第5章_刚体的定轴转动(A_rigid_body_about_a fixed axis)
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大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
ch5刚体定轴转动-PPT精选文档
x x R cos( t ) A B 0
y y L R sin( t ) L A B 0
2 2 2 x ( y L ) R A A
d x A v R sin( t ) Ax 0 d t
d y A v R cos( t ) Ay 0 d t
x
M M L d f d m g dm dx L O M 根据力矩 d M gx d x x L L M 1 dx M gx d x MgL 0 L 2 • 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算
例如 T' T T
M TR T ' R i
2 Ax 2 Ay
二.刚体绕定轴转动
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动
转轴固定不动 — 定轴转动
刚体的平动和绕定轴转动是刚体的 两种最简单最基本运动 1. 描述 刚体绕定轴转动的角量 角坐标 角速度 角加速度
z
I
f( t) d f '(t)
d t
2 d d 2 f" ( t ) d t d t
第5章 刚体的定轴转动
猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期 的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度 将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？
本章内容
5.1 刚体运动的描述 5.2 力矩 刚体绕定轴转动的转动定律 动能定理
5.3 绕定轴转动刚体的动能 5.4 动量矩和动量矩守恒定律
25 v v v R 0 . 26 m / s A 300 d v 2 Ax a R cos( t ) Ax 0 d t d v Ay 2 a R sin( t ) Ay 0 d t 2 25 2 2 2 3 2 a a a R 2 2 . 7 10 m / s A Ax Ay 300
第5章 刚体的定轴转动
（1） 式中n表示转动方向，ω表示角速度的大小。 2、角加速度矢量
角加速度矢量定义为
（2） 显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图 （a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见 下图（b），则角速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速 度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手 指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方 向。
(4) 其中
为各分力的力矩，证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出
现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有 相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向 相反，其和为零。
(5)
作用力矩和反作用力矩 二、刚体对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中，刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理 量，在很多问题的分析中都要用到这个概念，下面我们来讨论这个问 题。 刚体绕定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面 我们先分析质点对定轴的角动量，而且只考虑质点在轴的垂面上运动的 情况。如下图所示，有一质点在z轴的垂面M内运动，质点的质量为m， 对z轴（即对质点转心）的矢径为r，速度为v，动量p=mv。如同在角动 量知识点中讨论的一样，我们定义质点对定轴的角动量为
第5章 刚体的定轴转动 ◆ 本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守
恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量
守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆ 本章教学内容
1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆ 本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆ 本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
角加速度矢量定义为
（2） 显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图 （a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见 下图（b），则角速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速 度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手 指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方 向。
(4) 其中
为各分力的力矩，证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出
现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有 相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向 相反，其和为零。
(5)
作用力矩和反作用力矩 二、刚体对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中，刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理 量，在很多问题的分析中都要用到这个概念，下面我们来讨论这个问 题。 刚体绕定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面 我们先分析质点对定轴的角动量，而且只考虑质点在轴的垂面上运动的 情况。如下图所示，有一质点在z轴的垂面M内运动，质点的质量为m， 对z轴（即对质点转心）的矢径为r，速度为v，动量p=mv。如同在角动 量知识点中讨论的一样，我们定义质点对定轴的角动量为
