．能根据根的情形，肯定方程中字母系数的取值范畴．
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
移项，得
1
为 > − 4 且 ≠ 0 ．
解：由于a=m 2 ，b=2m+1，c=1，方程有两个不相等的实数根
，
所以Δ=b2-4ac=(2m+1)2-4m2=1+4m＞0，
1
所以m＞− ．
4
又由于二次项系数不为0，
所以m≠0，
1
即m＞−
4
且m≠0．
一元二次方程 ax2＋bx＋c=0(a≠0) 根的判别式 Δ＝b2－4ac．
方程转化为（x-2) 2+1= a ，要使方程成立，即a-1≥0，
解得a≥1 ，所以a的取值范畴为 a≥1 ．
一元二次方程 x2−5x＋7＝0 的根的情形是( A
A． 没有实数根
C． 有两个不相等的实数根
)
B． 有两个相等的实数根
D． 有两个实数根
九年级数学人教版(上册)21.2.2《公式法》教学课件
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
写出一元二次方程的根：
x1 = ______ ，x2 = ______ 。 (b)当∆=0时，代入求根公式：
写出一元二次方程的根：
x1 = x2 = ______ 。
b2 4ac 62 432 60.
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
6
6
3
3 15 3 15
x1
3
, x2
. 3
4 4x2 6x 0
解： a 4,b 6, c 0.
b2 4ac 62 4 40 36.
6
x
36 6 6 ,
24
8
3
x1
0,
x2
公式法
❖ 例2：用公式法解方程 （1）x2-4x-7=0
解a 1,b 4, c 7
△ b2 4ac 42 41 (7) 44 0.
方程有两个不相等的实数根：
❖1.变形:化已知方 程为一般形式;
❖2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数;
x b b2 4ac 2a
4 44 4 2 11 .
2
c a
b 2a
2
,
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
②
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）当 b2 4ac 0时，一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）有实数根．
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
新人教版九年级上册初中数学 21-2-2 公式法 教学课件
方程有两个相等的实数根
b 2 2 2 x1 x2 2a 2 2 2 .
第二十二页，共三十页。
新课讲解
(2)方程化为5x2－4x－1＝0.
a＝5，b＝－4，c＝－1.
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0.
方程有两个不等的实数根
x b b2 4ac (4) 36 4 6 .
A．k≥0 C．k<0 且 k≠-1
B．k≤0 D．k≤0 且 k≠-1
第二十八页，共三十页。
当堂小练
4.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等 的实数根吗？给出你的答案并说明理由.
解：方程化简为x2-5x+6-p2=0
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,
第八页，共三十页。
新课讲解
知识点1 一元二次方程的求根公式 一般地，式子 b2−4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 根的判别式， 通常用希腊字母“Δ”表示它，即 Δ＝b2−4ac． 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根有三种情况： 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根．
第三十页，共三十页。
1．若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 中的左边是一个完全 平方式，则该方程有两个相等的实数根； 2．若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方程有两个不相
等的实数根；
3．当方程中a，c同号时，通过Δ的符号来判断根的情况．
第十二页，共三十页。
新课讲解
练一练
1 方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值分
b 2 2 2 x1 x2 2a 2 2 2 .
第二十二页，共三十页。
新课讲解
(2)方程化为5x2－4x－1＝0.
a＝5，b＝－4，c＝－1.
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0.
方程有两个不等的实数根
x b b2 4ac (4) 36 4 6 .
A．k≥0 C．k<0 且 k≠-1
B．k≤0 D．k≤0 且 k≠-1
第二十八页，共三十页。
当堂小练
4.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等 的实数根吗？给出你的答案并说明理由.
解：方程化简为x2-5x+6-p2=0
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,
第八页，共三十页。
新课讲解
知识点1 一元二次方程的求根公式 一般地，式子 b2−4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 根的判别式， 通常用希腊字母“Δ”表示它，即 Δ＝b2−4ac． 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根有三种情况： 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根．
第三十页，共三十页。
1．若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 中的左边是一个完全 平方式，则该方程有两个相等的实数根； 2．若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方程有两个不相
等的实数根；
3．当方程中a，c同号时，通过Δ的符号来判断根的情况．
第十二页，共三十页。
新课讲解
练一练
1 方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值分
21.2.2公式法课件2024-2025学年人教版数学九年级上册
典例精析
例1. 一元二次方程 − − = ��的根的情况为（ D
A．没有实数根
）
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
变式1-1 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ B ）
A．x2+6x+9=0
B．x2=x
C．x2+3=2x
D．（x﹣1）2+1=0
2
2a
4a
2
b
都不能使 x ＜0 ，因此方程无实数根.
