华东师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系教案(含答案)
九年级数学上册教案：一元二次方程的根与系数的关系
2.5 一元二次方程的根与系数的关系1．了解一元二次方程的根与系数的关系．2．利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．阅读教材P49～50，完成下列问题： (一)知识探究如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________. (二)自学反馈1．设方程x 2－4x －1＝0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．02．如果x 1，x 2是一元二次方程x 2－6x －2＝0的两个实数根，那么x 1＋x 2的值是( ) A ．－6 B ．－2 C ．6 D ．23．设一元二次方程x 2－7x ＋3＝0的两个实数根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________.活动1 小组讨论例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积：(1)x 2＋7x ＋6＝0; (2)2x 2－3x －2＝0. 解：(1)这里a ＝1，b ＝7，c ＝6.Δ＝b 2－4ac ＝72－4×1×6＝49－24＝25＞0， ∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝－7，x 1x 2＝6.(2)这里a ＝2，b ＝－3，c ＝－2.Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－2)＝9＋16＝25＞0， ∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝－1.先将方程化为一般形式，找对a 、b 、c.例2 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值． 解：设另一根为x ，由根与系数的关系得 －3·x ＝－92，解得x ＝32.又∵－3＋32＝－k2，解得k ＝3.∴另一根是32，k 的值是3.本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x ＝－3代入方程先求k ，再求另一个根；一种是利用根与系数关系解答． 活动2 跟踪训练1．两根均为负数的一元二次方程是( )A ．7x 2－12x ＋5＝0B ．6x 2－13x －5＝0C ．4x 2＋21x ＋5＝0D ．x 2＋15x －8＝0两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．2．已知x 1、x 2是方程x 2－3x －2＝0的两个实根，则(x 1－2)(x 2－2)＝________. 3．利用根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：(1)x 2－3x ＝15; (2)5x 2－1＝4x 2；(3)x 2－3x ＋2＝10; (4)4x 2－144＝0；4．已知x 1，x 2是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，求代数式1x 1＋1x 2的值．活动3 课堂小结1．一元二次方程的根与系数的关系．2．一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件．【预习导学】 (一)知识探究 －b a c a(二)自学反馈1．B 2.C 3.7 3 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．C 2.－4 3.(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－15.(2)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－1.(3)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8.(4)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－36. 4.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝2.∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝42＝2.*2.5 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点) 2．会利用根与系数的关系解决有关的问题．(难点)一、情景导入解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？(1)x 2－2x ＝0；(2)x 2＋3x －4＝0；(3)x 2－5x ＋6＝0.方程x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2二、合作探究探究点一：一元二次方程的根与系数的关系利用根与系数的关系，求方程3x 2＋6x －1＝0的两根之和、两根之积． 解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得． 解：这里a ＝3，b ＝6，c ＝－1.Δ＝b 2－4ac ＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0， ∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x 1，x 2， 那么x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－13.方法总结：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝c a.探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用 【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x 1＋2)(x 2＋2)； (2)x 2x 1＋x 1x 2.解析：先确定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2与x 1x 2的值，最后将所求式子做适当变形，把x 1＋x 2与x 1x 2的值整体代入求解即可．解：根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－32.(1)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－32＋2×(－2)＋4＝－32；(2)x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 12x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝（－2）2－2×（－32）－32＝－143. 方法总结：先确定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2与x 1x 2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x 1＋x 2与x 1x 2的值整体代入求解即可．