高中数学用导数研究函数的单调性教案(新人教版)
高中数学导数的单调性教案
高中数学导数的单调性教案1. 知识目标：掌握函数的单调性的概念和求解方法，了解导数在求解单调性中的应用；2. 能力目标：能够通过计算导数来判断函数的单调性，能够独立解决函数的单调性问题；3. 情感目标：培养学生对数学分析的兴趣，激发学生解决问题的潜能。
【教学重点】1. 函数的单调性的概念及求解方法；2. 导数在求解函数的单调性中的应用。
【教学难点】1. 导数在判断函数的增减性中的具体应用；2. 培养学生利用导数判断函数单调性的能力。
【教学准备】1. 教师准备：PPT课件、黑板、粉笔、导数表格等；2. 学生准备：课前自主学习相关概念。
【教学过程】一、导入（5分钟）利用案例引入函数单调性的概念，让学生了解函数的单调性对于函数图象的影响。
二、概念讲解（15分钟）1. 讲解函数的单调性是指函数在定义域内的增减性；2. 介绍导数在判断函数增减性中的作用，导数大于0，则函数单调增加，导数小于0，则函数单调减少；3. 示范如何通过求导数来判断函数的单调性。
三、例题演练（20分钟）1. 给学生提供一些简单的例题进行讲解，引导学生使用导数判断函数的单调性；2. 让学生在课堂上尝试解决一些功能简单的函数单调性问题。
四、拓展应用（10分钟）提供一些较为复杂的例题，让学生在导数的基础上解决函数的单调性问题，培养学生的计算能力和灵活性。
五、总结（5分钟）对当堂课进行总结，强调导数在函数单调性中的作用，并鼓励学生多加练习，提高解题能力。
【作业布置】布置相关的作业，要求学生通过导数的方法判断给定函数的单调性，并将解题过程写明。
【板书设计】1. 函数的单调性：增减性2. 导数的应用：判断函数的单调性【课后反思】本节课程设计采用案例引入、概念讲解、例题演练、拓展应用等教学方法，能够提高学生对函数单调性的理解和应用能力。
后续可以通过更多的例题训练，让学生更加熟练地掌握导数在函数单调性中的作用。
利用导数判断函数的单调性教案
利用导数判断函数的单调性教案一、教学目标：1. 让学生理解导数的定义和几何意义。
2. 学会利用导数判断函数的单调性。
3. 能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容：1. 导数的定义和几何意义。
2. 利用导数判断函数的单调性。
3. 导数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：导数的定义，导数与函数单调性的关系。
2. 难点：利用导数判断函数的单调性，解决实际问题。
四、教学方法与手段：1. 教学方法：讲解法，案例分析法，讨论法。
2. 教学手段：黑板，PPT。
五、教学过程：1. 导入：回顾导数的定义和几何意义，引导学生思考导数与函数单调性的关系。
2. 新课讲解：讲解如何利用导数判断函数的单调性，通过示例让学生理解并掌握方法。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用导数判断函数的单调性，解决实际问题。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂练习环节，观察学生对利用导数判断函数单调性的掌握程度。
2. 课后作业的完成情况，评估学生对知识的巩固程度。
3. 学生参与讨论的积极性和对实际问题分析的能力。
七、教学反思：2. 根据学生的反馈调整教学方法，提高教学效果。
3. 针对学生的掌握情况，适当调整教学内容和难度。
八、教学拓展：1. 引导学生思考导数在其他数学领域的应用，如微分方程、优化问题等。
2. 介绍导数在物理学、经济学等学科中的应用，拓宽学生的视野。
九、教学资源：1. PPT课件：包含导数定义、几何意义、判断函数单调性的方法及实际案例。
2. 练习题：涵盖不同难度的题目，用于巩固所学知识。
3. 实际问题案例：涉及多个领域的实际问题，用于引导学生运用导数解决实际问题。
十、教学进度安排：1. 本节课共计45分钟，具体安排如下：导入：5分钟新课讲解：15分钟案例分析：15分钟课堂练习：10分钟作业布置：5分钟2. 课后作业：布置课后练习，要求学生在下次课堂上提交。
高中数学利用导数确定函数的单调性教学设计
课题
利用导数研究函数的单调性
课时
1
学习目标
1.会导数的运算；
2.能利用导数的方法研究函数的单调性.
学习重点
能利用导数的方法研究函数的单调性.
导学内容与方法
函数的单调性法则
在区间 内函数 可导， 在区间 任意子区间内都不恒等于0．
在 上为增函数， 为 的单调增区间；
在 上为减函数， 为 的单调减区间．
应用范例
例题1.函数 .ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定函数的单调区间.