2a
2
小结归纳
1.概念：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式.
2.表示：通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.
3.由前面的推导可知：
（1）当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；
典例精析
例2 . 一元二次方程mx2+mx﹣ ＝0有两个相等实数根，则m的值为（ C ）
A．0
B．0或﹣2
C．﹣2
D．2
典例精析
例3 如果关于x的一元二次方程 − + − = 有实数根，那么m的
取值范围是（ D ）
A． >
B． ≥
C． < D．m≤5
变式3-1 已知关于的方程 + − = 有两个不相等的实数根，则
根,求m的取值范围.
解：由题意得:Δ＞0且m2≠0.
即 (2m+1)2-4m2＞0且m≠0
解得：m＞-1/4且m≠0.
拓展训练
21.2.2 一元二次方程的解法——公式法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求 的值．
2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋ －1＝0，
令t＝ ，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×
＝
－±
)±
±
＝
，
×
即x1＝2 ，x2＝ ．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，
×
－＋
－－
，x2＝
．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝
x－ ＝0．
±
8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋
6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求 的值．
2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋ －1＝0，
令t＝ ，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×
＝
－±
)±
±
＝
，
×
即x1＝2 ，x2＝ ．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，
×
－＋
－－
，x2＝
．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝
x－ ＝0．
±
8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋
6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：
21.2.2公式法(课件)
布置作业 教科书习题 21.2 第 4，5 题．
求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程
x2 2x 4 0
解: a 1,b 2, c 4 b2 4ac 22 41 (4) 200
x 2 22 41 4 2 20 1 5,
一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0) 根的判别 式 。通常用希腊字母△表示它， 即△= b2-4ac。 由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数 根；
当△=0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程无实数根。
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
4 44 4 2 11 .
2 1
2
3.计算: △=b24ac的值;
4.代入:把有关数 值代入公式计算;
2 11
5.定根:写出原方
x1
2 11; x 2 结论：当 △ b2 4ac＞0 相等的实数2 根.
11 时，一元二次程方的程根有.两个不
x2 b x c . aa
移项，得
x2 b x c
a
a
配方
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c a
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
②
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有什么情况：
（1）当 b2 4ac 0时，一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）有实数根．
2 解一元二次方程 公式法PPT课件(人教版)
12．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数 根，则b 的值是__2__．
13．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是 _a_≥_－__5_____．
14．用公式法解下列方程： (1)x(2x－4)＝5－8x；
解：原方程整理为 2x2＋4x－5＝0，∴b2－4ac＝16＋4×2×5＝ 56，∴x＝－24×±256，即 x1＝－2＋2 14，x2＝－2－2 14
练习1：对一元二次方程x2－2x＝1，b2－4ac＝__8__． 2．式子____b_2_－__4_a_c___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别 式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __有__两__个__不__等__的__实__数__根_______；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __两__个__相__等__的__实__数__根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____无__实__数__根__． 练习2：(202X·长沙)若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个 不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____m_＞__－__4____．
8．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__2_5___，可得x1＝ __3__，x2＝__－__2__．
(91．)x用2－公3x式－法2＝解0下；列方解程：：x1＝3＋2 17，x2＝3－2 17 (2)8x2－8x＋1＝0；
解：x1＝2＋4 2，x2＝2－4 2
(3)2x2－2x＝5. 解：x1＝1＋2 11，x2＝1－2 11
知识点1：根的判别式 1．(202X·邵阳)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．(202X·丽水)下列一元二次方程没有实数根的是( B ) A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0 C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0
初中数学人教版九年级上册《21.2.2公式法》课件
x2+2x+12=-
1 2
+12（x+1）2=
1 2
是否有更为简便的方法？
一元二次方程根的判别式
问题1：任何一个一元二次方程都可以写成一样情势
ax2+bx+c=0（a≠0），试着用配方法得出它的解.
ax2+bx+c=0
解 移项，得 ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得
x2 b x c ，
a
x b b2 4ac 2a
即 x1=2+ 11 ，x2=2-11
知识要点
例 用公式法解下列方程：
22x2 2 2x 1 0
解 a＝2，b＝－2 2，c＝1.
Δ＝b2－4ac＝(－2 2 )2－4×2×1＝0.