第5章 刚体的定轴转动 ◆ 本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守
恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量
守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆ 本章教学内容
1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆ 本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆ 本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
第5章 刚体的定轴转动 专题讨论
第5章刚体的定轴转动一、单元知识学习讨论专题1、如何理解刚体的概念，实际生活中什么样的物体可以近似看作刚体？2、刚体的运动可以分为几种？最简单的是哪一种？3、对于刚体作定轴转动，引入角量进行描述，是否比用线量进行描述更为简便，为什么？4、刚体作匀变速定轴转动的特征是什么？其运动学公式与质点作匀变速直线运动有何关系？5、引入“转动惯量”的目的是什么？它有何特性，如何计算（形状规则的和不规则的）？6、引起刚体转动状态变化的原因是什么？刚体定轴转动定律描述了什么规律？它与牛顿第二定律有何关系？7、应用“转动定律”求解刚体定轴转动的基本思路和步骤是什么？如何与牛顿定律联合求解同时涉及平动和转动的综合力学问题？8、引入“力矩的功”和“转动动能”等概念，如何从功能关系讨论（研究）刚体的定轴转动问题？*9、引入“角动量”和“力矩的冲量”等概念，如何描述和讨论刚体定轴转动的动力学问题？一般在哪些情形下用这种研究方法？*10、完成下表填写，并比较分析两种运动中各相关物理量的定义和遵循的规律。
对比项目质点作平动（一维线运动）刚体作定轴转动（角运动）描述运动对象惯性大小的量描述对象移动的量线度角度描述对象运动的快慢描述对象运动变化的快慢改变对象运动状态的原因满足的动力学方程（定律）作匀变速（特殊）运动时的运动学方程关于“作用”对时间累积的量和规律关于“作用”对空间累积的量和规律其它两种描述运动方法的联系二、单元基本问题讨论专题1、试分析和对比：（1）用线量描述的火车在平直轨道上两站点之间运动的规律；（2）用角量描述的吊扇从开动到关毕过程转动的规律。
2、试从转动惯性大小对运动的影响关系分析以下实例：（1）小孩比大人更容易跌倒（或：骑大轮自行车比骑小轮自行车感觉更平稳）；（2）走钢丝表演的演员往往手中都要拿一根长杆；（3）花样滑冰运动员作三周跳转时，总是张开四肢起跳和落地，而收紧四肢旋转；3、试估算和比较太阳系中各天体绕通过太阳中心定轴转动的转动惯量和角动量。
第五章刚体的转动
m, r
m
m, r
2m
解：2mg − T 1 = 2ma
1 2 (T 1 − T 2)r = m r α 2 1 2 (T 2 − T 3)r = m r α 2
① ② ③ ④ ⑤
+
T '2 T3 T '3
T2 T '1 T1
+
T 3 − mg = ma
a = rα
得a = g / 4, T 3 = 11mg / 8
M dr r R r
M M σ= = 2 S πR
分割质量元为圆环， 分割质量元为圆环， 圆环的半径为 r 宽 度为 dr,
则圆环质量 dm = σdS = σ 2πrdr J = ∫ dJ = ∫ r dm
2
=∫
R 0
r (σ 2πrdr )
2
M dr r R r
1 4 = σπR 2
由
M = σπR
第5章 刚体的定轴转动 章
§1 刚体的运动 §2 刚体定轴转动的运动定律 §3 刚体的定点运动 回转仪的旋进（自学） 刚体的定点运动---回转仪的旋进 自学） 回转仪的旋进（
§1 刚体的运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动
刚体（rigid body） ）
不管受力有多大，也不会变形的物体。 不管受力有多大，也不会变形的物体。 刚体是一个理想模型： 刚体是一个理想模型：
（2） ） （3） ）
β
M T
a
∵ v0 = 0
∴ v = at = mgt/(m + M / 2)
三、刚体定轴转动的角动量定理(积分形式) 刚体定轴转动的角动量定理(积分形式) 一般的质点系 ∫ Mdt =ΔL = L2 − L1
m
m, r
2m
解：2mg − T 1 = 2ma
1 2 (T 1 − T 2)r = m r α 2 1 2 (T 2 − T 3)r = m r α 2
① ② ③ ④ ⑤
+
T '2 T3 T '3
T2 T '1 T1
+
T 3 − mg = ma
a = rα
得a = g / 4, T 3 = 11mg / 8
M dr r R r
M M σ= = 2 S πR
分割质量元为圆环， 分割质量元为圆环， 圆环的半径为 r 宽 度为 dr,
则圆环质量 dm = σdS = σ 2πrdr J = ∫ dJ = ∫ r dm
2
=∫
R 0
r (σ 2πrdr )
2
M dr r R r
1 4 = σπR 2
由
M = σπR
第5章 刚体的定轴转动 章
§1 刚体的运动 §2 刚体定轴转动的运动定律 §3 刚体的定点运动 回转仪的旋进（自学） 刚体的定点运动---回转仪的旋进 自学） 回转仪的旋进（
§1 刚体的运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动
刚体（rigid body） ）
不管受力有多大，也不会变形的物体。 不管受力有多大，也不会变形的物体。 刚体是一个理想模型： 刚体是一个理想模型：
（2） ） （3） ）
β
M T
a
∵ v0 = 0
∴ v = at = mgt/(m + M / 2)
三、刚体定轴转动的角动量定理(积分形式) 刚体定轴转动的角动量定理(积分形式) 一般的质点系 ∫ Mdt =ΔL = L2 − L1
大学物理第5章刚体的定轴转动
Jz Jx Jy
Jc J mC
质心
d
yi
xi
ri
y
x
Δmi
1 2
mR
2
R
1 4
mR
2
6
第六页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
常用的转动惯量
细杆：
J过中点垂直于杆
1 12
mL2
J过一端垂直于杆
1 3
mL2
圆柱体：
J对称轴
1 2
mR 2
薄球壳：
J 直径
2 3
mR
2
球体：
J 直径
2 5
mR
2
7
第七页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
d L Lsin dΘ M d t
旋进角速度： Ω dΘ
dt
Ω d
dL
Lsin L
Ω M M
Lsin J sin
O
当 90 时 ，Ω M J
Ω
1
，
Ω
演示 车轮旋进（KL023) TV 旋进防止炮弹翻转（注2）
M外z 0 ，则 J z const .
