数值分析参考答案(第一章)

第一章 绪论

1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*

****

r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈

2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()

p xf x C f x = 又1'()n f x nx -= , 1

||n p x nx C n n

-?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?

且(*)r e x 为2

((*))0.02n r x n ε∴≈

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*5

7 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字；

*20.031x =是二位有效数字；

*3385.6x =是四位有效数字；

*456.430x =是五位有效数字；

*57 1.0.x =?是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***

124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24

/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：

*4

1*3

2*13*3

4*1

51

()102

1()102

1()102

1()102

1()102x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? ***124***1244333

(1)()

()()()

111101010222

1.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***123*********123231132143

(2)()

()()()

1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222

0.215

x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈

**24****24422

*4

33

5

(3)(/)()()

110.0311056.430102256.43056.430

10x x x x x x x εεε---+≈??+??=?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=

则何种函数的条件数为

2

3

'4343

p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=

又(*)1r V ε=

故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=

?≈

6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）

计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？

解：1n n Y Y -=-

10099Y Y ∴=-

9998Y Y =

9897Y Y =-……

10Y Y =-

依次代入后，有1000100Y Y =-

即1000Y Y =

27.982, 100027.982Y Y ∴=-

*310001()()(27.982)102

Y Y εεε-∴=+=? 100Y ∴的误差限为31102

-?。

7．求方程2

5610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。 解：25610x x -+=，

故方程的根应为1,228x =

故 1282827.98255.982x =≈+= 1x ∴具有5位有效数字

211280.0178632827.98255.982

x =-=≈=≈+ 2x 具有5位有效数字

8．当N 充分大时，怎样求1

211N N dx x

++?？

解 1

2

1arctan(1)arctan 1N N dx N N x +=+-+? 设arctan(1),arctan N N αβ=+=。

则tan 1,tan .N N αβ=+=

1

2211arctan(tan())

tan tan arctan 1tan tan 1arctan 1(1)1arctan 1

N N dx

x N N N N

N N αβαβαβαβ

++=-=--=++-=++=++? 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2

1cm ？ 解：正方形的面积函数为2()A x x = (*)2*(*)A A x εε∴= .

当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21(*)102

x ε-≤? 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm

10．设212

S gt =，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 解：21,02

S gt t => 2(*)(*

)S g t t εε∴= 当*t 增加时，*S 的绝对误差增加

2*2*(*)

(*)*

(*)1()2

(*)2r S S S gt t g t t t

εεεε===

当*t 增加时，(*)t ε保持不变，则*S 的相对误差减少。

11．序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),

若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

解：0 1.41y =≈

201(*)102

y ε-∴=? 又1101n n y y -=-

10101y y ∴=-

10(*)10(*)y y εε∴=

又21101y y =-

21(*)10(*)y y εε∴=

220(*)10(*)

......y y εε∴=

10100102

8

(*)10(*)

1101021102

y y εε-∴==??=?

计算到10y 时误差为81102

?，这个计算过程不稳定。 12

．计算61)f =

≈1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

,

3(3-,

，

99- 解：设6(1)y x =-，

若x =* 1.4x =，则*11102

x -ε()=?。

计算y 值，则

***7***7**1(1)6(1)

y x x y x x y x ε()=--6?

ε()+ =ε()+ =2.53ε()

若通过3(3-计算y 值，则

**2******(32)632y x x y x x

y x ε()=-3?2?-ε()

=

ε()- =30ε()

计算y 值，则 ***4***7**1(32)

1(32)

y x x y x x y x ε()=--3?ε()+ =6?ε()+ =1.0345ε()

计算后得到的结果最好。 13

．()ln(f x x =,求(30)f 的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多

大？若改用另一等价公式。ln(ln(x x =-

计算，求对数时误差有多大？

解

()ln(f x x =

, (30)ln(30f ∴=

设(30)u y f ==

则*

u =29.9833 *412

u -∴ε()=?10 故

****3

10.0167

y u u u -1ε()≈-

ε()30- =ε() ≈3?10 若改用等价公式

ln(ln(x x =-

则(30)ln(30f =- 此时，

****7159.9833

y u u u -1ε()=∣-

∣ε()30+ =?ε() ≈8?10