三维波动方程正演及模型应用研究
三维波动方程
三维波动方程
近年来，随着莫比乌斯旅行器技术的发展，三维波动方程在科学界和互联网领域中越来越受到重视。
三维波动方程（3D Wave Equation）又称三维Kirchhoff波动方程，是一种基于原点的数学模型，一般用于研究被称为波动的物理现象，比如声音、光等。
这种方程是用来描述一维、二维或三维电磁学波在介质中传播的高级模型，被应用到声学、电磁学、地震学和热力学等多个学科领域中。
三维波动方程在互联网行业发挥着越来越重要的作用，如在图像传输方面，3D Wave Equation可以把原本静态的图片转化为动态的响应帧，使图片显示更加生动活泼，增强用户体验。
此外，三维波动方程也被应用到音频行业，帮助实现更加生动的立体声。
而且，三维波动方程技术可以在全息图像、游戏开发、空间导航等方面实现进一步扩展。
三维波动方程在保证内容质量的同时还保证了高精度度和高稳定性，以更加精确准确的方式模拟物理世界，因此不仅仅在互联网领域具有重要意义，而且在更多领域有着广泛的应用前景。
根据技术发展趋势，三维波动方程将在互联网行业越来越受人关注，并开始发挥更大的作用。
基于三维克希霍夫正演的照明度分析
量分析 。基于照明度分析 的观测系统设计， 其判断观测 系统是否合理的依据为 ： 各种照明能量是否均匀 。
２ 实验 结果及 分 析
实验一 ： 理论倾斜界面模型 ， 模型分为 ３ ： 层 第一层 为倾斜界面， 速度为 １９ｍ／ ￣ ４２ ｓ第二层为倾斜界面 ， 速度 为 ２４ ｍ／ ； 三层 为水 平 界 面 ， 度 为 ２７ｍ／。采 ０３ ｓ第 速 ６Ｏ ｓ
用 ¨。照 明度模 拟是观 测 系统优化设 计所 采用 的一种 正演 方法 。它是观 测 系统优化设 计所 采 用的一
种 新 的分析评 价方 法 。把 三维 波动方程 克希霍 夫积 分 解和 射 线理论 结合起 来 ， 实现 正演模 拟 的 照 明
度模 拟 ， 用于指导和 优化观 测 系统设计 。
５ Ｏ
西 部探 矿工程
２ １ 年第 ｌ ０１ ２期
基 于 三维克 希霍 夫 正 演 的照 明度 分 析
未 睨
（ 西南石 油大学 ，四川 成 都 ６ ００ ） １５０ 摘 要 ： 今 ， 着勘探 对 象的 复 杂 ， 统 的 基 于共 中心 点和 共反 射 点重 合 的 观测 系统 设计 已不 适 现 随 传
来 指 导观 测 系统设 计 。 １５ 炮 点 一面 元 一检 波点对 应 能量分 析 ．
追踪出所有通过 目的层反射 的能量。从射线角度 上讲 ， 一个炮点 和一个 检波点就可 以确定一个地下 面 元， 记录每个炮 一面元一检波点对应的能量 。只有记录 炮 一面元一检波点对应 能量才可以进行真共反射点 能
２１ ０ １年第 １ 期 ２
移。
西部 探矿 工程
５ ｌ
１４ 炮 点入 射能 量分 析 ．
追踪 出所有通过 目的层反射的能量， 叠加当前炮点
含裂隙储层模型数值模拟对比分析
0引言地层介质中，孔隙作为一种储存空间，是油气资源运移或者扩散的重要通道，控制油气资源的产能。
深部介质受到上覆介质的压力，水平或者接近水平的裂隙空间被压实，高角度或者垂直的裂隙空间得到保留，HTI 模型是与高角度裂隙特别是垂直裂隙相适应的等效地质模型。
含裂隙岩石模型的发展大致经历了建立含裂隙储层模型、建立含裂隙储层模型的理论基础、含裂隙储层数值模拟3个阶段。
第一阶段，韩媛媛[1]对Eshelby 等效介质模型进行了综合论述和模型建立（如图1所示）。
图1 Eshelby等效介质模型第二阶段，在各向同性介质的背景下，加入单一结构裂隙（如定向排列的垂直或平行裂隙）和多元结构裂隙（如同时存在多个单一结构的裂隙系统），但各向同性的背景在实际地质应用中不占优势，对各向异性背景的研究更有价值[2]。
第三阶段，用数值模拟方法研究各种含裂隙模型的响应特征和适用范围[3]，常见的数值模拟方法有波动方程法和有限差分法[4]。
熊晓军等[5]用三维波动方程对缝洞地质模型进行了数值模拟。
本文采用波动方程方法对Hudson 模型和Cheng 模型进行数值模拟，比较、分析模型的优、缺点及适用范围，为研究含裂隙储层AVO 响应特征提供模型参考。
1裂隙储层等效模型分析1.1Hudson 模型Hudson [6-7]用椭球状裂隙近似模拟岩石介质中的扁平状裂隙，发展了含裂隙介质中的弹性波场理论。