变式1：函数 .确定函数的单调区间.
变式2：函数 .确定函数的单调区间.
函数 .确定函数的单调区间.
变式3：函数 .确定函数的单调区间.
归纳总结
对应训练
1.〔20xx〕设函数 ，其中 .讨论 的单调性.
2.设函数 .
〔1〕求 的单调性和极值；
〔2〕证明：假设 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点.
《4.3.1 利用导数研究函数的单调性》教案
《4.3.1 利用导数研究函数的单调性》教案教学目标：知识与技能：借助函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数判断函数单调性的方法；情感、态度与价值观：通过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力.教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性；教学难点：利用导数的符号判断函数的单调性；判断复合函数的单调区间及应用. 教学过程：一、自学导航1．情境：(1) 必修一中，如何定义函数单调性的？（2）如何用定义判断一些函数的单调性？一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x) 在这个区间上是减函数．问题：能否用定义法讨论函数()xf x e x=-的单调性？学生活动讨论函数342+-=x x y 的单调性. 解：取x1＜x2，x1、x2∈R ， 取值 f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差 ＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)， 定号 ∴y ＝f(x)在(－∞, 2)单调递减． 判断 当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，∴y ＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y ＝f(x)在(－∞, 2)单调递减，y ＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增.2. 研究函数342+-=x x y 的导函数值的符号与单调性之间的关系. 二、探究新知1.导数符号与函数单调性之间的关系我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即y '>0时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即y '<0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数. 如果在这个区间内y '>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y '<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数.说明：（1）如果某个区间内恒有y '=0，则f(x)等于常数；（2）y '>0（或y '<0）是函数在(a ，b ）上单调增（或减）的充分不必要条件.2.利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f(x)的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x)＜0，得函数的单调递减区间．三、例题精讲：例1 求函数()23252x f x x x =--+的单调区间.解：()f x '=3x2－x －2=0，得x=1，23-.在（－∞，－32）和［1，+∞)上()f x '>0，f （x ）为增函数；在［－32，1］上f '（x ）<0，f （x ）为减函数.所以所求f （x ）的单调增区间为（－∞，－32]和［1，+∞)，单调减区间为［－32，1］.变式题1：求函数2()2ln f x x x =-的单调区间． 答案：增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 变式题2：设函数()(0)kx f x xe k =≠．求函数()f x 的单调区间； 解：由()()'10kxf x kx e =+=，得()10x k k =-≠，若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减..w.k.s.5.u.c.o点评：（1）注意定义域和参数对单调区间的影响； （2）同一函数的两个单调区间不能并起来；（3）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，但它是一种一般性的方法.例2 若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是答案：1[,)3+∞变式题1:若函数123+++=mx x x y 有三个单调区间，则实数m 的取值范围是 .答案：1(,)3-∞ 变式题2:若函数123+++=mx x x y 在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则实数m 的值是 . 答案：-5变式题3：若函数123+++=mx x x y 在1(0,)2上既不是单调递增函数也不是单调递减函数，则整数m 的值是 . 答案：-1.m 变式题4：若函数123+++=mx x x y 的单调递减区间是4[2,]3-，则则实数m 的值是 .答案：-8例3 设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为 答案：④变式题1：如果函数()y f x =的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间1(3,)2--内单调递增； ②函数()y f x =在区间1(,3)2-内单调递减；③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④函数()y f x =的单调递增区间是xyO图xyO①xyO ② xyO ③yO④x-2 2xyO1-1 -11[2,2][4,)-+∞则上述判断中正确的是____________．