数学物理方法课件-14 积分变换法
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积分变换与微分方程PPT课件
In[4]:=NDSolve[{y’[x]==y[x],y[1]==1},y,{x,0,1}]
Out[4]={{y→InterpolatingFunction[{{0.,1.}},<>]}} 利用图形观察
In[5]:= Plot[Evaluate[y[x]/.NDSolve[{y'[x]==y[x],
第七讲 积分变换与微分方程
• 积分变换
➢ 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换函数
函数名称
意义
LaplaceTransform[expr,t,s]
对expr的拉普拉斯变换
InverseLaplaceTransform[expr,s,t]
对expr的拉普拉斯逆变换
LaplaceTransform[expr,{t1,t2,…},{s1,s2,…}] 对expr的多维拉普拉斯变换
In[9]:=DSolve[{y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[0]==4, y՛[0]==1},y[x],x]
Out[9]={{y[x] → e-2 x (1+3e3x)}}
• 求方程x2y՛՛-2xy՛+2y=3x满足条件y[1]=m, y՛[1]=n的特解
Mathematica命令为
1 F eitd
2
1 F eitd
2
F eitd
1 F e2itd
2
b
2 1n
F
eibt dt
例如 默认情况下的傅立叶变换为
In[4]:=FourierTransform[t^2 Exp[-t^2],t,s]
s2
e4
2 s2
Out[4]= 4 2
以下是纯数学的傅立叶变换
Out[4]={{y→InterpolatingFunction[{{0.,1.}},<>]}} 利用图形观察
In[5]:= Plot[Evaluate[y[x]/.NDSolve[{y'[x]==y[x],
第七讲 积分变换与微分方程
• 积分变换
➢ 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换函数
函数名称
意义
LaplaceTransform[expr,t,s]
对expr的拉普拉斯变换
InverseLaplaceTransform[expr,s,t]
对expr的拉普拉斯逆变换
LaplaceTransform[expr,{t1,t2,…},{s1,s2,…}] 对expr的多维拉普拉斯变换
In[9]:=DSolve[{y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[0]==4, y՛[0]==1},y[x],x]
Out[9]={{y[x] → e-2 x (1+3e3x)}}
• 求方程x2y՛՛-2xy՛+2y=3x满足条件y[1]=m, y՛[1]=n的特解
Mathematica命令为
1 F eitd
2
1 F eitd
2
F eitd
1 F e2itd
2
b
2 1n
F
eibt dt
例如 默认情况下的傅立叶变换为
In[4]:=FourierTransform[t^2 Exp[-t^2],t,s]
s2
e4
2 s2
Out[4]= 4 2
以下是纯数学的傅立叶变换
积分变换 ppt课件
16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为 连 续 函 数 ）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数
第五章 积分变换法
at
1 cos d 0 a at 1 dsin 0 a sinat a
at
1 , at x at 1 sin at F 2a a 0, 其他
5.3 傅里叶变换的应用
本节介绍傅里叶变换在数理方程中的应用，通过积分 变换，可以把偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解 问题，从而得到原问题的形式解。
1 F F1 F2 F1 F2 eit d 2 1 - i f 1 e d f 2 u e -iu du eit d - 2 -
-1
首先证明一阶导数公式成立
Fs f t f t sin ωtdt
0
证明
0
f t sin ωt 0 ω f t cos ωtdt
ωFc f t
其次证明二阶导数公式成立
Fs f t f t sin ωtdt
-
-
1 f1 τ dτ f 2 u e -iωu τ du eit dω 2π - 1 f1 τ dτ f 2 u-τ e -iu du eit dω 2π -
成立，若t是间断点，等式的左端应以 代替。
f t 0 f t 0 2
来
定义1 若函数f(t)满足傅里叶积分定理中的条件，则称函数
F F f t f e i d
为f(t)的傅里叶变换， f(t)称为像原函数，F(ω)称为像函数。 定义F(ω)的傅里叶逆变换为
U , t F u x, t F x F x
假设无穷处边界条件为
1 cos d 0 a at 1 dsin 0 a sinat a
at
1 , at x at 1 sin at F 2a a 0, 其他
5.3 傅里叶变换的应用
