巴拿赫空间上的有界线性算子

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为Hilbert空间.

（3）因 U 为一一到上，故U 1也一一到上，并 1 1 * ** 1 1 且由于(U ) U U (U ) ，所以 U 仍为酉算子。（4）因U 及 V 为酉算子，故为一一到上映射，所以U V 仍为一一到上映射，且
(U V ) V U V U (U V )
T
9.5自伴算子、酉算子和正常算子
在矩阵理论中，我们已经研究过 Hermitian 阵，酉阵和正常阵，下面我们要在Hilbert空间中建立起相应的自伴算子、酉算子和正常算子的概念，并讨论这些算子的一些基本性质。
定义 1 设 T 为 Hilbert 空间 X 到 X 中的有 * 界线性算子，若 T T ，则称 T 为 X 上的自伴 * * 算子；若 TT T T，则称 T 为 X 上正常算子；若 T 是 X 到 X 的一对一映射，且 T * T 1 ，则称 T 为 X 上的酉算子。
但 Tn自伴，故 lim Tn* T ，因此由极限的唯一
n
性，成立 T T 。证毕。定理4 设U 及 V 是Hilbert空间 X 上两个酉算子，那么
*
x X ，成立|| Ux |||| x ||；（1） U 是保范算子，即对任意
（2）当X {0} 时， || U || 1 ；
（3）U 1是酉算子；
UV 是酉算子；（4）
{U n }收（5）若U n , n 1, 2, 是 X 上一列酉算子，且敛于有界算子 A ，则 A 也为酉算子。
证明（1）由酉算子定义
|| Ux ||2 Ux,Ux x,U *Ux x, x || x ||2
（2）由（1）立即可得。
证明若 T 为自伴算子，则对所有 x X ，

第五章有界线性算子的谱理论

−1 −1
明显地 , 若 λ ∈ σ p ( A) ，则存在 x ≠ 0 使得 (λI − A) x = 0 ，此时称
x 是 A 的相应于 λ 的特征向量 . 称 N (λI − A) 是 A 的相应于 λ 的特征
向量空间 . 由定义还知道复平面 C =
ρ ( A) ∪ σ ( A) 并且 ρ ( A) ∩ σ ( A) = ∅ . 另
∑a A
n=0 n
∞
∞
n
( Ao = I ) 的收敛性乃至算子函数 f ( A) 的解析性
都可以加以定义 . 例如表达式
eA = ∑
n=0
∞ An A2 n +1 , sin A = ∑ (−1) n (2n + 1)! n! n =0
等在范数收敛意义下都代表 Β( X ) 中的元素 . 下面定理中出现的多项式和幂级数也是如此的 . 定理 3 (von Neumann) 设 X 是 Banach 空间， A ∈ Β( X ) , λ ∈ C ,
−1 −1
上 , 根据逆算子定理知 A 定理 2
∈ Β( X ) .
设 Aห้องสมุดไป่ตู้ B ∈ Β( X ) .
−1 −1 −1
(1) 若 A 是正则算子 , 则 A 是正则算子并且 ( A ) (2) 若 A, B 是正则算子，则 AB 是正则算子并且
= A.
( AB) −1 = B −1 A −1 .
又由 1 =|| I || ≤ || A || || B || 知道 || B ||≠ 0 . 取 || B ||

