6 组合变形-PPT文档资料
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组合变形
Iy
32.2 MPa t
40.2 MPa c
※立柱不满足强度要求
例3：图示矩形截面钢杆,用应变片测得上下表面的 轴向正应变分别为a=1×10-3，b=0.4×10-3,材料的 弹性模量E=210GPa.(1)试绘制横截面上的正应力 分布图；(2)求拉力P及偏心距。 a P P a 25 b 5
S
F
M
a
C
y
1
F
1
Mz Wz
例1 工字梁两端简支，载 荷P=60KN ，若材料 的[σ]=160MPa，试选 择工字钢型号
解：1.分解载荷
Py P s in 2 0 .5 2 K N P Pz P c o s 5 6 .3 8 K N
弯曲(xoy平面) 弯曲(xoz平面)
5 6 .3 8 kN m
C
z
E
例5：短柱的形心为矩形，尺寸为bh，试确定截 面核心 若中性轴与AB边重合： z 中性轴在坐标轴的截距：
A
b B
D a h/6 h C
i
yP
2 z
2 z
ay
h 2
, az
ya y
IZ A
i
2 z
yP
，a z
bh
3
i
2 y
zP
2
12 2 bh 12 h
11.6
A
3
FN
M max WZ
0.2 0.3
FN A
(5.83 5.83) 11.66 MPa
350 10 0.2
2 3
8.75
350 50 6 0.2 0.3
32.2 MPa t
40.2 MPa c
※立柱不满足强度要求
例3：图示矩形截面钢杆,用应变片测得上下表面的 轴向正应变分别为a=1×10-3，b=0.4×10-3,材料的 弹性模量E=210GPa.(1)试绘制横截面上的正应力 分布图；(2)求拉力P及偏心距。 a P P a 25 b 5
S
F
M
a
C
y
1
F
1
Mz Wz
例1 工字梁两端简支，载 荷P=60KN ，若材料 的[σ]=160MPa，试选 择工字钢型号
解：1.分解载荷
Py P s in 2 0 .5 2 K N P Pz P c o s 5 6 .3 8 K N
弯曲(xoy平面) 弯曲(xoz平面)
5 6 .3 8 kN m
C
z
E
例5：短柱的形心为矩形，尺寸为bh，试确定截 面核心 若中性轴与AB边重合： z 中性轴在坐标轴的截距：
A
b B
D a h/6 h C
i
yP
2 z
2 z
ay
h 2
, az
ya y
IZ A
i
2 z
yP
，a z
bh
3
i
2 y
zP
2
12 2 bh 12 h
11.6
A
3
FN
M max WZ
0.2 0.3
FN A
(5.83 5.83) 11.66 MPa
350 10 0.2
2 3
8.75
350 50 6 0.2 0.3
材料力学组合变形
第八章 组合变形
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力
组合变形
M z 440 N m
M y 187 N m
T 1020 N m
合弯矩：
2 M M y M z2 4402 187 2
478N m
第四强度理论：
W
r4
1 W
M 2 0.75T 2
603 109
32
21.2110 6 m3
危险截面: B 截面
T 21.7 N m M 26.7 N m
第三强度理论：
r3
W
1 W
M 2 T 2
T图
21.7 N m
353 109
32
2
4.2110 6 m3
2
r3
8.18MPa
26.7 21.7 4.21106
第四强度理论：
式中: T
r4
危险截面上的扭矩 危险截面上的合弯矩
M
M
实心轴 W
2 2 My Mz
D3
32 D3 空心轴 W 1 4 32
,
例题 8-5 45钢的传动轴AB的直径为35mm，许用应力为 85MPa。电动机功率P = 2.2kW,由带轮C 传入。带轮C转速为 966r/min,带轮的直径为 D = 132mm，带拉力为F+F’ = 600N。齿轮E的 d 节圆直径为： 1 50mm 。
Fz Fz F sin 240 F sin 300 257 N
二、作出轴的弯矩图 和扭矩图
T图
21.7 N m
My 图
7.43N m 20.4 N m 11.4 N m 24.1N m
Mz 图
M y 187 N m
T 1020 N m
合弯矩：
2 M M y M z2 4402 187 2
478N m
第四强度理论：
W
r4
1 W
M 2 0.75T 2
603 109
32
21.2110 6 m3
危险截面: B 截面
T 21.7 N m M 26.7 N m
第三强度理论：
r3
W
1 W
M 2 T 2
T图
21.7 N m
353 109
32
2
4.2110 6 m3
2
r3
8.18MPa
26.7 21.7 4.21106
第四强度理论：
式中: T
r4
危险截面上的扭矩 危险截面上的合弯矩
M
M
实心轴 W
2 2 My Mz
D3
32 D3 空心轴 W 1 4 32
,