方程有两个相等的实数根.
x1=x2= -2ba
=
ห้องสมุดไป่ตู้
2 2
知识要点
例 用公式法解下列方程：
方程无实数根
练一练
方程2x2+5x-3=0的解是( C )
A.x=3
B.x=-3
C.x1=-3,x2=
1 2
D.x= 1
2
随堂练习
1.一元二次方程2x2-x+1=0根的情形是（ C ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.没法判定
2.关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，则
21.2.2
公式法
人教版 九年级数学上
知识要点
1.一元二次方程根的判别式 2.用公式法解一元二次方程
试一试：回想所学知识，完成下面内容。
21.2.2公式法。ppt
k 1 0, ∴ 2 1 2 b 4ac ［ (k 1) ］ 4 (k 1) 0， 4
解得k=2，
∴k的值等于2.
【规律总结】根的判别式的三个作用 1.不解方程,判断b2-4ac的符号直接判断方程根的情况. 2.已知方程根的情况,求方程中字母系数的取值范围. 3.根据b2-4ac恒大于0或恒小于0或恒等于0,证明方程根的情况.
【解题探究】1.原方程有两个实数根,说明原方程为哪种类型的方程? 需什么条件? 提示:原方程为一元二次方程,需k-1≠0,即k≠1.
2.原方程有两个相等的实数根,需有什么条件? 提示:b2-4ac=0,即[-(k-1)]2-4× 1 (k-1)=0,
4
∴k=2,k=1(舍去).
【自主解答】∵原方程有两个相等的实数根，
2a
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 ， 2a 2a
两个相等 的实数根， 方程有_________ (3)若b2-4ac＜0，则(x+ b )2＜0.
2a
无 实数根. 方程___
b b 2 4ac 2.当b2-4ac≥0时，ax2+bx+c=0(a≠0)的根为x=____________ ，这个 2a
1 3.若一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等实根,则m=__.
1 x , x2 2 1 4.2x2-5x+2=0的根为___________. 2
有两个不相 5.ax2+bx+c=0(a≠0)中,若a,c异号,则原方程根的情况:___________
等的实数根 ___________.
知识点一
用公式法解一元二次方程
【示范题1】(5分)(2014·徐州中考)解方程x2+4x-1=0. 【ห้องสมุดไป่ตู้你解题】
解得k=2，
∴k的值等于2.
【规律总结】根的判别式的三个作用 1.不解方程,判断b2-4ac的符号直接判断方程根的情况. 2.已知方程根的情况,求方程中字母系数的取值范围. 3.根据b2-4ac恒大于0或恒小于0或恒等于0,证明方程根的情况.
【解题探究】1.原方程有两个实数根,说明原方程为哪种类型的方程? 需什么条件? 提示:原方程为一元二次方程,需k-1≠0,即k≠1.
2.原方程有两个相等的实数根,需有什么条件? 提示:b2-4ac=0,即[-(k-1)]2-4× 1 (k-1)=0,
4
∴k=2,k=1(舍去).
【自主解答】∵原方程有两个相等的实数根，
2a
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 ， 2a 2a
两个相等 的实数根， 方程有_________ (3)若b2-4ac＜0，则(x+ b )2＜0.
2a
无 实数根. 方程___
b b 2 4ac 2.当b2-4ac≥0时，ax2+bx+c=0(a≠0)的根为x=____________ ，这个 2a
1 3.若一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等实根,则m=__.
1 x , x2 2 1 4.2x2-5x+2=0的根为___________. 2
有两个不相 5.ax2+bx+c=0(a≠0)中,若a,c异号,则原方程根的情况:___________
等的实数根 ___________.