Hudson 模型的假设有4点。
第一，弹性波的波长远大于定向排列的裂隙尺度。
第二，裂隙分布稀疏、均匀，裂隙所占比重小。
第三，裂隙分布不连续，每一个椭球状的裂隙彼此独立。
第四，裂隙厚度超过裂隙长度。
对于具有三轴对称的横向各向同性材料，弹性刚度张量由c 11、c 13、c 33、c 44、c 66 5个独立的弹性常数表示：=66444433131313111213121100000000000000000000000c c c c c c c c cc c c c（1）其中，c 12=c 11-2c 66。
三维波动方程的解法
三维波动方程的解法随着科技的发展，数字化软件的使用越来越广泛，计算机模拟已经成为了许多领域中不可或缺的重要工具，如气象预报、油气勘探、地震预测等。
在这些领域中，三维波动方程的解法是一项至关重要的任务，本文将介绍一些常见的解法。
一、有限差分法有限差分法是一个经典的数值解法，其基本思路是对微分方程进行离散化处理，然后求解离散化方程组。
在三维波动方程中，有限差分法的思路是将连续的空间进行网格化，将时间轴分成若干个时间步长。
这样，在每个时间步长内，将每个空间点一一计算，从而得到下一个时间步长的解。
有限差分法的优点是简单易懂，方便实现，但是它的精度可能会受到差分步长的影响，因此需要注意选择适当的差分步长。
二、有限元方法有限元方法是一类广泛应用于各个领域的数值分析方法，它的基本思路是将求解区域分割成若干小单元，然后通过求解每个小单元内的问题，从而得到整个求解区域的解。
在三维波动方程中，有限元方法可以将求解区域分割成若干四面体单元或者六面体单元。
通过计算每个单元的刚度矩阵和质量矩阵，可以得到离散化的三维波动方程。
然后通过求解离散化方程组，就可以得到整个求解区域的解。
有限元方法的优点是可以适应复杂的求解区域，精度高、收敛速度快。
当然，它的复杂度也比有限差分法高一些，需要更多的计算资源。
三、边界元法边界元法是一种利用边界条件而不是体系方程求解问题的方法，它的基本思路是将求解区域的边界分解成若干离散的小元素，然后通过求解每个小元素之间的关系，从而得到整个求解区域内部的解。
在三维波动方程中，边界元法可以将求解区域的边界分解成若干小面单元，然后通过求解相邻面积之间的关系，从而得到三维波动方程的解。
边界元法的优点是可以减少求解区域的离散化，大大降低了计算量。
然而，边界元法需要求解每个小元素之间的关系，该关系矩阵中存在一个对角主元，会导致矩阵的条件数很大，因此需要特殊的算法来求解。
结语：三维波动方程的解法有许多种，但是每种方法都有自己的优缺点。
三维波动方程有限差分正演方法
三维波动方程有限差分正演方法三维波动方程是描述地震波传播和地震波场的方程，是地震勘探、地震监测等领域中常用的数值模拟方法。
三维波动方程的有限差分正演方法是一种常用的数值解法，通过将连续的偏微分方程离散化，转化为差分方程进行求解，可以得到地震波场的时空分布情况。
∂²P/∂t²=c²(∂²P/∂x²+∂²P/∂y²+∂²P/∂z²)其中，P是地震波场的压力波动，t是时间，c是地震波传播速度，x、y、z是空间坐标。
有限差分正演方法通过离散化空间和时间进行数值求解。
对空间进行离散化，将地震波场的x、y、z坐标分别划分为Nx、Ny、Nz个网格点，其中Nx、Ny、Nz分别表示x、y、z方向的网格数。
对时间进行离散化，将t划分为Nt个时间步长，其中Nt表示时间步数。
将地震波场的压力P表示为P(i,j,k,n)，其中i、j、k表示网格点坐标，n表示时间步长。
在有限差分正演方法中，采用中央差分格式对空间导数进行离散化，采用二阶精度的差分格式对时间导数进行离散化，得到如下差分方程：P(i,j,k,n+1)=2P(i,j,k,n)-P(i,j,k,n-1)+c²Δt²(∂²P/∂x²+∂²P/∂y²+∂²P/∂z²)其中，Δt是时间步长。
上述差分方程可以通过迭代求解，从而得到地震波场的时空分布。
有限差分正演方法的优点是简单、直观，容易编程实现。
但是，由于空间和时间的离散化会引入数值误差，因此需要合理选择网格大小和时间步长，以保证数值解的精度和稳定性。
此外，由于三维方程的求解计算量较大，所以需要进行高效的并行计算。
