九年级数学上册：一元二次方程的解法综合练习题(解析版)

一元二次方程之概念

一、选择题

1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（）

①3x2+7=0；②ax2+bx+c=0；③（x﹣2）（x+5）=x2﹣1；④3x2﹣5

x

=0．

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

【答案】A

【解析】

试题分析：本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

解：①3x2+7=0，是一元二次方程，故本小题正确；

②ax2+bx+c=0，a≠0时是一元二次方程，故本小题错误；

③（x﹣2）（x+5）=x2﹣1，整理后不是一元二次方程，故本小题错误；

④3x2﹣=0，是分式方程，不是一元二次方程，故本小题错误．

故选：A．

考点：一元二次方程的定义．

2.方程2x2＝3(x－6)化为一般形式二次项系数、一次项系数和常数项分别为( )

A. 2，3，－6

B. 2，－3，18

C. 2，－3，6

D. 2，3，6

【答案】B

【解析】

试题分析：要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．

解：方程2x2=3（x﹣6），

去括号，得2x2=3x﹣18，

整理，得2x2﹣3x+18=0，

所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，18，

故选B．

考点：一元二次方程的一般形式．

3.若px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则（）

A. p＝1

B. p＞0

C. p≠0

D. p为任意实数【答案】C

【解析】

根据一元二次方程的定义，得p≠0.故选C.

二、填空题

4.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．【答案】(1). 3 (2). ?2 (3). -4

【解析】

【分析】

先化成一般形式，再求出即可．

【详解】3x2?3=2x+1，

3x2?2x?1?3=0，

3x2?2x?4=0，

即二次项系数是3，一次项系数是?2，常数项为?4，

故答案为：3，?2，?4.

【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式，解题关键在于将方程化成一般形式

5.一元二次方程的一般形式是__________． 【答案】ax 2+bx +c =0(a ≠0) 【解析】

由一元二次方程的定义，可知一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0(其中a 、b 、c 为常数,且a ≠0). 故答案为：ax 2+bx +c =0(a ≠0).

6.关于x 的方程()2

130a x x -+=是一元二次方程，则a 的取值范围________．

【答案】1a ≠ 【解析】 【分析】

根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．

【详解】∵关于x 的方程(a?1)x 2+3x=0是一元二次方程， ∴a?1≠0，a≠1. 故答案为：a≠1.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义.

三、综合提高题

7.a 满足什么条件时，关于x 的方程a （x 2+x ）x-（x+1）是一元二次方程？ 【答案】a ≠0

【解析】 【分析】

利用一元二次方程的定义判断即可得到a 的值．

【详解】方程a(x 2+x)=x?(x+1)整理得：ax 2 ， ∵方程为一元二次方程， ∴a ≠0

【点睛】此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握一元二次方程的定义

8.关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？ 【答案】可能，理由见解析 【解析】 【分析】

根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．

【详解】关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6是一元二次方程，理由如下：

21220m m m +=+≠???

， 解得m=1，

m=1时,关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6是一元二次方程 【点睛】此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握其定义

一元二次方程之根

一、选择题

9.方程x （x-1）=2的两根为（ ）． A. x 1=0，x 2=1

B. x 1=0，x 2=-1

C. x 1=1，x 2=2

D. x 1=-1，x 2=2

【答案】D

【解析】

【分析】

解此题时应该先化简、整理，然后根据方程形式用公式法进行解答．【详解】方程移项并化简得x2?x?2=0，

a=1，b=?1，c=?2

△=1+8=9>0

∴

解得x1=-1，x2=2.

故选D

【点睛】此题考查解一元二次方程-公式法，解题关键在于利用判别式10.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．

A. x1=b，x2=a

B. x1=b，x2=1

a

C. x1=a，x2=

1

a

D. x1=a2，x2=b2

【答案】B

【解析】

【分析】

先用提公因式的方法把方程的左边分解因式，然后解方程即可．

【详解】原方程可变形为(x?b)(ax?1)=0,解得x1=b，x2=1

a

，

故选B.

【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于利用因式分解

11.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0）（）．

A. 1

B. -1

C. 0

D. 2 【答案】A

【解析】

【分析】

将x=-1代入方程得到a+c=b，将所求式子变形后将a+c=b代入，即可求出值．【详解】∵x=?1是方程ax2+bx+c=0的根，

∴a?b+c=0，即a+c=b，

=1.

