高中数学 2_5 简单复合函数的求导法则同步精练 北师大版选修2-21
新教材适用2023_2024学年高中数学第2章5简单复合函数的求导法则课件北师大版选择性必修第二册
2．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝__1___. [解析] 易得f′(x)＝4(2x＋a)， 又f′(2)＝20，即4(4＋a)＝20， 解得a＝1.
关键能力•攻重难
题|型|探|究
题型一
复合函数的概念
典例 1 函数 y＝2x＋1 12可以看成哪两个函数的复合？
[解析] 函数 y＝2x＋1 12可以看成函数 y＝1u与函数 u＝(2x＋1)2 的复
[点评] 错解中对e1－2x求导数，没有按照复合函数的求导法则进 行，导致求导不完全.
课堂检测•固双基
1.函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( A ) A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 [解析] 将x2－1看作整体，记u＝x2－1，则y＝(x2－1)n由y＝un和u＝ x2－1 复合而成．
即 y′＝18x－24. (2)设 y＝cos u，u＝2x－π4， 则 yu′＝－sin u，ux′＝2， 于是 yx′＝yu′·ux′＝－2sin2x－π4， 即 y′＝－2sin2x－π4.
(3)设 y＝ln u，u＝4x－1，则 yu′＝1u，ux′＝4， 于是 yx′＝yu′·ux′＝4x－4 1， 即 y′＝4x－4 1. (4)设 y＝eu，u＝x2，则 yu′＝eu，ux′＝2x， 于是 yx′＝yu′·ux′＝ex2·2x，即 y′＝2xex2.
知识点 2 复合函数的求导法则
复 合 函 数 y ＝ f(φ(x)) 的 导 数 为 ： y′x ＝ ______[f_(φ__(x_)_)]_′___________ ＝ _________f′__(_u_)_φ_′__(x_)_，__其__中__u_＝__φ_(_x_) ___________.
2020-2021学年高中北师大版数学选修课件-2.5-简单复合函数的求导法则
【思考】
(1)已知函数f(x)=sin (2x ) .这个函数是复合函数吗？若是，由哪两个函数
6
复合而成？
提示：是复合函数.函数f(x)=sin (2x 是由) 函数f(u)=sin u和函数u=φ(x)
6
=2x+ 复合而成的.
6ห้องสมุดไป่ตู้
(2)函数f(x)=sin (2x ) 分步求导数的过程是什么？
f 1
,
e
所以f(x)= f 1 ex f 1所x 以1fx′(2x, )=
e
e2
所f 以1fe′x(1)f=1 x,
e
e
f 1 e f 即1 f′1(，1)=e，从而f(x)=ex-x+ x2，f′(1x)=ex-1+x，
e
e
2
所以f(1)=e- 1，f′(1)=e，
2
故切线方程为y-(e- 1)=e(x-1)，即y=ex- 1.
2.(ln 2x)′等于
()
A. 1
B. 1
2x
x
C. 1 xln 2
D. ln 2 x
【解析】选B.(ln 2x)′= 1 (2x)′= 1 .