知识点一
用公式法解一元二次方程
【示范题1】(5分)(2014·徐州中考)解方程x2+4x-1=0. 【ห้องสมุดไป่ตู้你解题】
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B．有两个相等的实数根 C．无实数根
D．无法确定
2．(4分)(2013·广州)若5k＋20＜0，则关于x的一元二次方程x2 ＋4x－k＝0的根的情况是( A ) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
由方程根的个数求未知数的值或字母的取值
4．(4 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－a＝0 有两 个相等的实数根，则 a 的值是( B A．1 B．－1 1 C. 4 ) 1 D．－4
7．(4 分)用求根公式求得方程 x2－2x－3＝0 的解为( B ) A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝－1 D．x1＝－3，x2＝－1
C．x1＝－3，x2＝1
8．(12 分)用公式法解下列方程： (1)x2＋x－2＝0； 解：x1＝－2，x2＝1 (2)x2－4x＋2＝0； 解：x1＝2＋ 2，x2＝2－ 2 (3)4x2－3x－5＝x－2. 1 3 解：x1＝－2，x2＝2
＝2或b＝－10(不合题意，舍去)，∴b＝2
(1)当c＝b＝2时，b＋c＝4＜5，不合题意； (2)当c＝a＝5时，周长为a＋b＋c＝12
21.2
解一元二次方程
21.2.2 公式法
1．一元二次方程 ax2 ＋bx ＋c＝0(a≠0)有实数根的条件 －b± b2－4ac 是 b2－4ac≥0 ，它的求根公式是 x＝ ． 2a
2．用公式法解一元二次方程的思路应是： (1)将方程化成__一般形式__； (2)写出相应a，b，c的值，并计算Δ的值； (3)当Δ__≥0__时，可直接套用公式得出方程的解．
解：证明：Δ＝9(m＋1)2－4m(m＋3)＝5m2＋6m＋9＝
4m2＋(m＋3)2，当m＝0时，m＋3＝3≠0，当m＋3＝0时 ，m＝－3≠0，∴4m2和(m＋3)2不同时为0.又∵4m2≥0， (m＋3)2≥0，∴Δ＝4m2＋(m＋3)2＞0.则无论m取何值，此 方程都有两个不相等的实数根
17．(10 分)关于 x 的一元二次方程 x2－3x－k＝0 有两个不 相等的实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)请选择一个 k 的负数值，并求出方程的根．
a≥－1
．
15．(8 分)用公式法解下列方程： (1)6x2－13x－5＝0；
5 1 解：x1＝2，x2＝－3
(2) 2m2－4 2＝4m.
解：m1＝ 2＋ 6，m2＝ 2－ 6
16．(8分)已知关于x的方程x2－3(m＋1)x＋m(m＋3)＝ 0.求证：无论m取何值，此方程都有两个不相等的实数 根．
3．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：
(1)当 (2)当 (3)当 b2－4ac＞0 b2－4ac=0 b2－4ac＜0 时，有两个不相等的实数根； 时，有两个相等的实数根； 时，没有实数根．
不解方程判断一元二次方程根的个数 1．(4分)(2013·白银)一元二次方程x2＋x－2＝0根的情况是( A ) A．有两个不相等的实数根
5．(4 分)(2013· 咸宁)关于 x 的一元二次方程(a－1)x2－2x ＋3＝0 有实数根，则整数 a 的最大值是( A．2 B． 1 C．0 D．－1
C )
6． (4 分)如果关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋c＝0(c 是常
c＞9 数)没有实数根，那么 c 的取值范围是____ ．
用公式法解一元二次方程
12．(2013· 兰州)若|b－1|＋ a－4＝0，且一元二次方程 kx2＋ ax＋b＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 k≤4且k≠0 ．
13．若两个最简二次根式 x2＋3x与 x＋15可以合并，则 x
－5 ． ＝____
14．若关于 x 的方程 ax2＋2(a＋2)x＋a＝0 有实数解，)取 k＝－2，x1＝1，x2＝2(答案不唯一)
18．(10分)在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其 中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相 等的实数根，求△ABC的周长． 解：由Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝b2＋8b－20＝0，解得b
D
)
10．(2014· 泰州模拟)下列一元二次方程中，有两个不相等的实 数根的方程是( A ) B．x2＋1＝0 D．x2＋2x＋3＝0 A．x2－3x＋1＝0 C．x2－2x＋1＝0
11．若关于x的一元二次方程nx2－2x－1＝0无实数根，
则一次函数y＝(n＋1)x－n的图象不经过( A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ) C
6．(8 分)用配方法解下列方程： (1)(2013· 徐州)x2－2x＝1；
解：x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2
(2)x2＋1＝3x.
