利用隐函数定理解高考中二次曲线的切线问题
隐函数求导几何应用
隐函数求导几何应用隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它在几何学中也有广泛的应用。
本文将以实际例子为基础，详细介绍隐函数求导在几何学中的应用。
一、平面曲线的切线与法线考虑一个平面曲线 $y=f(x)$，我们想要求出它在点 $(x_0,y_0)$ 处的切线和法线。
首先，我们需要知道切线和法线的斜率。
对于切线来说，斜率可以直接通过 $f'(x_0)$ 求得；而对于法线来说，斜率则是切线斜率的相反数。
但是，在某些情况下，我们并不知道 $y=f(x)$ 的显式表达式。
这时候就需要使用隐函数求导了。
假设我们有一个曲线方程 $F(x,y)=0$，其中 $F$ 是一个连续可微的函数。
那么，在点 $(x_0,y_0)$ 处，曲线的切线斜率可以通过以下公式得到：$$-\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0)\div \frac{\partial F}{\partialy}(x_0,y_0)$$同样地，曲线在该点处法线斜率为：$$\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\div \frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0)$$这个公式的推导可以通过隐函数求导的方法得到，但不在本文讨论范围内。
二、曲面的切平面与法线类似地，我们也可以使用隐函数求导来求解曲面在某一点处的切平面和法线。
假设我们有一个曲面方程 $F(x,y,z)=0$，其中 $F$ 是一个连续可微的函数。
那么，在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处，曲面的切平面可以通过以下公式得到：$$\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+\frac{\partialF}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+\frac{\partial F}{\partialz}(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)= 0$$同样地，曲面在该点处法线方向为：$$(\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0,z_0), \frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0,z_0), \frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y _ 00,z _ 00)) $$这个公式的推导同样可以通过隐函数求导的方法得到。
两函数公切线问题在高考中的应用
二、 函数图像的公切线的应用
1.求参数的值 例 1 若直线&,0)+1是曲线&2 ln)+2的 切 线 ， 也是曲 线&= ln()+ l )的切线， 则1=_______ . 解 ：设 直 线 &20)+1与 曲 线 &= ln)+2相 切 于 点 * ()(，
ln)(+2).由&= ln)+2得& ’ =丄 ， 故0 = 丄 ， 因此该切线可以表
， + " ) 上单调
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递增.画出（） )的图像， 如图 1. ， 结合图像可知， 当a< 1+ ^ — 时， 有一条公切线;当 a= 1+ ^ — 时， 有两条公切线;当 a>1 + ^ — 时， 有三条公切线. 5■ 解 决 一些存在性问题
例 5 / ( ) =" () - 丄 ） - 21+)与 0 ())=)2的图像在其公
高中 版 十 炎 ， ？
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解法探究_____________________________________
2017年 8 月
两个切点之间的线段称为公切线段取什么值时， C #和 $ 有且仅有一条公切线？写出此公切线方程.
解 法 1!设直线&与抛物线 Cl Iy ()2+2)相切于点+
调递减， 在（
求出切线方程.
ln) l+l
)2+l
+ ln()2+ l )
2 求参数范围 例2 若曲线 C l :&=)2 与曲线 C 2 :&=5)( a >0 )存在公共 切线， 则5的取值范围是________ . 解:设公切线与曲线 Cl切于点 U ， )2)， 与曲线 C 2 切于 点（ )2,5)〇.又由曲线Cl 得 &’ =2)， 曲 线 C2 得 2)l=ae^ ^ D l )2-)l 将 w =2)l代 人 得 )2-)l 所 以
高考数学抛物线中的切线问题(解析版)
抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线x 2=2py p ≠0 ,可以化为函数y =x 22p,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用Δ=0求解.【例1】(2023届河南省新未来高三上学期联考)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ,直线l 1,l 2都经过点P -p2,0 ．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l 1,l 2分别与抛物线C 依次交于点E ,F 和G ,H ,直线EH ,FG 与抛物线准线分别交于点A ,B ,证明：PA =PB ．【解析】(1)设经过点P -p 2,0 的直线为l ：y =k x +p2 ,由y 2=2px y =k x +p 2消去y ,得k 2x 2+k 2-2 px +k 2p 24=0,Δ=k 2-2 2p 2-4×k 2⋅k 2p 24=4p 2-k 2+1 ,当直线l 与抛物线C 相切时,Δ=0,∵p >0,∴k =±1,所以x 2-px +p 24=0,解得x =p 2,∴切点为p 2,p ,p 2,-p ,又∵两切点间的距离为4,∴2p =4,即p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设点E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ,G x 3,y 3 ,H x 4,y 4 ,设直线l 1：x =k 1y -1,直线l 2：x =k 2y -1,联立y 2=4x x =k 1y -1 消去x ,得y 2-4k 1y +4=0,则y 1y 2=4,同理,y 3y 4=4,故y 1=4y 2,y 4=4y 3,直线EH 的方程为y -y 1y 4-y 1=x -x 1x 4-x 1,令x =-1,得y A -y 1y 4-y 1=1-y 214y 244-y 214,整理得y A =y 1y 4-4y 1+y 4,同理,y B =y 2y 3-4y 2+y 3,所以y A =4y 2⋅4y 3-44y 2+4y 3=4-y 2y 3y 2+y 3=-y B ,∴PA =PB ．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线x 2=2py 在其上一点P x 1,y 1 处的切线方程,可先把x 2=2py 化为y =x 22p ,则y =xp,则抛物线x 2=2py 在点P x 1,y 1 处的切线斜率为x 1p ,切线方程为y -y 1=x1px -x 1 .【例2】(2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考)在直角坐标系xoy 中,已知抛物线C :x 2=2py p >0 ,P 为直线y =x -1上的动点,过点P 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,当P 在y 轴上时,OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.【解析】(1)当P 在y 轴上时,即P 0,-1 ,由题意不妨设A x 0,y 0 x 0>0 则B -x 0,y 0 ,设过点P 的切线方程为y =kx -1,与x 2=2py 联立得x 2-2pkx +2p =0,由直线和抛物线相切可得Δ=4p 2k 2-8p =0,x 0x 0=x 20=2p ,所以x 0=2p 由x 20=2py 0得y 0=1,∴A 2p ,1 ,B -2p ,1 ,由OA ⊥OB 可得2p ⋅-2p +1×1=0,解得p =12,∴抛物线C 的方程为x 2=y ；(2)x 2=y ,∴y =2x ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y -y 1=2x 1x -x 1 ,又x 21=y 1,所以y -y 1=2x 1x -2y 1即2x 1x =y +y 1,同理可得2x 2x =y +y 2,又P 为直线y =x -1上的动点,设P t ,t -1 ,则2x 1t =t -1+y 1,2x 2t =t -1+y 2,由两点确定一条直线可得AB 的方程为2xt =t -1+y ,即y -1=2t x -12 ,∴直线AB 恒过定点M 12,1 ,∴点O 到直线AB 距离的最大值为OM =12 2+1=52.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．【例3】已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,PA ,PB 是C 的两条切线,A ,B 是切点．当AB ∥x 轴时,|AB |=2．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明：|PF |2=|AF |⋅|FB |．