2x
x
3.已知函数f(x)=(2x+a)2，且f′(2)=20，则a=_______. 【解析】易得f′(x)=4(2x+a)， 又f′(2)=20，即4(4+a)=20，解得a=1. 答案：1
6
提示：令u=2x+ ，则f′(x)=f′(u)·u′(x)
6
=(sin u)′· (2x ′=c)os u·2=2cos
6
.(2x )
6
【基础小测】
【创新设计】高中数学同步训练：2.5 简单复合函数的求导法则 (北师大选修2-2)
§5简单复合函数的求导法则双基达标 (限时20分钟)1．已知f (x )＝ln (2x )，则f ′(x )( )．A.12xB.1xC.1x ·ln 2D.ln 2x解析 f (x )＝ln (2x )由f (u )＝ln u 和u ＝2x 复合而成． 答案 B2．设f (x )＝x 3，则f (a －bx )的导数等于( )．A ．3(a －bx )B ．2－3b (a －bx )2C ．3b (a －bx )2D ．－3b (a －bx )2答案 D3．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )．A ．64B ．32C ．16D ．8解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32， ∴过(a ，a －12)点的切线斜率k ＝－12a －32， ∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∴该切线与两坐标轴围成三角形的面积 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 答案 A4．已知：函数f (x )＝sin 31x .则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＝________.解析 f ′(x )＝3sin 21x cos 1x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2 ＝－3x 2sin 21x ·cos 1x .∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＝0.答案 0 5．已知下列结论：(1)y ＝sin 2x ，y ′＝cos 2x ； (2)y ＝sin x 2，y ′＝2x cos x 2； (3)y ＝cos x 2，y ′＝2x cos x ； (4)y ＝cos 1x ，y ′＝－1x sin 1x . 其中正确的是________．解析 y ′＝(sin x 2)′＝cos x 2·(x 2)′＝2x cos x 2. 答案 (2)6．求下列函数的导数．(1)y ＝ln x 2＋1； (2)y ＝e sin(ax ＋b )；(3)y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.解 (1)y ＝12ln(x 2＋1)， 设y ＝12ln u ，u ＝x 2＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝12·1u ·(x 2＋1)′＝12·1x 2＋1·(2x )＝x x 2＋1. (2)设y ＝e u ，u ＝sin v ，v ＝ax ＋b ， 则y x ′＝y u ′·u u ′·v x ′＝e u ·cos v ·a ＝e sin v ·cos (ax ＋b )·a ＝a cos(ax ＋b )·e sin(ax ＋b )． (3)∵y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x ·(－sin 2x )·cos 2x ＝－12x ·sin 4x∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ·sin 4x ′ ＝－12sin 4x ＋x2(－4cos 4x ) ＝－12sin 4x －2x cos 4x . 综合提高 (限时25分钟)7．下列函数不可以看成是复合函数的是( )．A ．y ＝x cos xB ．y ＝1ln x C ．y ＝(2x ＋3)4D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x解析 B 中函数y ＝1ln x 是由函数f (u )＝1u 和函数u ＝φ(x )＝ln x 复合而成的，其中u 是中间变量；C 中函数y ＝(2x ＋3)4是由函数f (u )＝u 4和函数u ＝φ(x )＝2x ＋3复合而成的，其中u 是中间变量；D 中函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 是由函数f (u )＝sin u 和函数u ＝φ(x )＝π2－x 复合而成的，其中u 是中间变量．故选A. 答案 A 8．函数y ＝1(3x －1)2的导数是( )．A.6(3x －1)3B.6(3x －1)2 C ．－6(3x －1)3D ．－6(3x －1)2解析 函数y ＝1(3x －1)2是由函数f (u )＝1u 2和函数u ＝φ(x )＝3x －1复合而成的，其中u 是中间变量．y x ′＝f ′(u )φ′(x )＝(－2u －3)·3＝－6(3x －1)3.答案 C9．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.解析 f ′(x )＝[log 3(x －1)]′＝1(x －1)ln 3，∴f ′(2)＝1ln 3. 答案 1ln 310．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析 f ′(x )＝2(2x ＋a )·2＝4(2x ＋a )，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1. 答案 111．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解 当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x－1＋2x . 由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.12．(创新拓展)有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为y ＝s (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715时的导数，并解释它的实际意义．解 函数y ＝5－25－9t 2可以看作函数f (x )＝5－x 和x ＝φ(t )＝25－9t 2的复合函数，其中x 是中间变量．由导数公式表可得f ′(x )＝－12x －12，φ′(t )＝－18t .再由复合函数求导法则得y t ′＝s ′(t )＝f ′(x )φ′(t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －12·(－18t )＝9t25－9t 2，将t＝715代入s′(t)，得s′⎝⎛⎭⎪⎫715＝0.875(m/s)．它表示当t＝715时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.。
(教师用书)高中数学 2.5 简单复合函数的求导法则同步课件 北师大版选修22
判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分 析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的， 各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层 分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的 基本函数经过有限次运算而得到的函数．
指出下列函数的复合关系． (1)y＝log3(a2x＋ax)； (2)y＝2x2＋2x. 【解】 (1)y＝log3(a2x＋ax)是由y＝log3u，u＝t2＋t和t
●教学流程设计
演示结束
1.了解复合函数的概念．(难点) 课标解读 2.掌握复合函数的求导法则．(重点) 3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的 导数．(重、难点)
复合函数求导法则
【问题导思】 1．已知函数f(u)＝u2和u(x)＝2x＋1，试写出函数y＝ f(u(x))并思考函数f(u(x))是由函数y＝f(u)和y＝u(x)的和、 差、积、商构成的函数吗？
1．本题利用复合函数求导法则时，选择合适的中间变 量是关键． 2．复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向里层 求导，每次求导都针对着本层相应变量进行，直至求到最 里层为止．
求下列函数的导数． 1 (1)y＝ ；(2)y＝cos(2 008x＋8)． 3－4x4
【解】
(1)引入中间变量u＝φ(x)＝3－4x，
＝ax复合而成的． (2)y＝2x2＋2x是由y＝2t和t＝x2＋2x复合而成的.
