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弯扭组合变形 PPT
P=25KN
m 151.4 10 0.6 15KN.m
AB为扭转和平面 弯曲的组合变形。
0.8m
10KN
D
A
B
15KN
C
P
A
m
B
P=25KN m 151.4 10 0.6
15KN.m
画扭矩图和弯矩图
固定端截面为危险截面
T=15KN.m
Mmax 20KN.m
W D3 (1 4)
32
C1
r4 2 3 2
该公式适用于图示的平面应力状态。是危险点的正应力， 是危险点的剪应力。且横截面不限于圆形截面。
可以是由弯曲，拉（压）或弯曲与拉（压）组合变形引起。
是由扭转变形引起
2 对于圆形截面杆有
Wt
2W
π d3 16
弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为
r3
(M
2
)
4(
T
r3
(
M
2
)
4(
T
2
)
1
W
Wt W
T 2 M 2 157.26 [ ]
P
A
m
B
15KN.m
+
20KN.m
-
例题2 直径d=40mm的实心钢圆轴，在某一横截面上的内力分 量为N=100KN，Mx=0.5KN.m，My=0.3KN.m。已知此轴的许 用应力[]=150MPa。试按第四强度理论校核轴的强度。
2
)
W Wt
M 2T2
W
σr4
(
M
2
)
3
(
T
2
)
W
Wt
M2 0.75T2 W
m 151.4 10 0.6 15KN.m
AB为扭转和平面 弯曲的组合变形。
0.8m
10KN
D
A
B
15KN
C
P
A
m
B
P=25KN m 151.4 10 0.6
15KN.m
画扭矩图和弯矩图
固定端截面为危险截面
T=15KN.m
Mmax 20KN.m
W D3 (1 4)
32
C1
r4 2 3 2
该公式适用于图示的平面应力状态。是危险点的正应力， 是危险点的剪应力。且横截面不限于圆形截面。
可以是由弯曲，拉（压）或弯曲与拉（压）组合变形引起。
是由扭转变形引起
2 对于圆形截面杆有
Wt
2W
π d3 16
弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为
r3
(M
2
)
4(
T
r3
(
M
2
)
4(
T
2
)
1
W
Wt W
T 2 M 2 157.26 [ ]
P
A
m
B
15KN.m
+
20KN.m
-
例题2 直径d=40mm的实心钢圆轴，在某一横截面上的内力分 量为N=100KN，Mx=0.5KN.m，My=0.3KN.m。已知此轴的许 用应力[]=150MPa。试按第四强度理论校核轴的强度。
2
)
W Wt
M 2T2
W
σr4
(
M
2
)
3
(
T
2
)
W
Wt
M2 0.75T2 W
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
第二十五讲弯扭组合变形
sr3
M2 max
Tmax2
Wz
M2 B
TB 2
d 3 /32
(0.2P)2 (0.18P)2 0.033 /32
80 106
P 788N
§9.3 弯曲与扭转组合变形的强度计算
例3: 电动机带动传动轴AB，如图所示。在跨中央有一重量为Q=3kN,直径为
D=0.6m的胶带轮，胶带紧边拉力FT=6kN,忪边拉力Ft=3kN。若轴材料许用应
P
二、变形特点
轴线发生弯曲，纵向 线发生倾斜，各横截面绕 轴线发生相对转动。
m
1、纵向对称面内的横 向力-----平面弯曲
三、强度计算
2、横截面内的力偶矩的 作用-----扭转变形
3、在横截面内，产生横 力FS、弯矩M，扭矩T
Mechanic of Materials
§8.4 扭转与弯曲的组合
1、分析内力分布， 确定危险截面；
32.8103 m 32.8mm
讨论：
T
z
Mz
T
M
Myy x
M
（中性轴）
M
危险点 在哪？
sr3
M 2 T 2 s
Wz
D2
sM Wz
sr4
M 2 0.75T 2 s
Wz
tT
Wt
拉伸（压缩）＋弯曲
拉伸（压缩）
FN
M
s
s
弯
曲 M s
弯曲＋扭转
扭转 T t
单向应力状态
s max s
150
危险截面： 固定端
M z Pl 150N m
T Pa 110N m
4 、此杆为圆轴弯扭组合，选
Mz
第十七讲： 第十章组合变形-弯扭组合
xz yz
xx
xy
yx
y y
2 1
应力状态的概念
空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态：一个主应力为零
单向应力状态：两个主应力为零
3
2