答案：③变式题2：已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中()f x '是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是 答案：③备选例题：已知函数()ln 3(R)f x a x ax a =--∈．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45︒，对于任意的]2,1[∈t ，函数32()['()]2mg x x x f x =++在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围；(3)求证：ln 2ln3ln 4ln 1(2,N )234n n n n n *⨯⨯⨯⨯<≥∈．解：(1)(1)'()(0)a x f x x x -=>当0>a 时，)(x f 的单调增区间为(]0,1，减区间为[)1,+∞；当0<a 时，)(x f 的单调增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1；O-22xy1 -1-2 12Oxy-2-2 21-112O-2 4xy1-1 -212 O-22xy-124 ①② ③ ④当0=a 时，)(x f 不是单调函数(2)12)2('=-=a f 得2-=a ，()2ln 23f x x x =-+- ∴x x mx x g 2)22()(23-++=，∴2)4(3)('2-++=x m x x g ∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且()02'g =-∴⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g 由题意知：对于任意的]2,1[∈t ，'()0g t <恒成立，所以，'(1)0'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴3793m -<<-(3)令1-=a 此时3ln )(-+-=x x x f ，所以2)1(-=f ，由(Ⅰ)知3ln )(-+-=x x x f 在),1(+∞上单调递增，∴当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >，即01ln >-+-x x ，∴1ln -<x x 对一切),1(+∞∈x 成立，∵2,N*n n ≥∈，则有1ln 0-<<n n ，∴n n n n 1ln 0-<<ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n *-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈四、课堂精练1. 设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是 .答案：(0,)342. 已知函数()y f x =在定义域[4,6]-内可导，其图象如图，记()y f x =的导函数为'()y f x =，则不等式'()0f x ≥的解集为 .411[4,][1,]33-- 3. 若函数()321f x x ax =-+在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为 .答案：a≥3 讨论函数1()cos 2f x x x =-的单调性.答案：函数在7[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈上单调递增；在711[2,2]()66k k k Z ππππ++∈上单调递增五、回顾小结判断函数单调性的方法；2.导数符号与函数单调性之间的关系；3.利用导数确定函数的单调性的步骤. 分层训练1.函数y=8x2-lnx 的单调递增区间是 . 答案：1[,)4+∞2．已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调，则字母,,a b c 应满足的条件是 ． 答案：a=c=0,3b ≤3.已知函数3221()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在（－∞，+∞）上是增函数，则m 的取值范围是 . 答案：2＜m ＜44.若函数2()2ln f x x x =-在定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数,则实数k 的取值范围是 .答案：33(,)22-5. 已知函数()ln f x x =,()a g x x =,设()()()F x f x g x =+．求函数()F x 的单调区间；解：()()()()ln 0aF x f x gx x=+=+>，()()221'0a x aF x x x x x -=-=>（1）若0a >，由()()'0,F x x a >⇒∈+∞，∴()F x 在(),a +∞上单调递增.由()()'00,F x x a <⇒∈，∴()F x 在()0,a 上单调递减.∴()F x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞.（2）若0a ≤，则()'0F x >在()0,+∞上恒成立，∴()F x 在()0,+∞上单调递增.6.已知函数32()(1)(2)(,)f x x a x a a x b a b R =+--++∈．若函数()f x 在区间（-1,1）上不单调，求a 的取值范围．答案：（-5，-1） 六、拓展延伸1.已知函数32()f x x bx cx d =+++在(,0)-∞上是增函数，在（0，2）上是减函数，且方程f (x)=0有三个根，它们分别是,2,αβ.(1)求c 的值； （2）求证：(1)2f ≥； （3）求||αβ-的取值范围.（1）解：2()32f x x bx c '=++，由条件知(0)0f '=，0c ∴=.