大小不变 正、负不变
对刚体系， M外z = 0 时， Jizi const.，
此时角动量可在系统内部各刚体间传递，
而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
演示 角动量守恒：茹科夫斯基转椅(KL016)
转台车轮 (KL017)
陀螺仪（KL029）
30
第三十页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
5、车轮进动
2
第二页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
§5.1 刚体的定轴转动定律
z
Mz
dLz dt
第5章刚体定轴转动
结论：当功率一定时，转矩T与转速n成反比。
图5-2
匀速定轴转动刚体的惯性力
如果刚体作定轴转动，而刚体重心不在转轴上，也 会产生离心惯性力。如发动机曲轴上的惯性力。如图5-3。
图5-3
发动机曲轴上的惯性力
5.转动惯量
转动惯量——转动物体具有保持原有运动状态不变的特
性。 物体的转动惯性大小是由转动惯量来度量的。转动
惯量的大小不仅与刚体质量m的大小有关，而且与刚体
第5章
刚体定轴转动
学习目标：
1.了解刚体定轴转动的转速、角速度和角加速度 的概念。
2.理解惯性力的概念、转动零件惯性力的平衡及 转动惯量的概念。 3.熟悉功率、转速和转矩的关系。
5.1刚体绕定轴的转动
1.刚体的定轴转动
刚体内各点都绕一固定的直线作圆周运动，这种运动称为刚
体绕定轴转动，简称定轴转动。刚体内固定不动的直线称为刚体 的轴。 刚体作定轴转动时，具有如下特征： 刚体内轴上所有各点都保持不动。 刚体内不在轴上的各点，都在通过各该点，并垂直于轴的平 面内绕轴作圆周运动。圆心就是这些平面分别与轴的交点，半径 就是该点与轴的垂直距离。 刚体内各点在同一时间内转过的圆弧长度是不同的。
质量的分布有关。刚体的质量越大，质量的分布离转轴 越远，其转动惯性也越大。刚体对转轴的转动惯量是刚
体中每一质点的质量与该质点绕转轴旋转的转动半径平
方的乘积之和，用符号J表示，即 J=∑△mr 2 由转动惯量的定义可知，转动惯量恒为正值。其常 用单位为kg.m
2
。可从工程手册上查得。
5.2功率、转速和转矩之间的关系
惯性力——由于外力的作用使物体的运动状态改变时，因
其惯性引起的运动物体对外界抵抗的反作用力。用符号Q表 示，单位为N(牛顿)。 特点：①大小等于运动物体的质量与加速度的乘积，即： Q=man。②方向与加速度方向相反；③作用在施力物体上。
大学物理第5章 刚体的定轴转动
用机械能守恒重解：
转轴光滑，初态静止，求下摆到θ角 时的角加速度，角速度。
解：杆机械能守恒
势能零点
l d 3 g cos 比用转动定律简单！ dt 2l
l 1 2 0 mg sin J 2 2 绕固定轴 1 J ml 2 转动动能 3
Nt 转动：关于质心轴列转动定理 （ 2）
MC JC ,
C O
为什么？
l 1 2 MC Nt , J ml 2 C 12
Nt 1 mg cos 4
【例】一长为L，质量为m的均匀细棒，水平放 置静止不动，受垂直向上的冲力 F 作用，冲量 为 Ft （ t 很短），冲力的作用点距棒的质心 l 远，求冲力作用后棒的运动状态。 解 （1）质心的运动
角时的角加速度，角速度，转轴受力。
解：刚体定轴转动
1、受力分析 2、关于O轴列 转动定理
MO JO Mo l cos mg 2 2 1 JO ml 3
3 g cos 2l
【思考】为什么不关于过质心轴列转动定理？
由 求 ：
3 g cos d , d dt , dt 2l
解：
M k
M I
k(
2
k 9I
2 0
9
0
3
)2
I
d M k I dt d 2 k I dt2 I 0
d
t
2I t k 0
10
与一维质点动力学方法一致
【例】转轴光滑，初态静止，求下摆到
( F mg) t mvC 0
l C F
vC 0
F mg t m
质心以vC0的初速做上抛运动。
第五章 刚体的定轴转动
第五章刚体的定轴转动到现在为止，我们主要用力学的基本概念和原理，如牛顿定理，冲量和动量，功和能等概念以及动量、角动量和能量守恒定理来研究质点及质点系的运动。
本章将要介绍一种特殊的质点系—刚体，以及它所遵从的力学规律。
其本质是前几章所讲的基本概念和原理在刚体上的应用。
对于刚体，本章主要讨论定轴转动这种简单的情况以及它所涉及的一些重要物理概念和定理，如转动惯量、力矩、刚体的动能和角动量，转动定理，及包括刚体的系统守恒定理等。
§5-1 刚体运动的描述一、刚体所谓刚体就是其中各部分的相对位置保持不变的物体。
实际上，任何物体都不是绝对坚硬的。
但是，很多物体，诸如分子，钢梁，和行星等等是足够坚硬的，以致在很多问题中，可以忽略它们形状和体积变化，把它们当作刚体来处理。
这就是说，刚体是受力时形状和体积变化可以忽略的理想物体。
二、刚体的运动刚体是一种由大量质点组成，并且受力时不发生相对移动的特殊质点系。
既然是质点系，所以以前讨论的关于质点系的基本定理都可以应用。
刚体的运动可分为平动和转动两种。
而转动又可分为定轴转动和非定轴转动。
若刚体中所有质点的运动轨迹都保持完全相同，或则说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线，如下图中的参考线，则刚体的这种运动叫做平动。