故选：A

【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于将x的值代入

二、填空题

12.如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．

【答案】(1). 9 (2). -9

【解析】

【分析】

把方程化为x2＝81容易推出x的值

【详解】∵ x2＝81，又∵ (±9) 2＝81，∴x＝±9

故答案为：9，-9

【点睛】此题考查解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则

13.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．

【答案】?13

【分析】

将已知的根代入原方程，即可求得m 的值． 【详解】∵方程5x 2+mx?6=0的一个根是x=3， ∴5×9+3m?6=0 解得：m=?13. 故答案为：?13.

【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于将x 的值代入方程

14.方程（x+1）2

（x+1）=0，那么方程的根x 1=______；x 2=________． 【答案】 (1). -1 (2).

【解析】

分析】

分解因式得到（x+1）[ +1）x+1]=0，解一元一次方程即可． 【详解】(x+1)[(

+1)x+1]=0，

x+1=0,或+1)x+1=0， x 1=?1,x 2. 故答案为： 【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于分解因式

三、综合提高题

15.如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根，求（a-b ）2+4ab 的值． 【答案】9

【分析】

首先将已知方程的根代入方程求得a、b的和，然后代入已知的代数式求值即可．

【详解】∵x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，

∴a+b=?3，

∴(a?b) 2+4ab=(a+b) 2=(?3) 2=9

故答案为9

【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于求得a、b的和

16.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

二次项系数与常数项之和等于一次项系数即a+c=b，得到a-b+c=0；在关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中令x=-1是就得到a-b+c=0则-1必是该方程的一个根．

【详解】证明：根据题意，得：a+c=b，即a?b+c=0；

当x=?1时,ax2+bx+c=a(?1) 2+b(?1)+c=a?b+c=0，

∴?1必是关于x的一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根。

【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于得到a-b+c=0

一元二次方程之根的判别

一、选择题

17.一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（）．

A. a=0

B. a=2或a=-2

C. a=2

D. a=2或a=0

【答案】B

【解析】

因为方程有两相等的实数根，△=b2-4ac=a2-4=0，解得a=±2．

故选：B．

点睛：此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题关键是根据根的情况求出根的判别式的取值范围. 一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系：当b2-4ac＞0时，有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时，无实数根.

18.已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（）．

A. k≠2

B. k>2

C. k<2且k≠1

D. k为一切实数

【答案】D

【解析】

一元二次方程若有根，则△=b2-4ac≥0，由a=k-1，b=k，c=1建立关于k的不等式△=b2-4ac=k2-4×（k-1）×1≥0，整理得：△=（k-2）2≥0，然后由k≠1求得k的取值范围：k为一切不等于1的实数．

故选：D．

点睛：此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，明确一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△= b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△= b2-4ac =0，方程有两个相等的实数根；（3）△= b2-4ac＜0，方程没有实数根．

二、填空题

19.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．

【答案】p2-4q=0

【解析】

根据一元二次方程的根与系数的关系，可由方程无解，可得△=b2-4ac＜0，即p2-4q=0.

故答案为：p2-4q=0.

点睛：此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题时根据一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系：当b2-4ac＞0时，有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时，无实数根，解题关键是根据根的情况求出根的判别式的取值范围.

20.不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（填“两个不等实根”或“两个相等实根或没有实根”）．【答案】有两个不等实根

【解析】

根据题意可知方程可化为2x2-3-4x=0，求得系数a=2，b=-4，c=3，然后代入根的判别式△=b2-4ac=16+24=40＞0，所以方程有两个不等实根.

故答案为：有两个不等实根.

21.已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a2+ab-2b2）=0的根的情况是

________．

【答案】有两个不等实根

【解析】

根据题意可知一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac=[-（2a+b）]2-4×1×（a2+ab-2b2）=4a2+4ab+b2-4a2-4ab+8b2=9b2，由b≠0得△＞0，所以方程有两个不等实根.

故答案为：有两个不等实根.

三、综合提高题

22.不解方程，试判定下列方程根的情况．

（1）2+5x=3x2

（2）x2-（

【答案】（1）有两个不等实根（2）没有实根

【解析】

试题分析：判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号，因此根据一元二次方程根与系数的关系：（1）△= b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△= b2-4ac =0，方程有两个相等的实数根；（3）△= b2-4ac＜0，方程没有实数根，判断即可．

试题解析：（1）化为3x2-5x-2=0

b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0，

有两个不等实根．

（2）b2，没有实根．

23.当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．

【答案】证明见解析

【解析】

试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系：（1）△= b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△= b2-4ac =0，方程有两个相等的实数根；（3）△= b2-4ac＜0，方程没有实数根，求出根的判别式的范围即可.

试题解析：∵c<0 ∴b2-4×1×c>0，方程有两个不等的实根．

24.不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．

【答案】证明见解析

【解析】

试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系：（1）△= b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△= b2-4ac =0，方程有两个相等的实数根；（3）△= b2-4ac＜0，方程没有实数根，求出根的判别式的范围即可.