（2）证明：由2()320f x x bx '=+=得1220,3bx x ==-，∵ f (x)在（0，2）上是减函数，2223b x ∴=-≥即3b ≤-，又(2)84f b d =++=(1)13f b d b ∴=++=--≥. （3）解：322()(84)(2)[(2)24]f x x bx b x x b x b =+-+=-++++由 f (x)=0有三个根分别是,2,αβ，,αβ∴是方程2(2)240x b x b ++++=的两根2||(2)16b αβ∴-=-+，由（2）可知3b ≤-||3αβ∴-≥. 2.已知a R ∈,函数3211()2()32f x x ax ax x R =-++∈. （1）当a=1时，求函数f (x)的单调递增区间；（2）函数f (x)是否在R 上单调递减，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由； （3）若函数f (x)在[1,1]-上单调递增，求a 的取值范围.解: (1) 当a=11a =时,3211()232f x x x x=-++,2()2f x x x ∴'=-++. 令()0,f x ∴'>即2()2f x x x ∴'=-++, 即220x x -++>， 解得12x -<<.所以函数f (x)的单调递增区间是(1,2)-.(2) 若函数f(x)在R 上单调递减,则()0f x ∴'≤对x R ∈都成立,所以220x ax a -++≤对x R ∈都成立, 即220x ax a --≥对x R ∈都成立.280a a ∴∆=+≤, 解得80a -≤≤.∴当80a -≤≤时, 函数f (x)在R 上单调递减.(3) 解法一：∵函数f(x)在[-1,1]上单调递增,()0f x ∴'≥对[1,1]x ∈-都成立, 220x ax a --≤对[1,1]x ∈-都成立.令2()2g x x ax a =--，则(1)120(1)120g a a g a a =--≤⎧⎨-=+-≤⎩， 解得1a ≥. 解法二： 函数f (x)在[1,1]-上单调递增,()0f x ∴'≥对[1,1]x ∈-都成立, 220x ax a --≤对[1,1]x ∈-都成立.即22x a x ≥+对[1,1]x ∈-都成立. 令2()2x g x x =+, 则2(4)()(2)x x g x x +'=+. 当10x -≤<时，()0g x '<；当01x <≤01x <≤时，()0g x '>. ()g x ∴在[1,0]-上单调递减,在[0,1]上单调递增.1(1)1,(1)3g g -==，()g x ∴在[1,1]-上的最大值是1.1a ∴≥.七、课后作业八、教学后记：。
高中数学 1.3.1利用导数判断函数的单调性教学设计 新人教B版选修2-2
《利用导数判断函数的单调性》教学设计课题 利用导数判断函数的单调性教材 人教B 版《数学》选修2-2课时 1课时教学目标知识目标：借助于函数的图像了解函数的单调性与导数的关系；会判断具体函数在给定区间上的单调性；会求具体函数的单调区间。
能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
情感目标：通过实例探究函数单调性与导数关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力。
重点与难点教学重点：利用导数判断函数的单调性。
教学难点：提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力。
教学方法1．教学方法的选择：1．自主探究法、比较法2．教学手段的利用：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解。
教学准备多媒体（画出函数①2()21y f x x x ==-+ ②2()21y f x x x ==--+③3()y f x x x ==-在同一个坐标系下的图象）；教学过程（一）回顾与思考1．如何判断函数221y x x =--的单调性？（引导学生回顾“定义法”与“图象法”） 说明： 通过本题使学生巩固常用判断单调性的方法（1）定义法（2）图象法，为导数法的引入作好铺垫作用。
2．如何判断函数3y x x =-的单调性？x y e x =-，ln y x x =呢？3．还有其它方法吗？（引出课题）学生思考、并举手回答。
说明： 通过本题使学生认识到（1）定义法（2）图象法不再适用，培养学生提出问题的能力，从而为导数法的引入提供必要性和合理性，本例也是整节课学生思维开始活跃的开始，为思维的合理、有序的发展奠定了基调。
（二）观察与表达引例：观察函数3y x x =-的图像问题：1．直观判断函数的单调区间是什么？2．观察单调性与函数图像在相应区间上切线的斜率有何关系？3．总结单调性与函数在相应区间上的导数有何关系？（引导学生总结，教师板书）函数单调性与函数在相应区间上的导数的关系：在某个区间()b a ,内，()()x f x f ⇒>0'在()b a ,内单调递增；()()x f x f ⇒<0'在()b a ,内单调递减。
最新人教版高中数学选修《导数与函数的单调性》教学设计
教学设计设计理念：人的认识具有反复性，这就决定了人们对一个事物的正确认识往往要经过从实践到认识，再从认识到实践的多次反复才能完成，但并不代表它是一种圆圈式的循环运动，相反，它是一种波浪式的前进或螺旋式的上升，每个人的知识的积累都会经历一个由不知到知、由知之不多、到知之较多的过程，对事物的认识也都有一个由浅入深的过程.新的课程改革理念下，中学数学教材的编写也都本着让学生在知识、技能、思维和情感上实现螺旋式上升的目标.所以本节课在设计上，几种有关导数与函数的单调性的类型难度从低到高，每一类型相应的例题和练习的难度也由低到高，努力为学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等活动创造机会、空间和平台.而练习例题的设计，也采取学生先练习，教师再讲例题（例题也由学生先思考，并动手做，老师再讲），然后学生再练的方式迂回进行.体现学生的动手做、动脑思为主，教师的适当诱导为辅的诱思教学探究论的教学思想.在教学媒体的设计上，本节课利用powerpoint软件制作课件，主要用于投影例题和练习，并使用实物投影仪辅助教学，主要是适时投影学生的答案，利于评讲、及时反馈学生的学习情况.教学流程：一、(课件投影)知识梳理，温故知新：【知识梳理】1.如何利用导数的正负判断函数的单调性？