例题 8-5 45钢的传动轴AB的直径为35mm，许用应力为 85MPa。电动机功率P = 2.2kW,由带轮C 传入。带轮C转速为 966r/min,带轮的直径为 D = 132mm，带拉力为F+F’ = 600N。齿轮E的 d 节圆直径为： 1 50mm 。
Fz Fz F sin 240 F sin 300 257 N
二、作出轴的弯矩图 和扭矩图
T图
21.7 N m
My 图
7.43N m 20.4 N m 11.4 N m 24.1N m
Mz 图
第 10 章 组合变形
dD=200mm。圆轴的容许应力 100MPa 。试按第四强度理
论求轴的直径。
工学院力学
第 10 章 组合变形
弯曲与扭转的组合
解（一）外力分析
将各力向圆轴的截面 形心简化，画出受力 简图。
受力简图 工学院力学
第 10 章 组合变形
弯曲与扭转的组合
（二）内力分析 画出内力图如图
从内力图分析，B截面
第 10 章 组合受力与变形杆件的强度计算
工学院力学
第 10 章 组合受力与变形杆件的强度计算 §10-1 斜弯曲 §10-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合 §10-3 弯曲与扭转的组合
工学院力学
第 10 章 组合变形
§10-1 斜弯曲
一、 产生斜弯曲的加载条件
斜弯曲
y
Fz
z α
F Fy
当杆件的两个相互垂直的对 称平面内都有载荷作用时， 梁将在两个方向同时发生平 面弯曲，这种弯曲斜弯曲。
一、荷载的分解
Fx F cos
Fy F sin
yx
z
Fx
x
二、任意横截面任意点的“σ”
Fy
F
y
1. 内力：
k z
FN ( x ) Fx F cos
M z ( x ) Fy x F sin x
工学院力学
第 10 章 组合变形
拉伸（压缩）与弯曲的组合
y 二、任意横截面任意点的“σ”
1. 内力：
FN ( x ) Fx F cos
z
M z ( x ) Fy x F sin x
x
Fx
x
Fy
F
y
2. 应力：
k z
论求轴的直径。
工学院力学
第 10 章 组合变形
弯曲与扭转的组合
解（一）外力分析
将各力向圆轴的截面 形心简化，画出受力 简图。
受力简图 工学院力学
第 10 章 组合变形
弯曲与扭转的组合
（二）内力分析 画出内力图如图
从内力图分析，B截面
第 10 章 组合受力与变形杆件的强度计算
工学院力学
第 10 章 组合受力与变形杆件的强度计算 §10-1 斜弯曲 §10-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合 §10-3 弯曲与扭转的组合
工学院力学
第 10 章 组合变形
§10-1 斜弯曲
一、 产生斜弯曲的加载条件
斜弯曲
y
Fz
z α
F Fy
当杆件的两个相互垂直的对 称平面内都有载荷作用时， 梁将在两个方向同时发生平 面弯曲，这种弯曲斜弯曲。
一、荷载的分解
Fx F cos
Fy F sin
yx
z
Fx
x
二、任意横截面任意点的“σ”
Fy
F
y
1. 内力：
k z
FN ( x ) Fx F cos
M z ( x ) Fy x F sin x
工学院力学
第 10 章 组合变形
拉伸（压缩）与弯曲的组合
y 二、任意横截面任意点的“σ”
1. 内力：
FN ( x ) Fx F cos
z
M z ( x ) Fy x F sin x
x
Fx
x
Fy
F
y
2. 应力：
k z
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
工程力学-组合变形
s
强度条件为 nb
n
塑性材料 脆性材料
(2) 概述复杂应力状态下的强度计算：
组合变形的构件内危险点多为二向或三向应力状态。
难以用实验测定各种应力状态而建立强度条件，常常依 据部分实验结果提出假设，推测材料失效的原因，从而 建立强度理论。
5
§14.2 强度理论概论
强度理论 (theory of strength)
(1) 两种失效现象：屈服和断裂
各种材料的强度不足引起的失效现象不同，表现为屈服 和断裂两类。
(2) 衡量变形的程度：
衡量构件受力变形程度的量有应力、应变、能量等。
(3) 强度理论：
根据材料破坏现象和大量的实验资料，人们对强度的失 效提出了各种假说，称为强度理论。
不同的强度理论认为，材料按某种方式（屈服或断裂）
在二向应力状态下， 为两个非零主应力，
则在 为坐标的平面坐标系中， 当 同号时，失效准则为
当 异号时，失效准则为
28
故任意情况下失效准则在 所示。
平面中为六角形，如图
若某一平面应力状态其两个非零主应力
所在的点 M ，落在六来自形区域之内，则该应力状态不会引起屈服。
若点 M 落在六角形边界上，则该应力状态会引起材料 屈服。
本章主要内容：
(1) 介绍几种常见的强度理论； (2) 讨论工程中常见的斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉
（压）、弯扭等组合变形形式的强度计算。
2
第14章 组合变形 (combined deformation)
§14.1 组合变形的概念与分析方法
四种基本变形
拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲。
组合变形 (combined deformation)
组合变形的强度计算PPT演示课件
●组合变形的分析方法
叠加原理 当材料处于线弹性阶段时，杆件上的各种荷载所 引起的内力和基本变形互不影响，即各种内力、应力 和变形、应变是彼此独立的。
可以应用叠加原理，分别计算由各种简单荷载所 产生的应力和变形，然后再进行叠加，即可求得组合 变形杆件上的应力和变形。
●组合变形的分析方法 叠加原理
分解和叠加 分解:将载荷分解成只产生一种基本变形的几组载
M y Fz x Fx sin
计算A(y，z)点的正应力
z
y
A
z
yx
Fz F sin Fz z
x
h
F
Fy y Fy F cos
b
z
F y
l
Mz Fy x Fx cos M y Fz x Fx sin
3.应力计算 (计算A(y，z)点的正应力)
Mz
A
Mz y Iz
Myz Iy
中性轴：
o
z 横截面上正应力为零的点连成的直线
A( y, z)
令 A 0, 则A（y0, z0 )在 中 性 轴 上 ，
F y
A
Mz y0 Iz
M yz0 Iy
0
Mz Fy x Fx cos M y Fz x Fx sin
Mz y0 M yz0 0 —中性轴方程
A
Mz Iz
y
My
A
Myz Iy
A A A
A
Mz Iz
y
Myz Iy
z
z
叠加原理 当材料处于线弹性阶段时，杆件上的各种荷载所 引起的内力和基本变形互不影响，即各种内力、应力 和变形、应变是彼此独立的。
可以应用叠加原理，分别计算由各种简单荷载所 产生的应力和变形，然后再进行叠加，即可求得组合 变形杆件上的应力和变形。
●组合变形的分析方法 叠加原理
分解和叠加 分解:将载荷分解成只产生一种基本变形的几组载
M y Fz x Fx sin
计算A(y，z)点的正应力
z
y
A
z
yx
Fz F sin Fz z
x
h
F
Fy y Fy F cos
b
z
F y
l
Mz Fy x Fx cos M y Fz x Fx sin
3.应力计算 (计算A(y，z)点的正应力)
Mz
A
Mz y Iz
Myz Iy
中性轴：
o
z 横截面上正应力为零的点连成的直线
A( y, z)
令 A 0, 则A（y0, z0 )在 中 性 轴 上 ，
F y
A
Mz y0 Iz
M yz0 Iy
0
Mz Fy x Fx cos M y Fz x Fx sin
Mz y0 M yz0 0 —中性轴方程
A
Mz Iz
y
My
A
Myz Iy
A A A
A
Mz Iz
y
Myz Iy
z
z
第五章 应力状态分析 强度理论 组合变形.ppt
2. 求应力：
min
N A
M WZ
130103 0.18h
6 106 0.18h2
6
0
h 276.9mm,取h 280mm
min
N M A WZ
130103 6106 180 280 180 28026Βιβλιοθήκη 0.029MPa28
2 xy
min
x
y
2
x y
2
2
2 xy
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
17
§5.2 平面应力状态分析——解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa xy 30MPa, y 40MPa, 30。
2
2
xy
cos 2
15
§5.2 平面应力状态分析——解析法
2. 主平面和主应力
确定正应力极值
( x
y )
2
( x
y ) cos 2
2
xy
sin
2
d d
2
(
x
y ) sin
2
2
xy cos 2
0
(σx
σy
) s
x 2 xy
y
1
1
2
max min
x
2
y
2
2 xy
23
平面应力状态重要公式
max min
min
N A
M WZ
130103 0.18h
6 106 0.18h2
6
0
h 276.9mm,取h 280mm
min
N M A WZ
130103 6106 180 280 180 28026Βιβλιοθήκη 0.029MPa28
2 xy
min
x
y
2
x y
2
2
2 xy
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
17
§5.2 平面应力状态分析——解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa xy 30MPa, y 40MPa, 30。
2
2
xy
cos 2
15
§5.2 平面应力状态分析——解析法
2. 主平面和主应力
确定正应力极值
( x
y )
2
( x
y ) cos 2
2
xy
sin
2
d d
2
(
x
y ) sin
2
2
xy cos 2
0
(σx
σy
) s
x 2 xy
y
1
1
2
max min
x
2
y
2
2 xy
23
平面应力状态重要公式
max min
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算