【类型二】 已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根已知方程5x 2＋kx －6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值．解析：由方程5x 2＋kx －6＝0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k 的值．解：设方程的另一个根是x 1，则2x 1＝－65，∴x 1＝－35.又∵x 1＋2＝－k5，∴－35＋2＝－k5，∴k ＝－7.方法总结：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和．【类型三】 判别式及根与系数关系的综合应用已知α、β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，求m 的值．解析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，再由1α＋1β＝－1建立方程，求解m 的值．解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，∴α＋β＝－(2m ＋3)，αβ＝m 2.又∵1α＋1β＝α＋βαβ＝－（2m ＋3）m2＝－1， 化简整理，得m 2－2m －3＝0. 解得m ＝3或m ＝－1.当m ＝－1时，方程为x 2＋x ＋1＝0，此时Δ＝12－4＜0，方程无解， ∴m ＝－1应舍去．当m ＝3时，方程为x 2＋9x ＋9＝0，此时Δ＝92－4×9＞0，方程有两个不相等的实数根． 综上所述，m ＝3.易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m 的值，但一定要代入判别式验算，字母m的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略．三、板书设计一元二次方程的根与系数的关系⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧关系：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a 应用⎩⎪⎨⎪⎧利用根与系数的关系求代数式的值已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根判别式及根与系数的关系的综合应用让学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全的归纳验证以及演绎证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考的习惯，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.2.5 一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题．【过程与方法】经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，解决问题的能力，渗透整体的数学思想、求简思想．【情感态度】通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神．【教学重点】根与系数的关系及运用． 【教学难点】对根与系数的关系的理解、推导及运用．一、创设情境，导入新课我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律．那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天我们共同去探究，感受一次当科学家的滋味．【教学说明】让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣、探究欲望．二、合作交流，探究新知解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1＋x 2，x 1·x 2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？一元二次方程x 1x 2x 1＋x 2x 1·x 2x 2＋6x －16＝0 x 2－2x －5＝0 2x 2－3x ＋1＝0【教学说明】通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，引导学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法．【归纳总结】一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a，能得出以下结果：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca.【教学说明】让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程．三、运用新知，深化理解1．求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－6x －15＝0；(2)5x －1＝4x 2；(3)x 2＝4；(4)2x 2＝3x .解：(1)6，－15；(2)54，14；(3)0，－4；(4)32，0.2．已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝[2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k ≤12；(2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴|2(k －1)|＝k 2－1，∵k ≤12，∴k 2－1＝－2(k －1)，解得k ＝3(舍去)或k ＝－1.【教学说明】让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积．3．已知方程5x 2＋kx －6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值； 解：设方程的另一个根是x 1， 那么2x 1＝－65，∴ x 1＝__－35__，又x 1＋2＝－k5，∴k ＝__－7__．4．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0的两个根的(1)平方和；(2)倒数和．解：设方程的两个根分别为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝__－32__，x 1x 2＝__－12__．(1)∵ (x 1＋x 2)2＝x 21＋2__x 1·x 2__＋x 22， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2__x 1·x 2__＝__134__．(2) 1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1·x 2＝___3___．5．已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0，且方程两实根的积为5，求k 的值．解：∵方程两实根的积为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－（k ＋1）]2－4（14k 2＋1）≥0，x 1x 2＝14k 2＋1＝5.得⎩⎪⎨⎪⎧k ≥32，k ＝±4.∴当k ＝4时，方程两实根的积为5.6．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2(k －1)x ＋k 2－1＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数k 的取值范围；(2)0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．