求复合函数的导数
求下列函数的导数． (1)y＝(5x＋4)4；(2)y＝ 1－2x.
【思路探究】 两个函数都符合复合函数的定义，可
应用简单复合函数的求导法则求导． 【自主解答】 (1)引入中间变量u＝φ(x)＝5x＋4，则
【提示】 不是．
y＝f(u(x))＝[u(x)]2＝(2x＋1)2＝4x2＋4x＋1.
高中数学 第二章 变化率与导数 2.5 简单复合函数的求导法则课件5 北师大版选修22
y a x ln a
y ex
y 1 x ln a
y 1 x
y cos x
y sin x
y
1 c os2
x
y
1 s in 2
x
2.导数的四则运算法则：
f (x) g(x) f (x) g(x), f (x) g(x) f (x) g(x).
油膜半径r 随着时间 t的增加而扩大，其函数关
系为：
r (t) 2t 1
问：油膜面积 S 关于时间 t 的瞬时变化率是多
少？
回答以下问题：
（1）时间t与油膜面积S有关系吗？能写出S与 t之间的关系式吗？ （2）S与t之间的关系是函数关系吗？
１.复合函数的定义
对于两个函数 y f (u) 和 u (x) ax b
给定ｘ的一个值，就得到了ｕ的值，进而确定 了ｙ的值，这样ｙ可以表示成ｘ的函数，我们 称这个函数为函数 y f (u) 和 u (x)
的复合函数，记作 y f ((x))
指出这两个函数的哪个是基本 的初等函数？哪个是复合函数？
y sin x 是基本函数，正弦函数
y sin 2x 是复合函数
练习：指出下列函数是怎样复合而成：
(1) y sin 2x；
(2) y 3x2 x 1； (3) y cos(sin x)； (4) y (a bxn )m； (5) y sin(1 1).
x
y sin u, u 2x y u, u 3x2 x 1
关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。 利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。
谢谢各位同学！
2.5 简单复合函数的求导法则(教学课件)-高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据今天所学，回答下列问题：
1.什么是复合函数？ 2.如何求复合函数的导数？
1
= 2 与μ=φ（x）=3x+1复合而成的.
由复合函数的求导法则，可得
y(x) ( 3x 1) f ()(x) ( ) (3x 1) 1 3 3 .
2 2 3x 1
学习目标
新课讲授
课堂总结
例2：求函数 y=（2x-1)30的导数.
解：引入中间变量μ=φ（x）=2x-1，则函数y=（2x-1)30是由函数f（μ） =μ30与μ=φ（x）=2x-1复合而成的.
课堂总结
练一练
1.指出下列函数是怎样复合而成的． (1)y=(3＋5x)2；(2)y=log3(x2-2x+5)；(3)y=cos 3x.
解： (1)y=(3＋5x)2是由函数y=u2，u=3＋5x复合而成的． (2)y=log3(x2-2x+5)是由函数y=log3u，u=x2-2x+5复合而成的． (3)y=cos 3x是由函数y=cos u，u=3x复合而成的．
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结
复合函数y=f(φ(x)）对x的导数为
yʹx=表示y对 x的导数.
yʹx=[f(φ(x)）]ʹ=fʹ（μ）φʹ（x），其中μ=φ（x）.
学习目标
新课讲授
课堂总结
例1：求函数 y 3x 1 的导数 .