因此，对刚体平动的研究，可归结为对质点的研究，通常都是用刚体质心的运动来代表平动刚体的运动。
B当刚体中所有的点都绕着同一直线作圆周运动时，这种运动叫转动，（如下图所示）这条直线叫转轴。
如果转轴的位置或方向是随时间改变的，这个转轴为瞬时转轴。
如果转轴的位置或方向是固定不动，这种转轴为固定转轴，此时刚体运动叫做刚体的定轴转动。
刚体的一般运动比较复杂，但可以证明，其运动可看作是平动和转动的叠加。
转动是刚体的基本运动形式之一，作为基础，本章只讨论刚体的定轴转动。
三、 刚体定轴转动的描述刚体在作定轴转动时，刚体内的各个质点均绕给定轴作圆周运动。
第五章 刚体定轴转动
dm
2
可见，转动惯量与 l 无关。
几个常见的转动惯量：
*圆环、圆筒（通过中心轴）………… J = mR2
*圆盘、圆柱（通过中心轴）………… J 1 mR
2
2
*细棒（端点垂直轴）………………… J 1 mL2 A
3
*细棒（质心垂直轴）………………… J 1 mL 2 c
12
四、刚体定轴转动的转动定律 刚体 → 质点系（连续体） 刚体定轴转动的角动量定理
如图正方形的边长为l它的四个顶点各有一个质量为m的质点求系统对z1z2z3轴的转动惯量具有相加性dldmdsdmdvdm质量为线分布质量为面分布质量为体分布为刚体线密度线分布面分布体分布质量均匀分布刚体的转动惯量若质量连续分布取质元dm它到转轴的距离为r则质元对轴的转动惯量为为刚体面密度例题1的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量
v
dx
x 角动量守恒：
碰撞后的角动量(杆转动)：
mvl 1 2 3v ml 2l 2 3
[例题2] 如图所示，一匀质圆盘半径为R，质量为m1， 以角速度ω 0绕盘心转动，一质量为m2的子弹以速度 v 角击入圆盘边缘，求击入后盘的角速度 沿θ
解：碰撞前后角动量守恒 碰撞前的角动量： m1
[例题1] 如图所示，一长度为l，质量为m的细杆在光 滑水平面内沿杆的垂向以速度v平动，杆的一端与定 轴z碰撞后杆将绕z轴转动，求杆转动的角速度。
解：碰撞前后角动量守恒 O x z 刚好碰撞前的角动量（杆平动）：
m dL x dm v x dx v l
mv l L dL xdx l 0 mvl 2 1 2 L J ml 3
M
z
o d
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dl
解:设圆柱体单位长度上的质量为λ
Z
o
在圆柱体上沿轴向取长为 dl 的 薄圆盘，该圆盘质量： 圆盘转动惯量为
圆柱体转动惯量为
R
l
河北经贸大学 陈玲
例 6 C60分子由60个碳原子组成。这些碳原子各位于一个球 形32面体的60个顶角上。此球体的直径为71nm。求按均匀球 面计算，求此球形分子对一个直径的转动惯量是多少？ 解:设碳原子的质量为m，球体半径为R
河北经贸大学 陈玲
例6 如图一质量为M 长为l的匀质细杆，中间和右端各有一质量 皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平轴转 动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平方 向成θ角时,杆的角加速度是多少? 解:1设转轴垂直向里为正,系统对该转轴的转动惯量为 l θ 该系统所受的合力矩为 mg
、rn
Z
ω Fi oi ri
Δmi Ｐ
1 第 i 个质点对O点角动量
Li rio mi vi
vi
2 当质点受合外力Fi 时该力对O点的力矩 O
河北经贸大学 陈玲
ｒio
力矩定义: 实验发现,刚体做定轴转动时,其转动状态的改变与外力的大小 方 向及作用点均有关。(如开门) F//--表示力F在转轴方向的投影 F⊥--表示力F在转动平面内的投影 O－转轴与转动平面内的交点 r -- O点到力的作用点的矢径 Φ表示 F⊥与 r 的夹角 O r Z F// F F⊥ φ
即,合外力矩对刚体做定轴转动所作的功,等于刚体转动 动能的增量。
一、 概念 什么是刚体? 实际的固体在受力作用时总是要发生或大或 小的形状和体积的改变。如果在讨论一个固体的运动时,这种 形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当作刚体来处 理。 质元 1 刚体定义: 在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。 注意： Δmi (1)刚体是固体物件的理想化模型。 (2)刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点 ｒ iｊ 叫做刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是, Δmｊ 河北经贸大学 陈玲 在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
河北经贸大学 陈玲
Z
3转动惯量的物理意义及性质:
⑴转动惯量与质量类似,它是刚体转动惯性大小的量度;