在某个区间(,)a b上，如果，则()a b上单调递增；f x在区间(,)如果 ，则()f x 在区间(,)a b 上单调递减.2.在区间(,)a b 上()0f x '>是函数单调递增的充要条件吗？函数()f x 在区间(,)a b 上单调递增⇒ 在区间(,)a b 上恒成立.函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减⇒ 在区间(,)a b 上恒成立.3.归纳求单调区间的一般步骤(1)(2)(3)(4)注意：单调区间一定要写成 的形式，不能写成集合或不等式；如果有多个单调区间，中间用逗号或者“和”来连接，不能用“”连接.【设计意图】让学生回忆起如何利用导数的正负判断函数的单调性，并归纳求单调区间的一般步骤等基础知识点，为后续学习打好基础.【课前热身】【1】设函数()ln(2)f x x x =-+，则()f x 的单调减区间为 .【感悟提升】求导之后分子是 ，可以直接解不等式()0f x '>,不等式的解集与 取交集从而得到单调区间.【2】已知函数ln 1()ex x f x +=(e 是自然对数的底数), 求()f x 的单调区间. 【3】已知函数2()1(2)x f x e x e x =---- ，当0x >时， 求()f x 的单调区间.【感悟提升】对于求导之后不能直接解不等式()0f x '>的，我们可以有哪些处理方法？【设计意图】让学生通过简单的三个知识点的综合应用，初步感知综合题型的解题方法，引入例题1.二、(课件投影)典例探索，实践提高：题型一 讨论函数的单调性【例1】设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中R a ∈.试讨论函数()f x 的单调性.【感悟提升】求导之后分子是含参数的 ，分类讨论时应该从哪些方面考虑？【设计意图】这是利用导数性质判断函数单调性的简单应用，引入参数，难度比前三个练习高，让学生探索通过讨论参数在函数单调性中的应用，领会导数是函数单调性问题的通法.题型二 已知单调性，求参数范围【例2】 设函数23()().eR x x ax f x a +=∈若()f x 在[3,)+∞上为减函数，求a 的取值范围.【感悟提升】已知函数在某个区间上单调，可以转化为不等式的 问题.【设计意图】这是导数与函数单调性的应用，但也是高考中，函数问题的常见题型，求参数得取值范围实际上是通过分离参数，引导学生把参数取值范围问题转化为求不等式恒成立问题来解决，让学生体会复杂问题简单化的转化思想，是数学常用的解题思想.【跟踪练习】 已知函数3211()2132f x x ax x =-++在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围 ．【感悟提升】已知函数在某个区间上存在单调区间，可以转化为不等式 问题.【设计意图】让学生通过简单的含参数函数单调性问题的应用，初步感知分离参数题型的解题方法，更加深入理解例题2.三、深化认识，总结规律：【课堂小结】(课件投影)课堂小结：(老师提问)本节课学了哪些知识？哪些方法？【设计意图】由学生自己总结，既是体现课堂上学生自主学习的主体地位，也是培养学生归纳升华例题的结论，总结学习到的解题方法的能力的一种重要手段，锻炼学生自主构建完整的数学知识体系的能力的重要方法.由学生在独立思考中不断深化感性认识，总结规律，有利于学生对本节课的学习从感性上升到理性，更利于后续学习中的知识的迁移.学生总结后，老师在课件中投影：1. 求含参数的函数单调区间（或讨论单调性）的步骤：（1）求函数的定义域；（2）求导，并进行整理；（3）确定分类讨论的标准；（4）在每一类中，结合图像判断导数的符号，从而确定函数的单调性，写出单调区间；（5）综合上述讨论的情形，完整的写出函数的单调区间.2. 已知函数单调性，求参数范围：(1)已知函数在某个区间上单调，可以转化为不等式的恒成立问题；(2)已知函数在某个区间上存在单调区间，可以转化为不等式能成立问. 【课后反思】“教贵善诱，学贵善思，以诱达思，启智悟道”这十六个字精确归纳出用诱思探究理论去指导数学的教学工作的精粹，相信能领会、精通这十六个字的妙意，则老师的教与学生的学都是成功的.我在朝这个方向走下去，但要做到这十六个字，我还有待努力.对于本节课而言反思如下：1. 导数与单调性的关系影响到后面函数与极值、最值的求法，对学生要强调对后续学习有着重要地位，是基础中的重点.2.本节课注重例题的逐步深化，对学生的要求逐步提高.应多引导学生多分析、培养学生学习——总结——学习——反思的良好习惯，同时通过自我的评价来获得成功的快乐，提高学生学习的自信心.3.数学思想方法对解题的指导意义的认识：数形结合、分类讨论、转化思想以及分离变量的方法.4.学生两极分化，注重基础.让学生都有所收获，有所提高.。
利用导数研究函数的单调性教案
利用导数研究函数的单调性教案教案：利用导数研究函数的单调性一、教学目标1.了解函数的单调性概念，以及单调递增和单调递减的定义；2.掌握利用导数研究函数的单调性的方法；3.能够通过导数的正负性分析函数的单调区间，并作出相应的图像。
二、教学准备1.教师准备：书本、黑板、白板、彩色粉笔、计算器、实例练习题；2.学生准备：笔记本、课本。
三、教学过程1.引入导入（10分钟）导师通过提问等方式，引导学生回顾函数的增减性、最值点等概念，为接下来的学习做铺垫。
2.学习讲解（25分钟）1)导师先通过实例展示导数与函数单调性之间的关系，比如分别给出函数f(x)=x^2和函数g(x)=-x^2的导数，并解释导数大于零时函数单调递增，导数小于零时函数单调递减。
2)导师详细讲解如何利用导数分析函数的单调性：首先，对函数f(x)求导，得到它的导函数f'(x)；其次，求出f'(x)的零点，即导数为零的点。
这些点将把函数f(x)的定义域划分为若干个开区间；然后，对每个开区间分别求取f'(x)的正负性，从而得到导数f'(x)在各开区间的取值范围；最后，结合导数f'(x)的正负性来分析函数f(x)的单调性。
3.实例训练（35分钟）导师通过多个实例进行讲解和学生训练，帮助学生熟悉和掌握利用导数研究函数单调性的方法。
4.小结提问（10分钟）导师通过提问进行小结，确保学生对函数的单调性及利用导数分析函数单调性的方法有一个深入的理解。
五、作业布置给定函数f(x)=2x^3+3x^2-12x+1，设置一个问题，让学生利用导数分析函数的单调性，并解决问题。