函数分析中的巴拿赫空间

函数分析中的巴拿赫空间在函数分析领域中，巴拿赫空间是一种重要的概念。

巴拿赫空间是指一个完备的赋范线性空间，其中每一个柯西序列都收敛于该空间中的一个元素。

它在函数分析以及其他数学分支中有着重要的应用和意义。

1. 巴拿赫空间的定义巴拿赫空间的定义是一个完备的赋范线性空间，也称为完备赋范空间。

换句话说，对于空间中的任意一个柯西序列，都存在该空间中的一个元素使其收敛于这个元素。

这个定义起初是由法国数学家巴拿赫（Stefan Banach）提出的。

2. 巴拿赫空间的性质巴拿赫空间具有一些重要的性质。

首先，它是一个赋范空间，也就是说，它有一个范数函数来度量向量的大小，满足线性性、齐次性和三角不等式。

其次，巴拿赫空间是一个完备空间，即柯西序列在该空间中收敛到一个元素。

此外，巴拿赫空间也满足凸性和有界性等性质。

3. 巴拿赫空间的例子巴拿赫空间有很多具体的例子，其中最常见的是L^p空间。

L^p空间是一类由具有p次方可积的函数构成的空间，其中p是一个大于等于1的实数。

L^p空间满足巴拿赫空间的定义，因此是巴拿赫空间的典型代表。

其他的例子还包括柯西序列空间、有界线性算子空间等。

4. 巴拿赫空间的应用巴拿赫空间在数学和其他领域中有着广泛的应用。

在函数分析中，巴拿赫空间是研究泛函和算子理论的基础。

它有助于分析和研究各种函数空间的性质，例如连续函数空间、可测函数空间等。

此外，巴拿赫空间还在泛函分析、调和分析、偏微分方程和控制论等领域中扮演着重要的角色。

总结：函数分析中的巴拿赫空间是一个完备的赋范线性空间，其中每一个柯西序列都收敛于该空间中的一个元素。

巴拿赫空间具有赋范空间、完备性、凸性和有界性等重要性质，其典型例子包括L^p空间。

巴拿赫空间在函数分析以及数学的其他领域中有着广泛的应用，为研究泛函和算子理论、分析各种函数空间的性质提供了重要的基础。

对于函数分析的学习和应用，深入理解和掌握巴拿赫空间的概念和性质具有重要意义。

泛函中三大定理的认识

泛函中三大定理的认识泛函中三大定理及其应用泛函分析科学体系的建立得益于20世纪初关于巴拿赫空间的三大基本定理，即Hahn-Banach 定理，共鸣定理和开映射、逆算子及闭图像定理。

其中：一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质；谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学数学描述中起核心作用；罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem ）研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。

另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的；开映射定理和闭图像定理。

1、Hahn-Banach 延拓定理定理：设G 为线性赋范空间X 的线性子空间，f 是G 上的任一线性有界泛函，则存在X 上的线性有界泛函F ，满足：(1) 当x G ∈时，()()F x f x =； (2) XGF f=；其中XF表示F 作为X 上的线性泛函时的范数；Gf 表示G 上的线性泛函的范数．延拓定理被应用于Riesz 定理、Liouville 定理的证明及二次共轭空间等的研究中．2、逆算子定理在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间．定义1逆算子(广义上)：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，G X ?，算子T ：G Y →，T 的定义域为()D T G =；值域为()R T ．用1T -表示从()()R T D T →的逆映射(蕴含T 是单射)，则称1T -为T 的逆算子(invertiable operator)．定义2正则算子：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若算子T ：()G X Y ?→满足(1)T 是可逆算子； (2) T 是满射，即()R T Y =； (3) 1T -是线性有界算子，则称T 为正则算子(normal operator)．注：①若T 是线性算子，1T -是线性算子吗？②若T 是线性有界算子，1T -是线性有界算子吗？性质1 若T ：()G X Y ?→是线性算子，则1T -是线性算子．证明：12,y y Y ∈，,αβ∈K ，由T 线性性知：1111212(())T T y y T y T y αβαβ---+--1111212()TT y y TT y TT y αβαβ---=+--1212()y y y y αβαβ=+--0=由于T 可逆，即T 不是零算子，于是1111212()T y y T y T y αβαβ---+=+，故1T -是线性算子．□定理2逆算子定理：设T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 上的双射(既单又满)、线性有界算子，则1T -是线性有界算子．例1 设线性赋范空间X 上有两个范数1?和2?，如果1(,)X ?和2(,)X ?均是Banach 空间，而且2?比1?强，那么范数1?和2?等价．(等价范数定理)证明：设I 是从由2(,)X ?到1(,)X ?上的恒等映射，由于范数2?比1?强，所以存在0M >，使得x X ?∈有112Ix x M x=≤于是I 是线性有界算子，加之I 既是单射又满射，因此根据逆算子定理知1I -是线性有界算子，即存在0M'>，使得x X ?∈有1212I xx M'x -=≤．故范数1?和2?等价。

banach空间四个基本定理

banach空间四个基本定理
1. Banach空间完备定理：一个Banach空间就是一个完备的度
量空间，即每个柯西序列都收敛于该空间中的确切点。

具体地，如果在Banach空间中取一个柯西序列，那么它一定收敛于一
个该空间中的点。

2. 闭图像定理：这个定理涉及到线性算子，它指出，如果线性算子是一个Banach空间到另一个Banach空间的映射，并且满足一些条件，那么它的图像（即所有可能的输出）是另一个Banach空间。

