第四章 积分变换法 ppt课件 (2)
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高等数学课件4-3分部积分法
经济应用：在经济学领域，分部积分 法可以用于求解各种经济问题，例如 在宏观经济学、微观经济学等领域， 可以用于求解各种经济问题。
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高等数学课件4-3分部积分法
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 分部积分法的基本 概念
03 分部积分法的计算 步骤
04 分部积分法的应用 实例
05 分部积分法的注意 事项
06 分部积分法的扩展 知识
添加章节标题
分部积分法的基本概念
分部积分法的定义
分部积分法是一种用于求解不定积分的方法
积分顺序：先对u 积分，再对v积分
积分结果：u和v 的乘积减去v的积 分
分部积分法的应用范围
求解一阶微 分方程
求解二阶微 分方程
求解高阶微 分方程
求解常微分 方程
求解偏微分 方程
求解积分方 程
分部积分法的计算步骤
确定被积函数和积分变量
分部积分法的基本思想：将复杂函数分解为简单函数 确定被积函数：选择合适的函数进行分解 确定积分变量：选择合适的变量进行积分 计算步骤：按照分部积分法的公式进行计算 注意事项：选择合适的函数和变量，避免出现错误
不当
注意积分公式 的使用，避免 公式使用错误
注意积分结果 的验证，避免 积分结果错误
注意积分上下限的取值
积分上下限的取值范围要合理，不 能超出函数的定义域
积分上下限的取值要保证积分结果 的正确性，不能出现错误
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积分上下限的取值要满足积分条件， 不能出现无穷大或无穷小
积分上下限的取值要符合实际问题， 不能脱离实际背景
积分变换-2 拉普拉斯变换
f (t + T ) = f (t) t > 0
且 f (t)在一个周期内分段连续，则有 T 1 st F(s) = f (t)e dt (Re s > 0) sT ∫ 0 1 e
2-2 Laplace变换的基本性质 Laplace变换的基本性质
1、线性性质 2、相似性质 3、延迟性质 4、位移性质 5、微分性质 6、积分性质 7、卷积与卷积定理
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
（1）Laplace变换实际上就是一种单边的广 Laplace变换实际上就是一种单边的广 义的Fourier变换。 义的Fourier变换。 （2）Laplace变换的复反演积分公式： Laplace变换的复反演积分公式 复反演积分公式：
1[F(s)] = 1 β + j∞F(s)est ds (t > 0) f (t) = L 2πj ∫β j∞
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
如何克服上述两个缺点？ （1）单位阶跃函数
1, t ≥ 0 H(t) = 0, t < 0 用H(t)乘以 f (t)，这样得到的 f (t)H(t)，在
t < 0时就等于零，在 t ≥ 0 时仍为 f (t) ， 就有可能使其积分区间由 ( ∞,+∞) 变为 [0,+∞)
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
Fourier变换的局限： Fourier变换的局限： （1）绝对可积的条件较强，许多简单的常见函数 （如单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数以及线 性函数等）都不满足这个条件，都不能作古典的 Fourier变换。 Fourier变换。 （2）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 ）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 上有定义，但在物理和无线电技术等实际应用中， 许多以时间t 许多以时间t作为自变量的函数往往在 t <0 时是无意义的或是不需要考虑的，像这样的函数 都不能取Fourier变换。 都不能取Fourier变换。
积分变换法
第三章 积分变换法 一 付立叶变换及性质 1付立叶变换的定义设)(x f 是定义在),(+∞-∞内的实函数，它在任一有限区间],[l l +-上分段光滑，并且在),(+∞-∞内绝对可积，则有付立叶积分=)(x f ⎰⎰∞+∞-∞+∞--ξξλπξλd e f d x i )()(21 定义由式⎰+∞∞--=ξξλλξd e f F i )()(确定的函数)(λF 为函数)(x f 的付立叶变换，记)]([x f Γ=⎰+∞∞--=ξξλλξd ef F i )()(由式了可知：⎰∞+∞--=ξλπλξd e F x f i )(21)(称上式定义的函数)(x f 的函数][λF 的付立叶逆变换，记： ⎰∞+∞---=Γ=ξλπλλξd e F F x f i )(21)]([)(1通常也称][λF 为)(x f 的象函数，)(x f 为][λF 的象原函数。
并且由付立叶积分式有：)()]([1x f x f =ΓΓ-从付立叶及其逆变换的定义来看，求其函数的付立叶变换或逆变换就是要计算一个含以变量的广义积分。
2付立叶变换的性质 (1)线性性质设)(λF ，)(λG 分别是函数)(x f 和)(x g 的付立叶变换，α和β是两任意常数，则有：)]()([x g x f βα+Γ＝)]([)]([x g x f Γ+Γβα(2)微分性质①原函数的微分性 设)(x f 内连续在),(+∞-∞分段光滑，并且当∞→||x 时有0)(→x f ，又)(x f 和)('x f 都绝对可积，则：)]([)](['x f i x f Γ=Γλ②象函数的微分性 若)()]([λF x f =Γ，则)]([)('x ixf F -Γ=λ(3)卷积性质二 付立叶变换在数理方程中的应用因为要求作付立叶的函数需要定义在区间),(+∞-∞内，所以数学物理方程中，通常利用付立叶变换求解无界区域上的定解问题，特别是柯西问题。