1
三、二向应力状态分析
1.斜截面上的应力
x a
y
yx xy
x
y
x αa
n
a
xy
dA
yx
y
Ft 0
dA xy(dAcos ) cos x (dAcos )sin yx(dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
二向应力状态分析
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
2
sin2 1 (1 cos 2 )
x αa
n
a
xy
x
t yx
y
正应力：拉为正；反之为负
切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
α角：由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
二向应力状态分析
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
2 xy
2
x y
2
二向应力状态分析的图解法
2.应力圆的画法
y y
yx
D xy x
A x
D/
(y ,yx)
R
(
x
y
)2
材料力学10组合变形PPT课件
0McIozsy0sIiynz0
中性轴方程
cos
Iz y0
sIiynz0
0
（ y0，z0 ）
z
α φ
（1）中性轴是一条过截面形心 F 的直线；
y 中性轴
斜率 tany0 Iz tan
29
z0 Iy
10.1 斜弯曲
tan Iz tan
Iy
（2） 当Iz≠Iy，α ≠ φ，中性
轴与荷载线不垂直。
z
F
17
三、组合变形下的计算
分析方法：叠加法 前提条件：小变形
基本解法：
①外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种 基本变形； ②分别计算各基本变形下的内力及应力；
④对危险点进行应力分析； ⑤用强度理论进行强度计算。
18
思考题
1. 分析组合变形时，先分后合的依据是什么？ 2.叠加原理的适用条件是什么？ 能否应用于 大变形情况？
F
Fy
Fx B P
压弯组合变形
10
压弯组合变形
11
12
偏心压缩
拉弯组合变形
13
q
弯扭组合变形
14
F
弯扭组合变形
15
双向弯曲与扭转组合变形
16
组合变形的形式有很多种，本章学习四种典型形式。 1. 斜弯曲； 2. 拉伸（压缩）与弯曲组合； 3. 弯曲与扭转组合； 4. 偏心拉伸与压缩。
应注意通过这四种典型组合变形的学习，学会一般 组合变形的计算原理和方法。
A
B
C
22
10.1 斜弯曲
二、斜弯曲的研究方法
1.分解 将外力沿横截面的两个形心主轴分解，得到两个正 交的平面弯曲。
材料力学组合变形完整ppt文档
200
F
F
组合变形/拉压与弯曲的组合
思路分析：
根据受力情况判断立柱的 变形组合类型
拉伸和弯曲的组合
200 F F
拉伸： 求轴力，绘制轴力图 弯曲： 求弯矩，绘制弯矩图
判断危险截面，应力叠加，并进行校核（如下）
200 F F
任意横截面上拉伸正应力： 任意横截面上弯曲正应力：
同一个方向上的正应力可以根据分布情 况直接叠加，叠加后仍为单向应力状态，直 接校核强度。
1. 分解 竖直xy面：
水平xz面：
2. 分别求两个面内的弯矩，绘制弯矩图
竖直xy面：
水平矩图确定可能的危险截面
竖直xy面：
FL
水平xz面：
2FL
FL
结论： 危险截面可 能是中点或 固定端。
4. 通过叠加求危险截面的最大正应力
z
z
y
y
Mxy Mxz Wz Wy
Mx
2 y
Mx
2 z
W
y
竖直xy面：
FL
Z
水平xz面：
2FL FL
求中点处的最大正应力：
FL FL
Wz Wy
求固定端的最大正应力：
0 2FL
Wz Wy
5. 强度校核
2FL
固定端的最大正应力： max
y
Wy
[σ]=20FL/bh
2
m ax[]
梁满足强度要求
组合变形/扭转与弯曲的组合
§8.4 扭转与弯曲的组合
3.确定危险截面，求基本变形的应力
拉伸
N
FN A
(均布 ),
弯曲
Mm
a x Mm a Wz
x(线性 )
弯曲、弯扭组合实验讲义ppt课件
横截面上正应力分布规律：
1、受拉区
拉应力，受压区
压应力；
2、中性轴上应力为零；
3、沿y轴线性分布，同一坐标y处，正应力相等。既沿截面
宽度均匀分布；
4、最大正应力发生在距中性轴最远处，即截面边缘处；
假设截面对称于中性轴， 那么最大拉应力等于最大压应力。
s
σmax M
M
M
σmax
smax M
中性轴
smax
应变片粘贴
• 如下图，沿梁的横截面高度已粘贴 一组应变片1～7号。另外，8号应 变片粘贴在梁的下外表与7号应变 片垂直的方向上。
