泛函分析试题B评分标准

泛函分析期末考试试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共15分）1、 如果存在x X ∈，使(,)0n d x x →∞= 2、 f 是X 上连续泛函3x =成立，且T 是映射到Y 上的 4、()221,4x y x y x y =+--5二、计算题（20分）叙述(1)p l p <<+∞空间的定义，并求p l 的共轭空间。

答：（1）121(,,),,(1,2)ppii i l x R i ξξξξ∞=⎧⎫⎪⎪==<∞∈=∞⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑L L（2）对于任意12(,,,)n x ξξξ=L L ，12(,,)n y ηηη=L L ，定义运算1122(,)n n x y ξηξηξη+=+++L ，12(,)n ax a a a ξξξ=Lp l 按上述加法与数乘运算成为线性空间（3）11ppi p i x ξ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑p l 按上述定义的范数构为Banach 空间 ………….6分令(0,01,0),1,2n ne n ==L L L ，121(,,0,0,),nn n n i i i x x e ξξξξ===∑L L则12(,)p n nx l ξξξ∀=∈L L 能被表示为lim n n x x →∞=，对任意给定()'p f l ∈，令(),1,2n n f e n η==L 则11()(lim )lim ()lim ()n nn n i i i i n n n i i f x f x f x f e ξξη→∞→∞→∞======∑∑.若0,f =则0,1,2,,k k η==L所以不等式11qq i i f η∞=⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑自然成立，若0,f ≠则k η不全为0，对任何自然数n ，令()()()()123,,,,n n n n x ξξξ=L 其中()3/,,00,,0qn k k k k k n k n ηηηξη⎧≤≠⎪=⎨>=⎪⎩或 显然,pn x l ∈因为()11()nnqn n i i i i i f x ξηη====∑∑，另一方面又有11()11(),ppp q n n n i i i i f x f x f f ξη∞∞==⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑因为k η不全为0，所以当n 足够大时，110,pq i i η∞=⎛⎫≠ ⎪⎝⎭∑在上面不等式两边同除以11pq i i η∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑，得到11qq i i f η∞=⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑。

因此12(,)q n l ηηη∈L L 。

………….7分反之，对12(,)q n b l ηηη∀=∈L L ，作p l 上泛函()f x 如下：121(),(,)npi i ni f x x l ξηξξξ==∀=∈∑L L ，显然f 是p l 上线性泛函，并且由Holder &&不等式，可得111111(),pqpqi i ii i i qp i i i i f x bx ξηξηξη∞∞∞∞====⎛⎫⎛⎫=≤≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑因此，'(),p f l ∈并且有sup .i q if b η≤=综上'().p q l l = …………7分三、证明题（共65分）1、（12分）叙述并证明空间(1)p l p >中的Holder 不等式。

证：Holder 不等式：设1212111,1,(,),(,),p q n n p x l y l p qξξξηηη>+==∈=∈L L L L 则1111122111(,),pqp q n n i i i i i i i z l ξηξηξηξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫=∈≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑L L 且满足不等式由于对任何正数A B 及，有不等式11pqA BA B p q≤+成立。

…………………………….4分 当111100pqpqi i i i ξη∞∞==⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑或，命题显然成立；当111100pqpqi i i i ξη∞∞==⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑且，记()()()()1111,.iii i pqp q i i i i ξηϕξψηξη∞∞====⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑令()(),,pqi i A B ϕξψη==可得()()()()pqi i i i pqϕξψηϕξψη≤+即()()()()111pqi i iii i i pqϕξψηϕξψη∞∞∞===≤+∑∑∑因此11111pqpqi i i i i i i ξηξη∞∞∞===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑成立，11122(,)n n z l ξηξηξη=∈L L 。

………….8分2、（15分）设M 是Hilbert 空间X 的闭子空间，证明M M ⊥⊥=。

证：由正交补的定义，易证M M ⊥⊥⊂，只要证明M M⊥⊥⊃即可。

设x M⊥⊥∈，由投影定理，存在,.y M M z M x y z ⊥⊥⊥∈⊂∈=⊕及使 ……………7分因为x M⊥⊥∈，并且M⊥⊥是线性空间，所以x y M⊥⊥-∈，因此{}0,0,.z x y M M z x y M ⊥⊥⊥=-∈⋂===∈即所以命题得证。

……………………8分3、（14分）Hilbert 空间X 是可分的，证明X 任何规范正交系至多为可数集。

证： 由于Hilbert 空间X 是可分的，则存在有限或可数个向量{},i x 使{},i span x X = 不妨设{}i x 为X 中的线性无关子集，否则可取{}i x 中的线性无关子集。

………….5分由Gram-Schmidt 正交化，存在有限或可数的规范正交系{}i e ，使对任何自然数,n 成立{}{}11,,,n n span e e span x x =L L 所以由{}i e 张成的线性空间包含{}i x ，因此{}{},i i span e span x X ⊃= 即{}i e 是X 中完全规范正交系 ………….9分4、（12分） 证明Banach 空间X 自反的充要条件是X 的共轭空间自反。

证：若X 是Banach 空间，则存在一个从X 到X ''的自然的等距同构映射X J X X ''→：， 若X J X X ''=（）， 则称X 是自反的。

其中X J 是这样定义的，若,,()()()x X f X J x f f x '∈∈=. 为方便起见，记X 到X ''的自然的等距同构映射0J ， X '到X '''的自然的等距同构映射1J .要证明0J X X ''()=的充要条件为1J X X ''''()=。

若0J X X ''()=，对任意F X '''∈，定义0:,()(()).f X x X f x F J x '∈∈=若对任意()()()10,()()()()()().()x X J f J x J x f f x F J x J X X ''∈====因，因此1().J f F =这就证明了1J X X ''''()=。

……………………7分反之，若1J X X ''''()=，而0J X X ''≠()。

则存在F X '''∈，使F 在0J X ()上恒为零，而 1.F =但11,,.J X X f X J f F '''''∈()=必有使()=对任意x X ∈，()()()0100()()()()()()0,f x J x f J f J x F J x ====这样0.f =但11,J f F =()=矛盾，因此必有0J X X ''()=。

……………………5分 5、（12分）叙述l ∞空间的定义，并证明l ∞空间是不可分的。

证：l ∞表示有界实数列全体，对l ∞中任意两点1212(,),(,)n n x y ξξξηηη==L L L L ，定义(,)sup i i id x y ξη=-，易证l ∞按(,)d x y 成为度量空间 ………………….4分令M 表示l ∞中坐标i ξ取值为0或1的点12(,)n x ξξξ=L L 全体，则M 与二进位小数一一对应，所以M 的基数为c 。

对M 中任意两个不同的点,,(,)1,x y d x y =有如果l ∞可分，则l ∞中存在可数稠密子集，设为{}i y ，对M 中每一点x ，作球11(,),(,)|33U x U x x M ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭则是一族两两不相交的球，总数有不可数个。

但由于{}i y 在l ∞中稠密，所以每个1(,)3U x 中至少含有{}i y 中一点，这与{}i y 是可数集矛盾。

…………………….8分。