总结来说，三维波动方程的有限差分正演方法是一种常用的地震波场数值模拟方法，通过离散化地震波场的空间和时间，将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
波动方程数学模型
有关“波动方程”的数学模型
有关“波动方程”的数学模型如下：
波动方程是揭示波动现象奥秘的数学工具，描述了波在时间和空间中的传播行为，并在物理学、工程学等领域得到广泛应用。
无论是声波、电磁波还是水波，波动方程都能揭示它们的传播速度和振幅变化规律。
波动方程的一般形式可以表示为：∂²u / ∂t² = v² ∂²u / ∂x²，其中u表示波的位移或振幅关于时间t和空间位置x（以及可能的其他坐标）的函数，v表示波的传播速度。
这个方程在一维情况下描述了波沿着x轴正向传播且保持形状不变，而在二维或三维情况下，则需要考虑更多维度上的变化。
此外，波动方程还可以通过差商代替微商的方式进行表述，例如向前差商和二阶差商等。
总之，波动方程是理解和研究波动现象的重要工具，其数学模型为我们提供了深入探索波动行为本质的基础。
三维波动方程有限差分正演方法
三维波动方程有限差分正演方法三维波动方程有限差分正演方法是地球物理勘探领域中常用的数值计算方法之一，其主要应用于地震波传播与反演等领域。
一、三维波动方程有限差分正演方法原理三维波动方程的一般形式可以表示为：\[ \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = \nabla^2 p +f(x,y,z,t) \]其中$p$表示波场，$f(x,y,z,t)$表示源项函数，$\nabla^2$表示拉普拉斯算子。
对于三维波动方程的有限差分正演方法，其基本的数值离散形式如下：\[ \frac{p_{i,j,k}^{n+1} - 2p_{i,j,k}^n + p_{i,j,k}^{n-1}}{\Delta t^2} = c_x^2 \frac{p_{i+1,j,k}^n - 2p_{i,j,k}^n + p_{i-1,j,k}^n}{\Delta x^2} + c_y^2 \frac{p_{i,j+1,k}^n -2p_{i,j,k}^n + p_{i,j-1,k}^n}{\Delta y^2} + c_z^2\frac{p_{i,j,k+1}^n - 2p_{i,j,k}^n + p_{i,j,k-1}^n}{\Delta z^2} + f_{i,j,k}^n \]其中$p_{i,j,k}^n$表示波场在离散网格点$(i,j,k)$处的值，$\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z$分别表示时间和空间的离散步长，$c_x,c_y,c_z$分别表示波速在$x,y,z$方向上的离散形式，$f_{i,j,k}^n$表示源项在离散网格点$(i,j,k)$处的值。
该有限差分正演方法可以通过迭代求解，即根据当前时刻$t^n$的波场值$p_{i,j,k}^n$，计算当前时刻$t^{n+1}$的波场值$p_{i,j,k}^{n+1}$。
在迭代过程中，需要进行边界条件处理和源项的更新等操作，以确保该方法的数值计算精度和稳定性。
基于GPU的三维波动方程有限差分正演
基于GPU的三维波动方程有限差分正演[摘要]三维地震资料的处理和解释都需要有效的三维正演模型予以验证，实际工作中三维地震资料模型较大且结构复杂，在普通的桌面级计算机上难以完成正演运算，必须借助工作站甚至大型机，使其计算成本增加，成为实际生产应用中的瓶颈。
这里将利用GPU技术，研究波动方程正演模拟的高性能计算方法，使之能够满足生产中海量数据处理的需要。
[关键字] 三维声波方程有限差分正演GPU并行计算CUDA0前言三维地震勘探技术是一种信息量大、精度高的石油地球物理勘探方法，并已经在实际生产中大规模应用。
在复杂构造地区，三维资料的处理与解释需要与三维正演理论模型进行对比验证，国内外学者做了大量的研究工作并提出了许多高精度的三维正演算法。
一般来说，正演方法在网格规模快速增长的时候，计算量急速增长，使得普通的桌面级计算机无法承受运算耗时，必须通过工作站和大型机完成运算。
GPU并行运算可以有效降低运算耗时，使大数据量三维正演可以在桌面级计算机上完成。
1 三维有限差分算法的GPU算法三维GPU并行算法的访存模式比较复杂，因为要使用二维线程块逐一计算4个场分量，同一Block的不同线程不能重复利用处于不同面（即不同）网格内的波场值，所以这里的数据不能载入共享存储器。