⑵转动惯量不仅与刚体质量有关,而且与刚体转轴的 位置及刚体的质量分布有关; ⑶转动惯量具有迭加性; 如图,如果三个刚体绕同一转轴的转动惯量分别为 J1,J2,J3,则该刚体系统绕该轴的转动惯量为J=J1+J2+J3 ⑷转动惯量具有相对性; 同一刚体,转轴不同,质量对转轴的分 布不同,因而转动惯量不同。 ⑸平行轴定理： 刚体对任一转轴的转动惯量等于刚 体对通过质心并与该轴平行的转动惯量 加上刚体质量与两轴间距的二次方的乘 河北经贸大学 陈玲 积。 J=Jc+md2
p
沿Z轴方向力矩的大小 : M= F⊥ r sinφ
力矩的方向: 沿转轴方向,并与矢径 r 及河北经贸大学 陈玲 F⊥ 成右手螺旋法则 。
问题: 当我们用力 F 推门时，该力可以分 解为垂直于门轴方向的力和平行于门轴 方向的力，平行于门轴方向的力对门的 转动是否起作用？
F//
F⊥ F
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由转动定律:M=Jα可得 方向:指里。
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例7 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称 轴OO’转动,设大小圆柱体的半径分别为R和r,质量分别为M和 m,绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和m2相连,m1和m2则挂在 物体的两侧,如下图所示。 设R=0.2m, r =0.1m,m=4kg,M=10kg,m1=m2=2kg 求: ⑴柱体转动的角加速度α; ⑵两细绳的张力T1和T2。 R r M m O’ O m
Z’
Z
C d
§ 5.4 刚体定轴转动定律的应用
转动定律
刚体转动的第一定律: 实验指出,一个绕固定轴转动的刚体,当它所受的合外力矩(对该 转轴而言)为零时,它将保持原有的角速度不变。该定理反映了 任何转动物体都有转动惯性。 刚体转动的第二定律: 一个绕固定轴转动的刚体,当它所受的合外力矩(对该转轴而言) M I 不为零时,它将获得角加速度,角加速度的方向与合外力矩的方 向相同;角加速度的量值与它所受的合外力矩成正比,并与它的 转动惯量成反比。 当选用国际单位制时,该定律可写成
⑴
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⑵
解:
设棒单位长质量:
λ=m/l,
则⑴按如图⑴所示建立一维坐标系,绕中心轴的转动惯量为 dx dm 图⑴
o
dm=λdx
X
则⑵按如图⑵所示建立一维坐标系绕一端的转动惯量为
dx
o
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图⑵
X
例 3 求质量为 m ，半径为 R 的均匀薄圆环的转动惯量，轴与 圆环平面垂直并通过其圆心。
刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动的 结合。如图,车轮的转动。
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二、刚体定轴转动的描述
刚体绕某一固定轴转动时,其上各质元都在垂直于转轴的平 面内作圆周运动,且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度 相同,根据这一特点,常取垂直于转轴 的平面为参考系,这个平面 称转 动平面。,虽然刚体上各质元的线速度、 加速度一般是不 同的。但由于各质元的相对位置保持不变,所以描述各质元运动 的角量,如角位移、 角速度 和角加速度都是一样的。因此描述 刚体的运动时,用角量最为方便。 转轴 转轴 Z
Z
解: o
R
dm
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例 4 求质量为 m ，半径为 R 的均匀薄圆盘的转动惯量，轴 与圆盘平面垂直并通过其圆心。 解:设圆盘单位面积上的质量为σ
Z
在圆盘上取半径为r，宽为 dr 的圆环，该圆环质量：
dr
R
o
r
圆盘转动惯量为
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例 5 求质量为 M ，半径为 R，厚为 l 的均匀圆柱体的转动惯 量，轴与圆柱平面垂直并通过其轴心。
OriΒιβλιοθήκη vi转动平面Δmi
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Ｐ
1角位置θ: 2角位移△θ: 方向与转动方向成右手螺旋法则 。
Z ω
转动方向
3角速度矢量ω:
ω方向与转动方向成右手螺旋法则 。
P点线速度
△θ
v θ
Ｐ
X
o
转动平面
4 角加速度矢量 注意:
当加速转动时,角加速度与角速度方向相同； 当减速转动时,角加速度与角速度方向相反;
ri
Δmi
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连续刚体:
ρ——质量体密度
σ——质量面密度 λ——质量线密度
o
r
dm
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2转动惯量的计算
转轴 r3 r1 m3 例 1 刚性三原子分子其质量分布如图所示， 求绕转轴的转动惯量
r2
m2
m1