【解析】(1)由题意,F 0,p 2 ,当AB ∥x 轴时,将y =p2代入x 2=2py 有x 2=p 2,解得x =±p ,又AB =2故2p =2,解得p =1.故抛物线C 的方程为x 2=2y .(2)由(1),设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +12,联立抛物线方程有x 2-2kx -1=0,故x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-1.又抛物线方程y =12x 2,故y =x ,故切线PA 的方程为y -12x 21=x 1x -x 1 ,即y =x 1x -12x 21,同理可得切线PB 的方程为y =x 2x -12x 22,联立y =x 1x -12x 21y =x 2x -12x 22可得x 1-x 2 x =12x 21-x 22 ,解得x =12x 1+x 2 ,代入y =x 1x -12x 21有y =12x 1x 1+x 2 -12x 21=12x 1x 2,代入韦达定理可得P k ,-12.故当k =0时有l ⊥PF ,当k ≠0时,因为k FP =-12-12k -0=-1k,故k FP ⋅k l =-1,也满足l ⊥PF .故l ⊥PF 恒成立.又k PA ⋅k PB =x 1x 2=-1,故PA ⊥PB .所以∠PAB +∠PBA =90∘,∠PAF +∠APF =90∘,故∠PBF =∠APF ,故Rt △PBF ∼Rt △APF ,故BFPF=PF AF ,即PF 2=AF ⋅BF ,即得证.【例4】已知直线l 过原点O ,且与圆A 交于M ,N 两点,MN =4,圆A 与直线y =-2相切,OA 与直线l 垂直,记圆心A 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)过直线y =-1上任一点P 作C 的两条切线,切点分别为Q 1,Q 2,证明：①直线Q 1Q 2过定点；②PQ 1⊥PQ 2．【解析】(1)如图,设A (x ,y ),因为圆A 与直线y =-2相切,所以圆A 的半径为|y +2|．由圆的性质可得|OA |2+|ON |2=|AN |2,即x 2+y 2+4=(y +2)2,化简得x 2=4y ．因为O 与A 不重合,所以y ≠0,所以C 的方程为x 2=4y (y ≠0)．(2)证明：①由题意可知Q 1,Q 2与O 不重合．如图,设P (t ,-1),Q 1x 1,y 1 ,则x 21=4y 1,因为y =x2,所以切线PQ 1的斜率为x 12,故x12=y 1+1x 1-t,整理得tx 1-2y 1+2=0．设Q 2x 2,y 2 ,同理可得tx 2-2y 2+2=0．所以直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,所以直线Q1Q 2过定点(0,1)．②因为直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,由tx -2y +2=0,x 2=4y ,消去y 得x 2-2tx -4=0,所以x 1+x 2=2t ,x 1x 2=-4．又PQ 1 ⋅PQ 2=x 1-t x 2-t +y 1+1 y 2+1=x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+tx 1+22+1 tx 2+22+1 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t 2x 1+2 t2x 2+2 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t24x 1x 2+t x 1+x 2 +4=1+t24x 1x 2+t 2+4=0,所以PQ 1⊥PQ 2．三、跟踪检测1.(2023届云南省名校高三上学期月考)已知抛物线E :x 2=2py p >0 的焦点为F ,斜率为k k ≠0 的直线l 与E 相切于点A .(1)当k =2,AF =5时,求E 的方程；(2)若直线l 与l 平行,l 与E 交于B ,C 两点,且∠BAC =π2,设点F 到l 的距离为d 1,到l 的距离为d 2,试问：d1d 2是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.【解析】(1)由x 2=2py 得y =x 22p ,则y =x p,令xp =2,则x =2p ,即x A =2p ,y A =2p 22p=2p 则AF =2p +p2=5,所以p =2,故抛物线E 的方程为x 2=4y .(2)设A 2pt 0,2pt 20 ,B 2pt 1,2pt 21 ,C 2pt 2,2pt 22 ,则切线l 的斜率k =2pt 0p=2t 0,则切线l 的方程为：y -2pt 02=2t 0x -2pt 0 ,即y =2t 0x -2pt 20,k BC =2pt 12-2pt 222pt 1-2pt 2=t 1+t 2.直线l 的方程为y -2pt 21=t 1+t 2 x -2pt 1 ,化简得y =t 1+t 2 x -2pt 1t 2,因为l ∥l ,所以t 1+t 2=2t 0,由∠BAC =π2得2pt 12-2pt 022pt 1-2pt 0⋅2pt 22-2pt 022pt 2-2pt 0=-1,则t 1+t 0 t 2+t 0 =-1,即t 1t 2=-1-3t 20,即l :2t 0x -y +2p +6pt 02=0.由F 0,p 2 ,则d 1=3p 2+6pt 20 4t 20+1=3p 2+6pt 204t 20+1,d 2=-p 2-2pt 204t 20+1=p 2+2pt 204t 20+1,所以d 1d 2=3p 12+2t 20 p 12+2t 20 =3.故d1d 2是定值,定值为3.2.(2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：mx +y -1=0经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．【解析】(1)由题意,设抛物线C 的方程为x 2=2py p >0 ,因为直线l :mx +y -1=0经过0,1 ,即抛物线C 的焦点F 0,p2,所以p2=1,解得p =2,所以抛物线C 的方程为x 2=4y .(2)设A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 ,联立方程组x 2=4y mx +y -1=0 ,整理得x 2+4mx -4=0,因为Δ=16m 2+16>0,且x 1+x 2=-4m ,x 1x 2=-4,y 1+y 2=x 214+x 224=x 1+x 2 2-2x 1x 24=4m 2+2,y 1y 2=x 214×x 224=-4 216=1所以AB =y 1+y 2+p =41+m 2 ,由x 2=4y ,可得y =x 24,则y =x 2,所以抛物线C 经过点A 的切线方程是y -y 1=x 12x -x 1 ,将y 1=x 214代入上式整理得y =x 12x -x 214,同理可得抛物线C 经过点B 的切线方程为y =x 22x -x 224,联立方程组y =x 12x -x 214y =x 22x -x 224,解得x =x 1+x 22,y =x 1x 24,所以x =-2m ,y =-1,所以P -2m ,-1 到直线mx +y -1=0的距离d =m ×-2m -1-1m 2+1=2m 2+1,所以△ABP 的面积S =12AB d =12×4×1+m 2 ×2m 2+1=4m 2+1 32,因为m 2+1≥1,所以S ≥4,即当m =0时,S =4,所以△ABP 面积的最小值为4.3.(2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考)已知抛物线C 的焦点是0,14 ,如图,过点D 22,t(t ≤0)作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求证：直线MD ⎳y 轴；(3)以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求|AB |-|MN ||AB |+|MN |的取值范围．【解析】(1)设抛物线的方程为x 2=2py p >0 ,由题意可得p 2=14,所以p =12,所以抛物线方程y =x 2.(2)由(1)y =x 2,因为y =2x ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AD 的方程为y =2x 1x -x 21,直线BD 的方程为y =2x 2x -x 22,联立上述两直线方程,得D 点坐标D x 1+x 22,x 1x 2 ,又因为M 点为线段AB 的中点,所以M 点坐标M x 1+x 22,1-x 1x 2 ,因为x D =x M ,所以直线MD ⎳y 轴：(3)因为点D 22,t (t ≤0),所以x 1+x 22=22,x 1x 2=t ,则M 22,1-t ,圆心22,12,直线AB 的斜率为k =x 21-x 22x 1-x 2=x 1+x 2=2,直线AB 方程为y =2x -t ,y =x 2y =2x -t ,得x 2-2x +t =0,Δ=2-4t ,|AB |=1+k 2⋅Δ=6(1-2t ),圆心到直线AB 的距离为d =1-2t 23,半径r =|MD |2=1-2t2,|MN |=2r 2-d 2=63(1-2t ),令1-2t =m ≥1,|AB |-|MN ||AB |+|MN |=3-m 3+m =-1+6m +3在m ≥1时单调递减,|AB |-|MN ||AB |+|MN |∈-1,12 ．4.(2022届山东省济宁市高三上学期期末)已知抛物线E ：y 2=2px (p >0)上一点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2．