补课：第一章 常用逻辑用语

第 1 页 共 5 页 第一章 常用逻辑用语 1、命题的概念：可以判断真假的语句叫命题。 2、判断一个语句是不是命题的方法： （1）一般要求是陈述句或反问句；（2）疑问句、祈使句和感叹句都不是命题； （3）模棱两可的语句不是命题； （4）开语句经过限制或赋值后可能是命题.

3、 四种命题的关系：

①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. ②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径. 除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.、 一些常见的词的否定： 正面词 等于 大于 小于 是 都是 一定是 至少一个 至多一个 否定词 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 一定不是 一个也没有 至少两个 对命题的否定只是否定命题的结论； 否命题，既否定条件，又否定结论。 命题m：“若p，则q”，m为“若p，则q”。 4、充分条件与必要条件：

（1）p是q的充分条件：qp； （2）p是q的必要条件：pq；

（3）p是q的充要条件：qp且pq； （4）p是q的充分不必要条件：qp且pq； （5）p是q的必要不充分条件：pq且qp。 5、、逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词. （1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题为复合命题. （2）复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）. （3）复合命题的真假判断（利用真值表）： 非 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假

5-1、“p且q”形式命题的真假规律：p、q都是真命题，“p且q”才是真命题，否则“p且q”是假命题。 5-2、“p或q”形式命题的真假规律：p、q都是假命题，“p或q”才是真命题，否则“p或q”是真命题。 5-3、p与p的真假规律：一真一假. 6、全称量词：表示所陈述事物的全体，表示符号，常用词语全部，都，任意，每一个，所有。 第 2 页 共 5 页

7、全称命题：含有全称量词的命题 ，一般格式)(,xqAx。 8、存在量词：表示所陈述事物的个体或部分，表示符号，常用词语 有，有一个，有一些，至少有一个 。 9、存在性命题：含有存在量词的命题，一般格式)(,xPAx。 10、命题m：“若p，则q”，m为“若p，则q”。 11、命题p：)(,xPAx，p为)(,xpAx。 10、命题q：)(,xqAx，q为)(,xqAx。 一、题型一：命题、真命题、假命题的判断 例1：下列语句是命题的是( ) A．梯形是四边形 B．作直线AB C．x是整数 D．今天会下雪吗 例2．下列说法正确的是( )

A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 变式练习：下列命题是真命题的是( ) A．{∅}是空集 B.{}x∈N||x－1|<3是无限集 C．π是有理数 D．x2－5x＝0的根是自然数 题型二：复合命题的结构 例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假： (1)6是12和18的公约数； (2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根； (3)已知x、y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2. 变式练习：指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假： (1)若整数a是偶数，则a能被2整除； (2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形； (3)相等的两个角的正切值相等． 题型三：命题真假判断中求参数范围 例4、已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0(m∈R)无实根，求使p为真命题且q也为真命题的m的取值范围．

变式练习：已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：0范围．

四、题型四：四种命题的等价关系及真假判断 例5．命题“若△ABC有一内角为π3，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( ) A．与原命题同为假命题 B．与原命题的否命题同为假命题 C．与原命题的逆否命题同为假命题 D．与原命题同为真命题 例6．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )

A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 第 3 页 共 5 页

例7．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是( ) A．若x≤y，则x2≤y2 B．若x>y，则x2例8．．给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；

②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；

③命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题． 其中真命题的序号为________． 变式练习．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的( ) A．逆命题 B．逆否命题 C．否命题 D．以上判断都不对 五、题型五：问题的逆否证法 例9．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．

六、题型六：判断条件关系及求参数范围 例10．“x＝2kπ＋π4(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例11、设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 例12．已知条件p：－1≤x≤10，q：x2－4x＋4－m2≤0(m>0)不变，若非p是非q的必要而不充分条件，如何求实数m的取值范围？

变式练习1：已知条件：p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则q是p的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

变式练习2 已知p：12≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取值范围．

七、充要条件的论证 例13求证：0≤a<45是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件． 第 4 页 共 5 页

八、命题真假值的判断 例14．如果命题“p∨q”与命题“非p”都是真命题，那么( ) A.命题p不一定是假命题 B．命题q一定为真命题 C．命题q不一定是真命题 D．命题p与命题q的真假相同 变式练习：判断由下列命题构成的p∨q，p∧q，非p形式的命题的真假： (1)p：负数的平方是正数，q：有理数是实数； (2)p：2≤3，q：3<2； (3)p：35是5的倍数，q：41是7的倍数． 九、命题的否定与否命题 例15．命题“若a变式练习1：“a≥5且b≥3”的否定是____________；

“a≥5或b≤3”的否定是____________． 解：a＜5或b＜3 a＜5且b＞3 变式练习2： (2010年高考安徽卷) 命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________． 十、全称命题与特称命题相关小综合题 例17．若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是( )

A．a≤－3或a>2 B．a≥2 C．a>－2 D．－2

变式练习1： 已知命题p：∃x0∈R，tan x0＝3；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则“p且q”是________命题． 变式练习2： 已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题，其中正确的是( ) A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 十一、综合训练典型题

例18．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足 x2－x－6≤0，x2＋2x－8>0. (1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； (2)非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

变式练习2：已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上单调递增．q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0解集为R.若p∧q假，p∨q真，求实数a的取值范围． 第 5 页 共 5 页

课后作业： 例1、已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，若A是B的必要不充分条件，求实数m范围。 解题思路分析： 化简条件得A={1，2}，A是B的必要不充分条件，即A∩B=BBA 根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2} 当B=φ时，△=m2-8<0 ∴ 22m22

当B={1}或{2}时，02m2402m10或，m无解

当B={1，2}时，221m21 ∴ m=3 综上所述，m=3或22m22 说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。 例2、用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求 证x、y中至少有一个大于1。 解题思路分析： 假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ x、y中至少有一个大于1 说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。 例3、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。 解题思路分析： 利用“”、“”符号分析各命题之间的关系 DCBA ∴ DA，D是A的充分不必要条件 说明：符号“”、“”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的

例2 已知p：012mxx有两个不等的负根，q：01)2(442xmx无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围． 例7（2009天津卷理）命题“存在0xR，02x0”的否定是 A. 不存在0xR, 02x>0 B. 存在0xR, 02x0 C. 对任意的xR, 2x0 D. 对任意的xR, 2x>0 例8（07宁夏）已知命题p：1sin,xRx，则（ ） A.1sin,:xRxp B. 1sin,:xRxp C.1sin,:xRxp D. 1sin,:xRxp