• 当梁受载后，可由应变仪测得每片
7
应变片的应变，即得到实测的沿梁
横截面高度的应变分布规律，由单
向应力形状下的虎克定律公式，可
求出实验应力值。实验应力值与实
际应力值进展比较，以验证纯弯曲
梁的正应力计算公式。
• 假设实验测得应变片7和8号的应变 7
•
8和
曲时
满足 8 m
7
那么证明梁弯
•
近似为单向形状，即梁的纵向
纤维间无挤压的假设成立。
电桥接法—单臂半桥
• 是在AB 桥臂上接任务应变片，由于只需八个任务 应变片，因此，要八个惠斯登电桥；
• BC 桥臂上接补偿应变片，当用一个补偿片补偿多 个任务片时，称此接线方法为公共补偿接线法；
一、实验目的
• 掌握电阻应变花的运用 • 用电测法测定平面应力形状下一点主应力的大小
及方向 • 测定薄壁圆管在弯扭组合变形作用下，分别由弯
矩和扭矩所引起的应变
弯扭组合变形主应力的测定
二、实验安装
12
7
13
6 54
弯扭组合变形ppt
北京科技大学
弯扭组合变形实验
实验目的
通过用电阻应变花测定弯扭组合变形下薄壁圆筒表面的主应力大小和方向，学会用电 阻应变花测定复杂应力状态的方法
实验设备
电子万能试验机
静态电阻应变仪
试件
组合试验台
实验原理
弯扭组合受力示意图
N点应力状态
实验方法
根据材料力学的内力平衡，可以确定A截面为危险截面。本试验取接近A截面 的N点作为应力状态测试点。 在工程实际中常遇到复杂应力状态问题（轴在弯扭组合变形时就属于这种情 况），此时。既不知道主应力方向，也不能用简单拉压时的胡克定律由任意方向 测量得的应变计算出主应力。为了求主应力就必须测定三个方向的应变值，再通 过应变分析，广义胡克定律，剪切胡克定律等，计算出应变分量σx，σy ,τ xy ,以 便进一步求得主应力σ1，σ3，和主方向α 0 。本实验在N点处粘贴了电阻应变花， 用电测技术采用两种方法来测该点的主应力和主方向，并与理论值比较，得出电 阻应变花测量主应力的主方向的最近方式。
方法一：推导过程
方法二：利用组合半桥测量
方法一：推导过程
实验步骤
弯扭组合变形实验
实验目的
通过用电阻应变花测定弯扭组合变形下薄壁圆筒表面的主应力大小和方向，学会用电 阻应变花测定复杂应力状态的方法
实验设备
电子万能试验机
静态电阻应变仪
试件
组合试验台
实验原理
弯扭组合受力示意图
N点应力状态
实验方法
根据材料力学的内力平衡，可以确定A截面为危险截面。本试验取接近A截面 的N点作为应力状态测试点。 在工程实际中常遇到复杂应力状态问题（轴在弯扭组合变形时就属于这种情 况），此时。既不知道主应力方向，也不能用简单拉压时的胡克定律由任意方向 测量得的应变计算出主应力。为了求主应力就必须测定三个方向的应变值，再通 过应变分析，广义胡克定律，剪切胡克定律等，计算出应变分量σx，σy ,τ xy ,以 便进一步求得主应力σ1，σ3，和主方向α 0 。本实验在N点处粘贴了电阻应变花， 用电测技术采用两种方法来测该点的主应力和主方向，并与理论值比较，得出电 阻应变花测量主应力的主方向的最近方式。
方法一：推导过程
方法二：利用组合半桥测量
方法一：推导过程
实验步骤
第八章组合变形-精品.ppt
组合变形问题的基本解法是叠加法
条件是： （1）小变形假设。 （2）载荷和位移成线性关系：比例极限内。
其基本步骤是：
（1）将载荷分解，得到与原载荷等效的几组简单载荷，使构 件在每组简单载荷作用下只产生一种基本变形。 （2）分别计算构件在每种基本变形情况下的应力。 （3）将每种基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计 算。当构件危险点处于简单应力状态时，可将上述应力进行 代数相加；若处于复杂应力状态，则需要按照强度理论来进 行强度计算。
155106Pa 155MPa 170MPa
如果在此例中若F力的作用线与y轴重和，即＝0，则此梁
横截面上的最大正应力为
max
M max Wz
20 103 402 106
49.8106Pa49.8MPa
对于圆形截面
因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横
截面上同时作用两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示，
然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计 算公式为：
Fy
M My2 Mz2
W
W
此时的界面的中性轴为与合弯矩矢量相平行
的圆截面直径。或者为与Fy与Fz合力垂直的直径
Fz
为中性轴。