解：(1)Δ＝[ 2(k －1)] 2－4(k 2－1)，＝4k 2－8k ＋4－4k 2＋4＝－8k ＋8. ∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴－8k ＋8＞0，解得 k ＜1，即实数k 的取值范围是 k ＜1.(2)假设0是方程的一个根，则代入得 02＋2(k －1)· 0＋k 2－1 ＝ 0， 解得k ＝－1或 k ＝1(舍去)．即当k ＝－1时，0就为原方程的一个根．此时，原方程变为 x 2－4x ＝ 0，解得 x 1＝0，x 2＝4，所以它的另一个根是4. 【教学说明】目的是考查学生灵活运用知识解决问题的能力，让学生了解到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性．四、课堂练习，巩固提高请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分． 五、反思小结，梳理新知 不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．(1)先化成一般形式，再确定a ，b ，c .(2)当且仅当b 2－4ac ≥0时，才能应用根与系数的关系．(3)要注意符号：两个根的和b a 前面有负号，两个根的积c a前面没有负号． 让学生谈谈本节课的收获与体会，教师可适当引导和点拨． 六、布置作业1．教材习题2.8第2 、3题．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．。
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(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)21。
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4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解————————--——-—☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k—1）x+k2-1=0有(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案) 两个实数根x 1、x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若x 1、x 2满足x 12+x 22=16+x 1•x 2,求实数k 的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k,x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2—2x 1•x 2=16+x 1•x 2,∴（1-2k ）2-2×（k 2—1）=16+(k 2-1），即k 2—4k —12=0，解得k=—2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式。
○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m —1=0的两个根,且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为( D ） A ．—1或2 B ．1或-2 C ．—2 D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2)x+m=0, （1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根;（2)若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值。
解：（1)△=（m+2)2—4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2)，x 1x 2=m ．∵2111x x +=2121x x x x +=—mm 2+=—2, 解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2—2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.(2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是( A ） A ．-3 B ．—2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2—4x-3=0的两个实数根,则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24。
九年级上册第02讲_一元二次方程的根与系数的关系(教师版)
第02讲_一元二次方程的根与系数的关系知识图谱根与系数的关系知识精讲三点剖析一．考点：韦达定理二．重难点：韦达定理的应用1．已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；2．已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；3．已知方程的两根，求作方程；4．结合根的判别式，讨论根的符号特征；5．逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．三．易错点：在使用韦达定理的时候没有提前检验0∆≥是否成立韦达定理例题1、若方程240x c -+=的一个根为2+，则方程的另一个根为______，c =______．【答案】2-，1c =【解析】根据韦达定理，124x x +=，因为12x =+22x =-(12221c x x =⋅=-=例题2、设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是．【答案】1k =【解析】由根与系数的关系得()1221x x k +=+，2122x x k ⋅=+．且有()()224142840k k k ∆=+-+=->，即12k >．所以()()12118x x ++=．从而2230k k +-=，解之得3k =-或1k =．又12k >，所以1k =．例题3、如果a ，b 都是质数，且2130a a m -+=，2130b b m -+=，求b aa b+的值．【答案】当a b =时，2b a a b +=；当a b ≠时，12522b a a b +=【解析】当a b =时，2b aa b+=；当a b ≠时，a 、b 为方程2130x x m -+=的两个根，所以13a b +=，则2a =，11b =或2b =，11a =．所以21112511222b a a b +=+=．例题4、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值．【答案】（1）m≤4（2）﹣12【解析】（1）∵方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m≥0，∴m≤4；（2）∵x 1+x 2=4，∴5x 1+2x 2=2（x 1+x 2）+3x 1=2×4+3x 1=2，∴x 1=﹣2，把x 1=﹣2代入x 2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0，得：m=﹣12．例题5、已知关于x 的方程211300x x a -++=的两根都大于5，求a 的取值范围．