解：引入中间变量μ=φ（x）=3x+1，则函数 y 3x 1 是由函数f（μ）
学习目标
新课讲授
概念生成
课堂总结
复合函数
一般地，对于两个函数y=f（μ）和μ=φ（x）=ax+b,如果给定x的 一个值，就得到了μ的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的 函数，称这个函数为函数y=f（μ）和μ=φ（x）的复合函数，记作 y=f(φ(x)）,其中μ为中间变量.
【必做练习】高中数学第2章变化率与导数2.5简单复合函数的求导法则学案北师大版选修2_2
[ 构建·体系 ] — 复合函数的概念
复合函数的求导 — — 复合函数的求导法则 — 应用
1. 函数 y＝ cos ( － x) 的导数是 ( A.cos x
) B. － cos x
C. － sin x
D.sin x
【解析】 y′＝－ sin ( － x)( － x) ′＝－ sin x.
(ln 2 x) ′等于 ( )
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1
1
A. B.
2x
x
1 C.
xln 2
ln 2 D.
x
1
1
【解析】 (ln 2 x) ′＝ 2x(2 x) ′＝ x.
【答案】 B
[ 质疑·手记 ]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问 1：
解惑：
疑问 2：
【答案】 A
教材整理 2 复合函数的求导法则
阅读教材 P49 最后两行至 P50 部分，完成下列问题 . 复合函数 y ＝ f ( φ ( x)) 的导数和函数 y＝ f ( u) ， u＝ φ ( x) 的导数间的关系为
y x ′＝
yu′· ux′ . 即 y 对 x 的导数是 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 .
【答案】 2 5. 求下列函数的导数 . (1) y＝cos( x＋ 3) ； (2) y＝ (2 x－ 1) 3； (3) y＝e－2x＋1. 【解】 (1) 函数 y＝ cos( x＋ 3) 可以看做函数 y＝ cos u 和 u＝ x＋ 3 的复合函数， 由复合函数的求导法则可得 yx′＝ yu′· ux′＝ (cos u) ′·（x＋3) ′ ＝－ sin u· 1＝－ sin u＝－ sin( x＋ 3). (2) 函数 y＝ (2 x－ 1) 3 可以看做函数 y＝ u3 和 u＝ 2x－ 1 的复合函数， 由复合函数的求导法则可得 yx′＝ yu′· ux′＝ ( u3 ) ′· (2 x－1) ′ ＝ 3u2· 2＝ 6u2＝ 6(2 x－ 1) 2. (3) y′＝ e－2x＋1· ( －2x＋1) ′＝－ 2e－2x＋1.
2.5简单复合函数的求导法则-北师大版高中数学选修2-2练习
§5简单复合函数的求导法则课后训练案巩固提升A组1.函数f(x)=(1-2x)10在点x=0处的导数是()A.0B.1C.20D.-20解析:∵f'(x)=10(1-2x)9(1-2x)'=-20(1-2x)9,∴f'(0)=-20.答案:D2.设y=√1+a+√1-x,则y'等于()A.121+a121-xB.121-xC.12√1+a121-xD.-121-x解析:y'=(√1+a)'+(√1-x)'=12(1-x)-12×(-1)=-2√1-x答案:D3.若函数f(x)=3cos(2x+π3),则f'(π2)等于()A.-3√3B.3√3C.-6√3D.6√3解析:∵f'(x)=-6sin(2x+π3 ),∴f'(π2)=-6sin(π+π3)=6sinπ3=3√3.答案:B4.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形面积为()A.13B.12C.23D.1解析:∵y'=-2e -2x ,∴k=-2e 0=-2.因此切线方程为y-2=-2(x-0),即y=-2x+2.如图所示,∵y=-2x+2与y=x 的交点为(23,23),y=-2x+2与x 轴的交点坐标为(1,0),∴S=12×1×23=13.答案:A5.函数y=cos 2x+sin √x 的导数为( )A.-2sin 2x+cos √x 2√xB.2sin 2x+cos √x 2√xC.-2sin 2x+sin √x 2√xD.2sin 2x-cos √x 2√x解析:y'=(cos 2x+sin √x )'=(cos 2x )'+(sin √x )'=-sin 2x ·(2x )'+cos √x ·(√x )'=-2sin 2x+cos √x 2√x .答案:A6.若f (x )=(2x+a )2,且f'(2)=20,则a= .