六、板书设计函数的单调性单调递增：导数大于零单调递减：导数小于零怎样利用导数研究函数的单调性？1.求导函数2.导函数的零点3.导函数的正负性导函数的正负性与函数的单调性的关系七、教学反思通过本堂课的教学，学生基本能够理解函数的单调性概念，知道如何利用导数研究函数的单调性。
高中数学新人教版A版精品教案《1.3.1 函数的单调性与导数》4
《函数的单调性与导数》教学设计第一课时一、教学目标设计（一）教学目标1知识与技能目标结合学生学过的大量实例，借助这些函数的图象，让学生通过观察----探讨----归纳----结论，得出函数单调性与导数的正负关系。
2过程与方法目标运用导数这个工具研究函数的单调性，求单调区间。
体会用导数解决函数单调性时的有效性、优越性。
3情感与价值观目标培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，从中体会数形结合思想、转化思想。
（二）教学重难点：教学重点：函数单调性与其导函数的正负关系；判断函数单调性，求单调区间。
教学难点：函数单调性与其导函数的正负关系的探究过程。
二、教法分析（1）教法:采用启发式教学，以教师为主导、学生为主体。
强调数形结合思想、转化思想的应用。
同时给予数学学科基础知识较为薄弱，对数学学习有一定的困难学生激励性评价调动参与的积极性，“面向全体学生”等教学思想，贯穿于课堂教学之中。
2学法:探究与合作学习想结合。
（2）教学手段：借助多媒体，制作课件，通过视频和几何画板演示提高课堂效率和学生学习兴趣。
三、教学过程设计（一）有效设问，复习函数的单调性，引入新课具体问题如下：1. 某个区间上的增函数及减函数的图象有什么特征？2. 函数单调性的定义是什么？3. 判断函数单调性的常用方法有哪些？4. 如何判断函数),0( ,sin )(π∈-=x x x x f 的单调性？通过前3个问题让学生复习回顾高一所学过的关于函数单调性的知识；通过问题4让学生体会到高一所学的用 “图像法” “定义法”判断函数单调性的的局限性。
进而提出问题：“我们能否找到新的方法解决这一难题？”，引出本节课，并板书课题。
【设计意图】问题是思维的源泉，让学生在独立思考中产生强烈的问题意识，从而激发学生的求知欲，实现课堂的有效导入。
（二）观察分析 初步探究依据教材选用学生熟悉的“高台跳水”的例子，引导学生围绕本节课的重点展开探究。
提出问题1：通过观察，找到ht 的两个单调区间，探究在这两个单调区间上导数分别有么特征。
利用导数确定函数的单调性教学设计
利用导数确定函数的单调性教学设计一、教学目标1.理解函数的增减性和单调性的概念；2.能够通过函数的导数确定函数的单调性；3.能够应用导数确定函数的单调区间。
二、教学内容和教学步骤步骤一：引导学生了解函数的增减性和单调性的概念（约10分钟）1.引导学生回顾函数的增减性的定义：当函数在一个区间内的导数大于0，即函数单调增加；当函数在一个区间内的导数小于0，即函数单调减少；2.解释函数的单调性：当一个函数在一个区间上单调递增或单调递减时，函数称为在该区间上是单调的。
步骤二：通过例子讲解通过导数确定函数的单调性（约20分钟）1.举例说明如何通过导数确定函数的单调性。
例子：考虑函数f(x)=2x^3-9x^2+12x-3(1)求函数f(x)的导数f'(x)=6x^2-18x+12；(2)解方程f'(x)=0，得到x=1；(3)考虑x<1时，f'(x)=6x^2-18x+12>0，说明f(x)在x<1时是单调增加的；(4)考虑x>1时，f'(x)=6x^2-18x+12<0，说明f(x)在x>1时是单调减少的；(5)所以，综合以上结论，f(x)在x<1时单调增加，在x>1时单调减少。
步骤三：合作探究导数和函数的单调性的关系（约30分钟）1.将学生分成小组，并要求每个小组选择一种类型的函数进行研究，如多项式函数、指数函数、对数函数等；2.引导学生通过研究函数的导数和函数的单调性之间的关系，总结出结论；3.每个小组从导数的角度解释和证明所选择的函数的单调性；4.每个小组向全班报告他们的研究结果。
步骤四：应用导数确定函数的单调区间（约30分钟）1.引导学生如何利用导数确定函数的单调区间。
例题：已知函数f(x)=3x^4-8x^3+6x^2+x-2，求f(x)的单调区间。
(1)求函数f(x)的导数f'(x)=12x^3-24x^2+12x+1；(2)解方程f'(x)=0，找到函数f(x)的驻点；(3)将驻点和函数的定义域端点进行分类，判断函数的增减性；(4)根据步骤(3)得出函数f(x)的单调区间。
高中数学《导数在研究函数中应用函数单调性与导数》教案2新人教A版选修22
函数的单调性与导数〔二〕一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程⑴〔一〕复习1．确定以下函数的单调区间：y＝x3－9x2＋24x；⑵y＝x－x3．〔4〕f(x)＝2x3－9x2＋12x－32．讨论二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的单调区间．3．在区间(a, b)内f'(x)＞0是f (x)在(a,b)内单调递增的A．充分而不必要条件 B ．必要但不充分条件C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件( A)〔二〕举例例1．求以下函数的单调区间(1) f (x)＝x－lnx(x＞0)；(2)(log(3x2)x(3)3(2x1)(1x)2〔4〕f(x)ln(3xb)〔b>0〕〔5〕判断f(x)lg(xx2)的单调性。