(1)求实数p 的值；(2)若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线l 1、l 2,且l 1、l 2的交点为Q ,l 1、l 2与y 轴的交点分别为M 、N ．求△QMN 面积的取值范围．【解析】(1)因为点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2,由抛物线的定义知1+p2=2解得p =2(2)由上问可知,抛物线方程E ：y 2=4x设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2,(y 1≠0,y 2≠0),设l ：x =ty +1,联立y 2=4x x =ty +1 ,得y 2-4ty -4=0,判别式Δ=16t 2+16>0,故t ∈R y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4设l 1：y -y 1=k x -y 214联立方程组y 2=4xy -y 1=k x -y 214,消x 得ky 2-4y +4y 1-ky 21=0,所以Δ=16-4k 4y 1-ky 21 =44-4ky 1+k 2y 21 =0所以k =2y 1则l 1：y -y 1=2y 1x -y 214,即y =2y 1x +y 12,令x =0,得M 0,y 12,同理l 2：y =2y 2x +y 22,N 0,y 22,联立y =2y 1x +y12y =2y 2x +y 22,得交点Q 的横坐标为x Q =y 1y 24=-1,∴S △QMN =12MN ⋅x Q =12y 12-y 22×1=14y 1+y 2 2-4y 1y 2=t 2+1≥1∴△QMN 面积的取值范围是1,+∞ ．5.(2022届百校联盟高三上学期12月联考)已知曲线C 上任意一点到F 1(-1,0),F 2(1,0)距离之和为433,抛物线E ：y 2=2px 的焦点是点F 2.(1)求曲线C 和抛物线E 的方程；(2)点Q x 0,y 0 x 0<0 是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求△QMN 的面积的取值范围．【解析】(1)依题意,曲线C 是以F 1(-1,0),F 2(1,0)为左右焦点,长轴长为433的椭圆,则短半轴长b 有b 2=232-12=13,曲线C 的方程为：x 243+y 213=1,即3x 24+3y 2=1,在y 2=2px 中,p 2=1,即p =2,所以曲线C 的方程为：3x 24+3y 2=1,抛物线E 的方程为：y 2=4x .(2)显然,过点Q 的抛物线E 的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：y -y 0=k (x -x 0),由y -y 0=k (x -x 0)y 2=4x消去x 并整理得：k4⋅y 2-y +y 0-kx 0=0,依题意,Δ=1-k (y 0-kx 0)=x 0k 2-y 0k +1=0,设二切线斜率为k 1,k 2,则k 1+k 2=y 0x 0,k 1k 2=1x 0,设斜率为k 1的切线所对切点M (x 1,y 1),斜率为k 2的切线所对切点N (x 2,y 2),因此,y 1=2k 1,y 2=2k 2,于是得M 1k 21,2k 1 ,N 1k 22,2k 2 ,NM =1k 21-1k 22,2k 1-2k 2,直线MN 上任意点P (x ,y ),MP =x -1k 21,y -2k 1,由MP ⎳NM 得：2k 1-2k 2 x -1k 21 -1k 21-1k 22y -2k 1 =0,化简整理得：2x -k 1+k 2k 1k 2y +2k 1k 2=0,则直线MN 的方程为：2x -y 0y +2x 0=0,点Q 到直线MN 的距离d =|4x 0-y 20|4+y 2,|MN |=1k 21-1k 222+2k 1-2k 2 2=1k 1-1k 2 21k 1+1k 22+4 =k 1+k 2k 1k 22-4k 1k 2k 1+k 2k 1k 2 2+4 =(y 20-4x 0)(y 20+4),则△QMN 的面积S △QMN =12|MN |⋅d =12⋅(y 20-4x 0)(y 20+4)⋅|4x 0-y 20|4+y 20=12(y 20-4x 0)32,而点Q x 0,y 0 x 0<0 在曲线C 上,即y 20=13-14x 20,-23≤x 0<0,y 20-4x 0=-14x 20-4x 0+13在x 0∈-23,0 上单调递减,当x 0=0时,(y 20-4x 0)min =13,当x 0=-23时,(y 20-4x 0)max =83,于是有13<y 20-4x 0≤83,则39<(y 20-4x 0)32≤164123,有318<S △QMN ≤84123所以△QMN 的面积的取值范围是318,84123.6.(2022届四川省达州高三上学期诊断)过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当△ABD 的面积是32时,求点A 坐标.【解析】(1)设动圆圆心坐标为x ,y ,因为过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切,可得-x 2+y -1 2=y +1 ,化简得x 2=4y ,即动圆圆心的轨迹方程C ：x 2=4y .(2)设动点A x 0,-1 ,根据题意过点A 作曲线C 的切线斜率存在,设为k k ≠0 ,所以切线方程为y =k x -x 0 -1,联立方程组x 2=4y ,y =k x -x 0 -1 ,整理得x 2-4kx +4kx 0+4=0,且Δ=k 2-kx 0-1=0,因为k 2-kx 0-1=0有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为k 1,k 2,所以k 1+k 2=x 0,k 1k 2=-1,切线y =k 1x -x 0 -1交x 轴于点B x 0+1k 1,0 ,切线y =k 2x -x 0 -1交x 轴于点D x 0+1k 2,0 ,所以S △ABD =12x 0+1k 1-x 0-1k 2×1=12k 2-k 1k 1k 2=12k 1+k 22-4k 1k 2k 1k 2=32,即12x 02+41=32,解得x 0=±5,所以点A 坐标为5,-1 或-5,-1 .7.(2022届四川省成都市高三上学期考试)已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F .且F 与圆M :x 2+y +42=1上点的距离的最小值为4.(1)求抛物线的方程；(2)若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求△PAB 面积的最大值.【解析】(1)抛物线C 的焦点为F 0,p 2 ,FM =p2+4,所以,F 与圆M :x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为p2+4-1=4,解得p =2；所以抛物线的方程为x 2=4y .(2)抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =x 24,对该函数求导得y =x 2,设点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,P x 0,y 0 ,直线PA 的方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x2-y 1,即x 1x -2y 1-2y =0,同理可知,直线PB 的方程为x 2x -2y 2-2y =0,由于点P 为这两条直线的公共点,则x 1x 0-2y 1-2y 0=0x 2x 0-2y 2-2y 0=0,所以,点A 、B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0,所以,直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0,联立x 0x -2y -2y 0=0y =x 24,可得x 2-2x 0x +4y 0=0,由韦达定理可得x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=4y 0,所以AB =1+x 022⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+x 022⋅4x 20-16y 0=x 20+4 x 20-4y 0点P 到直线AB 的距离为d =x 20-4y 0x 2+4,所以,S △PAB =12AB ⋅d =12x 20+4 x 20-4y 0 ⋅x 20-4y 0x 20+4=12x 20-4y 0 32,∵x 20-4y 0=1-y 0+4 2-4y 0=-y 20-12y 0-15=-y 0+6 2+21,由已知可得-5≤y 0≤-3,所以,当y 0=-5时,△PAB 的面积取最大值12×2032=205.8.(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ,准线与x 轴交于D点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA ⋅FB =FA +FB .(1)求抛物线C 的方程；(2)设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF ⊥x 轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.