试题解析：b2-4ac=4k2-4（2k-1）=4k2-8k+4=4（k-1）2≥0，

∴方程有两个不相等的实根或相等的实根．

25.某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．

【答案】20%

【解析】

【分析】

先根据2000年的投入新产品开发研究资金额求出2000年的销售总额，再设增长率为x，则增长两次以后的营业额是5（1+x）2，即可列出方程，解这个方程便可求得增长率．

【详解】因为每年将销售总额8%作为新产品开发研究资金。该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万，

所以2000年的销售总额为4000÷8%=50000(万元)=5(亿元)

设增长率为x，∵2000年销售总额为5亿元，

∴2001年销售总额应为5(1+x)，2002年的销售总额应为5(1+x) 2；

依题意列方程：5(1+x) 2=7.2，

∴(1+x) 2=1.44，

∴1+x=1.2或1+x=?1.2，

∴x

1=0.2=20%，x2=?2.2(不合题意,舍去).

故平均增长率为20%

【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程

一元二次方程解法

26.利用因式分解法解下列方程

（1）(x －2) 2＝(2x-3)2 （2）240x x -=

（3） 3(1)33x x x +=+ （4）x 2 （5）()()2

585160x x ---+=

【答案】（1）x 1 =1,x 2 =5

3

；（2）x 1 =0,x 2 =4;（3）x 1 =-1,x 2 =1 ;（4）x 1 =x 2 ;（5）x 1 =x 2 =9; 【解析】 【分析】

直接利用因式分解法和直接开平方法进行计算即可 【详解】原式=(x －2) 2-(2x-3)2=0 ∴（1-x ）（3x-5）=0 x 1 =1,x 2 =

53

; （2）原式=x(x-4)=0 x 1 =0,x 2 =4;

（3）原式=3(1)-33=0x x x ++（）

=()()1330x x +-= x 1 =-1,x 2 =1 ;

（4）原式=(2

x =0

x 1 =x 2 ;

（5）原式=()2

540x --=???? x 1 =x 2 =9;

【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法和直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则

27.利用开平方法解下列方程

（1）x 2 -25=0 (2) 4x 2=1 (3) 2

1

313

x +=（

） 【答案】（1）x=±5；（2）x=±

12

；（3）x 1=?23 或x 2=?43

【解析】 【分析】

（1）依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤，一步步解出方程即可； （2）依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤，一步步解出方程即可； （3）依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤，一步步解出方程即可； 【详解】(1)x 2?25=0， 移项,得：x 2=25， 开方，得：x=±5. (2)4x 2=1， 开方，得：2x=±1， 方程两边同时÷2,得：x=±12

. (3)3(x+1)2=

13

， 方程两边同时÷3,得：(x+1) 2=1

9

， 开方,得：x+1=±13

， 移项,得：x 1=?

2

3

或x 2=?43

【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则

28.利用配方法解下列方程

（1）2+-120x x = （2）2

1

04

x --= （3）248211x x x ++=+

（4）x （x-4）=2-8x （5）220x x +=

【答案】（1）x 1=3,x 2=?4；（2）x 1,x 2 ；（3）x 1=1,x 2=?3；（4）x 1 ,x 2；

（5）x

1=0,x2=?2；

【解析】

【分析】

此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．

【详解】(1)移项,得x2+x=12，

配方x2+x+1

4

=

1

4

+12，

即(x+1

2

) 2=

49

4

，

开方得：x+1

2

=±

7

2

，

解得：x

1=3,x2=?4；

(2)移项,得x2?x=1

4

，

配方x2x+1

2

=

1

4

+

1

2

，

即(x?

2) 2=

3

4

，

开方得：x?

2=±

2

，

解得：x

1,x2；

(3)移项、合并同类项,得x2+2x=3，

配方x2+2x+1=4,即(x+1) 2=4，

开方得x+1=±2，

解得：x

1=1,x2=?3；

(4)去括号、移项、合并同类项,得x2+4x=2，配方x2+4x+4=6，

即(x+2) 2=6，

开方,得x+2=，

解得：x

1,x2；

(5)配方,得x2+2x+1=1，

即(x+1) 2=1，

开方，得x+1=±1，

解得：x

1=0,x2=?2；

【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握运算法则

29.解下列方程

（1）－3x 2＋22x－24＝0 （2）2x（x－3）=x－3．（3）（x-3）2+2x(x-3) =0

【答案】（1）x

1=4

3

，x2=6；（2）x1=3，x2=

1

2

；（3）x1=3 ，x2=1

【解析】

【分析】

（1）把最高项系数化成正数，用因式分解法解得x的值，（2）先移项再提取公因式，然后用因式分解法进行解方程（2）首先提取公因式（x-3），然后用因式分解法进行解方程．【详解】(1)∵?3x2+22x?24=0，