解析:∵f'(x )=[(2x+a )2]'=2(2x+a )·(2x+a )'=4(2x+a ),∴f'(2)=4(4+a )=20.∴a=1.答案:17.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a )相切,则a 的值为 .解析:设切点为(x 0,y 0),则y 0=x 0+1,y 0=ln(x 0+a ),即x 0+1=ln(x 0+a ),∵y'=1x+a ,∴1x 0+a =1,即x 0+1=ln 1=0.∴x 0=-1.∴a=2.答案:28.求下列函数的导数.(1)f (x )=e 6x-4; (2)g (x )=sin2x x+1;(3)y=e 2x +e -2xe x +e -x ; (4)y=log 2(2x 2+3x+1).解(1)f'(x )=(e 6x-4)'=e 6x-4·(6x-4)'=6e 6x-4.(2)g'(x )=(sin2x x+1)'=(sin2x )'(x+1)-(x+1)'sin2x(x+1)2=2cos2x ·(x+1)-sin2x(x+1)2=2(x+1)cos2x -sin2x(x+1)2.(3)∵y=e 2x +e -2xe x +e -x =(e x +e -x )2-2e x +e -x=e x +e -x -2e x +e -x =e x +e -x -2e xe 2x +1,∴y'=(e x )'+(e -x )'-(2e xe 2x +1)'=e x -e -x -2e x ·(e 2x +1)-2e x ·2e 2x(e 2x +1)2=e x -e -x -2e x (1-e 2x )(e 2x +1)2.(4)y'=[log 2(2x 2+3x+1)]'=log2e 2x 2+3x+1(2x 2+3x+1)'=(4x+3)log2e 2x 2+3x+1.9.导学号88184027曲线f (x )=e 2x ·cos 3x 上点(0,1)处的切线与直线l 的距离为√5,求l 的方程.解由题意知,f'(x )=(e 2x )'cos 3x+e 2x (cos 3x )'=2e 2x cos 3x-3e 2x sin 3x.则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k=f'(0)=2,该切线方程为y-1=2x ,即y=2x+1.设直线l 的方程为y=2x+m ,则d=|m -1|5=√5,解得m=-4或m=6. 当m=-4时,l 的方程为y=2x-4,即2x-y-4=0.当m=6时,l 的方程为y=2x+6,即2x-y+6=0. 综上可知,l 的方程为2x-y-4=0或2x-y+6=0.B 组1.曲线y=e x 2在点(4,e 2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为( )A.92e 2B.4e 2C.2e 2D.e 2 解析:∵y'=(e x 2)'=e x 2·(x 2)'=12e x2,∴k=12e 42=12e 2.∴切线方程为y-e 2=12e 2(x-4),即y=12e 2x-e 2. ∴S=12×|-e 2|×2=e 2.答案:D2.导学号88184028若点P 是函数y=e x -e -x -3x ( −12≤x ≤12 )图像上任意一点,且在点P 处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )A.5π6B.3π4C.π4D.π6 解析:由导数的几何意义,得k=y'=e x +e -x -3≥2√e x ·e -x -3=-1,当且仅当x=0时等号成立,即tan α≥-1,α∈[0,π),所以α的最小值是3π4.故选B . 答案:B3.求下列函数的导数.(1)y=√1-2x ;(2)y=e sin x ;(3)y=sin 2x ; (4)y=5log 2(2x+1). 解(1)设y=u -12,u=1-2x 2,则y'x =y'u ·u'x =(u -12)'(1-2x 2)'=(-12u -32)·(-4x )=-12(1-2x 2)-32·(-4x )=2x (1-2x 2)-32.(2)设y=e u ,u=sin x ,则y'x =y'u ·u'x =e u ·cos x=e sin x ·cos x.(3)设y=u 2,u=sin x ,y'x =y'u ·u'x =2u ·cos x=2sin x ·cos x=sin 2x.(4)设y=5log 2u ,u=2x+1,则y'=5(log 2u )'(2x+1)'=10uln2=10(2x+1)ln2.4.