层次分析法判断矩阵

层次分析法判断矩阵层次分析法判断矩阵程序先确定判断矩阵；然后用以下程序就好了：%层次分析法的matlab程序%%%%diertimoxingyiclc,cleardisp(输入判断矩阵);% 在屏幕显示这句话A=input(A=);% 从屏幕接收判断矩阵[n,n]=size(A);% 计算A的维度，这里是方阵，这么写不太好x=ones(n,100);% x为n行100列全1的矩阵y=ones(n,100);% y同xm=zeros(1,100);% m为1行100列全0的向量m(1)=max(x(:,1));% x第一列中最大的值赋给m的第一个分量y(:,1)=x(:,1);% x的第一列赋予y 的第一列x(:,2)=A*y(:,1);% x的第二列为矩阵A*y(:,1)m(2)=max(x(:,2));% x 第二列中最大的值赋给m的第二个分量y(:,2)=x(:,2)/m(2);% x的第二列除以m(2)后赋给y的第二列p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));% 初始化p，i，k为m(2)-m(1)的绝对值while k>p% 当k>p是执行循环体i=i+1;% i 自加1x(:,i)=A*y(:,i-1);% x的第i列等于A*y的第i-1列m(i)=max(x(:,i));% m的第i个分量等于x第i列中最大的值y(:,i)=x(:,i)/m(i);% y的第i列等于x的第i列除以m的第i个分量k=abs(m(i)-m(i-1));% k等于m(i)-m(i-1)的绝对值enda=sum(y(:,i));% y的第i列的和赋予aw=y(:,i)/a;% y的第i 列除以at=m(i);% m的第i个分量赋给tdisp(权向量:);disp(w);% 显示权向量wdisp(最大特征值:);disp(t);% 显示最大特征值t %以下是一致性检验CI=(t-n)/(n-1);% t-维度再除以维度-1的值赋给CIRI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];% 计算的标准CR=CI/RI(n);% 计算一致性if CR摘要在定性问题的决策中，ＡＨＰ是一种优秀的方法，其基础是对评价对象的两两比较，并用比较结果构造判断矩阵，而这些都依赖于决策者选用的偏好关系。

常采用的偏好关系有Ｓａａｔｙ的基于商的偏好关系以及模糊偏好关系，相应构造的判断矩阵分别为正互反判断矩阵和模糊互补判断矩阵。

本文首先对ＳａａｔｙＡＨＰ的几种常见标度进行了比较分析，然后对正互反判断矩阵及模糊互补判断矩阵的权重计算方法进行了归纳和总结；最后，本文提出了一种新的偏好关系，即基于差的偏好关系，从而将反对称矩阵引入层次分析法，接着对新型偏好关系下判断矩阵的构造、一致性的定义与性质以及权重的计算方法做了初步的研究，最后用算例说明了新方法的应用，并做了相应的比较分析，结果表明采用基于差的偏好关系构造反对称矩阵拓展了ＡＨＰ的应用范围，有一定的理论和应用价值。