例 2 质量为m ，长为 l 的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转轴 和绕一端转轴的转动惯量。
陈玲
4解方程可得结果如下:
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练习1：如图所示,有两个质量分别为 M1 、M2 ，半径分 别为 R1 、R2 的匀质定滑轮，轮缘上绕一细绳, 其两端挂 着质量分别为m1 和m2 的物体。若m1 <m2 , 忽略轴承处的 摩擦, 且绳子与滑轮间无相对滑轮, 求滑轮的角加速度及绳 子的张力T1 、Ｔ2 、T 3 。
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5 刚体的角动量
6 刚体对于转轴的转动惯量 7 刚体定轴转动定律
—— 刚体定轴转动定律
意义：
刚体对于某一转轴所受的合外力矩等于刚体对该转轴 的转动惯量与在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 河北经贸大学 陈玲
§5.3 转动惯量的计算
1.定轴转动惯量定义: 分立刚体:
oi 转动惯量等于 刚体中每个质点的 质量与这一质点到 转轴的距离的平方 的乘积的总和。
f
当力矩为常量时,功为
对于同一转轴,刚体中所有内力矩功的总和为零。
三 、力矩的功率:
单位时间内力矩所做的功。
注意: 1当额定功率一定时,力矩与转速成反比; 2当力矩与与角速度同向时,功和功率皆为正值;反之为负。
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四、 刚体定轴转动的动能定理
设刚体上某质元初始时的角位置和角速度分别为θ1和ω1 末态的角位置和角速度分别为θ2和ω2,则在该过程中力矩的功 为：
则第 i 个质元的动能
整个刚体的动能
—称刚体的转动动能
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二、力矩的功----力矩作用于刚体的空间累积效应
如图力 f 作用于P点使刚体绕转轴转过微小角度dθ,
P点对应的线位移为dr, 力所作的元功
当力持续作用于刚体使其角位置由θ1到θ2时,力矩的功为
dr
O
r
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α p φ
M1 R1
T1
T3
M2 R2 T2
m1
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m2
M1 R1 T3 T1 T1
T3
M2 R 2
T2
T2
m1g
m 2g
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练习2:P.286 5.11
两个物体质量分别为m1和m2 定滑轮的质量 为 m ，半径 为r ，可视为均匀圆盘。已知桌面间的滑动摩擦系数和为μk， 求m1 下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和 滑轮间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦力忽略不计。
切向加速度 法向加速度
P点线加速度
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５当角加速度矢量是常矢量时：
匀加速度直线运动公式：
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§5.2
刚体定轴转动定律
…△mi……△mn的质点;
将刚体看成许多质量分别为△m1 ;△m2 各质点距转轴的距离分别为 r1 、 ,r2、ri 各质点速率分别为 v1、 ,v2
解:设圆柱体单位长度上的质量为λ
Z
o
在圆柱体上沿轴向取长为 dl 的 薄圆盘，该圆盘质量： 圆盘转动惯量为
圆柱体转动惯量为
R
l
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例 6 C60分子由60个碳原子组成。这些碳原子各位于一个球 形32面体的60个顶角上。此球体的直径为71nm。求按均匀球 面计算，求此球形分子对一个直径的转动惯量是多少？ 解:设碳原子的质量为m，球体半径为R
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例6 如图一质量为M 长为l的匀质细杆，中间和右端各有一质量 皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平轴转 动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平方 向成θ角时,杆的角加速度是多少? 解:1设转轴垂直向里为正,系统对该转轴的转动惯量为 l θ 该系统所受的合力矩为 mg
、rn
Z
ω Fi oi ri
Δmi Ｐ
1 第 i 个质点对O点角动量
Li rio mi vi
vi
2 当质点受合外力Fi 时该力对O点的力矩 O
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ｒio