【解析】(1)解：设过点F 的直线方程为y =k x -p2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立y =k x -p2 y 2=2px,得k 2x 2-pk 2+2p x +k 2p 24=0,则x 1+x 2=pk 2+2p k 2,x 1⋅x 2=p 24,所以FA +FB =x 1+p 2+x 2+p 2=2pk 2+2pk 2,FA ⋅FB =x 1+p 2 x 2+p 2 =p 22+p 2k 2+2 2k 2,因为FA ⋅FB =FA +FB ,所以2pk 2+2p k 2=p 22+p 2k 2+2 2k 2,化简得p 2-2p 1+1k2 =0,所以p =2,当过点F 的直线斜率不存在时,则FA =FB =p ,故FA +FB =2p ,FA ⋅FB =p 2,又因为FA ⋅FB =FA +FB ,则p 2=2p ,所以p =2,综上所述,p =2,所以y 2=4x ；(2)证明：不妨设点P 在第一象限,则P 1,2 ,D -1,0 ,F 1,0 ,设直线PQ 的方程为y -2=m x -1 ,m ≠0,Q x 3,y 3 ,联立y -2=m x -1 y 2=4x ,消元整理得m 24y 2-y -m +2=0,则2+y 3=4m ,即y 3=4-2mm 故x 3=2-m 2m 2,即Q 2-m 2m 2,4-2m m,当y =0时,x =-2m +1,则G -2m+1,0 ,又因GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,则G 为DE 的中点,所以E -4m+3,0 ,则直线PE 的斜率为24m-2=m2-m ,因为直线PE 平行直线l ,所以直线l 的斜率为m2-m,故直线l 的方程为y -4-2m m =m 2-m x -2-m 2m 2,即y =m 2-m x +2-m m ,联立y =m 2-m x +2-mm y 2=4x,消元整理得m 42-m y 2-y +2-m m =0,Δ=1-4×m 42-m⋅2-mm =0,所以直线l 与抛物线只有一个交点,有直线l 斜率不为0,所以l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线C :x 2=2py ,点M -4,4 在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点．(1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为-2,-1 ,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,是否存在常数λ使得k 1+k 2=λk 3．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．【解析】(1)因为M -4,4 在抛物线C 上,所以-4 2=8p ,所以p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =14x 2,则y =12x ,所以切线的斜率为12×(-4)=-2,所以过点M 的切线方程为y =-2x +4 +4,即y =-2x -4联立y =-2x -4y =0,解得P 点的坐标为-2,0(2)由题意可知过点P 的直线的斜率存在,设为y =kx +2k ,线段OM 所在的直线为y =-x ,联立y =kx +2k y =-x,解得Q 点坐标为-2k k +1,2kk +1,所以k 3=2k k +1+1-2k k +1+2=3k +12设A x 1,x 214 ,B x 2,x 224,联立y =kx +2kx 2=4y ,得x 2-4kx -8k =0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8k ．则k 1+k 2=x 214+1x 1+2+x 224+1x 2+2=14x 1x 2x 1+x 2 +x 1+x 2 +12x 21+x 22 +4x 1x 2+2x 1+x 2 +4=-8k 2+4k +1216k 2+16k +4-8k +8k +4=12k +44=3k +1所以k 1+k 2=2k 3,即存在λ=2满足条件．10.如图,已知A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 为二次函数y =ax 2(a >0)的图像上异于顶点的两个点,曲线y =ax 2在点A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 处的切线相交于点P x 0,y 0 .(1)利用抛物线的定义证明：曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x 1､x 0､x 2成等差数列,y 1､y 0､y 2成等比数列；(3)设抛物线y =ax 2焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：∠BPH =∠APF .【解析】(1)证明：令F 0,14a ,直线l ：y =-14a,曲线y =ax 2上任意一点P x 0,ax 02,又a >0,则点P x 0,ax 02 到直线l 的距离d =ax 02+14a,则PF =x 02+ax 02-14a 2=x 02+ax 02 2-x 022+14a 2=ax 02 2+x 022+14a 2=ax 02+14a 2=ax 02+14a =ax 02+14a=d ,即曲线y =ax 2上任意一点到点F 0,14a 的距离与到直线l ：y =-14a的距离相等,且点F 0,14a 不在直线l ：y =-14a上,所以曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为y =ax 2,焦点坐标为F 0,14a,准线方程为y =-14a；(2)解：对于y =ax 2,则y =2ax ,所以y |x =x 1=2ax 1,y |x =x 2=2ax 2,即过点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 的切线方程分别为y -y 1=2ax 1x -x 1 、y -y 2=2ax 2x -x 2 ,又y 1=ax 12,y 2=ax 22,所以y =2ax 1x -ax 12、y =2ax 2x -ax 22,由y =2ax 1x -ax 12y =2ax 2x -ax 22 ,解得x =x 1+x 22y =ax 2x 1,即P x 1+x 22,ax 2x 1 ,即x 0=x 1+x 22,y 0=ax 2x 1,又y 02=a 2x 22x 12=y 1⋅y 2,所以x 1、x 0、x 2成等差数列,y 1、y 0、y 2成等比数列；(3)解：由(2)可知k BP =2ax 2,k AP =2ax 1,F 0,14a ,所以k PF =y 0-14ax 0=ax 2x 1-14a x 1+x 22,如图,设AP ,PF ,PB 与x 轴分别交于点C 、D 、E ,则tan ∠ACx =2ax 1,tan ∠BEx =2ax 2,tan ∠FDx =ax 2x 1-14ax 1+x 22,又∠BPH =π2-π-∠BEx =∠BEx -π2,∠FPA =∠FDx -∠ACx ,所以tan ∠BPH =tan ∠BEx -π2 =-1tan ∠BEx=-12ax 2,tan ∠FPA =tan ∠FDx -∠ACx =tan ∠FDx -tan ∠ACx1+tan ∠FDx tan ∠ACx=ax 2x 1-14a x 1+x 22-2ax11+ax 2x 1-14a x 1+x 22⋅2ax 1=ax 2x 1-14a -2ax 1⋅x 1+x 22x 1+x 22+ax 2x 1-14a ⋅2ax 1=-14a-ax 12x 1+x 22+2a 2x 12x 2-x 12=-14a -ax 12x 22+2a 2x 12x 2=-14a-ax 1212x 2+4a 2x 12x 2 =-1+4a 2x 12 2ax 21++4a 2x 12 =-12ax 2,即tan ∠BPH =tan ∠FPA ,所以∠BPH =∠FPA ；11.已知抛物线x 2=2py (p >0)上的任意一点到P (0,1)的距离比到x 轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求△QAB 重心G 的轨迹方程．【解析】(1)由抛物线的定义可得p =2,∴抛物线的方程为x 2=4y ；(2)由题意可得直线AB 的斜率存在,设其为k ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则直线AB 的方程为y =kx +2；代入抛物线方程得x 2-4kx -8=0,则有x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8,∵y =x 24,∴y=x 2,∴l AQ :y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 12x -x 214①同理可得l BQ :y =x 22x -x 224②,①-②有x 1-x 22 x =x 21-x 224,得x Q =x 1+x 22=2k ,∴y Q =kx 1-x 214=kx 1-y 1=-2．∴Q (2k ,-2)又y 1+y 2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4,设G (x ,y ),则x =x 1+x 2+x Q3=2ky =y 1+y 2+y Q 3=4k 2+23,消k 得y =x 2+23,所以G 的轨迹方程为y =13x 2+23．12.已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ,点P -2,y 0 为抛物线上一点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且△FPQ 的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MF AB为定值．