关键词：层次分析法；标度：判断矩阵；一致性；权重向量ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｂａｓｉｓｏｆＡＨＰｉｓｊｕｄｇｅｍｅｎｔｍａｔｒｉｘ，ｇｅｎｅｒａｌｌｙｉｎｃｌｕｄｉｎｇＡＨＰｏｎｊｕｄｇｅｍｅｎｔｍａｔｒｉｘａｎｄｆｕｚｚｙｒｅｃｉｐｒｏｃａｌｍａｔｒｉｘ，ｗｈｉｃｈｒｅｌｙＳａａｔｙｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｒｅｌａｔｉｏｎａｎｄｆｕｚｚｙｓｅｖｅｒａｌｆａｍｉｌｉａｒｒａｔｉｏｓｃａｌｅｓｏｆｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｒｅｌａｔｉｏｎｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．ＴｈｉｓｐａｐｅｒｃｏｍｐａｒｅｄＳａａｔｙＡＨＰｆｉｒｓｔｌｙ；ａｎｄｔｈｅｎ，ｃｏｍｍｏｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇｐｒｉｏｒｉｔｙｖｅｃｔｏｒｆｒｏｍｆｕｚｚｙｒｅｃｉｐｒｏｃａｌｍａｔｒｉｘｗｅｒｅｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ．Ｉｎｃｈａｐｔｅｒ３，ｔｈｅＡＨＰｊｕｄｇｍｅｎｔｍａｔｒｉｘｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｄａａｎｄｎｅｗｋｉｎｄｏｆｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｒｅｌａｔｉｏｎ，ｉ．ｅ．ｄｉｓｔａｎｃｅｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｒｅｌａｔｉｏｎ；ｆｏｌｌｏｗｅｄｔｈｉｓ，ａｓｃａｌｅＷａＳｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｆｏｒｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃｍａｔｒｉｘ，ａｎｄｖｅｃｔｏｒｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙｏｆｔｈｅｍａｔｒｉｘＷａＳｄｅｆｉｎｅｄ，ｔｈｒｅｅｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｃｏｍｐｕｔｉｎｇｐｒｉｏｒｉｔｙｗｅｒｅｓｔｕｄｉｅｄ；Ａｔｔｈｅｅｎｄ，ｔｗｏｅｘａｍｐｌｅｓｗｅｒｅｕｓｅｄｔｏｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆ也ｅｕｅｗｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄｔｈｅｙｓｈｏｗｅｄｔｈａｔｔｈｅｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｏｆａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃｍａｔｒｉｘＡＨＰｉＳｅｆｆｅｃｔｉｖｅｔｏａｎｄＶａｌｕａｂｌｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ａｎａｌｙｔｉｃｈｉｅｒａｒｃｈｙｐｒｏｃｅｓｓ；Ｒａｔｉｏｓｃａｌｅ；ＪｕｄｇｅｍｅｎｔｍａｔｒｉｘＣｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙＰｒｉｏｒｉｔｙｖｅｃｔｏｒｙ７６３５８Ｓ声明本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的材料。

与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文中作了明确的说明。

研究生签名：／『ｉ彩参ｃｌ砂。

厂年∥月夕。

日学位论文使用授权声明南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。

对于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。

研究生签名：｛彗丛少，厂年占月夕。

日南京理工大学硕二｜＝学位论文层次分析法中判断矩阵的构造问题第一章概论§ｌ层次分析法概述美国运筹学家Ｔ．Ｌ．Ｓａａｔｙ于７０年代提出ＡｎａｌｙｔｉｃＨｉｅｒａｒｃｈｙＰｒｏｃｅｓｓ（ＡＨＰ），它是对方案的多指标系统进行分析的一种层次化、结构化决策方法，它采用数学方法将哲学上的分解与综合思维过程进行了描述，从而建立决策过程的数学模型，具有适用性、简洁性、有效性和系统性等特点。

作为规划、决策和评价工具，ＡＨＰ自问世以来，已在世界各地得到迅速普及和推广，取得了大量的研究成果。

ＡＨＰ的第一步工作是建立层次结构，本文只就单层ＡＨＰ中的部分问题进行讨论。

１．１层次分析法１．１．１构造判断矩阵层次分析法的一个重要特点就是用两两重要性程度之比的形式表示出两个方案的相应重要性程度等级。

如对菜一准则，对其下的ｎ个方案进行两两对比，并按其重要性程度评定等级。

记ａ。

为第ｉ和第ｊ方案的重要性之比，表１．１列出Ｓａａｔｙ给出的９个重要性等级及其赋值。

ｘ．比焉极端重要９强烈重要７明显重要５稍微重要３同样重要１ｌ量化值表１．１９比例标度表按两两比较结果构成的矩阵Ａ２（臼ｌ『）。

，称作判断矩阵。

易见％＞ｏ，ａ，ｉ＝１且嘶＝１／ａｉ（ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ），即Ａ为正互反矩阵。