本节介绍傅里叶变换在数理方程中的应用，通过积分 变换，可以把偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解 问题，从而得到原问题的形式解。
1 F F1 F2 F1 F2 eit d 2 1 - i f 1 e d f 2 u e -iu du eit d - 2 -
-1
首先证明一阶导数公式成立
Fs f t f t sin ωtdt
0
证明
0
f t sin ωt 0 ω f t cos ωtdt
ωFc f t
其次证明二阶导数公式成立
Fs f t f t sin ωtdt
-
-
1 f1 τ dτ f 2 u e -iωu τ du eit dω 2π - 1 f1 τ dτ f 2 u-τ e -iu du eit dω 2π -
成立，若t是间断点，等式的左端应以 代替。
f t 0 f t 0 2
来
定义1 若函数f(t)满足傅里叶积分定理中的条件，则称函数
F F f t f e i d
为f(t)的傅里叶变换， f(t)称为像原函数，F(ω)称为像函数。 定义F(ω)的傅里叶逆变换为
U , t F u x, t F x F x
假设无穷处边界条件为
数学物理方程课件 积分变换法
设F[ f1(x)] F1(), F[ f2 (x)] F2 (),
则F[ f1(x) f2 (x)] F1() F2 ()
(5)
其中，为常数，逆变换也成立，即
F-1[ F1() F2 ()] f1(x) f2 (x)
(6)
试证明Fourier正弦变换和Fourier余弦变换的公式分别为
Fs1[Fs ()]
f (x)
2
0 fs (x) sin xdx
Fc1[Fc ()]
f
(x)
2
0 fc (x) cos xdx
§4.1.1 Fourier变换法
证明：F () F[ f (x)] f (x)eixdx
i
2
0
Fs
(
)
ei
x
d
(欧拉公式)
即Fourier正弦变换的公式为
f (x) 2
0 Fs () cos xd
§4.1.1 Fourier变换法
例9：证明
x 0 1 x2
sin xdx
2
e
(
0)。
证明：本题直接积分不易计算，考虑到fs
1 l
l l
f (x) cos n
l
xdx, n 0,1, 2,...
bn
1 l
l l
f (x) sin n
l
xdx, n 1, 2,...
§4.1.1 Fourier变换法
二、Fourier变换
设f (x)在(-, )上满足
i)逐段光滑（可导）；
数学物理方程课件第三章行波法与积分变换法
U (,0)
a 2 2U (, t), (), dU (,0)
dt
(),
t0
U (,t) Acosat Bsin at
U (,0) A ()
B () a
U (,t) () cos at () sin at
a
f(x ) F ()e j
x
f()d
F ()
0
j
数学物理方程与特殊函数
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
t2
2a xat
t
P( x, t )
依赖区间
x
x at x at
x x1 at
x x2 at
决定区域
x1
x2
x
t
x x1 at
影响区域
x1
x2
x x2 at
x at C 特征线 x at x at 特征变换
第3章行波法与积分变换法
补充作业： 解定解问题
4
2u t 2
25
2u x2
,
u(
x,
0)
sin
x,
u ( x, t
0)
3x,
y 0, x x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
二 积分变换法
1 傅立叶变换法
傅立叶变换的定义
U (, t) u(x, t)e jxdx
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2a xat
5 达朗贝尔公式的应用
utt
a
u |t0
大学物理-傅里叶积分变换
里叶级数 问题：非周期函数能否展开成傅里叶级数？
设想周期函数的周期 2l 不断增大而趋于无穷，即自 变量每增长无穷，函数才变化一次，当自变量增长为有 限值时，函数并不重复变化，此时它已经转化为非周期 函数。这样，可以把符合一定条件的非周期函数展开成 傅里叶积分。
可以证明： 如果定义在 (–, ) 的函数在任一有限区间上满足
说明：(1) 原函数存在积分运算，像函数中无积分运算；
(2) 积分运算
代数运算 (除法运算)。
证明：令
即 同理，有
，则 g' (x) = f (x)。于是
后 面 的 例 题 会 用 到
)
(
7. 卷积定理
说明： (1) 卷积 f1 (x) * f2 (x) 的定义为
(2) 原函数存在卷积运算
像函数间的普通乘积
3. 积分变换法求解数理方程的基本思想 如果不方便从原函数的方程直接求解，那么可能找
到适当的积分变换，把问题变换成比较简单的求像函数 的定解问题，再通过逆变换把求得的像函数变换成原函 数，从而得到所要求的解。
从物理上讲，经过积分变换后，自变量定义域的类 别也发生了变化。
例：
时间域 t 空间域 r
频率域
U (k, t) (k)ek2a2t t C(k, )ek2a2 (t )d 0
(3) 作像函数的傅里叶逆变换 (10-1-19)
由卷积定理，有
F[ f1(x) f2(x)] F[ f1(x)]F[ f2(x)] f1(k) f2(k)