【答案】104a <≤【解析】设1x ，2x 是方程的两根，1212121212(5)(5)5()250301112141200x x x x x x x x a x x a --=-++>⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪∆=--⎩≥，解得104a <≤．随练1、已知m ，n 是有理数，并且方程20x mx n ++=2-，那么m n +=_______．【答案】3【解析】由于m ，n 是有理数，并且方程20x mx n ++=2-，所以方程的另一个根是2-．由韦达定理知：(2)2)m -=-+，(2)2)n =-⨯∴4m =，1n =-，∴4mn =-，3m n +=．随练2、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣5x+a=0的两个实数根，且x 12﹣x 22=10，则a=_____．【答案】214【解析】由两根关系，得根x 1+x 2=5，x 1•x 2=a ，由x 12﹣x 22=10得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）=10，若x 1+x 2=5，即x 1﹣x 2=2，∴（x 1﹣x 2）2=（x 1+x 2）2﹣4x 1•x 2=25﹣4a=4，∴a=214．随练3、如果实数,a b 分别满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值【答案】当a b ≠时，111a b +=；当a b =时，当1a b ==-+时，111a b +=+，当1a b ==--时，111a b+=-【解析】由题意知：,a b 为方程2220x x +-=的两个根，且0,0a b ≠≠，解方程2220x x +-=得：11x =-+21x =--⑴当a b ≠时，有2a b +=-，2ab =-，11212a b a b ab +-∴+===-；⑵当a b =时，方程的根为11x =-+21x =--当1a b ==-+时，1121a b a ∴+===；当1a b ==--时，1121a b a ∴+===-随练4、已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【答案】-1【解析】有实数根，则△≥0，且22121216x x x x +=+，联立解得m 的值．依题意有：12212221212222(2)5164(2)4(5)0x x m x x m x x x x m m +=-+⎧⎪=-⎪⎨+=+⎪⎪∆=+--≥⎩由①②③解得：1m =-或15m =-，又由④可知m ≥94-∴15m =-舍去，故1m =-随练5、已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．【答案】52m >【解析】设1x ，2x 是方程的两根，且11x >，21x <，即110x ->，210x -<，因此1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩，解得52m >．随练6、关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋2m ＝0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x ＋2m ＝0的两个根，且x 12＋x 22＝8，求m 的值．【答案】（1）12m ＜（2）－1【解析】（1）∵一元二次方程x2＋2x ＋2m ＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b 2－4ac ＝4－8m ＞0，解得：12m ＜∴m 的取值范围为12m ＜．（2）根据根与系数关系得：x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝2mx 12＋x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＝4－4m ＝8，∴m ＝－1，当m ＝－1时，△＞0，∴m 的值为－1．拓展1、已知方程22240x mx m -+-=的一个解为1，则另一个解为__________，m =__________．【答案】0；2【解析】212mx +=，212x m ⋅=-，解得20x =，2m =．2、已知方程2230x mx -+=的两根的平方和为5，则m=__________．【答案】±【解析】设2230x mx -+=的两根分别为12,x x ，则12,2m x x +=123.2x x =而22222121212()23,35,44m m x x x x x x +=+-=-∴-=即232,m m =∴=±3、已知关于x 的一元二次方程x 2＋2（m ＋1）x ＋m 2－1＝0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足（x 1－x 2）2＝16－x 1x 2，求实数m 的值．【答案】（1）m≥－1（2）1【解析】（1）由题意得△＝[2（m ＋1）]2－4（m 2－1）≥0，整理得8m ＋8≥0，解得m≥－1，∴实数m 的取值范围是m≥－1；（2）由两根关系，得x1＋x2＝－（2m ＋1），x 1•x 2＝m 2－1，（x 1－x 2）2＝16－x 1x 2（x 1＋x 2）2－3x 1x 2－16＝0，∴[－2（m ＋1）]2－3（m 2－1）－16＝0，∴m 2＋8m －9＝0，解得m ＝－9或m ＝1∵m≥1∴m ＝1．4、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值．【答案】（1）m ≤4（2）m=﹣12【解析】（1）∵方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m ≥0，∴m ≤4；（2）∵x 1+x 2=4，∴5x 1+2x 2=2（x 1+x 2）+3x 1=2×4+3x 1=2，∴x 1=﹣2，把x 1=﹣2代入x 2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0，解得：m=﹣12．5、实数k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(23)(24)0x k x k --+-=．（1）有两个正根？（2）两根异号，且正根的绝对值较大？（3）一根大于3，一根小于3？【答案】（1）2k >（2）322k <<（3）72k >【解析】[]2(23)(24)0(1)(24)0x k x k x x k --+-=⇒---=，故1x =或24x k =-（1）若两根均为正，则240k ->，故2k >；（2）若两根异号，且正根的绝对值较大，则0421k <-<，故322k <<；（3）由13<可知，72432k k ->⇒>．6、阅读材料：设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x 、2x ，则根与系数关系为：12b x x a +=-，12cx x a =．已知210p p --=，210q q --=，且1pq ≠，求1pq q +的值．【答案】1【解析】由210p p --=，210q q --=有0p ≠，0q ≠，又1pq ≠，所以1p q≠则210q q --=可变形为211(10q q --=．由210p p --=及1p q ≠，可知p 与1q是方程210x x --=的根，因此111pq p q q+=+=．。
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2.两根均为负数的一元二次方程是（ A.7x2-12x+5=0 B.6x2-13x-5=0 2 2 C.4x +21x+5=0 D.x +15x-8=0
）
1、完成P35练习题
1、完成习题22.2第10、11题.