【解析】(1)将P -2,y 0 代入x 2=2py 得,y 0=2p 设抛物线的切线方程为y =k (x +2)+2p,代入x 2=2py 整理得：x 2-2pkx -(4pk +4)=0由题知Δ=4p 2k 2+4pk +4=0,解得k =-2p又y Q =2k +2p ,所以FQ =p 2-2k -2p 所以S △FPQ =p 2-2k -2p =p 2+2p=2,解得p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y(2)记AB 中点为N ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),N (x 3,y 3)设直线AB 方程为y =mx +1,代入x 2=4y 整理得：x 2-4mx -4=0,则x 1+x 2=4m ,x 1x 2=-4所以AB =m 2+1(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4(m 2+1)因为N 为AB 中点,所以x 3=x 1+x 22=2m ,y 3=2m 2+1所以直线MN 的方程为y -(2m 2+1)=-1m(x -2m )则y M =2m 2+3所以MF =2m 2+2所以MF AB =2m 2+24(m 2+1)=1213.(2022届新未来4月联考)已知直线l :x -ky +k -1=0与抛物线C :y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l ⊥x 轴时,|AB |=4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求|OD |的最小值．【解析】(1)当直线l ⊥x 轴时,x =1,代入y 2=2px 解得y =±2p ,∴|AB |=22p =4,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设A x A ,y A ,B x B ,y B ,D x D ,y D ．联立x -ky +k -1=0,y 2=4x ,得y 2-4ky +4k -4=0．∴y A +y B =4k ,y A ⋅y B =4k -4①,∵直线l :x -ky +k -1=0恒过点(1,1),且与抛物线有两个交点,点(1,1)在抛物线上,∴k ≠0,当直线AD 和直线BD 斜率存在时,设直线AD :y =mx +n ,联立y =mx +n ,y 2=4x ,∴my 2-4y +4n =0,Δ=16-4m ⋅4n =0,∴m ⋅n =1,∴y A =2m ,同理,设直线BD :y =ax +b ,则ab =1,y B =2a,联立y =mx +n ,y =ax +b , ∴x D =1am ,y D =1a +1m.由①可知2m +2a =4k ,2m ⋅2a =4k -4,∴1m +1a -2ma=2,即y D -2x D =2,∴点D 在直线2x -y +2=0上．当直线AD 或直线BD 斜率不存在时,即直线l 过原点时,k =1,过原点的切线方程为x =0,易知另外一点为(4,4),过点(4,4)的切线方程设为x -4=t (y -4),联立x -4=t (y -4)y 2=4x,得y 2-4ty +16t -16=0,Δ=16t 2-416t -16 =0,解得t =2,即切线方程y =12x +2．此时交点D 的坐标为(0,2),在直线2x -y +2=0上,故OD 的最小值为原点到直线2x -y +2=0的距离,即25=255．14.过原点O 的直线与拋物线C ：y 2=2px (p >0)交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点P 3p ,0 ,PM ⊥OA ．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =46,②PM =23；③△POM 的面积为62．(1)______,求拋物线C 的方程；(2)在(1)的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q (不与原点O 重合),过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【解析】(1)由题意知直线OA 的斜率存在且不为0,设其方程为y =kx k ≠0 ,由y 2=2px ,y =kx 得x =0,y =0 或x =2p k 2,y =2p k,即O 0,0 ,A 2p k 2,2p k所以线段OA 的中点M p k 2,p k．因为PM ⊥OA ,所以直线PM 的斜率存在,k PM =p kpk 2-3p =k1-3k 2．所以k 1-3k2⋅k =-1,解得k =±22,所以直线OA 的方程为x ±2y =0,A 4p ,±22p ．若选①,不妨令A 4p ,22p ,由OA =46,得4p2+22p 2=46,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选②,因为PM ⊥OA ,PM =23,所以点P 到直线OA 的距离为23,即3p12+±2 2=23,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选③,不妨令A 4p ,22p ,因为OM =12OA =124p 2+22p 2=6p ,点P 到直线OA 的距离PM =3p12+±22=3p ,所以S △POM =12OM ⋅PM =12×6p ×3p =62,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)由题意可知切线BQ 的斜率存在且不为0．设B 0,b b ≠0 ,切线BQ 的方程为y =k 1x +b ,由y =k 1x +b ,y 2=4x得k 1y 2-4y +4b =0,(*)所以Δ=-4 2-4×k 1×4b =0,解得k 1=1b,所以方程(*)的根为y =2b ,代入y 2=4x 得x =b 2,所以切点b 2,2b ,于是k OQ =2b b2=2b ,则k l =-b2,所以直线l 的方程为y =-b 2x +b ,即y =-b2x -2 ,所以当b 变化时,直线l 恒过定点2,0 ．15.已知抛物线x 2=2py (y >0),其焦点为F ,抛物线上有相异两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．(1)若AF ⎳x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；(2)若p =2,且|AF |+|BF |=4,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)抛物线x 2=2py (y >0),焦点坐标为0,p2,因为AF ⎳x ,所以y A =p 2,所以x A =p ,又y =x 22p ,所以y =x p,所以过A 点的切线的斜率k =1,所以切线方程为y -p 2=x -p ,令y =0得x =p2=1,所以p =2,所以x 2=4y(2)若p =2,则抛物线为x 2=4y ,焦点为0,1 ,准线方程为y =-1,因为|AF |+|BF |=4,所以y A +1+y B +1=4,所以y A +y B =2,设直线AB 的方程为y =kx +m ,联立x 2=4y 得x 2-4kx -4m =0,Δ=16k 2+16m >0所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4m ,所以y 1+y 2=kx 1+kx 2+2m =4k 2+2m =2,即m =1-2k 2,所以Δ=16k 2+161-2k 2 >0,解得-1<k <1,当k =0时,直线方程为y =1,则A 2,0 ,B -2,0 ,所以AB 的中垂线恰为y 轴,则C 0,0 ,所以S △ABC =12×4×1=2,当-1<k <1,且k ≠0时,又AB 的中点坐标为x 1+x 22,y 1+y 22 =2k ,1 ,所以AB 的中垂线l 的方程为y =-1kx -2k +1,令y=0得x =3k ,所以C 3k ,0 ,所以C 到AB 的距离d =3k 2+m k 2+1,又AB=k 2+116k 2+16m ,所以S △ABC =12AB d =2k 2+m ×3k 2+m =21-k 2×1+k 2 =21-k 2 1+k 2 2令1-k 2=t ,则t ∈0,1 ,f t =t 2-t 2=t 3-4t 2+4t ,因为f t =3t 2-8t +4=t -2 3t -2 ,所以当t ∈0,23 时f t >0,f t 在0,23 上单调递增,当t ∈23,1 时f t <0,f t 在23,1 上单调递减,所以f t max =f 23 =3227所以S △ABC max =23227=869>2所以S △ABC max =86916.设抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ,点P m ,2 (m >0)在抛物线C 上,且满足PF =3．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过点G 0,4 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ,求三角形PQG 周长的最小值．【解析】(1)由抛物线定义,得PF =2+p2=3,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为x 2=4y ；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +4,∴联立y =kx +4x 2=4y,消掉x ,得x 2-4kx -16=0,Δ>0,∴x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-16,设A ,B 处的切线斜率分别为k 1,k 2,则k 1=x 12,k 2=x22,∴在点A 的切线方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x 2-x 124①,同理,在B 的切线方程为y =x 2x 2-x 224②,由①②得：x Q =x 1+x 22=2k ,代入①或②中可得：y Q =kx 1-x 214=y 1-4-y 1=-4,∴Q 2k ,-4 ,即Q 在定直线y =-4上,设点G 关于直线y =-4的对称点为G ,则G 0,-12 ,由(1)知P 22,2 ,∵PQ +GQ =PQ +G Q ≥G P =251,即P ,Q ,G 三点共线时等号成立,∴三角形PQG 周长最小值为GP +G P =251+23．