复变函数与积分变换
x2
2x ( y 1)2
0
于是有 2x 0
x2 y2 1 0
x 2 y 2 1 2x
x0
x2 y2 1
(x 1)2 y 2 2
它表示在圆 (x 1)2 y 2 2 外且属于左半平面的所有点的集合
定理一
lim f (z) A a ib
zz0
lim u(x, y) a
x x0 y y0
lim v(x, y) b
x x0 y y0
定理二 lim [ f (z) g(z)] lim f (z) lim g(z)
zz0
zz0
zz0
lim [ f (z)g(z)] lim f (z) lim g(z)
例： 指出不等式
0 arg z i
zi 4
中点z的轨迹所在范围。
解： z i x2 y2 1 i 2x z i x2 ( y 1)2 x2 ( y 1)2
因为 0 arg z i , 所以
zi 4
x2 y2 1 x2 ( y 1)2
i
复变函数
设 D 是复平面内的一个集合，对于 D 中的每一个z，按 照一定的规律，在另一个复平面有一个或多个复数w的值 与之对应，则称w为定义在 D 上的复变函数，记做
w f (z) (z D)
注：定义集合D所在的复平面称作z平面，函数值集合f D所在的复平面称作w平 面
单值函数 f(z): 对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。
4
arg(z i) 表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角
的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴
第三章 积分变换法解定解问题PPT课件
办法：
取 f x 上的一段 l x l 为 g x ，将g x 延拓
为以 2 l 为周期的函数后进行付里叶级数展开，然后
取 l ，即得 f x 的付里叶级数展开式
8
结果：
ω为参量
fxA cosxdBsinxd
0
0
非周期函数 f x 实数形式的付里叶积分
A1 fcosd ,B1 fsind
25
函数 f t ，当 t 0 时 f (t) 0
f(p)L [f(t)]f(t)eptdt 0
称为函数 f ( t ) 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为
像函数
f(t) L 1 f(p ) 2 1 π i ii f(p )ep td p , (t 0 )
f t 称为原函数
② 导数 FfxiF,F fx i2F
③ 积分 Fxx0 fdi 1F
④ 相似 Ff ax1aFa
13
⑤ 延迟 F fxx0 e ix0F
⑥ 位移 F eix 0fx F 0
⑦ 卷积 F f 1 x F 1 ,F f2 x F 2
定义卷积 f1xf2xf1f2xd F f1 x f2 x 2F 1 F 2
3
特别是对于无界或半无界的定界问题，用积分变换来 求解，最合适不过了．（注明：无界或半无界的定界问题 也可以用行波法求解）
用积分变换求解定解问题的步骤为：
第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当
的积分变换；
对于自变量在 (, ) 内变化的定解问题
（如无界域的坐标变量） 常采用傅氏变换，而自变量在
L utt= pL ut-u tx,0ppLuux,0 p 2 u
u xx
p2 a2
u
取 f x 上的一段 l x l 为 g x ，将g x 延拓
为以 2 l 为周期的函数后进行付里叶级数展开，然后
取 l ，即得 f x 的付里叶级数展开式
8
结果：
ω为参量
fxA cosxdBsinxd
0
0
非周期函数 f x 实数形式的付里叶积分
A1 fcosd ,B1 fsind
25
函数 f t ，当 t 0 时 f (t) 0
f(p)L [f(t)]f(t)eptdt 0
称为函数 f ( t ) 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为
像函数
f(t) L 1 f(p ) 2 1 π i ii f(p )ep td p , (t 0 )
f t 称为原函数
② 导数 FfxiF,F fx i2F
③ 积分 Fxx0 fdi 1F
④ 相似 Ff ax1aFa
13
⑤ 延迟 F fxx0 e ix0F
⑥ 位移 F eix 0fx F 0
⑦ 卷积 F f 1 x F 1 ,F f2 x F 2
定义卷积 f1xf2xf1f2xd F f1 x f2 x 2F 1 F 2
3
特别是对于无界或半无界的定界问题，用积分变换来 求解，最合适不过了．（注明：无界或半无界的定界问题 也可以用行波法求解）
用积分变换求解定解问题的步骤为：
第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当
的积分变换；
对于自变量在 (, ) 内变化的定解问题
（如无界域的坐标变量） 常采用傅氏变换，而自变量在
L utt= pL ut-u tx,0ppLuux,0 p 2 u
u xx
p2 a2
u
《分部积分法》课件
实例三：求解二重积分
总结词
通过分部积分法求解二重积分
详细描述
二重积分是多元函数积分的常见形式 之一。在实例中，我们将展示如何使 用分部积分法求解一些常见的二重积 分问题，并给出相应的计算过程和结 果。
04
分部积分法的注意事项
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
正确选择u和v函数
总结词
在应用分部积分法时，选择合适的u和v 函数是至关重要的，因为它们将直接影 响积分的计算结果。
VS
详细描述
选择u和v函数时，应确保它们在积分区 间内具有明确的表达式，并且易于计算。 此外，u和v函数的选择应与被积函数的 原函数有关，以便简化计算过程。
注意积分的上下限
总结词
