圆锥曲线切点弦所在直线方程

圆锥曲线切点弦所在直线方程

2012年2月课程解读教材教法圆锥曲线切点弦所在直线方程筅北京师范大学出版集团岳昌庆为什么讨论圆锥曲线的切线问题？一方面，圆内已讨论切线问题，学生自然就会探索其他圆锥曲线的切线问题；另一方面，导数知识的加入，也使研究圆锥曲线的切线更成为可能．本文约定：圆锥曲线的内部：包括焦点（或圆心）的圆锥曲线所围成的平面区域；圆锥曲线的外部：不包括圆锥曲线及圆锥曲线的内部的平面区域．若自点P（0x0，y0）可作二次曲线的两切线，两切点所连线段叫做点P0关于此曲线的切点弦．可得以下结论：为保证切点弦的存在，点P0必须在椭圆（或圆）的外部，双曲线的外部（即不包括双曲线焦点的平面区域），抛物线的外部（即不包括抛物线焦点的平面区域）．下面以圆的切点弦方程为例，证明如下.设点P（0x0，y0）在圆x2+y2=r2外，由P0向该圆引两切线，设两切点分别为A、B，则点P0关于此圆的切点弦AB所在直线方程为x0x+y0y=r2．由已知可设A（xA，yA），B （xB，yB），xA≠xB，则：切线PA所在直线方程为xAx+yAy=r2；切线PB所在直线方程为xBx+yBy=r2.由P（0x0，y0）∈PA，得x0xA+y0yA=r2.同理，x0xB+y0yB=r2．即点A，B的坐标分别满足方程x0x+y0y=r2.又过不重合的两点的直线唯一，所以x0x+y0y=r2即为点P0关于此圆的切点弦AB所在直线的方程．

例1［2003年硕士学位研究生入学资格考试（GCT）］过点P（0，2）作圆x2+y2=1的切线PA、PB,A、B是两个切点，则A、B所在直线的方程为（）．A．x=-12B．y=-12C．x=12D．y=12由切点弦方程，可得A、B所在直线的方程为0x+2y=1，即y=12，故选D．例2［2008年高考山东卷（理科）］设抛物/线方程为x2=2py（p＞0）,M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B.（1）求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；（2）已知当点M的坐标为（2，-2p）时，｜AB｜=4 10%姨，求此时抛物线的方程；（3）略．（1）如图1，由已知可设M（xM，-2p），显然点M在抛物线的外部，则点M关于该抛物线的切点弦所在直线方程为AB：xMx=p（y-2p）．可设A xA，xA22p0 0，B xB，xB22p0 0，xA≠xB，则：xMxA=pxA22p-20 0p，xMxB=pxB22p-20 0p.两式相减，整理得：（xA-xB）（xA+xB-2xM）=0.又xA≠xB，所以xA+xB=2xM．故A、M、B三点的横坐标成等差数列．（2）所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y．（3）略．评注:由雾里看花到水落石出，由遥不可及到快速接近目标．一些结论能帮助我们用“缩略式”思维方式思考问题，快速接近问题、解决问题，然后再回过头来补证这一结论．将一道难题变成跳一跳能够够得着的中档题，何乐而不为？例3［2008年高考江西卷（理科）］设点P（x0，y0）在直线x=m （y≠±m，0＜m＜1）上，过点P作双曲线x2-y2=1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M1m，0 00．（1）略；（2）求证：A、M、B三点共线