分三种方法：〔定义法〕〔复合函数〕〔导数〕例2．〔1〕求函数y1x31(aa2)x2a3xa2的单调减区间.2〔2〕讨论函数f(x)bx(11,b0)的单调性.x2〔3〕)a–+1x+1)，≥–)的单调设函数=x()ln(其中1，求区间.a〔1〕解：y′=2–(a+a2)x+a3=(x–a)(x–a2)，令y′＜0得(x–a)(x–a2)＜0.〔1〕当a＜0时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a,a 2)；〔2〕当0＜a＜1时，不等式解集为a2＜x＜a此时函数的单调减区间为(a2,a)；3〕当a＞1时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a,a2)；4〕a=0，a=1时，y′≥0此时，无减区间.综上所述：当a＜0或a＞1时的函数y1x3aa2)x2a3xa2的单调减区间为(a,a2)；3当0＜a＜1时的函数y 112322a)；x(aa)xax的单调减区间为(a,32当a=0，a=1时，无减区间.〔2〕解：∵f(x)bxbx f(x)，∴f(x)在定义域上是奇函数.(x)21x21在这里，只需讨论f(x)在(0,1)上的单调性即可.当0＜x＜1时，f′(x)=b(xbx21x(x21)bx22x21=bx22(x21)2(x21)2(x21)2假设b＞0，那么有f ′(x)＜0，∴函数fx)在(0,1)上是单调递减的；假设b＜0，那么有f ′(x)＞0，∴函数fx)在(0,1)上是单调递增的.由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论：当b＞0时，函数f(x)在(–1,1)上是单调递减的；当b＜0时，函数f(x)在(–1,1)上是单调递增的.〔3〕解：由得函数f(x)的定义域为(–1,+∞)，且f(x)ax1(a≥–1).x1〔1〕当–1≤a≤0时，f′(x)＜0，函f(x)在(–1,+∞)上单调递减.1〔2〕当a＞0时，由f′(x)=0，解得x.a′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(1,1)1(1, )a a af′(x)–0+f(x)↘极小值↗从上表可知，当x∈(1,1a)时，f ′(x)＜0，函数f(x)在(1,1)上单调递减a.当x ∈( 1, a )时，f′(x)＞0，函数f(x)在(1,a)上单调递增.综上所述，当–1≤a≤0时，函数f(x)在(–1,+∞)上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在(1,1)上单调递减，函数a f(x)在(1,a)上单调递增.作业：?习案?作业八。
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用导数研究函数单调性
【课 题】导数的应用—用导数研究函数的单调性
【教学目标】1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
【教学重点】利用导数判断函数单调性
【教学难点】如何用导数研究函数的单调性
【课 型】新授课
【教 具】多媒体
【引 例】
1、 确定函数243=-+y x x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？ 解：2243(2)1y x x x =-+=--，在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数。
问：1、为什么243=-+y x x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数？
2、研究函数的单调区间你有哪些方法？
（1） 观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）
（2） 利用函数单调性的定义。
（复习一下函数单调性的定义）
2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？
（1） 能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。
提问一个学生：解决了吗？到哪一步
解决不了？（产生认知冲突）
（2） （多媒体放映）
【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。
尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f (x )=2x 3－6x 2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。
（研究的必要性）事实上用定义研究函数2
43=-+y x x 的单调区间也不容易。
【探 究】
我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。
问：如何入手？（图象） 从函数f (x )=2x 3－6x 2+7的图象吗？
1、研究二次函数243=-+y x x 的图象；
（1）
学生自己画图研究探索。
（2）
提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？ （3）
（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。
（4）
提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？ （5） 学生继续探索，得出初步规律。
几何画板演示，共同探究。
得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。
（学生总结）：
①该函数在区间(,2)-∞上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；
在区间(2,)+∞上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；
注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？
②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？ }都是反映函数随自变量的变化情况。
2、先看一次函数图象；
3、再看两个我们熟悉的函数图象。
（验证）
（1） 观察三次函数3y x =的图象；（几何画板演示）
（2） 观察某个函数的图象。
（几何画板演示）
指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。
这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。
【新课讲解】
4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。