力矩定义: 实验发现,刚体做定轴转动时,其转动状态的改变与外力的大小 方 向及作用点均有关。(如开门) F//--表示力F在转轴方向的投影 F⊥--表示力F在转动平面内的投影 O－转轴与转动平面内的交点 r -- O点到力的作用点的矢径 Φ表示 F⊥与 r 的夹角 O r Z F// F F⊥ φ
即,合外力矩对刚体做定轴转动所作的功,等于刚体转动 动能的增量。
一、 概念 什么是刚体? 实际的固体在受力作用时总是要发生或大或 小的形状和体积的改变。如果在讨论一个固体的运动时,这种 形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当作刚体来处 理。 质元 1 刚体定义: 在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。 注意： Δmi (1)刚体是固体物件的理想化模型。 (2)刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点 ｒ iｊ 叫做刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是, Δmｊ 河北经贸大学 陈玲 在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
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Z
3转动惯量的物理意义及性质:
⑴转动惯量与质量类似,它是刚体转动惯性大小的量度;
⑵转动惯量不仅与刚体质量有关,而且与刚体转轴的 位置及刚体的质量分布有关; ⑶转动惯量具有迭加性; 如图,如果三个刚体绕同一转轴的转动惯量分别为 J1,J2,J3,则该刚体系统绕该轴的转动惯量为J=J1+J2+J3 ⑷转动惯量具有相对性; 同一刚体,转轴不同,质量对转轴的分 布不同,因而转动惯量不同。 ⑸平行轴定理： 刚体对任一转轴的转动惯量等于刚 体对通过质心并与该轴平行的转动惯量 加上刚体质量与两轴间距的二次方的乘 河北经贸大学 陈玲 积。 J=Jc+md2
p
沿Z轴方向力矩的大小 : M= F⊥ r sinφ
力矩的方向: 沿转轴方向,并与矢径 r 及河北经贸大学 陈玲 F⊥ 成右手螺旋法则 。
问题: 当我们用力 F 推门时，该力可以分 解为垂直于门轴方向的力和平行于门轴 方向的力，平行于门轴方向的力对门的 转动是否起作用？
F//
F⊥ F
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由转动定律:M=Jα可得 方向:指里。
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例7 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称 轴OO’转动,设大小圆柱体的半径分别为R和r,质量分别为M和 m,绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和m2相连,m1和m2则挂在 物体的两侧,如下图所示。 设R=0.2m, r =0.1m,m=4kg,M=10kg,m1=m2=2kg 求: ⑴柱体转动的角加速度α; ⑵两细绳的张力T1和T2。 R r M m O’ O m
Z’
Z
C d
§ 5.4 刚体定轴转动定律的应用
转动定律
刚体转动的第一定律: 实验指出,一个绕固定轴转动的刚体,当它所受的合外力矩(对该 转轴而言)为零时,它将保持原有的角速度不变。该定理反映了 任何转动物体都有转动惯性。 刚体转动的第二定律: 一个绕固定轴转动的刚体,当它所受的合外力矩(对该转轴而言) M I 不为零时,它将获得角加速度,角加速度的方向与合外力矩的方 向相同;角加速度的量值与它所受的合外力矩成正比,并与它的 转动惯量成反比。 当选用国际单位制时,该定律可写成
⑴
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⑵
解:
设棒单位长质量:
λ=m/l,
则⑴按如图⑴所示建立一维坐标系,绕中心轴的转动惯量为 dx dm 图⑴
o
dm=λdx
X
则⑵按如图⑵所示建立一维坐标系绕一端的转动惯量为
dx
o
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图⑵
X
例 3 求质量为 m ，半径为 R 的均匀薄圆环的转动惯量，轴与 圆环平面垂直并通过其圆心。
刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动的 结合。如图,车轮的转动。
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二、刚体定轴转动的描述
刚体绕某一固定轴转动时,其上各质元都在垂直于转轴的平 面内作圆周运动,且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度 相同,根据这一特点,常取垂直于转轴 的平面为参考系,这个平面 称转 动平面。,虽然刚体上各质元的线速度、 加速度一般是不 同的。但由于各质元的相对位置保持不变,所以描述各质元运动 的角量,如角位移、 角速度 和角加速度都是一样的。因此描述 刚体的运动时,用角量最为方便。 转轴 转轴 Z