设f (x )=ln(x+1)+√x +1+ax+b (a ,b ∈R ),曲线y=f (x )与直线y=32x 在点(0,0)相切,试求a ,b 的值.解由y=f (x )过点(0,0),得b=-1.∵y=f (x )在点(0,0)处的切线斜率为32,f'(x )=1x+112x+1+a ,∴f'(0)=32+a=32,得a=0.∴a=0,b=-1.5.导学号88184029已知函数f (x )={ln (x +1),x >0,x 2,x ≤0,g (x )=3x+1,求f (g (x ))和g (f (x ))的导数.解(1)∵当g (x )>0,即x>-13时,f (g (x ))=ln(g (x )+1)=ln(3x+2);当g (x )≤0,即x ≤-13时,f (g (x ))=(g (x ))2=(3x+1)2=9x 2+6x+1;∴f (g (x ))={ln (3x +2),x >-13,9x 2+6x +1,x ≤-13.当x>-13时,设u=3x+2, 则f'x =f'u ·u'x =1u ·3=33x+2. 当x ≤-13时,f'(g (x ))=(9x 2+6x+1)'=18x+6.∴f'(g (x ))={33x+2,x >-13,18x +6,x ≤-13.(2)g (f (x ))=3f (x )+1={3ln (x +1)+1,x >0,3x 2+1,x ≤0.当x>0时,设v=x+1,则g x '=g v '·v x '=3x+1. 当x ≤0时,g'(f (x ))=(3x 2+1)'=6x.∴g'(f (x ))={3x+1,x >0,6x ,x ≤0.。
高中数学北师大版选修2-2课时作业2.5 简单复合函数的求导法则 Word版含解析
选修第二章§课时作业一、选择题．设＝＋，则′等于( )．＋．．－．－解析：′＝()′＋()′＝＋·(－)′＝－.答案：．函数＝·，则′＝等于( )．．．－．以上都不对解析：＝·＝，′＝·′＝，′＝＝＝.故答案为.答案：．某市在一次降雨过程中，降雨量()与时间()的函数关系可近似地表示为＝()＝，则在时刻＝的降雨强度为( )．．．．解析：′()＝·＝，∴′()＝＝.答案：．已知直线＝＋与曲线＝(＋)相切，则的值为( )．．．－．－解析：设切点为(，)，则＝＋，＝(＋)，即＋＝(＋)．∵当＝时，′＝，∴＝，即＋＝.∴＋＝＝.∴＝－.∴＝.答案：二、填空题．已知()＝(－)，则′()的值为．解析：′()＝·(－)·(－)′＝(－)×(－)＝－(－).所以′()＝.答案：．曲线()＝－在点()处的切线的倾斜角为．解析：′()＝－·(－)′＝－，′()＝＝，即切线的斜率为，倾斜角为°.答案：°．函数＝在点()的切线斜率为．解析：′＝－，当＝时，′＝－.答案：－三、解答题．求下列函数的导数：()＝(－)；()＝(＋)；()＝；()＝(＋)(＋)．解：()∵＝(－)由函数＝和＝－复合而成，∴′＝′·′＝()′·(－)′＝＝－.()∵＝(＋)由函数＝和＝＋复合而成，∴′＝′·′＝()′·(＋)′＝＝＝.()′＝()′＝′＋()′＝＋＝.()∵＝(＋)(＋)＝(－)＝－，∴′＝(－)′＝－－·＝－－..某港口在一天小时内潮水的高度近似满足关系()＝(＋)(≤≤)，其中的单位是，的单位是，求函数在＝时的导数，并解释它的实际意义．解：由复合函数求导法则得′()＝·′＝.将＝代入′()，得′()＝＝()．它表示当＝时，潮水的高度上升的速度为.。
高中数学2.5简单复合函数的求导法则同步精练北师大版选修2-2
高中数学 2.5 简单复合函数的求导法则同步精练北师大版选修2-21.函数f(x)＝(2x＋1)3上点x＝0处的导数是( )．A．0 B．1 C．3D．62．函数f(x)＝cos 2x上点处的切线方程是( )．A．4x＋2y＋π＝0 B．4x－2y＋π＝0 C．4x－2y－π＝0 D．4x＋2y－π＝03．若函数f(x)＝3cos，则＝( )．A．B．C．D．4．函数y＝sin 2x－cos 2x的导数是( )．A．B．cos 2x－sin 2xC．sin 2x＋cos 2xD．5．若f(x)＝e2x ln 2x，则f′(x)＝( )．A．e2x ln 2x＋B．e2x ln 2x＋C．2e2x ln 2x＋D．2e2x×6．函数y＝413x＋1的导数为( )．A．B． (3x＋1)－C． (3x＋1)D．(3x＋1)－7．曲线y＝sin 3x在点处的切线的斜率为__________．8．设f(x)＝(2x＋5)6，在函数f′(x)中x3的系数是__________．9．用复合函数求导法则求下列函数在x＝0处的导数：(1)f(x)＝(2x－1)3；(2)g(x)＝；(3)m(x)＝e6x－4；(4)n(x)＝sin 2xx＋1.10．曲线f(x)＝e2x·cos 3x上点(0,1)处的切线与l的距离为，求l的方程．