3. 开映射定理：如果一个线性算子从一个Banach空间映射到
另一个Banach空间，而且是连续的，那么它要么是「开映射」，即将开集映射成另一个空间中的开集；要么是「单射」，即每个输入只对应一个输出（不能出现多个输出映射到同一输出的情况）。

4. Hahn-Banach定理：这个定理是关于线性算子和Banach空
间的最基本的定理之一。

它指出，在所有的线性算子中，存在一个「Hahn-Banach算子」，使得它的定义域是一个给定的线
性子空间，并且满足对于这个子空间中的任意元素，其值（即它的输出）与其他满足某些特定条件的线性算子的值相同。

这个定理被视为线性算子理论的基石，因为它非常广泛地应用于各种数学分支领域和物理学中。

2有界线性算子空间和共轭空间

n n →∞ k =1
k
e
k
'
设f ∈
( l1) , 令f (e ) =η , n = 1, 2,L, 那么由于f ∈ ( l1)故有
' n n
f (x) = lim ∑ξ f (ek ) = ∑ξ η
n n→∞ k =1 k k =1 k
∞
k
(4)
有因为
||e
k
||= 1
所以对一切自然数 k 有
|η |=| f
x = y = lim T nx
由
n
→∞
的
的，
n, m > N
x
||T x −T x ||≤ ε || x || ||T −T ||= sup|| (T −T ) x ||≤ ε
n ||x||=1 n
T −T ∈β( X →Y ) ,
n
为β( X →Y )
，
T =Tn +(T −Tn) ∈β( X → Y )
n
的共轭空间是什么？
c 2：设 0表示极限为0的实数列全体。按通常的加法和数乘，以及
x=
|| x ||= sup|ξ |,
j j
(
ξ1,ξ 2,ξ3Lξ nL 构成Banach空间，证明 ( c 0 ) = l
'
)
1
1 ' ∞
因此（4）式是l 上连续线性泛函的一种形式。作(l1) 到l 中映射 T 如下：
Tf = ( f ( e1) , f ( e2) , f ( e3) ,L f ∈ l1 ),
()
'
显然T是线性映射，且有前面证明知T是到上的，由（5）式， ||Tf || = sup f |( e k ) |≤|| f ||, 又由（4 ），对每个 x = (ξ ,ξ ,ξ L) ∈l 1, 有 1 2 3

巴拿赫空间理论

巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常巴拿赫空间用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。

大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。

编辑本段线性空间巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一。

数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。

从外尔斯特拉斯﹐K.(T.W.)以来﹐人们久已十分关心闭区间[a﹐b ]上的连续函数以及它们的一致收敛性。

甚至在19世纪末﹐G.阿斯科利就得到[a﹐b ]上一族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。

巴拿赫空间1909年里斯﹐F.(F.)给出[0﹐1]上连续线性泛函的表达式﹐这是分析学历史上的重大事件。

还有一个极重要的空间﹐那就是由所有在[0﹐1]上次可勒贝格求和的函数构成的空间(1<p <∞)。

在1910～1917年﹐人们研究它的种种初等性质﹔其上连续线性泛函的表示﹐则照亮了通往对偶理论的道路。

人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间﹐并且引进全连巴拿赫空间续算子的概念。

当然还该想到希尔伯特空间。

正是基于这些具体的﹑生动的素材﹐巴拿赫﹐S.与维纳﹐N.相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念﹐并且在不到10年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着多方面应用的理论。

编辑本段Banach空间完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。

是用波兰数学家巴拿赫(Stefan Banach ）的名字命名的。

巴拿赫空间巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建立了其上的线性算子理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。

这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要价值。

banach空间的框架及原子分解的性质

banach空间的框架及原子分解的性质Banach空间及原子分解的性质Banach空间是数学家Stefan Banach在1920年发明的一种几何结构，关于它的定义如下：Banach空间是一个完备的、带有定义好的距离函数的线性空间。

