小学奥数讲义-等差数列的认识与公式运用

本讲知识点属于计算板块的部分,难度较三年级学到的该内容稍大,最突出一点就是把公式用字母表示。

要求学生熟记等差数列三个公式,并在公式中找出对应的各个量进行计算。

一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起,每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数),这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起,每一项比前一项大3 ,递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起,每一项比前一项小5 ,递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项,通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项,通常用n a 表示,它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数,通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差,通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和,常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差,11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差,11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数,或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（）,n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ,分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有484145-+=知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目,还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即,和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半；或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（）, 题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（）, 题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】 下面的数列中,哪些是等差数列？若是,请指明公差,若不是,则说明理由。

①6,10,14,18,22,…,98； ②1,2,1,2,3,4,5,6； ③ 1,2,4,8,16,32,64； ④ 9,8,7,6,5,4,3,2； ⑤3,3,3,3,3,3,3,3； ⑥1,0,1,0,l ,0,1,0；【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 ①是,公差d =4.②不是,因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项. ③不是,因为4-2≠2-1. ④是,公差d =l . ⑤是,公差d =0.⑥不是,因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。

【答案】①是,公差d =4.②不是,因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项. ③不是,因为4-2≠2-1. ④是,公差d =l . ⑤是,公差d =0.⑥不是,因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。

【例 2】 小朋友们,你知道每一行数列各有多少个数字吗？（1）3、4、5、6、……、76、77、78 （2）2、4、6、8、……、96、98、100 （3）1、3、5、7、……、87、89、91 （4）4、7、10、13、……、40、43、46【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】计算例题精讲【解析】⑴连续的自然数列,3、4、5、6、7、8、9、10…… ,对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、…… ,发现它的项数比对应数字小2,所以78是第76项,那么这个数列就有76项．对于连续的自然数列,它们的项数是：末项－首项+1．⑵如果添上此数列所缺的一些奇数,就变成了1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100,可知这个数列是100项．让它们两两结合有：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100）,奇数在每一组的第1位,偶数在第2位,而且每组里偶数比奇数大,同学们一看就知道,共有100250÷=组,每组把偶数找出来,那么原数列就有50项了．这样的方法我们称为“添数配组法”．⑶利用“添数配组法”得：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（87、88）、（89、90）、（91、92）,1～92有92项,每组2项,那么可以得到92246÷=组,所以原数列有46项．⑷利用“添数配组法”得：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48）,注意每两项的差是3 ,那么每组有3个数,数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有484145÷=组,原数列有15-+=项,每组3个数,所以共45315项．当然,我们还可以有其他的配组方法．【答案】⑴76⑵50⑶46⑷15【巩固】1,3,5,7,……是从1开始的奇数,其中第2005个奇数是________。

【考点】等差数列的基本认识【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第4题,6分【解析】2×2005-1=4009【答案】4009【例 3】312+、484+、……是按一定规律排列的一串算式,其中第六个算式+、246+、610+、128的计算结果是。

【考点】等差数列的基本认识【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第3题,6分【解析】规律是,第一个加数是公比为2的等比数列,第二个加数是差为2的等差数列,所以第六个式子是96+2=98【答案】98【例 4】把比100大的奇数从小到大排成一列,其中第21个是多少？【考点】等差数列的基本认识【难度】2星【题型】计算【解析】该数列为等差数列,首项为101,公差为2,第21个数的项数为21.则101+（21-1）×2=141【答案】141【巩固】2,5,8,11,14……是按照规律排列的一串数,第21项是多少？【考点】等差数列的基本认识【难度】2星【题型】计算【解析】此数列为一个等差数列,将第21项看做末项。

末项=2+（21-1）×3=62【答案】62【例 5】已知一个等差数列第9项等于131,第10项等于137,这个数列的第1项是多少？第19项是多少？【考点】等差数列的基本认识【难度】3星【题型】计算【解析】把数列列出来：83,89,95,101,107,113,119,125,131,137,143,149,155,161,167,173,179,185,191【答案】191【巩固】一个数列共有13项,每一项都比它的前一项多7,并且末项为125,求首项是多少？【考点】等差数列的基本认识【难度】3星【题型】计算【解析】把数列列出来：125,118,111,104,97,90,83,76,69,62,55,48,41【答案】41【巩固】在下面12个方框中各填入一个数,使这12个数从左到右构成等差数列,其中10、16已经填好,这12个数的和为。

　‍‍‍‍　‍‍‍‍　‍‍‍‍　‍‍‍‍　‍‍‍‍16　‍‍‍‍　‍‍‍‍10　‍‍‍‍　‍‍‍‍　‍‍‍‍【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】学而思杯,3年级 【解析】 由题意知：这个数列是一个等差数列,又由题目给出的两个数10和16知：公差为2,那么第一个方格填26,最后一个方格是4,由等差数列求和公式知和为：(426)122180+⨯÷=。