参考答案1答案：D 解析：f′(x)＝[(2x＋1)3]′＝3(2x＋1)2(2x＋1)′＝6(2x＋1)2，∴f′(0)＝6.2．答案：D 解析：f′(x)＝(cos 2x)′＝－sin 2x·(2x)′＝－2sin 2x，∴k＝＝－2.∴切线方程为y－0＝.∴4x＋2y－π＝0.3．答案：B 解析：f′(x)＝，∴.4．答案：A 解析：y′＝(sin 2x－cos 2x)′＝(sin 2x)′－(cos 2x)′＝cos 2x·(2x)′＋sin 2x·(2x)′＝2cos 2x＋2sin 2x＝＝.5.答案：B 解析：f′(x)＝(e2x·ln 2x)′＝(e2x)′ln 2x＋e2x·(ln 2x)′＝e2x·(2x)′ln 2x＋e2x· (2x)′＝2e2x ln 2x＋.6.答案：B 解析：y′＝[(3x＋1)－]′＝(3x＋1)－(3x＋1)′＝(3x＋1)－.7.答案：－3 解析：y′＝(sin 3x)′＝cos 3x·(3x)′＝3cos 3x，∴k＝3cos＝－3.8.答案：24 000 解析：f′(x)＝6(2x＋5)5·(2x＋5)′＝12(2x＋5)5，∴f′(x)中x3的系数为12C5323×52＝24 000.9.答案：解：(1)f′(x)＝[(2x－1)3]′＝3(2x－1)2·(2x－1)′＝6(2x－1)2，∴f′(0)＝6×(－1)2＝6.(2)g′(x)＝＝5cos，∴g′(0)＝5cos＝.(3)m′(x)＝(e6x－4)′＝e6x－4·(6x－4)′＝6e6x－4，∴m′(0)＝6×e－4＝.(4)n′(x)＝＝＝，∴n′(0)＝＝2.10.解：由题意知：f′(x)＝(e2x)′cos 3x＋e2x·(cos 3x)′＝2e2x cos 3x－3e2x sin 3x，∴曲线在(0,1)处的切线的斜率为k＝f′(0)＝2，∴该切线方程为y－1＝2x，∴y＝2x＋1.设l的方程为y＝2x＋m，则d＝，解得m＝－4或m＝6.当m＝－4时，l的方程为y＝2x－4，即2x－y－4＝0. 当m＝6时，l的方程为y＝2x＋6，即2x－y＋6＝0. 综上可知，l的方程为2x－y－4＝0或2x－y＋6＝0.。
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高中数学 2.5 简单复合函数的求导法则同步精练 北师大版选修
2-2
1.函数f (x )＝(2x ＋1)3上点x ＝0处的导数是( )．
A ．0
B ．1
C ．3
D ．6
2．函数f (x )＝cos 2x 上点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
处的切线方程是( )． A ．4x ＋2y ＋π＝0 B ．4x －2y ＋π＝0
C ．4x －2y －π＝0
D ．4x ＋2y －π＝0
3．若函数f (x )＝3cos 23x π⎛⎫+
⎪⎝⎭，则2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭＝( )．
A ．-
B ．
C ．-
D ．4．函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是( )．
A ．24x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
B ．cos 2x －sin 2x
C ．sin 2x ＋cos 2x
D ．24x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
5．若f (x )＝e 2x ln 2x ，则f ′(x )＝( )．
A ．e 2x ln 2x ＋2e 2x x
B ．e 2x ln 2x ＋2e x
x
C ．2e 2x ln 2x ＋2e x x
D ．2e 2x ×1x 6．函数y ＝4
13x ＋1
的导数为( )． A ．1134314x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ B ．34- (3x ＋1)－54 C ．14 (3x ＋1)34 D ．34
(3x ＋1)－34
7．曲线y ＝sin 3x 在点,03P π⎛⎫ ⎪⎝⎭
处的切线的斜率为__________．
8．设f (x )＝(2x ＋5)6，在函数f ′(x )中x 3的系数是__________．
9．用复合函数求导法则求下列函数在x ＝0处的导数：
(1)f (x )＝(2x －1)3；(2)g (x )＝sin 53x π⎛⎫+
⎪⎝⎭； (3)m (x )＝e 6x －4；(4)n (x )＝
sin 2x x ＋1.