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22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
完成下列表格 方程
2
x1 x2 x1+x2 x1•x2
2 -5
x
x 5x 6 0 2 3
2
3 x 10 0
5 -3
6 -10
和 的值与方程的系数 观察x1 x2 x1 x2 有什么关系？
2
一元二次方程的根与系数的关系
1、二次项系数为1的一元二次方程， 两根之和等于一次项系数的相反数； 两根之积等于常数项。
2、一元二次方程 a x bx c 0 (a 0, b 4ac 0)的根与系数的关系。
b x1 x2 a
c x1 x2 a
2
2
1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之 积: （1）x2-3x=15 （2）5x2-1=4x2 （3）x2-3x+2=10 （4）4x2-144=0 （5）3x（x-1）=2（x-1） 2 2 （6）（2x-1） =（3-x）
x x 和 x x 的值与方程的系数
1 2 1 2
有什么关系？
二次项系数为1的一元二次方程， 两根之和等于一次项系数的相反数； 两根之积等于常数项。
对于任何一个二次项系数为1的一 元二次方程，是否都有这样的关系？
九年级数学上册(一元二次方程的根与系数的关系)课件
解:（1）由方程根与系数之间的关系得
x1
x2
b a
4 5
,
x1
x2
c a
1 5
x12
x22
( x1
x2 )2
2x1x2
(4)2 5
2(1) 5
26 25
(2)
1
1
x
2
x 1
4.
x1 x2 x1x2
在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中a,b,c的作用:
1.二次项系数a是否为零,决定着方程是否为二次方程;
2
x1
x
2
2
(
x1
x
2)
2
2
x1
x
,
2
1 1 x1 x2 , x1 x2 x1x2
x1 a x2 a x1x2 a x1 x2 a 2等.
.
检测反馈
1.若x1,x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两
个根,则x1+x2的值是 ( A )
A.-
2.一元二次方程x2+x-2=0的两根之积是 ( B )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
3.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1,x2,则 x1+x2-x1·x2的值为 ( D )
A.-7 B.-3 C.7 D.3
4.方程x2=2x-1的两根之和等于 2 .
,
.5.已知方程x2-6x-2m+5=0的一个根为2, 求另一个根及m的值.
x1，x2,则x1+x2
b a
.
,x1x2
c a
(教材例4)根据一元二次方程的根与系
华师大版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系同步课件
由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系， 可得这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的 关系，前面概括的结论是它的特征(二次项系数为1)． 利用这个结论，我们可以直接写出例1中题(2)的答案：
x1
x2
3 2
3 2
,
x1
x2
5 5 . 22
例3 已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一个根是1， 求它的另一个根及m的值.
x1＋x2＝－3，x1·x2＝－5.
(2) 方程两边同除以2，得
x2－ 3 x－ 5＝0. 22
设两根为x1、x2，可得
x1＋x2＝－
－
3 2
＝
3 2
，x1
x
＝－
2
5 2
.
例2 试探索一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 ( a≠0，b2-4ac≥0) 的根与系数的关系．
解：方程两边同除以a，得 x2 b x c ＝0.
4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根， 且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系 x1 x2 k
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7；
,
k
x1x2
1 (k 2
3. x1 x2 x2 x1
x12 x22 x1x2
(x1 x2 )2 2x1x2 ; x1x2
求与程的根有关的代数式 的值时,一般先将所求的代数 式化成含两根之和,两根之积 的情势,再整体代入.
总结常见的求值:
1. 1 1 x1 x2 ;
华师大版九年级上册数学课件《方程根与系数的关系》
新课讲解
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
【思考1】
从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0 ( x1，x2为 已知数 ) 的两根为 x1 和 x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形 式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗?
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
重要结论 2.以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方程是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
新课讲解
【思考2】
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未 必是1， 它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢?
新课讲解
由求根公式知
知识x点1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
x1 x2 b
b2 4ac b
2a
b2 4ac 2a
2b b 2a a
x1 x2 b
b2 4ac b
2a
b2 4ac 2a
(b)2
( b2 4a 2
4ac )2
4ac 4a 2
c a
新课讲解
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
.