注意：斜弯曲矩形横截面依然存在中性轴，而且中性 轴一定通过横截面的形心，但不垂直于加载方向。
§10.3 拉压与弯曲
本章讨论斜弯曲、拉压与弯曲、弯曲与扭转等的组合变形情况
§10.2 斜弯曲
檩条
yq
z
a
外力的作用点在截面形心处，但是外力作用线并没有沿着形 心主轴。杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横向力） 不位于外力所在地纵向平面内，这种弯曲称为斜弯曲。
现在以矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲时的应力与位移的
《组合变形》PPT课件
0.266q (12 ) 237 106
(21.5103) q
( max )D
M yD Wy
M zD Wz
0.444q (12 ) 31.5 106
0.456q (12 ) 237 106
(16.02 103) q
危险点在A截面上的外棱角D1和D2处
z
MyA
y
z
MzA
y
D1 z D2
y
32
l 几何参数
A 15103 m2 , zo 7.5 cm, I y 5310 cm4
l 求内力(作用于截面形心)
取研究对象如图
FN P kN,
M y 42.5 102 P kN.m
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
350
FN
33
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
l FN引起的应力
FN P MPa
u 拉伸、压缩
l 组合变形 有两种或两种以上的 基本变形同时发生。
u 剪切
l 求解组合变形的方法
将载荷分为几组分别产生 基本变形的载荷，然后应 用叠加原理。
u 扭转
u 弯曲
3
2 叠加原理 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应 力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷 单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而 得到，且与各组载荷的加载次序无关。
'' My z Mz y
Iy
Iz
中性轴的方程：
My F1l
F2 (l a)
Mz
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
5
中性轴的方程：
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50
50
50
y
zA
C
E
PZC
PYC PZE PYE
YA
MC
PYC M E PYE
eq324t2
eq4 23t2
试比较采用哪个强度理论偏于保守（安全）？
二、弯曲--扭转组合变形
问题
A
z
y
T
MZ
PYL MY
校核AB杆的强度
内力分析
找危险截面
PY PZ
B
x Me
xy平面：MZmax PYL xz平面：MYmax PZL
？ A截面危险！ 圆截面双向平面弯曲 如何处理弯矩的问题
Me
My
x 轴上的外力
A
F AY
C
z PCY
PCZ
D
PDY
PD
Z
Y B Z B 可全部确定
y ZA
A
F AY
MC
z
C PCY
PCZ
MD
D PDZ
PDY
Bx
YB ZB
外力值的计算
M 09 5 5 0P n K9 5 5 01 2 4 4 .6 0 55 8 3N m Y A 4 . 3 9 k N
t1
一、拉（压）--扭转组合变形
A
z
y
B
P Me
•画内力图 N
校核AB杆的强度 x
•内力分析：拉-扭组合变形 •找危险截面
任意截面
T
应力分析
D1
t
找危险点
在D1点截取原始单元体
D1
t
t D1
D2 危险点应力状态分析
N
t D1
A
T
原 始 单 元
WT 体
D1点是二向应力状态，根据 主应力公式求得主应力：
1 3
2
2 0
2
2
t
2
校核危险点的强度
对于脆性材料，由于拉大压小，应采用第一强度理论。
eq11
代入已求的主应力得：
eq1
2
22t2 T
校核危险点的强度 对于塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论。
按第三强度理论
eq313
代入已求的主应力得：
按第四强度理论
e q 41 2 1 22 2 32 3 1 2 代入已求的主应力得：
PCY
M Z kN m 1.756
k N m 2.532
MY
MD
D
PDY
PD
Z
0.538
1 .0 2 6
2.844
M kN m 3.08
3 .0 2
Bx