10．曲线f (x )＝e 2x ·cos 3x 上点(0,1)处的切线与l l 的方程．
参考答案
1答案：D 解析：f ′(x )＝[(2x ＋1)3]′＝3(2x ＋1)2(2x ＋1)′＝6(2x ＋1)2，∴f ′(0)＝6.
2．答案：D 解析：f ′(x )＝(cos 2x )′＝－sin 2x ·(2x )′＝－2sin 2x ， ∴k ＝ππ2sin 244f ⎛⎫⎛⎫'-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭＝－2. ∴切线方程为y －0＝π24x ⎛
⎫--
⎪⎝⎭. ∴4x ＋2y －π＝0.
3．答案：B 解析：f ′(x )＝πππ3cos 23sin 22333x x x ''⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦ π6sin 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，
∴πππ6sin π+6sin 233f ⎛⎫⎛⎫'=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
4．答案：A 解析：y ′＝(sin 2x －cos 2x )′
＝(sin 2x )′－(cos 2x )′
＝cos 2x ·(2x )′＋sin 2x ·(2x )′
＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝π24x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
＝π24x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
. 5.答案：B 解析：f ′(x )＝(e 2x ·ln 2x )′
＝(e 2x )′ln 2x ＋e 2x ·(ln 2x )′
＝e 2x ·(2x )′ln 2x ＋e 2x ·12x
(2x )′
＝2e 2x ln 2x ＋2e x x
. 6.答案：B 解析：y ′＝[(3x ＋1)－14
]′ ＝14-
(3x ＋1)－54
(3x ＋1)′ ＝34-(3x ＋1)－54. 7.答案：－3 解析：y ′＝(sin 3x )′＝cos 3x ·(3x )′＝3cos 3x ， ∴k ＝3cos π33⎛
⎫⨯ ⎪⎝⎭
＝－3. 8.答案：24 000 解析：f ′(x )＝6(2x ＋5)5·(2x ＋5)′＝12(2x ＋5)5， ∴f ′(x )中x 3的系数为12C 5323×52＝24 000.
9.答案：解：(1)f ′(x )＝[(2x －1)3]′
＝3(2x －1)2·(2x －1)′
＝6(2x －1)2，
∴f ′(0)＝6×(－1)2＝6.
(2)g ′(x )＝πππsin 5cos 55333x x x ''⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝5cos π53x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴g ′(0)＝5cos π3＝52
. (3)m ′(x )＝(e 6x －4)′＝e 6x －4·(6x －4)′＝6e 6x －4，
∴m ′(0)＝6×e －4＝4
6e . (4)n ′(x )＝sin 21x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭＝2(sin 2)(1)(1)sin 2(1)x x x x x ''+-++＝22cos 2(1)sin 2(1)x x x x ⋅+-+， ∴n ′(0)＝201
-＝2. 10.解：由题意知：f ′(x )＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e 2x cos 3x －3e 2x sin 3x ， ∴曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝f ′(0)＝2，
∴该切线方程为y－1＝2x，∴y＝2x＋1.
设l的方程为y＝2x＋m，
则d
=m＝－4或m＝6.
当m＝－4时，l的方程为y＝2x－4，即2x－y－4＝0.当m＝6时，l的方程为y＝2x＋6，即2x－y＋6＝0.综上可知，l的方程为2x－y－4＝0或2x－y＋6＝0.。