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，
∴另一个根为4，q的值为8.
课堂小结
若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则
x1+x2= -p, x1x2=q.
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则
华师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》课件
18．若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1， x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
解：x1＋x2＝23，x1·x2＝－13
(3)2x2＋3＝7x2＋x； 解：x1＋x2＝－15，x1·x2＝－35
(4)5x－5＝6x2－4. 解：x1＋x2＝56，x1·x2＝16
知识点2：一元二次方程根与系数的运用
6．已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则 x12x2＋x1x22的值为(A ) A．－3 B．3 C．－6 D．6
22.2 一元二次方程的解法
22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
1．若一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的两根为 x1，x2，则 x1＋x2 ＝___－__p__，x1x2＝__q____．
2．一元二次方程在应用根与系数的关系时应注意两个条件：(1)
方程必须是___一___般_____形式；(2)Δ_≥___0. 3．若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 x1，x2，则 x1 ＋x2＝__－__ba___，x1x2＝__ac__．
13．(2014·攀枝花)若方程 x2＋x－1＝0 的两实根为 α，β，那么下
列说法不正确的是(D )
A．α＋β＝－1
B．αβ＝－1
C．α2＋β2＝3
D.1α＋1β＝－1
14．(2014·来宾)已知一元二次方程的两根分别是2和－3，则这
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第1页 共4页
一元二次方程的根与系数的关系
【知识与技能】
1.引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，
及其关系的运用.
2.通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察判断到发现关系的过程.
【过程与方法】
通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，激发
学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.
【情感态度】
在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规律的态度及养成质疑和独立思
考的习惯.
【教学重点】
一元二次方程根与系数之间的关系的运用.
【教学难点】
一元二次方程根与系数之间的关系的运用.
一、情境导入，初步认识
1.完成下列表格
问题你发现了什么规律？
①用语言叙述你发现的规律：（两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项）
②设方程x2+px+q=0的两根为x1,x2，用式子表示你发现的规律.（x1+x2=-p,x1·x2=q）
2.完成下列表格
第2页 共4页
问题 上面发现的结论在这里成立吗？（不成立）
请完善规律：
①用语言叙述发现的规律：（两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根
之积为常数项与二次项系数之比）
②设方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2，用式子表示你发现的规律.（x1+x2=-,x1·x2=）
二、思考探究，获取新知
通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）这一规律
是否成立？试通过求根公式加以说明.
ax2+bx+c=0的两根,,x1+x2=-,
x1·x2=.
【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系，体会知识形成
的过程，加深对知识的理解.
例1 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：
（1）x2-6x-15=0;
（2）3x2+7x-9=0;
（3）5x-1=4x2.
解：（1）x1+x2=6,x1·x2=-15;
（2）x1+x2=-,x1·x2=-3；
（3）x1+x2=,x1·x2=.
【教学说明】先将方程化为一般形式，找出对应的系数.
例2 已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k的值.
解：另一根为，k=3.
aba
c
aacbbx2421aacbbx2
422
a
b
a
c
3
7
454
1
2
3
第3页 共4页
【教学说明】本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x=-3代入方程先求k，再求
另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.
例3 已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根，不解方程，求下列代数式的值.
三、运用新知，深化理解
1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积:
（1）x2-3x=15
（2）5x2-1=4x2
（3）x2-3x+2=10
（4）4x2-144=0
（5）3x（x-1）=2（x-1）
（6）（2x-1）2=（3-x）2
2.两根均为负数的一元二次方程是（ ）
A.7x2-12x+5=0
B.6x2-13x-5=0
C.4x2+21x+5=0
D.x2+15x-8=0
【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根
之积为正数.
【答案】1.（1）x1+x2=3,x1x2=-15
（2）x1+x2=0,x1x2=-1
（3）x1+x2=3,x1x2=-8
（4）x1+x2=0,x1x2=-36
（5）x1+x2=,x1x2=
（6）x1+x2=-,x1x2=-
353
2
323
8
第4页 共4页
2.C
【教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评.
四、师生互动，课堂小结
1.一元二次方程的根与系数的关系.
2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.
本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的
根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑
思维能力.