它是几何结构中最重要的概念之一，广泛用于数学和理论物理学等领域。

Banach空间的框架是一个重要的概念，它提供了一种把线性空间内的向量进行组织的方式，使得对内部的结构关系有一个清晰的认识。

Banach空间的框架存在以下三个方面：1. 有界性：即在Banach空间中，每个向量都有一个有界的范围，不会发生无限大或无限小的情况。

2. 向量收敛：当Banach空间中的向量无限迭代时，它们会收敛到一个确定的值上，而不会发生悬挂或游走的情况。

3. 线性结构：Banach空间中的向量组成一个线性结构，即通过线性组合可以得到新的向量，而不会发生向量的变形。

原子分解的性质是指将一个Banach空间中的函数分解为若干个原子的操作，以使得整个函数得到更加有效的表达。

在Banach空间中，原子分解的性质可以有效地提高函数的表达能力，具体表现在以下几个方面：1. 可简化：将一个复杂的函数分解为若干个简单的原子，不仅可以减少函数的计算量，而且可以增加函数的易用性。

2. 可扩展：原子分解可以使得函数更容易扩展，只需添加新的原子，即可拓展函数的表达能力。

3. 能够表达更多的信息：原子分解可以使得函数表达更多的信息，而不受原始函数的限制。

4. 更有效的表达：原子分解可以使得函数更加有效地表达，从而提高它们的表达能力。

总之，Banach空间的框架及原子分解的性质是一种重要的概念，它可以提高函数的表达能力，提高函数的可扩展性，增加函数的易用性，从而更有效地表达信息。

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第八章巴拿赫空间上的有界线性算子
算子

线性算子非线性算子

无界线性算子有界线性算子
§1 有界线性算子
1.1 有界线性算子的基本概念与性质
定义1.1 设E及1E都是实（或复的）线性空间，
T
是由E的某个子空间D到线性空间1E中的映射，如果对任意
Dyx,
，有

TyTxyxT
则称T是可加的。若对任意的实（或复）数及任意的
Dx
，有

TxxT
则称T是齐次的。可加齐次的映射称为线性映射或线性算
子。D中使Tx的元素x的集合称为T的零空间。
设1E是实（或复）数域，于是T成为由D到实（或复）
数域的映射，这时称T为泛函。如果T还是线性的，则称
T
为线性泛函。泛函或线性泛函常用gf,等符号表示。
定义1.2 设E及1E都是实或复的赋范线性空间，D为
E
的子空间，T为由D到1E中的线性算子。如果按照第六章§
2.3定义2.6，T是连续的，则称T为连续线性算子。如果
T
将D中任意有界集映成1E中的有界集，则称T是有界线性算
子。如果存在D中的有界集A使得AT是1E中的无界集，
则称T是无界线性算子。
例 1 将赋范线性空间E中的每个元素x映成x自身
的算子称为E上的单位算子，单位算子常以I表示.将E中
的每个元素x映成的算子称为零算子.
容易看出，单位算子与零算子既是有界线性算子也是
连续线性算子.
例 2 连续函数的积分

badttxxf
是定义在连续函数空间baC,上的一个有界线性泛函，也是
连续线性泛函.＊
例 1、例 2中出现的线性算子或线性泛函既是有界的又
是连续的.对线性算子来说，有界性与连续性等价（见定理
1.3）.
定理1.1 设E,1E都是实赋范线性空间，T是由E的
子空间D到1E中的连续可加算子.则T满足齐次性，因此
T
是连续线性算子.＊
推论设E,1E都是复赋范线性空间，T是由E的子空间
D到1E中的连续可加算子，且iTxixT)(，则T
满足齐次

性，因此T是连续线性算子.＊
定理 1.2 设E，1E都是赋范线性空间，T是由E的子
空间D到1E中的线性算子.则T有界的充要条件是存在
0M
，使得对一切Dx，有xMTx.＊