Y B Z B 画内力图
x 找危险截面
C面危险！
x 危险截面内力
x T0.538kN m
M3.08kN m
x
3.设计直径
eq3W 1 M 2T2
按第三强度理论
按第四强度理论
eq313
e q 41 2 1 22 2 32 3 1 2
代入已求的主应力得：
代入已求的主应力得：
eq3 24t2
eq4 23t2
代入原始单元体应力元素， 并注意到圆截面WT=2W得：
eq3W 1 M2T2
代入原始单元体应力元素， 并注意到圆截面WT=2W得：
eq4W 1 M 20.75T2
2 t1
y
400
500
600
1.外力简化
A
2 t2
t1
C
D
x
B
M0
9550
PK n
MCMDM0
z
t2
y
3 t2
2 t2
2 t1
y
t1
t1
MD R1
t2
MC R2
pcy3t2cos45oG2 PCZ 3t2sin45o
45o c z
t2
y
MD
G2
MC
ZA
3 t1 Dz
M D G1
2 t1
MD
B
PDy G1 PDz 3t1 YA,ZA,YB , ZB可由 平衡方程求得。
研究结果的讨论 对于危险点应力状态的强度条件
eq3 24t2 （A） eq3W 1 M2T2 （B）
W
D1
tn
公式的使用条件
（A）（C）式适用 于形如D1点应力状 态的强度校核；
eq4 23t2 （C）
eq4W 1 M 20.75T2（D）
（B）（D）式适用 于塑性材料的圆截 面或空心圆截面轴 发生弯扭组合变形 的强度校核。
轮自重G2=150N,半径R2=20cm,皮带方向与Z轴夹45度角。电动机
的功率PK=14.65千瓦，轴的转速n=240转/分，轴材料的许应力
[σ]=80MPa 。 试用第三强度理论设计轴的直径d。
y
400
500
600
A
2 t2
t1
x
C
D
B
z
t2
2 t1
y
2 t2
y
t1
45o c z t2
G2
Dz
G1
MD R1
30581302 1.79kN
t2
MC R2
20581303 2.69kN
Z A 6 .3 3 k N Y B 1 .7 1k N Z B 4 .7 4 k N
pcy3t2cos45oG25.85kN
PCZ 3t2sin45o 5.7kN
PDy G10.25kN
PDz 3t1 5.37kN
1 d3
M 2T2
32
d3
32
M2 T2
32
3.02103
2
0.538103
2
3
80106
73.6103m73.6mm
2 t2
t1
取d74mm
A
x
zC
D
dB
t2
2 t1
例题：图示齿轮轴，齿轮C，E的节圆直径D1= 50 mm， D2= 130 mm，PYC=3.83kN，PZC=1.393kN；PYE=1.473kN， PZE=0.536kN，轴的直径d = 22mm，材料为45号钢，许用应 力[]= 180MPa。试用第三强度理论校核轴的强度。
§5–5 弯曲与扭转的组合变 形
•问题的特点：在横截面上既有正应力又有切应力。
•分析问题的方法：由于正应力和切应力不能直接 相叠加，因此，必须根据不同的材料，采用适当 的强度理论进行强度分析。
•分析问题的步骤：根据内力图，确定危险截面， 在危险截面上画出应力分布，确定最大（拉、压） 应力（即：危险点），采用强度理论进行强度校核。
y ZA
A
F AY y
A
y
MC
C
z PCY
PCZ
MC
C
z
MD
D
PDY
PD
Z
MD
D
A
F AY y
Z AA
C
z PCY
C
z
PCZ
D
PDY
D
PDZ
Bx
YB ZB
2.内力计算
B x 圆轴
扭转
弯
B x Xy面的
扭 组 合
YB
平面弯曲
变
形
Xz面的
B x 平面弯曲
ZB
y
Z AA
F AY
z
T kNm
MC
C
PCZ
思考：如果危险截面是拉伸-弯曲-扭转组合变 形，应当怎么样校核强度？
y
PY
A
Px
x
PZ
Me
z
思考：曲拐受力如图，危险截面在哪里？应当 怎么样校核强度？
y q
A
z
l
2 ql 3
C
P
B a
例题：皮带轮传动轴如图示。已知D轮为主动轮，半径R1=30cm,
皮带轮自重G1=250N,皮带方向与Z轴平行；C轮为被动轮，皮带
最大拉应力σT
M
zMzBiblioteka 最大压应力σCPZL
中性轴
y
应力分析
D1
t
找危险点
在D1点截取原始单元体
D1
t
t D1
D2 危险点应力状态分析
M
t D1
W
T
原 始 单 元
WT 体
D1点是二向应力状态，根据 主应力公式求得主应力：
1 3
2
2 0
2
2
t
2
校核危险点的强度
对于塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论。