在应用分部积分法时，上下限的确定也是关 键的一步。
v函数
选择一个与u函数相乘后能够简化积分 的函数作为v函数。
计算积分
计算v函数的定积分。 利用分部积分公式计算u和v函数的乘积的积分，得到结果。
验证结果
• 将计算结果与原函数进行比较，验证结果的正确 性。
03
分部积分法的实例解析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
分部积分法的应用场景
总结词
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，特别是当u(x)和v(x)都是多项式 、三角函数、指数函数等基本初等函数时。
详细描述
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，其中u(x)和v(x)都是可微的函数 。在具体应用中，我们通常选择u(x)和v(x) 为易于计算导数和积分的函数，如多项式、 三角函数、指数函数等基本初等函数。通过 合理选择u(x)和v(x)，我们可以将复杂积分 问题转化为多个简单积分问题的和或差，从
积分变换_(Laplace)课件与习题
5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
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练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
复变函数与积分变换第4章4.1收敛数列与收敛级数
n
3
§4.1 复数项级数 第 一、收敛序列 四 章 2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是 解 n P76 析 定理 lim x , lim y . n n n 函 4.1 n 数 zn 证明 必要性 “ ” 的 | zn - a | | yn - | 级 若 lim z n a , 则 e 0 , N , n 数 a | xn - | 表 当 n N 时，| zn - a | e , 示
即得级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛。
9
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 3. 复数项级数收敛的必要条件 定理 设 zn xn i yn , 则 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 . n 解 析 P79 函 证明 由于级数 z 收敛的充要条件是 x 和 y 都收敛， n n n 数 的 而实数项级数 x n 和 yn 收敛的必要条件是： 级 数 lim xn 0 , lim yn 0 等价于 lim zn 0 , 表 n n n 示 因此 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
1 n 1 zn 2 i 2 e n n
i
π n 2
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 定义 (1) 若 | z n | 收敛，则称 z n 绝对收敛。 解 析 P79 (2) 若 | z n | 发散， z n 收敛，则称 z n 条件收敛。 函 数 的 定理 若 | z n | 收敛，则 z n 必收敛。 P80 定理4.4 级 2 2 | z | x y 证明 由 收敛， n n 收敛， n 数 表 2 2 2 2 | x | x y , | y | x y 又 示 n n n n n n,
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§4.1 复数项级数 第 一、收敛序列 四 章 2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是 解 n P76 析 定理 lim x , lim y . n n n 函 4.1 n 数 zn 证明 必要性 “ ” 的 | zn - a | | yn - | 级 若 lim z n a , 则 e 0 , N , n 数 a | xn - | 表 当 n N 时，| zn - a | e , 示
即得级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛。
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§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 3. 复数项级数收敛的必要条件 定理 设 zn xn i yn , 则 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 . n 解 析 P79 函 证明 由于级数 z 收敛的充要条件是 x 和 y 都收敛， n n n 数 的 而实数项级数 x n 和 yn 收敛的必要条件是： 级 数 lim xn 0 , lim yn 0 等价于 lim zn 0 , 表 n n n 示 因此 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
1 n 1 zn 2 i 2 e n n
i
π n 2
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 定义 (1) 若 | z n | 收敛，则称 z n 绝对收敛。 解 析 P79 (2) 若 | z n | 发散， z n 收敛，则称 z n 条件收敛。 函 数 的 定理 若 | z n | 收敛，则 z n 必收敛。 P80 定理4.4 级 2 2 | z | x y 证明 由 收敛， n n 收敛， n 数 表 2 2 2 2 | x | x y , | y | x y 又 示 n n n n n n,