17.已知圆C :x 2+y -2 2=1与定直线l :y =-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)已知点P 是直线l 1:y =-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点；②求证：∠PCA =∠PCB .【解析】(1)依题意知：M 到C 0,2 的距离等于M 到直线y =-2的距离,∴动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y =-2为准线的抛物线,设抛物线方程为x 2=2py p >0 ,则p2=2,则p =4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故：动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：x 2=8y ；(2)①由x 2=8y 得：y =18x 2,∴y =14x ,设A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 ,P t ,-2 ,其中x 1≠x 2,则切线PA 的方程为y -18x 21=x 14x -x 1 ,即y =14x 1x -18x 21,同理,切线PB 的方程为y =14x 2x -18x 22,由y =14x 1x -18x 21y =14x 2x -18x 22 ,解得x =x 1+x 22y =x 1x 28 ,∴t =x 1+x 22-2=x 1x 28,即x 1+x 2=2t x 1x 2=-16 ,∵A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 x 1≠x 2 ,∴直线AB 的方程为y -18x 21=18x 22-18x 21x 2-x 1x -x 1 ,化简得y =x 1+x 28x -x 1x 28,即y =t4x +2,故直线AB 过定点0,2 ；②由①知：直线AB 的斜率为k AB =t4,(i )当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y =2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB ；(ii )当直线PC 的斜率存在时,∵P t ,-2 、C 0,2 ,∴直线PC 的斜率k PC =-2-2t -0=-4t ,∴k AB ⋅k PC =t 4×-4t=-1,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB .综上所述：∠PCA =∠PCB 得证.18.设抛物线C ：x 2=2py p >0 ,其焦点为F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF =FP ,FM ⋅FP=2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.【解析】(1)∵PM =PF =FM ,∴△PFM 为等边三角形,∴∠FMP =∠PFM =60°,又FM ⋅FP=FM ⋅FP cos ∠PFM =FM 2cos60°=2,∴FM =2设直线l 交y 轴于N 点,则在Rt △MNF 中∠NMF =30°,NF =1=p ,∴C 的方程为x 2=2y(2)设点Q a ,b a ≠0,b ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又C 的方程为x 2=2y 可化为y =x 22,∴y =x所以过点A 且与C 相切的直线的斜率为x 1,过点B 且与C 相切的直线的斜率为x 2,所以直线QA 的方程为y-y1=x1x-x1,直线QB的方程为y-y2=x2x-x2.又直线QA与QB均过点Q,b-y1=x1a-x1,b-y2=x2a-x2,又x21=2y1,x22=2y2,∴y1=ax1-b,y2=ax2-b,所以直线AB的方程为y=ax-b,联立方程y=ax-b和x2=2y得方程组x2=2y,y=ax-b,消去y得x2-2ax+2b=0,∵b≠0,∴x1≠0,x2≠0,∵x1x2=2b,又S0,b,则直线AS的斜率k1=y1-bx1；直线BS的斜率k2=y2-bx2,∴k1+k2=x1+x2x1x22-bx1x2,∵x1x22-b=0,∴k1+k2=0,所以直线AS与直线BS关于y轴对称.。
知乎奕铭-切线方程系列
切线系列 （一） 从原则上说，应该把椭圆切线，双曲线切线，和抛物线切线放在一起讲，但是，高考解析几何大题中多年不曾出过双曲线的切线问题，而抛物线的切线问题不论是求导还是利用判别式来算都比较轻松，因此单独把椭圆切线方程拿出来讲一下。
首先，我们有一个结论需要记住，这个结论对于切线问题是极其强力的，在小题中直接应用即可：
有余力者可记下面这个一般性的结论：
小题中用当然没问题，但是大题中想用这个结论就出问题了，如果想用这个结论，势必要先证明，常规证明方法是利用判别式为0求得直线与二次曲线有且仅有一个交点，但是想偷鸡的话，又不能这样明目张胆：
只要评卷老师智商还在线，这种写法是不可能给全分的。起码要整理出消元后的一元二次方程形式，以及判别式的表达式，再装模作样化简一下才算蒙混过关。如果先设直线方程是 y=kx+m ，再反过来求出k与m，可能稍微简单一点，但性质差不多，总之绕不过联立之后求判别式这个难关，因此为了便于计算和节约时间，根本就不应该使用判别式法。
最简单直接的办法是隐函数求导，可惜超纲，不会得分，这里介绍一个四两拨千斤的做法，利用基本不等式求椭圆切线：
这个办法求椭圆切线目前为止没有在其他教辅上看到，不过前年在网上的一个论坛里发现有人写过一个类似的解法，因此不敢说独创，只能叫独自发现而已。采用类似的手段，也可以证明双曲线和抛物线的切线方程，但是思路上有一点变化，比如双曲线： 现在有了快速证明切线方程的手段，因此在解析几何大题中见到切线问题，也可以利用这个结论大杀四方，就像前几篇提到的“垂径定理”一样。下一篇展示一下该结论在大题中的具体应用。
（二） 近些年，椭圆的切线问题在高考中一共出现了两次，分别是2018年的江苏卷与2015年的湖北卷，而全国卷觉得对于学生要慈悲为怀，因此近些年出现的两次切线问题都是抛物线的切线问题，并且都是可求导的，随着地方卷纷纷并入全国卷，椭圆的切线问题在高考中出现的可能性也越来越低，因此对于椭圆的切线问题在练习题目的选择上不建议选择技巧性太强或是计算非常复杂的题目，中等难度的题目即可。
妙用“隐函数的导数法”求圆锥曲线的切线方程 精品
妙用“隐函数的导数法”求圆锥曲线的切线方程【摘要】 本文通过隐函数相关理论解决中学数学教学中求圆锥曲线的切线方程问题，以一个小问题为出发点，引出隐函数的导数带来便利之处，由此可以培养高中学生思维能力，学习数学运算技巧，并为高中数学教师研究数学课堂教学提供借鉴。
【关键词】 圆锥曲线 切线 隐函数 导数随着新课程进一步的深入，高中数学课堂教学对教师的专业素质提出了更高的要求，对高中数学教师的数学专业知识容量提出了新的挑战，为此笔者重新对高等数学内容进行学习，寻找高中数学各模块知识在高等数学中的渊源，以更好地有针对地进行课堂教学。
圆锥曲线的切线问题是导数知识与解析几何知识交汇点，也是最近几年高考的热点问题。
如何利用导数这一工具解决此类问题，笔者在此提几点自己看法。
1．问题的提出数学问题是学生学习数学的核心，是学生提高数学素质的媒介，也是教师引导学生学习数学思想，领悟数学思想方法的一个平台。
对数学问题进行适当的变换不仅能拓展学生的知识面，也有利于提高学生的能力，更能让学生体会到新课程大环境下学科思想。
例如在求抛物线的切线方程我们会发现一个有趣的现象。
例1已知抛物线C ：2y x =及C 上一点A （1，1），过A 作C 的切线，求切线方程。
分析：此题若通过直线与抛物线的位置处理方法，很容易就能得出结果；若运用导数的几何意义也不难得到结果：先求出y 关于x 的导数再将A 点的横坐标代入得到切线的斜率2，即所求的切线方程为21y x =-。
变式1 将题中C 的方程改成2x y =。
分析：通过传统求切线方程方法易得1122y x =+；如果运用导数去求呢？学生肯定会发现表示曲线C 的方程不是函数所以也不能求导，怎么办？笔者在教学中得到这样几种解题思路：①在方程C 中将,x y 互换也就是将x 看成关于y 的函数求导即得2x y '=，再在写切线程时也将,x y 互换可得12(1)x y -=-即1122y x =+；②将方程C 改写成两个函数y =y '=因为点A 在x 轴上方，所以斜率为12；③研究②将y =y '=可得12y y'=此时过A 点的切线斜率为12。
高中数学的解析如何运用微分求解曲线的切线方程
高中数学的解析如何运用微分求解曲线的切线方程微分学是数学中的一个重要分支，它主要研究函数的变化规律及其相关性质。
微分的概念和运用在高中数学学习中具有重要的位置，尤其是在求解曲线的切线方程方面。
本文将介绍高中数学中解析的运用，以及如何通过微分求解曲线的切线方程。
一、曲线的解析表示在高中数学中，我们经常使用方程的形式来表示曲线，比如二次函数、三角函数等。
这些方程可以被称为曲线的解析式。
通过解析式，我们可以了解到曲线的特点和性质。
以一元二次函数为例，一个二次函数的解析式可以写为f(x) = ax^2+ bx + c，其中a、b、c为常数，x为自变量。
通过解析式，我们可以得到该二次函数的一些重要信息，如开口方向、顶点坐标等。
二、求解曲线的切线方程在微分学中，我们知道曲线上任意一点处的切线斜率等于该点的导数。
因此，要求解曲线上某点的切线方程，就需要先求出该点的导数。
以一元二次函数为例，假设曲线上某点的横坐标为x0，纵坐标为y0，则该点的切线方程的导数即为该点处的斜率k。