取上式的傅里叶逆变换，得到 F1[ f1(k) f2 (k)] f1(x) f2 (x) F1[ f1(k)]F1[ f2(k)]
(1 x 1) ( x 1)
x
设想周期函数的周期 2l 不断增大而趋于无穷，即自 变量每增长无穷，函数才变化一次，当自变量增长为有 限值时，函数并不重复变化，此时它已经转化为非周期 函数。这样，可以把符合一定条件的非周期函数展开成 傅里叶积分。
可以证明： 如果定义在 (–, ) 的函数在任一有限区间上满足
说明：(1) 原函数存在积分运算，像函数中无积分运算；
(2) 积分运算
代数运算 (除法运算)。
证明：令
即 同理，有
，则 g' (x) = f (x)。于是
后 面 的 例 题 会 用 到
)
(
7. 卷积定理
说明： (1) 卷积 f1 (x) * f2 (x) 的定义为
(2) 原函数存在卷积运算
像函数间的普通乘积
3. 积分变换法求解数理方程的基本思想 如果不方便从原函数的方程直接求解，那么可能找
到适当的积分变换，把问题变换成比较简单的求像函数 的定解问题，再通过逆变换把求得的像函数变换成原函 数，从而得到所要求的解。
从物理上讲，经过积分变换后，自变量定义域的类 别也发生了变化。
例：
时间域 t 空间域 r
频率域
U (k, t) (k)ek2a2t t C(k, )ek2a2 (t )d 0
(3) 作像函数的傅里叶逆变换 (10-1-19)
由卷积定理，有
F[ f1(x) f2(x)] F[ f1(x)]F[ f2(x)] f1(k) f2(k)
取上式的傅里叶逆变换，得到 F1[ f1(k) f2 (k)] f1(x) f2 (x) F1[ f1(k)]F1[ f2(k)]
(1 x 1) ( x 1)
x
拉普拉斯积分变换 PPT课件
记为 F(s) L f (t)
F(s)称为 f (t)的拉氏变换（或称为象函数）。
2
若F(s)是f (t) 的拉氏变换，则称 f (t) 为F(s)的拉 氏逆变换（或称为象原函数），记为
f (t) L1F(s)
可以看出，f (t) (t 0)的拉氏变换，实际上就是 f (t)u(t)e t 的傅氏变换。
解 Lsin kt sin ktestdt 0
e st s2 k2
(s sin
kt
k
cos kt)
0
s2
k
k2
(Re(s) 0)
同样可得余弦函数的拉氏变换：
Lcoskt
s2
s
k2
(Re(s) 0)
9
例6 求单位脉冲函数 (t) 的拉氏变换。
解
利用性质： f (t) (t)dt f (0) ，有
即
L
t 0
f
(t )dt
1 s
L
f
(t)
1 s
F (s)
这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏 变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s。
20
重复应用积分性质可得：
L
t
dt
t
dt
0
0
n次
t 0
f
(t)dt
1 sn
F (s)
此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数 的积分性质：
L
7
则 f (t) 的拉氏变换
F (s) f (t) est dt 0
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 Re(s) c 的半平面内，F(s)为解析函数。
数学物理方法第十二章积分变换法课件
方程(12.2.4)的通解为
将式(12.2.6)代入式(12.2.5)，可得
将式(12.2.7)与式(12.2.8)联立，解出C1与C2后代入 式(12.2.6) ，可得
(12.2.9)
53
(3)作像函数应
的傅里叶逆变换
第一、三项应用延迟定理 作傅里叶逆变换得
(12.2.10)
54
第二、四项应用延迟定理和积分定理
特别是
证明 将
代入式 (12.1.40)左边，交换积分次序后应用d函数的 傅里叶展开式，便有
41
帕塞瓦尔等式在辐射问题中有着广泛的应用，如 计算切连科夫辐射的电磁能流密度时就会用到
42
【例12.1.5】 求解积分方程
解设 解题的步骤分三步：
(1)作积分方程的傅里叶变换。由卷积的定义
用卷积定理，将积分方程的傅里叶变换写成
可见，只要证明
, 也即证明e-k满足傅
里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)
则本题得证
22
实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练 习．
23
4. d函数的傅里叶展开
d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分
证明 令f(x)=d (x-x’)代入式(12.1.14), 得 将上式代入式(12.1.15) 即有
若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及
f2(x) ，有
27
证明 由定义出发
28
2.延迟定理
设x0为任意常数，则
证明由定义出发，令u=x-x0可得
由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无关(x 是定积分的积分变量) 故 F[f(u)]=F[f(x)] (12.1.30)