3＋ 5 3－ 5 解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
9．用公式法解方程 4x2－12x＝3 正确的解是( －3± 6 A ．x ＝ 2 －3± 2 3 C．x＝ 2 3± 6 B．x＝ 2 3± 2 3 D．x＝ 2
D．无法确定
2．(4分)(2013·广州)若5k＋20＜0，则关于x的一元二次方程x2 ＋4x－k＝0的根的情况是( A ) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
由方程根的个数求未知数的值或字母的取值
4．(4 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－a＝0 有两 个相等的实数根，则 a 的值是( B A．1 B．－1 1 C. 4 ) 1 D．－4
7．(4 分)用求根公式求得方程 x2－2x－3＝0 的解为( B ) A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝－1 D．x1＝－3，x2＝－1
C．x1＝－3，x2＝1
8．(12 分)用公式法解下列方程： (1)x2＋x－2＝0； 解：x1＝－2，x2＝1 (2)x2－4x＋2＝0； 解：x1＝2＋ 2，x2＝2－ 2 (3)4x2－3x－5＝x－2. 1 3 解：x1＝－2，x2＝2
＝2或b＝－10(不合题意，舍去)，∴b＝2
(1)当c＝b＝2时，b＋c＝4＜5，不合题意； (2)当c＝a＝5时，周长为a＋b＋c＝12
21.2
解一元二次方程
21.2.2 公式法
1．一元二次方程 ax2 ＋bx ＋c＝0(a≠0)有实数根的条件 －b± b2－4ac 是 b2－4ac≥0 ，它的求根公式是 x＝ ． 2a
2．用公式法解一元二次方程的思路应是： (1)将方程化成__一般形式__； (2)写出相应a，b，c的值，并计算Δ的值； (3)当Δ__≥0__时，可直接套用公式得出方程的解．
解：证明：Δ＝9(m＋1)2－4m(m＋3)＝5m2＋6m＋9＝
4m2＋(m＋3)2，当m＝0时，m＋3＝3≠0，当m＋3＝0时 ，m＝－3≠0，∴4m2和(m＋3)2不同时为0.又∵4m2≥0， (m＋3)2≥0，∴Δ＝4m2＋(m＋3)2＞0.则无论m取何值，此 方程都有两个不相等的实数根
17．(10 分)关于 x 的一元二次方程 x2－3x－k＝0 有两个不 相等的实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)请选择一个 k 的负数值，并求出方程的根．
a≥－1
．
15．(8 分)用公式法解下列方程： (1)6x2－13x－5＝0；
5 1 解：x1＝2，x2＝－3
(2) 2m2－4 2＝4m.
解：m1＝ 2＋ 6，m2＝ 2－ 6
16．(8分)已知关于x的方程x2－3(m＋1)x＋m(m＋3)＝ 0.求证：无论m取何值，此方程都有两个不相等的实数 根．
3．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：
(1)当 (2)当 (3)当 b2－4ac＞0 b2－4ac=0 b2－4ac＜0 时，有两个不相等的实数根； 时，有两个相等的实数根； 时，没有实数根．
不解方程判断一元二次方程根的个数 1．(4分)(2013·白银)一元二次方程x2＋x－2＝0根的情况是( A ) A．有两个不相等的实数根
5．(4 分)(2013· 咸宁)关于 x 的一元二次方程(a－1)x2－2x ＋3＝0 有实数根，则整数 a 的最大值是( A．2 B． 1 C．0 D．－1
C )
6． (4 分)如果关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋c＝0(c 是常
c＞9 数)没有实数根，那么 c 的取值范围是____ ．
用公式法解一元二次方程
12．(2013· 兰州)若|b－1|＋ a－4＝0，且一元二次方程 kx2＋ ax＋b＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 k≤4且k≠0 ．
13．若两个最简二次根式 x2＋3x与 x＋15可以合并，则 x
－5 ． ＝____
14．若关于 x 的方程 ax2＋2(a＋2)x＋a＝0 有实数解，)取 k＝－2，x1＝1，x2＝2(答案不唯一)
18．(10分)在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其 中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相 等的实数根，求△ABC的周长． 解：由Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝b2＋8b－20＝0，解得b
D
)
10．(2014· 泰州模拟)下列一元二次方程中，有两个不相等的实 数根的方程是( A ) B．x2＋1＝0 D．x2＋2x＋3＝0 A．x2－3x＋1＝0 C．x2－2x＋1＝0
11．若关于x的一元二次方程nx2－2x－1＝0无实数根，
则一次函数y＝(n＋1)x－n的图象不经过( A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ) C
6．(8 分)用配方法解下列方程： (1)(2013· 徐州)x2－2x＝1；
解：x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2
(2)x2＋1＝3x.
3＋ 5 3－ 5 解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
9．用公式法解方程 4x2－12x＝3 正确的解是( －3± 6 A ．x ＝ 2 －3± 2 3 C．x＝ 2 3± 6 B．x＝ 2 3± 2 3 D．x＝ 2