通过求函数的导数，我们可以得到该二次函数的导数式f'(x) = 2ax + b。
根据导数的定义，我们可以得到切线的斜率k = f'(x0) = 2ax0 + b。
结合该点的坐标(x0, y0)，我们可以得到切线的点斜式方程为y - y0 =k(x - x0)。
三、应用实例下面以具体的实例来说明如何通过微分求解曲线的切线方程。
例1：求解函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在点(2, 3)处的切线方程。
首先，求解函数的导数：f'(x) = 4x - 3。
然后，计算导数在点(2, 3)处的值：f'(2) = 4(2) - 3 = 5。
根据导数和给定点，切线的斜率为k = f'(2) = 5。
最后，根据切线的点斜式方程，切线方程为y - 3 = 5(x - 2)，化简可得y = 5x - 7。
例2：求解函数f(x) = sin(x)在点(π/4, √2/2)处的切线方程。
隐函数定理及其应用
隐函数定理及其应用作者：孙海微来源：《新教育时代·教师版》2019年第12期摘要：本文给出了隐函数的定义，隐函数存在唯一性和可微性定理的内容，它们使隐函数定理的应用更具普遍性。
在讨论隐函数的应用时主要对隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用这两个方面的应用做了详细叙述。
关键词：隐函数定理导数几何应用一、隐函数1.隐函数的概念在这之前我们学习过的函数，它们的表达式大部分是自变量的某个式子，如y=cosx，y=x+2等这样的函数叫做显函数。
定义1.1 设，函数F：E→R.对于方程F（x，y）=0，（1）若存在集合，对任意x∈I，有且只有y∈J，使得（x，y）∈E，且使方程（1）成立，则称方程（1）确定了一个定义在I上，值域含于J的隐函数.如方程xy+y-1=0能确定一个定义在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上的隐函数y=f（x）.所以，隐函数必须在确立它的方程以及的成立范围后才有意义.[1]2.隐函数组的概念定义1.2 设有方程组其中F（x，y，u，v）和G（x，y，u，v）为定义在V∈R4上的两个四元函数，若存在平面区域，对于D中每一点（x，y），有唯一的（u，v）∈E，使得（x，y，u，v）∈V，且满足方程组（1-1），则称方程组（1-1）确定了隐函数组u=f（x，y），v=g（x，y）并在D上成立恒等式F（x，y，f（x，y），g（x，y））≡0，G（x，y，f（x，y），g（x，y））≡0.二、隐函数定理下面我们将给出隐函数定理的存在唯一性与可微性，即针对后面研究做好基础准备.[2]1.隐函数存在唯一性定理定理2.1 若函数F（x，y）满足下列条件：（i） F在以P（x0，y0）为内点的某一区域上连续，（ii） F（x0，y0）=0（通常称为初始条件），（iii） F在D内存在连续的偏导数Fy（x，y），（iv） Fy（x0，y0）≠0，证明先证隐函数f的存在性与惟一性由条件（iv），不妨设Fy（x0，y0）>0.由条件（iii）Fy 在D上连续，在点P0的某一封闭的正方邻域，使得在其上每一点都有结果Fy（x，y）>0.（由连续函数的局部保号性）因而，对每个固定的x∈[x0-β，x0+β]，F（x，y），作为y的一元函数，必然在[y0-β，y0+β]上严格增且连续.由初始条件（ii）可知F（x0，y0-β）0.[3]再由的连续性条件（i），又可知道F（x0，y0-β）与F（x0，y0+β）在[x0-β，x0+β]上也是连续的.因此由保号性存在α>0（α≤β），当x∈（x0-α，x0+α）时恒有F（x0，y0-β）0.对（x0-α，x0+α）上每个固定值，同样有，.根據前面已指出的在[y0-β，y0+β]上严格递增并且连续，由介值性定理知，存在惟一的满足.由在（x0-α，x0+α）中的任意性，就能证明存在独一无二的一个隐函数y=f（x），它的定义域为（x0-α，x0+α），值域含于（y0-β，y0+β）.若记U（P0）=（x0-α，x0+α）×（y0-β，y0+β）=，则y=f（x）在U（P0）上满足结论1°的所有要求再证明f的连续性.对于（x0-α，x0+α）上的任意点，.则由上述结论可知.任给ε>0，且ε足够小，使得.由及F（x，y）关于y严格递增，可得.根据保号性，可知存在的某邻域（x0-α，x0+α），使得当时同样有，.因此存在唯一的y，使得F（x，y）=0，即y=f（x），.这就说明了当时，，即在连续.由得任意性，可得f（x）在（x0-α，x0+α）上连续.2.隐函数可微性定理定理2.2 设F（x，y）满足隐函数存在唯一性定理中的条件（i）-（iv），又设在D上还存在连续的偏导数Fx（x，y），则由方程（1）所确定的隐函数y=f（x）在其定义域（x0-α，x0+α）上有连续导函数，且.证明设x与x+△x都属于（x0-α，x0+α），它们所对应的函数值y=f（x）与y+△y=f（x+△x）都含于（y0-β，y0+β）内.由于F（x，y）=0，F（x+△x，y+△y）=0因此由Fx，Fy的连续性以及二元函数中值定理，有0=F（x+△x，y+△y）-F（x，y）=Fx （x+θ△x，y+θ△y）△x+Fy（x+θ△x，y+θ△y）△y其中0注意到式子等号右端是连续函数Fx（x，y），Fy（x，y）与f（x）的复合函数，而且Fy （x，y）在U（P0）上不等于零故有，且f′（x）在（x0-α，x0+α）上连续.三、隐函数定理的应用1.计算导数和偏导数隐函数的导数隐函数求导一般有两种方法.（1）公式法.利用可微性定理中的公式.注意这时当作独立变量处理.（2）两边求导法：方程两边分别求导.注意这时要分清谁是自变量，谁是函数，自变量是相互独立的，函数看作中间变量，用复合函数求导法则求导.例1 设y=f（x）是由方程x2y+3x4y3-4=0所确定的隐函数，求.解方程两边对x求导，得.解得.例2 设z=x2+y2，其中y=f（x）是由方程x2-xy+y2=0所确定的隐函数，求及.解由方程得2x-y-xy′+2yy′=0，两边对x求导，得由z=x2+y2得故.2.几何应用（1）平面曲线的切线与法线设平面曲线由方程F（x，y）=0给出，它在点P0（x0，y0）的某邻域上隐函数定理条件成立，所以在点P0附近所确定的连续可微隐函数y=f（x）（或x=g（y））和方程F（x，y）=0 ，在点P0附近表示相同曲线，从而该曲线在点P0存在切线与法线，其方程分别为y-y0=f′（x0）（x-x0）（或x-x0=g′（y0）（y-y0））与（或）.由于（或），所以曲线F（x，y）=0在点P0的切线与法线方程为切线：Fx（x0，y0）（x-x0）+Fy（x0，y0）（y-y0）=0.法线：Fy（x0，y0）（x-x0）-Fx （x0，y0）（y-y0）=0例4 求2（x3+y3）-9xy=0在点（2，1）的切线与法线.解设F（x，y）=2（x3+y3）-9xy，于是Fx=6x2-9y，Fy=6y2-9x在整个平面上连续，且Fx（2，1）=15≠0，Fy（2，1）=-12≠0.所以，由切线和法线的公式可求曲线在点（2，1）的切线与法线方程分别是15（x-2）-12（y-1）=0 即 5x-4y-6=0，-12（x-2）-15（y-1）=0 即4x+5y-13=0.结语本文从隐函数定理出发，给出了推论隐函数组定理及其证明过程，由此，我们知道了隐函数定理在很多方面都有着广泛的用途，并针对隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用等方面的应用做了系统的论述。
二次函数导数求切线方程
二次函数导数求切线方程【二次函数导数求切线方程】导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
对于二次函数，导数的求解可以帮助我们找到切线的方程，从而更加深入地理解函数在给定点的性质。
本文将从简单到复杂，由浅入深地讨论二次函数导数求切线方程的方法，并分享个人见解和理解。
一、二次函数简介1.概念与特点二次函数是一种形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数的图像是抛物线，通常开口方向由系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.求解切线方程的重要性求解二次函数的切线方程有助于我们分析函数图像的曲率、变化趋势等性质。
切线方程提供了通过给定点的切线，可以帮助我们在特定点上确定及评估函数的变化率。
二、求二次函数导数1.导数的定义导数表示函数在某一点上的变化率，可以视为该点切线的斜率。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以通过求解导数来确定函数在给定点的切线方程。
2.二次函数的导数对于二次函数y=ax^2+bx+c，首先我们需要求出它的导数。
利用导数的定义，我们可以得到二次函数的导数公式为y'=2ax+b。
三、求二次函数的切线方程1.确定给定点要求解二次函数在给定点上的切线方程，首先需要确定给定点的横坐标和纵坐标。
设给定点为P(x0,y0)，其中x0为横坐标，y0为纵坐标。
2.求解切线方程根据导数的定义，我们知道切线的斜率等于函数在给定点上的导数值。
切线方程的斜率k等于导数值，即k=y'(x0)=2ax0+b。
根据切线的一般方程y-y0=k(x-x0)，代入斜率和给定点的坐标，我们得到该二次函数在给定点上的切线方程为y-y0=2ax0+b(x-x0)。
四、个人观点与理解二次函数导数求切线方程是求解函数在给定点上的变化率的一种方法，通过求导可以得到切线的斜率，进而确定切线方程。
这种方法不仅适用于二次函数，还可以推广到其他类型的函数中。
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利用隐函数定理解高考中二次曲线的切线问题
导数给高中数学增添了新的活力，也是高考的热点内容.纵观历
年高考，有很多导数试题与高等数学中的隐函数导数有关.本文是在
高三备考复习中，对近些年来全国和若干省（市）高考数学卷中的把
关题和压轴题做一些简单分析，旨在为备考初等数学与高等数学的衔
接知识方面起抛砖引玉的作用.