在TFL模式中，在沿i方向逐步运算的过程中，当前线程会两次利用y和z场分量，因此只能使用寄存器存储当前和上一层的y和z场分量，当前层的波场值在计算过程中逐步转为上一层的波场值。
用方向场值举例递推TFL模式算法步骤如下：（1）存储当前层y、z方向场值，设置其为上一层场值；（2）从全局存储器读取当前层y、z方向场值，将其存储到寄存器；（3）对当前Block中所有线程进行同步；（4）将y、z场值从寄存器读出，将其载入共享存储器；（5）同步当前Block内的所有线程；（6）更新x并写入global存储器；（7）将当前层号加1，返回步骤（l）重复执行上述步骤，直到最后一层；2 数值实验所选测试模型为三维均匀速度模型，网格模型大小为109*109*109，xyz三个方向的网格步长均为1m，时间步长为0.2ms，介质速度为250m/s，有限差分精度为8阶。
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三维波动方程正演及模型应用研究1熊晓军，贺振华，黄德济成都理工大学油气藏地质与开发工程国家重点实验室（610059）E-mail:xiongxiaojun@摘 要：为了真实准确地反映三维地质体的波场特征，在频率-波数域将二维波场延拓算子推广到三维空间，采用三维波动方程延拓方法实现了三维地质模型的快速叠后正演。
该方法采用傅立叶变换进行计算不仅计算迅速，算法稳定，而且可以采用相位移加插值方法处理一定的横向变速的情况，为更加灵活方便地模拟地下复杂的三维地质体提供了一种有效的工具。
作为实例，首先进行了三维French 模型的数值模拟，得到了和实际物理模型实验结果相一致的正演记录，并对比分析了三维偏移剖面和二维偏移剖面的偏移效果，验证了该方法的正确性和适用性。
然后进行了三维缝洞地质模型的正演计算，得到了高信噪比的正演记录，对认识和解释三维缝洞地质体的地震波场特征很有帮助。
关键词：三维地震正演，波动方程，波场延拓，French 模型，缝洞模拟1. 引 言在地震资料采集、处理和解释中通常要进行地震波场的数值模拟，即假设已知地下的地质情况，应用地震波的运动学和动力学的基本原理，计算给定地质模型的地震响应，其对正确认识地震波的运动学和动力学特征，以及准确地分析油气藏的反射波场特征有着重要的指导意义。
常规的正演方法主要有波动方程法和几何射线法两大类[1]。
几何射线法[2]将地震波波动理论简化为射线理论，主要考虑地震波传播的运动学特征，所得的地震波的传播时间比较准确，但是计算结果很难保持地震波的动力学特征，而且对复杂的地质构造会出现盲区。
波动方程法通过求解地震波波动方程，建立地下地震波运动的波场，它包含了地震波传播的所有信息，在地震模拟中占有重要地位。
目前，常规的波动方程正演方法，如有限差分法[3]、积分法[4]以及F-K 域[5]等方法，主要进行二维地质体的数值模拟，而实际的地下构造往往是三维的，因此，十分有必要研究基于三维地质体的数值模拟方法。
本文在二维正演方法的基础上，将二维波场延拓算子推广到三维空间，在频率—波数域进行三维叠后正演模拟。
该方法不仅算法稳定，计算速度快，具有处理一定横向变速的能力，而且可以得到高信噪比的零偏移距正演记录。
2. 方法原理利用波动方程进行地震波场数值模拟的核心是波场延拓，对于垂向变速介质，利用二维标量波动方程，在频率—波数域可以得到各个深度间隔内的相位移延拓的正演和偏移公式[6]， i zi Z ik i x i x e z k P z k P ∆+=),,(),,(1ωω (1)i zi Z ik i x i x e z k P z k P ∆−+=),,(),,(1ωω (2)1 本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金资助课题（SRFDP ）资助，编号：20040616001。
- 1 -)1(22222ωωv k v k x zi −= (3)其中式(1)为二维正演延拓公式，其延拓方向为由下至上，式(2)为二维偏移延拓公式，其延拓方向为由地面向下延拓。
式中表示x k x 方向的波数，表示深度间隔i 内在方向的波数，zi k z ω表示频率，表示当前深度延拓的深度间隔。