Z
解: o
R
dm
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例 4 求质量为 m ，半径为 R 的均匀薄圆盘的转动惯量，轴 与圆盘平面垂直并通过其圆心。 解:设圆盘单位面积上的质量为σ
Z
在圆盘上取半径为r，宽为 dr 的圆环，该圆环质量：
dr
R
o
r
圆盘转动惯量为
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例 5 求质量为 M ，半径为 R，厚为 l 的均匀圆柱体的转动惯 量，轴与圆柱平面垂直并通过其轴心。
OriΒιβλιοθήκη vi转动平面Δmi
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Ｐ
1角位置θ: 2角位移△θ: 方向与转动方向成右手螺旋法则 。
Z ω
转动方向
3角速度矢量ω:
ω方向与转动方向成右手螺旋法则 。
P点线速度
△θ
v θ
Ｐ
X
o
转动平面
4 角加速度矢量 注意:
当加速转动时,角加速度与角速度方向相同； 当减速转动时,角加速度与角速度方向相反;
ri
Δmi
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连续刚体:
ρ——质量体密度
σ——质量面密度 λ——质量线密度
o
r
dm
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2转动惯量的计算
转轴 r3 r1 m3 例 1 刚性三原子分子其质量分布如图所示， 求绕转轴的转动惯量
r2
m2
m1
例 2 质量为m ，长为 l 的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转轴 和绕一端转轴的转动惯量。
陈玲
4解方程可得结果如下:
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练习1：如图所示,有两个质量分别为 M1 、M2 ，半径分 别为 R1 、R2 的匀质定滑轮，轮缘上绕一细绳, 其两端挂 着质量分别为m1 和m2 的物体。若m1 <m2 , 忽略轴承处的 摩擦, 且绳子与滑轮间无相对滑轮, 求滑轮的角加速度及绳 子的张力T1 、Ｔ2 、T 3 。
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5 刚体的角动量
6 刚体对于转轴的转动惯量 7 刚体定轴转动定律
—— 刚体定轴转动定律
意义：
刚体对于某一转轴所受的合外力矩等于刚体对该转轴 的转动惯量与在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 河北经贸大学 陈玲
§5.3 转动惯量的计算
1.定轴转动惯量定义: 分立刚体:
oi 转动惯量等于 刚体中每个质点的 质量与这一质点到 转轴的距离的平方 的乘积的总和。
f
当力矩为常量时,功为
对于同一转轴,刚体中所有内力矩功的总和为零。
三 、力矩的功率:
单位时间内力矩所做的功。
注意: 1当额定功率一定时,力矩与转速成反比; 2当力矩与与角速度同向时,功和功率皆为正值;反之为负。
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四、 刚体定轴转动的动能定理
设刚体上某质元初始时的角位置和角速度分别为θ1和ω1 末态的角位置和角速度分别为θ2和ω2,则在该过程中力矩的功 为：
则第 i 个质元的动能
整个刚体的动能
—称刚体的转动动能
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二、力矩的功----力矩作用于刚体的空间累积效应
如图力 f 作用于P点使刚体绕转轴转过微小角度dθ,
P点对应的线位移为dr, 力所作的元功
当力持续作用于刚体使其角位置由θ1到θ2时,力矩的功为
dr
O
r
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α p φ
M1 R1
T1
T3
M2 R2 T2
m1
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m2
M1 R1 T3 T1 T1
T3
M2 R 2
T2
T2
m1g
m 2g
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两个物体质量分别为m1和m2 定滑轮的质量 为 m ，半径 为r ，可视为均匀圆盘。已知桌面间的滑动摩擦系数和为μk， 求m1 下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和 滑轮间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦力忽略不计。
切向加速度 法向加速度
P点线加速度
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刚体定轴转动定律
…△mi……△mn的质点;
将刚体看成许多质量分别为△m1 ;△m2 各质点距转轴的距离分别为 r1 、 ,r2、ri 各质点速率分别为 v1、 ,v2