∴3x2?22x+24=0，

即(3x?4)(x?6)=0，

解得x

1=4

3

，x2=6；

（2）∵2x（x－3）=x－3 ∴2x（x-3）-（x-3）=0 ∴（x-3）（2x-1）=0

解得x

1=3，x2=1

2

；

(3)∵(x?3) 2+2x(x?3)=0，

∴(x?3)(x?3+2x)=0，

解得：x

1=3 ，x2=1；.

【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则

课后练习

30.方程2x2-3x+1=0经过配方化为(x+a)2=b的形式,正确的是( )

A.

2

3

16

2

x

??

-=

?

??

; B.

2

31

2

416

x

??

-=

?

??

; C.

2

31

416

x

??

-=

?

??

; D. 以上都不对

【答案】C

【解析】

【分析】

方程移项后，方程两边除以2，然后两边再同时加上一次项系数一半的平方，变形得到结果，即可判定．【详解】方程移项得：2x2-3x=-1，

方程两边除以2得：x2-3

2

x=-

1

2

，

配方得：x2-3

2

x+

9

16

=

1

16

，即（x-

3

4

）2=

1

16

，

故选C．

【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

31.用__________________法解方程(x-2)2=4比较简便。

【答案】直接开平方.

【解析】

【分析】

用直接开方法解形如(x+a)2=b的一元二次方程，根据平方根的定义可知x+a是b的平方根.当b≥0时，

x+a=，x=-a；当b＜0时，方程没有实根.

【详解】本题中可以将x-2看作整体，运用直接开平方法求解比较简单.

故答案为：直接开平方.

【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则

32.一元二次方程x2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 则a=______________.

【答案】6

【解析】

【分析】

可把（x-3）2=3按完全平方式展开，对比即可知a的值．

【详解】根据题意，(x?3) 2=3可变为：x2-6x+6=0，和已知一元二次方程x2-ax+6=0比较知a=6.

【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于把（x-3）2=3按完全平方式展开

33.关于x的方程(x+a)2=b(b>0)的根是（）

A. -a

B. x=±

C. 当b≥0时，

D. 当a≥0时，

【答案】A

【解析】

【分析】

由b>0，可两边直接开平方，再移项即可得．

【详解】∵b>0，

∴两边直接开平方,得：x+a=，

∴x=-a，

故选：A

【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则

34.已知关于x的方程（a2-1）x2+（1-a）x+a-2=0，下列结论正确的是（）

A. 当a≠±1时，原方程是一元二次方程。

B. 当a≠1时，原方程是一元二次方程。

C. 当a≠-1时，原方程是一元二次方程。

D. 原方程是一元二次方程。

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用一元二次方程的定义分析求出即可．

【详解】当a≠±1时,a2?1=0，则原方程是一元二次方程。

故选：A.

【点睛】此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握其定义

35.代数式x2 +2x +3 的最______（填“大”或者“小”）值为__________

【答案】(1). 小(2). 2

【解析】

【分析】

先把代数式x2+2x+3通过配方变形为（x+1）2+2的形式，再根据（x+1）2≥0，即可得出答案．【详解】∵x2+2x+3=x2+2x+1?1+3=(x+1) 2+2，

(x+1) 2?0， ∴(x+1) 2+2?2，

∴代数式x 2+2x+3有最小值，是2. 故答案为：小，2.

【点睛】此题考查配方法的应用，非负数的性质：偶次方，解题关键在于利用（x+1）2≥0

36.关于x 的方程（m-1）x 2+（m+1）x+3m-1=0，当m _________时,是一元一次方程;当m _________时,是一元二次方程.

【答案】 (1). =1 (2). ≠1 【解析】 【分析】

根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的指数是1次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a ，b 是常数且a ≠0），高于一次的项系数是0．据此可得出关于m 、n 的方程，继而可求出m 、n 的值．）、一元一次方程的定义（①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0）解答． 【详解】当关于x 的方程(m?1)x 2+(m+1)x+3m?1=0是一元一次方程时，

1010m m -=+≠???

， 解得m=1；

当关于x 的方程(m?1)x 2+(m+1)x+3m?1=0是一元二次方程时， m?1≠0， m ≠1，

故答案为：=1；≠1.

【点睛】此题考查一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，解题关键在于其各定义性质