z ∆ 本文在上面的二维波场延拓公式的基础上，采用三维波动方程进行计算，将二维波场延拓算子推广到三维空间，得到了以下的垂向变速的三维地质体的正演和偏移成像的波场延拓公式，i zi Z ik i y x i y x e z k k P z k k P ∆+='),,,(),,,(1ωω (4)i zi Z ik i y x i y x e z k k P z k k P ∆−+='),,,(),,,(1ωω (5)))(1(222222'ωωv k k v k y x zi +−= (6)其中式(4)为三维正演延拓公式，(5)为三维偏移延拓公式。
式中表示方向的波数，表示深度间隔i 内在方向的波数。
y k y 'zi k z 当速度横向变换时，本文采用了Gazdag 等人提出的相位移加插值方法[7]的思想，在三维空间选取三个参考速度进行拉格朗日插值计算，这样使该方法具有了更大的适用性。
3. 理论模型计算3.1三维French 模型为了检验本文提出的方法的正确性，我们进行了三维French 模型的数值模拟计算。
为了与原物理模型（参见附图1， French ，1974）有所区别，在原物理模型的上部施加了一个水平层。
图1（a ）是本文采用的French 模型和自激自收的观测系统。
该模型共包含6个地质体，“1”代表自上往下的第一个水平界面，“2”代表自上往下的第二个水平界面，“3”代表自上往下的第三个水平界面，“4”代表斜面，“5”和“6”分别代表两个大小和形态都相同的穹隆。
本次采用的自激自收的观测系统共有128条测线，每条测线包含128个检波点。
图1（b ）是去除第一个水平界面后的平面图，在该图上添加了观测系统的线道号。
图1（c ）是相应的速度模型，为一沿x 方向的垂直切片。
对于穹隆5和6，它们的速度都是3000m/s. 图2是第39号测线的时间剖面图，图中仅包含有一次反射波和绕射波。
从图2（a ）可以看到，似乎L39通过了两个穹隆的近顶部，但是从图1（b ）可以看到，L39仅通过代号为“6”的穹隆。
图2（b ）是该条测线的三维偏移剖面，其实现了正确的偏移归位，这也证明了本文提出的三维波动方程正演方法的正确性。
此外，为了说明三维偏移的效果，我们还对L39的正演记录进行了二维偏移，如图2（c ）所示，图中显示了两个穹隆，与实际不符合，这就造成了解释陷阱。
- 2 -（a）French模型和观测系统（b）去除水平界面1的平面图（c）速度模型，其中穹隆5和6的速度都为3000m/s图1 用于计算的三维模型（a）L39的三维正演记录- 3 -（b）L39的频率—波数域三维波动方程偏移记录（c）L39的频率—波数域二维波动方程偏移记录图2 Line 39的时间剖面图3.2三维French模型（a）三维洞穴模型（b）经过洞穴的水平切片（c）速度模型，其中洞穴体的速度为1000m/s图3 简单的三维洞穴模型图3是一个简化的三维缝洞模型，它采用和图1（a）相同的自激自收观测系统，共有128条测线，每条测线包含128个检波点。
图3（a）由三个地质体组成，“1”代表至上往下的- 4 -第一个水平层界面，“2”代表自上往下的第二个水平层界面，“3”代表位于两个水平层界面之间的洞穴体。
图3（b）是一个经过洞穴体的水平切片，并在该图上标识了观测系统的线道号。
图3（c）是与该三维缝洞模型对应的速度模型，其中洞穴体的速度为1000m/s。
图4（a）是第64号测线的三维正演记录，从图中可以清楚的观察洞穴引起的绕射波和反射波的特征及其影响范围，如CDP45~CDP85之间的圆弧所示。
此外，图中CDP64附近出现了多个强的绕射同相轴，可以解释为洞穴体的其它绕射点综合影响的结果。
图4（b）是第64号测线的三维偏移记录，图中的绕射全部正确归位，缝洞体的形态十分清晰。
图4（c）是第64号测线的反射系数剖面。
通过对比图4（b）和图4(c)，我们验证了本文采用的三维正演和偏移方法的正确性，同时也说明采用该方法进行缝洞地质体识别和研究的可行性。
（a）L64的三维正演记录（b）L64的频率—波数域三维波动方程偏移记录（c）L64的反射系数剖面图4 Line 64的时间剖面图4. 结束语通过理论模型计算的结果表明，本文采用的三维波动方程正演方法是一种切实可行的数- 5 -值模拟方法。
该方法不仅计算速度快，算法稳定，而且可以处理一定的横向变速的情况，具有很大的适用性。