【答案】180【例 6】 从1开始的奇数：1,3,5,7,……其中第100个奇数是_____。

【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯,4年级,1试 【解析】 略 【答案】199【例 7】 观察右面的五个数：19、37、55、a 、91排列的规律,推知a =________ 。

【考点】等差数列的基本认识 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯,四年级,二试 【解析】 19+18=37,37+18=55,所以a =55+18=73 【答案】73等差数列公式的简单运用【例 8】 2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列,如果其中五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一个．【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 方法一：利用等差数列的“中项定理”,对于奇数个连续自然数,最中间的数是所有这些自然数的平均值,五个连续偶数的中间一个数应为320564÷=,因相邻偶数相差2,故这五个偶数依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60．方法二：5个连续偶数求和,我们不妨可以把这5个数用字母表示记作：4x -、2x -、x 、2x +、4x +．那么这5个数的和是5320x =,64x =,进而可得这五个偶数依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60．请教师引导学生体会把中间数表示为x 的便利,如果我们把最大或最小的数看成x ,那么会怎样呢？【答案】60【巩固】 1、3、5、7、9、11、是个奇数列,如果其中8个连续奇数的和是256,那么这8个奇数中最大的数是多少？【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 我们可以找中间的两个数其中一个为y ,那么这8个数为：6y -,4y -,2y -,y ,2y +,4y +,6y +,8y +,根据题意可得：88256y +=,所以31y =,最大的奇数是839y +=．【答案】39【巩固】 1、4、7、10、13、…这个数列中,有6个连续数字的和是159,那么这6个数中最小的是几？ 【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 设这个数为：6x -,3x -,x ,3x +,6x +,9x +,它们的和是69159x +=,所以25x =,那么最小数为19．【答案】19【例 9】 在等差数列6,13,20,27,…中,从左向右数,第 _______个数是1994．【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 每个数比前一个数大7,根据求通项1(1)n a a n d =+-的公式得1()1n n a a d =-÷+,列式得：(19946)7284-÷= 2841285+=即第285个数是1994．【答案】285【巩固】 5、8、11、14、17、20、,这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？ 【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3星 【题型】计算【解析】 它是一个无限数列,所以项数有无限多项．第n 项=首项+公差1n ⨯-（）,所以,第201项532011605=+⨯-=（）,对于数列5,8,11,,65,一共有：6553121n =-÷+=（）,即65是第21项．【答案】无限多项；第201项是605；65是第21项【巩固】 对于数列4、7、10、13、16、19……,第10项是多少？49是这个数列的第几项？第100项与第50项的差是多少？【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 可以观察出这个数列是公差为3的等差数列．根据刚刚学过的公式：第n 项=首项+公差1n ⨯-（）,项数=(末项-首项)÷公差1+,第n 项-第m 项=公差n m ⨯-（） 第10项为：4310142731+⨯-=+=（）,49在数列中的项数为：4943116-÷+=（） 第100项与第50项的差：310050150⨯-=（）． 【答案】第10项是31；49是第16项；第100项与第50项的差事150【巩固】 已知数列0、4、8、12、16、20、…… ,它的第43项是多少？【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3星 【题型】计算【解析】 第43项04431168+⨯-=（）． 【答案】168【巩固】 聪明的小朋友们,PK 一下吧．⑴3、5、7、9、11、13、15、…… ,这个数列有多少项？它的第102项是多少？ ⑵0、4、8、12、16、20、…… ,它的第43项是多少？⑶已知等差数列2、5、8、11、14 …… ,问47是其中第几项？⑷已知等差数列9、13、17、21、25、 …… ,问93是其中第几项？【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴它是一个无限数列,所以项数有无限多项．第n 项=首项+公差1n ⨯-（）,所以,第102项321021205 =+-=（）； ⑵第43项0 4 (431)168 =+-=．⑶首项2=,公差3=,我们可以这样看：2、5、8、11、14 … 、47 ,那么这个数列有：4723116n =-÷+=（）,(熟练后,此步可省略),即47是第16项 ．其实求项数公式,也就是求第几项的公式． ⑷9394122n =-÷+=（）． 【答案】⑴无限多项；205 ⑵168 ⑶16 ⑷22【例 10】 ⑴如果一个等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.⑵如果一个等差数列的第3项为16,第11项为72,求它的第6项.【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3星 【题型】计算【解析】 ⑴要求第8项,必须知道首项和公差．第6项-第4项64=-⨯（）公差 ,所以 , 公差6=；第4项=首项3+⨯公差 ,21=首项36+⨯,所以,首项3= ； 第8项=首项7+⨯公差45= ．⑵公差7=,首项2=,第6项37=．【答案】⑴45 ⑵37【巩固】 已知一个等差数列第8项等于50,第15项等于71.请问这个数列的第1项是多少？ 【考点】等差数列公式的简单运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 71-50=21。