１．１．２计算权重向量２Ａ５１为了从判断矩阵中提炼出有用的信息，达到对事物的规律性认识，为决策科学提供科学依据，就需要计算判断矩阵的权重向量。

定义１・１判断矩阵Ａ＿（ａｉｊ）…，如对Ｖｉ，ｊ，ｋ＝１，２，…，ｎ，成立％２ａ＋ａⅫ，则称Ａ满足一致性，并称Ａ为一致性矩阵。

定理１．１一致性矩阵Ａ具有下列简单性质：（１）ｒａｎｋ（Ａ）２１，且存在唯一的非零特征值五。

＝ｎ，其规范化特征向量ｗ２（ｗｌ，Ｗ２，…，Ｗ行）１叫做权重向量，Ｋａ口２ｗ／Ｗｊ；南京理工大学硕士学位论文层次分析法中判断矩阵的构造问题（２）Ａ的列向量之和经规范化后的向量，就是权重向量；（３）Ａ的任一列向量经规范化后的向量，就是权重向量；（４）对Ａ的全部列向量求每一分量的几何平均，再规范化后的向量，就是权重向量。

根据上述定理中的性质（２）和（４）即得到判断矩阵满足一致性的条件下求取权值的方法，分别称为和法和根法。

而当判断矩阵不满足一致性时，用和法和根法计算权重向量则很不精确。

特征向量法是ＡＨＰ的～种基本方法，Ｐｅｒｒｏｎ定理为特征向量法奠定了理论基础。

定理１．２（Ｐｅｒｒｏｎ）成立：记Ａ＝（口ｆ，）√Ｍ＞ｏ为正矩阵，Ｐ（Ａ）为其谱半径，则下列论断（１）Ａ的最大特征值旯ｍ戡存在、唯一，且五。

＝Ｐ（Ａ）；（２）与兄。

对应的规范化特征向量ｗ＝（Ｗ１，Ｗ２，…，ｗＨ）７为正向量，即ｗ中每个元素似＞Ｏ。

因此，对于构造出的判断矩阵，就可以求出最大特征值所对应的特征向量，然后规范化作为权值。

１．１．３一致性检验‘２在实际应用过程中，由于专家在进行两两比较时的价值取向和定级技巧以及重要性等级赋值的非等比性，当判断矩阵的阶数ｎ＞２时，通常难于构造出满足一致性的矩阵来。

但判断矩阵偏离一致性条件又应有一个度，为此，必须对判断矩阵是否可接受进行鉴别，这就是一致性检验的内涵。

定理１・３设Ａ。

是正互反矩阵Ａ２（口ｌ，）…的最大特征值，则必有五…≥ｎ，其中，等式当且仅当Ａ为一致性矩阵时成立。

应用上面的定理，则可以根据兄。

２ｎ是否成立来检验矩阵的一致性，如果五。

，比ｎ大得越多，则Ａ的非一致性程度就越严重。

因此，定义一致性指标ｒＴ一以ｍｘ一／，７。

磊二ｉ一和平均随机一致性指标ＲＩ，见表１．２。

南京理工大学硕士学位论文层次分析法中判断矩阵的构造问题ｌ矩阵阶数３４ｃＩ样本均值（ＲＩ）０．５１４９０．８９３１１．１１８５１．２４９４１．３４５０１．４２００矩阵阶数９ｌＯ１１１２１３ｃＩ样本均值（ＲＩ）１．４６１６１４８７４５６７１．５１５６１．５４０５１．５５８３ｆ８表１．２平均随机一致性指标标准值Ｓａａｔｙ建议取一致性指标（ｃＩ）对随机一致性指标值（ＲＩ）之比，作为一致性检验判别式，并称作一致性比率（简记为ｃＲ），即ｃＲ：旦砒如果ＣＲ＜Ｏ．１，则认为该判断矩阵通过一致性检验。

可见，ＡＨＰ方法不仅原理简单，而且具有扎实的理论基础，是定量与定性方法相结合的优秀的决策方法。

１．２层次分析法研究的意义㈣简单就是美。

由于ＡＨＰ给人们决策提供了简单的层次框架和方法，同时它又蕴涵着深刻的决策心理机制和决策效用机制，因而这一简单而又深奥的理论进行研究具有重要的意义。

（１）理论意义集数学方法、层次结构、试验心理学和比较权衡分析于一体的ＡｔｔＰ，无疑具有十分丰富的内涵，可以给我们提供广阔的研究空间，并使ＡＨＰ的研究可以集众学科之大成，同时也可以进一步促进众多学科的发展，尤其是，由于ＡＨＰ在决策科学中占有重要的地位，对它的深入研究有益揭示决策的本质。