（幻灯放映）
一般地，设函数()y f x =在某个区间可导，则函数在该区间内
如果在这个区间内'()0f x >，则()y f x =为这个区间内的增函数；
如果在这个区间内'()0f x <，则()y f x =为这个区间内的减函数。
若在某个区间内恒有'()0f x =，则()f x 为常函数。
这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。
严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。
这儿我们可以直接用这个结论。
小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。
结论应用：
由以上结论知：函数的单调性与其倒数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。
下面举例说明：
【例题讲解】
例1、 求证：3
1y x =+在(,0)-∞上是增函数。
由学生叙述过程老师板书：
'3'2(1)2y x x =+=，(,0)x ∈-∞，20x ∴>，即'0y >，∴函数31y x =+在(,0)-∞上是增函数。
注：我们知道3
1y x =+在R 上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。
学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。
例2、 确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
由学生叙述过程老师板书：
解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x , 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0
∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数;当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数.
学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：
（1） 确定函数f (x )的定义域；
（2） 求函数f (x )的导数f ′(x ).
（3） 令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.
令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间
【课堂练习】
1．确定下列函数的单调区间
(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3
(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4)
令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.
∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4
.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)
(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1)
令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1.
∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1).
令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1.
∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
2、设)x (f y '=是函数)x (f y =的导数, )x (f y '=的
图象如图所示, 则)x (f y =的图象最有可能是( )
小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？
【课堂小结】
1.函数导数与单调性的关系:若函数y =f (x )在某个区间内可导,
如果f ′(x )>0, 则f (x )为增函数;如果f ′(x)<0, 则f (x )为减函数.
2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.
3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.
【思考题】
对于函数f (x )=2x 3－6x 2+7
思考1、能不能画出该函数的草图？
思考2、3
276x x +=在区间（0，2）内有几个解？ 【课堂作业】
课本p 42习题2.4 1,2
【课后记】
本节课是一节新授课，课本所提供的信息很简单，如果直接得出结论，学生也能接受，可学生只能进行简单的模仿应用。
为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课，设计思路如下，以便教会学生会思考解决问题：1、首先研究从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前的方法；
2、从不熟悉的三次函数入手，使学生体会到以前的知识已不能解决，必须寻求一个新的解
决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性；
3、从简单的、熟悉的函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变
化，再与新学的导数联系起来，形成结论。
另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。
4、应用中重点指导学生的解题步骤，避免考试中隐性失分。
在今后的教学中，应注重学生的参与，引发认知冲突，教会学生思考问题。
加强教案设计的合理性，语言做到准确、简练。
节奏要把握好。