一、隐函数定理
设函数F（x，y）在包含（x0，y0）的一个开集上连续可微，并
且满足条件F（x0，y0）=0，Fy（x0，y0）≠0，则存在以（x0，y0）
为中心的开方块D×E（D=（x0-δ，x0+δ），E=（y0-η，y0+η）），
使得（1）对任何一个x∈D，恰好存在唯一的一个y∈E，满足方程F
（x，y）=0.这就是说，方程F（x，y）=0确定了一个从D到E的函
数y=f（x）；（2）函数y=f（x）在D连续可微，它的导数可按下式计
算dydx=-Fx（x，y）Fy（x，y）.
二、问题
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.（Ⅰ）点P（x0，y0）是椭
圆C上一点，求过P点的椭圆C的切线方程；（Ⅱ）点P（x0，y0）
是椭圆C外一点，过P引椭圆C的切线PA、PB，点A、B为切点，求
直线AB的方程.
解：（Ⅰ）根据隐函数定理f′（x）=dydx=-2xa22yb2=-xb2ya2，
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过P的切线斜率k=-x0b2y0a2，
过P的切线方程为y-y0=--x0b2y0a2（x-x0），整理得
x0xa2+y0yb2=1.
（Ⅱ）设切点A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）知切线PA：
x1xa2+y1yb2=1，切线PB：x2xa2+y2yb2=1，由直线PA、PB的交点为
P（x0，y0），所以直线AB的方程为x0xa2+y0yb2=1.
三、推广
命题1 已知圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2.（1）点P（x0，y0）
是圆C上一点，则过P点的圆C的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）
（y-b）=r2.
（2）点P（x0，y0）是圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2外一点，过
P引圆C的切线PA、PB，点A、B为切点，则直线AB的方程为（x0-a）
（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.
命题2 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.（1）点P（x0，
y0）是双曲线C上一点，则过P点的双曲线C的切线方程为
x0xa2-y0yb2=1.（2）点P（x0，y0）是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，
b>0）外一点，过P引双曲线C的切线PA、PB，点A、B为切点，则
直线AB的方程为x0xa2-y0yb=1.
命题3 已知抛物线C：x2=2py（p>0）.
（1）点P（x0，y0）是抛物线C上一点，则过P点的抛物线C
的切线方程为x0x=2p・y0+y2.
（2）点P（x0，y0）是抛物线C：x2=2py（p>0）外一点，过P
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引抛物线C的切线PA、PB，点A、B为切点，则直线AB的方程为x0x=2p
・y0+y2.
四、在高考中的应用
图1【例1】 如图1，以椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为圆
心，分别以a和b为半径作大圆和小圆.过椭圆右焦点F（c，0）（c>b）
作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A.连结OA交小圆于点
B.设直线BF是小圆的切线.（Ⅰ）证明c2=ab，并求直线BF与y轴
的交点M的坐标；（Ⅱ）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明OP・OQ=12b2.
解：（Ⅰ）F（c，0），则A（c，b），所以OA的方程为y=bcx.
由y=bcx，
x2+y2=b2得B（bca，b2a），
则根据隐函数定理，小圆O在B点的切线BF的方程为
bcax+b2ay=b2，又该切线过点F（c，0），
所以c2=ab，M（0，a），
（Ⅱ）由（1）知切线BF的方程为cx+by=ab，
由方程组x2a2+y2b2=1，
cx+by=ab，
得x1x2=a4b-a2b3a3+b3，y1y2=a2b3-a3b2a3+b3，
x1x2+y1y2=a4b-a2b3a3+b3+a2b3-a3b2a3+b3
=a3b（a-b）（a+b）（a2-ab+b2）.
又c2=ab，a2=b2+c2，a2=b2+ab.
a+b=a2b，a-b=b2a.
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x1x2+y1y2=a4b-a2b3a3+b3+a2b3-a3b2a3+b3
=a3b（a-b）（a+b）（a2-ab+b2）=12b2，
所以OP・OQ=x1x2+y1y2=12b2.
图2【例2】 在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1（0，-3）
和F2（0，3）为焦点、离心率为32的椭圆.设椭圆在第一象限的部
分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别
为A、B，且向量OM=OA+OB.求点M的轨迹方程.
解：根据题意，椭圆半焦距长为3，半长轴长为a=ce=2，半短轴
长b=1，即椭圆的方程为x2+y24=1.
设点P坐标为（cosθ，2sinθ）（其中0
所以点M的轨迹方程为（1x）2+（2y）2=1（x>0且y>0）.
评析：例1是过圆上的点作圆的切线，例2是过椭圆上的点作椭
圆的切线，都是研究切线的直线方程，是命题1的应用.
【例3】 如图3，设抛物线方程为x2=2py（p>0），M为直线y=-2p
上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，|AB|=410，求此时抛
物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物
线x2=2py（p>0）上，其中点C满足OC=OA+OB（O为坐标原点）.若
存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）证明：由题意设M（x0，-2p），则根据隐函数定理，
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直线AB的方程为x0x=2p×-2p+y2，即x0x-py+2p2=0.
由x0x-py+2p2=0，
x2=2py得x2-2x0x-4p2=0，①
图3即2x0=x1+x2.
所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x0=2时，
直线AB的方程为2x-py+2p2=0，
方程①即为x2-4x-4p2=0，
因此x1+x2=4，x1x2=-4p2，kAB=2p.
由弦长公式得|AB|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=1+4p216+16p2.
又|AB|=410，所以p=1或p=2，
因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知x1+x2=2x0，则y1+y2=2x20+4p2p.
由题意得C（x1+x2，y1+y2），即C（2x0，2x20+4p2p）.
当x0=0时，则x1+x2=2x0=0，此时，点M（0，-2p）符合题意.
当x0≠0时，设D（x3，y3），由题意可得x23=2py3，
y3-2x20+4p2px3-2x0=-px0，
x0x3+2x02-py3+2x20+4p2p2+2p2=0.
解关于x0，x3，y3的方程组，经验检该方程组无解.
所以x0≠0时，不存在符合题意的M点.
综上所述，仅存在一点M（0，-2p）符合题意.
图4【例4】 设点P（x0，y0）在直线x=m（y≠±m，0
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解：（Ⅰ）设A（xA，yA），N（xN，xN），AN垂直于直线y=x，则，
yA-xNxA-xN=-1，xN=xA+yA2，
N（xA+yA2，xA+yA2）.设G（x，y），则
x=1m+xA+xA+yA23=13m+12xA+16yA，
y=xA+yA2+yA3=16xA+12yA，
解得xA=94x-34y-34m，
yA=-34x+94y+14m，
代入双曲线方程x2-y2=1，并整理得9（x-13m）22-9y22=1，即
G点所在的曲线方程为（x-13m）229-y229=1.
（Ⅱ）设P（m，y0），则根据隐函数定理得
过P的双曲线切线方程为mx-y0y=1，
又M（1m，0）满足上述方程，
A、M、B三点共线.
点评：例3是过抛物线外一点作抛物线的两切线，例4是过双曲
线外一点作双曲线的两切线，都是研究切点弦所在的直线方程，是以
上命题（2）的应用.
五、评析
（1）在近几年高考试题中有关过曲线上点的切线、曲线外一点
引曲线的两切线的切点弦问题出现频率高，而且以压轴题为主.（2）
用隐函数定理解这种题型比用常规方法（判别式法、转化为求导数、
解方程组等）要省事.（3）这种题型具有明显的高等数学背景，它对
进一步学习高等数学来说是非常必须的，具有较好的选拔功能，同时
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也具有导学和导教功能.