＊定理1.3 设E，1E都是赋范线性空间，T是由E的子
空间D到1E中的线性算子.则下列性质等价：
(i) T连续；
(ii) T在原点处连续；
(iii) T有界.
由此定理知，对线性算子来说，有界性、连续性以及在
原点的连续性均相互等价.而且还可以证明：这三个等价条
件也与在中任一给定的点处的连续性等价.
为了对有界线性算子进行更深入的讨论，我们将对它引
进一个重要的量—算子的范数.
定义 1.3 设E，1E都是赋范线性空间，T是由E的子
空间D到1E中的有界线性算子.使xMTx对一切
Dx

都成立的正数M的下确界称为T的范数，记为T.
因M是集合
xDxxTx,:
的一个上界，因此算子T的范数T作为所有上界M的下确
界也是上述集合的一个上界，而且由定义知，T是上述集
合的最小上界，即上确界，亦即

xTxTDxxsup
由此容易导出下列结论：
(i) 对一切Dx，有xTTx.

＊(ii) TxTxTDxxDxx11supsup

现在举几个实例说明如何估计有界线性算子的范数
及如何求出其范数.
例3 设njiaij.,2,1,,为一给定的nn方阵，
ij

均为实数，由等式

njjijia1 ni,,2,1
定义了一个由nR到nR的算子T：yTx.它将元素

nx,,,21

映成元素ny,,,21.在nR中任取

两个向量2,1,,,,21kxknkkk，由等
式
njnjjijjijnjjjijaaa1121121
可知，T是可加的，类似地可以证明T是齐次的，因此T是
线性算子，由柯西不等式，有

2112211,22112njjnjiijniia
故T有界，因此T连续，且212aijT.＊
例 4 我们用,C表示定义在,上有界
连续函数构成的集，其中的线性运算与空间baC,的相同，
在,C中定义范数如下：

tyytsup ,Cy
则,C是一个巴拿赫空间.＊
设,Lx，令

dttxesyTxyist:
T
是定义在,L上而值域包含在,C中的线性算

子.再由

dttxdttxesysTxist＊
可知，T有界因而连续，且1T.
例 5 在内插理论中我们往往用拉格朗日公式来求
已知连续函数的近似多项式.设baCx,，在ba,中任取
n
个点，作多项式

nkkkkkknkkktttttttttttttttttl111111
其中nk,,2,1.再令

nkkkntltxtyxLy1:
则nL是由baC,到其自身的有界线性算子，且范数满足
nkkbtantlL1max （4）
nL的线性是明显的.今证n
L
有界且等式（4）成立.令

nkkbtatl1max
那么

xtxtltxxLbtankkkbtanmaxmax1
故
nL （5）
另一方面，由于nkktl1在ba,上连续，故存在

bat,0
使得
nkktl10
取bax,0满足：

nktltxxkk,,2,1,sgn,1000

至于0x在ba,中其它点处的值则可以任意，但绝对值不能
超过1，并tx0保证在ba,上连续.于是

nkknkkknntltltltxLxL10100000sgn
故
nL （6）
由不等式（5）、（6）可得等式（4）.
例 6 设stK,是定义bsabta,在上的连
续实函数.在空间baC,上定义如下的积分算子：

badssxstKtTxty,
则T为baC,到其自身的有界线性算子，且范数满足
babtadsstKT,max （7）
显然T是baC,到其自身的线性算子.今证T有界且
等式（7）成立.令

babtadsstK,max
则 xdsstKtxdssxstKTxbabtabtababta,maxmax,max
故T有界且T.
由于badsstK,是t的连续函数，故存在

bat,0
，使得

badsstK,0
记0,:00stKse.作函数

00,1,1etndetndtn
其中0,etd为t与0e的距离，则tn于ba,上连续，且

1t

n


.注意到0e为闭集，tn还有下列性质：

netnettn当对一切00,1,1
由勒贝格控制收敛定理，当n时，有



babanndsstKdssstKtT,,

000

于是
TTTtTnnnn0lim
因此T.若原0e，则令0,:0stKse.
例 7 在连续函数空间1,0C中讨论微分算子dtdT.
将在1,0上连续可微函数构成的集1,01C作为T的定义
域，则T是定义1,01C在上，并在1,0C中取值的线性算子.
我们证明T无界.

取nttxnsin，则1nx，但

nntnntdtdTxncossin （当n时）
故T将1,01C中的单位球面映成1,0C中的无界集.T无
界.