其得到的正演记录仅包含了地震波的反射和绕射特征，信噪比高，而且能够通过常规的偏移方法实现其正确的偏移归位，为今后进一步研究缝洞储层的地震波场响应以及检测和识别缝洞地质体提供了一种新的思路和有效的工具。
参考文献[1] 张永刚. 地震波场数值模拟方法.石油物探，42： 143~148. 2003[2] 张钋，刘洪，李幼铭.射线追踪方法的发展现状.地球物理学进展， 15：36~45. 2000[3] 陈伟. 起伏地表条件下二维地震波场的数值模拟.勘探地球物理进展，42： 26~31. 2005[4] 贺振华，《反射地震资料偏移处理与反演方法》，重庆：重庆大学出版社,1989.5[5] 熊小兵，贺振华.相位移加有限差分法波动方程正演模拟.石油物探，37：22~28. 1998[6] Lai J, Gardner G H. Forward modeling using the PSPI method. Seismic acoustic laboratory, Annual progressreview, 14: 271~300, 1984[7] Gazdag J F, Sguazzero P. Migration of seismic data by phase shift plus interpolation. Geophysics, 49:124~131,19823-D wave equation forward modelingand its application of modelsXiaoJun XIONG ZhenHua HE DeJi HUANG State Key Lab. of Oil and Gas Reservoir Geology and Exploration, Chengdu University ofTechnology, Chengdu 610059, ChinaAbstractTo correctly study the characters of 3D seismic wave-field, the paper extends 2D wave-field extrapolating operator to 3D space in F-K domain, and applies 3D wave equation to realize fast post-stack forward modeling of 3D geologic body. The method has fast calculating efficiency by FFT, stabile algorithm and can handle variable velocity in landscape orientation by PSPI, so it provides a new effective tool for conveniently simulating complex 3D underground geologic body. As the examples, the paper firstly simulates 3D French model, which can get the same results as practical physical model, and tests its correctness and applicability by contrastively analyzing the migrated profiles of 3D and 2D. Then the paper simulates the 3-D geological fractured model and gets its seismic profiles with high S/N, which is helpful for us to recognize and explain the characters of the model’s seismic wave-field.Keywords: 3-D seismic forward modeling, wave equation, wave-field extrapolation, fractured simulation, French mode作者简介：熊晓军，男。