23圆周运动临界问题

水平面内匀速圆周运动的临界问题考点规律分析水平面内圆周运动的临界问题，其实就是要分析物体所处的状态的受力特点，然后结合圆周运动的知识，列方程求解，一般会涉及临界速度、临界角速度等。

通常有下面两种情况：(1)与绳的弹力有关的临界问题：此类问题要分析出绳恰好无弹力或弹力达到最大这一临界状态下的角速度(或线速度)。

(2)与支持面弹力有关的临界问题：此类问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)。

(3)因静摩擦力而产生的临界问题：此类问题要分析出静摩擦力达到最大这一临界状态下的角速度(或线速度)。

典型例题例如图所示，叠放在水平转台上的小物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。

设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是()A．B对A的摩擦力一定为3μmgB．C与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力C．转台的角速度一定满足：ω≤2μg 3rD．转台的角速度一定满足：ω≤μg 3r[规范解答]对A受力分析，受重力、支持力以及B对A的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，只有当A要相对于B滑动时B对A的摩擦力才为3μmg，故A错误。

A与C转动的角速度相同，都是由静摩擦力提供向心力，对A有F f A＝3mω2r，对C有F f C＝mω2·1.5r，由此可知C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力，故B错误。

当C刚要滑动时：μmg＝mω2C·1.5r，解得ωC＝2μg3r；对A、B整体刚要滑动时：μ(2m＋3m)g＝(2m＋3m)ω2AB r，解得ωAB＝μgr；当A刚要相对于B滑动时：3μmg＝3mω2A r，解得：ωA＝μgr；由以上可知要想三个物体均不滑动，角速度应满足：ω≤2μg3r，故C正确，D错误。

[完美答案]C举一反三1.如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长为L的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体(物体可看做质点)，物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。

(1)当v1＝16gL时，求绳对物体的拉力大小；(2)当v2＝32gL时，求绳对物体的拉力大小。

答案(1)33＋16mg(2)2mg解析当物体在圆锥体表面运动时，分析物体受力情况：物体受重力mg、绳的拉力T、支持力N，进行正交分解。

水平方向：T sinθ－N cosθ＝m v2L sinθ①竖直方向：T cosθ＋N sinθ＝mg②联立①②解得N＝mg sinθ－m v2cosθL sinθ。

由上式可看出当θ、L、m一定时，线速度v越大，支持力N越小，设v＝v0时，N＝0，此时锥面与物体间恰好无相互作用力，即mg sinθ－m v20cosθL sinθ＝0，解得v0＝gL sin2θcosθ。

将θ＝30°代入上式得v0＝3gL6。

(1)当v1＝16gL<v0时，物体还在锥面上运动，联立①②解得：T1＝mg cosθ＋m v21L＝32mg＋16mg＝33＋16mg。

(2)当v2＝32gL>v0时，物体已离开锥面，仍绕轴线做水平匀速圆周运动，设此时绳与轴线间的夹角为α(α>θ)，物体仅受重力和拉力作用，这时T2sinα＝m v22L sinα③T2cosα＝mg④联立③④解得cosα＝12⑤由④⑤式得T2＝mgcosα＝2mg。

2. 用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为F T，则F T随ω2变化的图象是下图中的()答案C解析设绳长为L，锥面与竖直方向夹角为θ，当ω＝0时，小球静止，受重力mg、支持力N和绳的拉力F T而平衡，F T＝mg cosθ≠0，所以A、B错误；ω增大时，F T增大，N减小，当N＝0时，角速度为ω0。

当ω<ω0时，由牛顿第二定律得，F T sinθ－N cosθ＝mω2L sinθ，F T cosθ＋N sinθ＝mg，计算得出F T＝mω2L sin2θ＋mg cosθ；当ω>ω0时，小球离开锥子，绳与竖直方向夹角变大，设为β，由牛顿第二定律得F T sinβ＝mω2L sinβ，所以F T＝mLω2，此时图象的反向延长线经过原点。

可以知道F T­ω2图线的斜率变大，所以C正确，D错误。

3. (多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，a、b两绳都张紧的状态下，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向上且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是()A．a绳张力不可能为零B．a绳的张力随角速度的增大而增大C．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化D．当角速度ω＞gl tanθ时，b绳将出现弹力答案 AD解析 小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a 绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a 绳的张力不可能为零，故A 正确；当b 绳张紧时，根据竖直方向上平衡得，F a sin θ＝mg ，解得F a ＝mg sin θ，可知角速度增大，a 绳的拉力不变，故B 错误；由于b 绳可能没有弹力，故b 绳突然被剪断，a 绳的弹力可能不变，故C 错误；当b 绳拉力恰为零时，有mg tan θ＝mω2l ，解得ω＝ gl tan θ，可知当角速度ω＞gl tan θ时，b 绳将出现弹力，故D 正确。

4. 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s 2，则ω的最大值是( )A. 5 rad/sB. 3 rad/s C ．1.0 rad/s D ．0.5 rad/s答案 C解析 当物体运动到最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得：μmg cos30°－mg sin30°＝mω2r ，则ω＝g (μcos30°－sin30°)r ＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－122.5rad/s ＝1.0 rad/s ，故C 正确。

5. 如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r ，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度ω0；(2)当角速度为3μg2r时，绳子对物体拉力的大小。

答案(1) μgr(2)12μmg解析(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，则μmg＝mω20r，得ω0＝μgr。

(2)当ω＝3μg2r时，ω>ω0，所以绳子的拉力T和最大静摩擦力共同提供向心力，此时T＋μmg＝mω2r，即T＋μmg＝m·3μg2r·r，解得T＝12μmg。

6. 如图所示，细绳的一端系着质量为M＝2 kg的物体，静止在水平圆盘上，另一端通过光滑的小孔吊着质量为m＝0.5 kg的物体，M的中点与圆孔的距离为0.5 m，并已知M与圆盘的最大静摩擦力为4 N，现使此圆盘绕中心轴线转动，求角速度ω在什么范围内可使m处于静止状态。

(g取10 m/s2)答案 1 rad/s≤ω≤3 rad/s解析设当ω取ω1时，M恰不向O点滑动，此时M所受最大静摩擦力背离圆心O，对M有：mg－f max＝Mω21r代入数据得：ω1＝1 rad/s。

设当ω取ω2时，M恰不背离O点滑动，此时M所受最大静摩擦力指向圆心O，对M有：mg＋f max＝Mω22r，代入数据得：ω2＝3 rad/s。

所以角速度的取值范围是：1 rad/s≤ω≤3 rad/s。

7. 如图所示，两绳系一个质量为m＝0.1 kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，与A相连的绳长L＝2 m，两绳都拉直时与轴的夹角分别为30°和45°。

问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？(g取10 m/s2)答案 2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s解析两绳都张紧时，小球受力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。

(1)BC恰好拉直，但T2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有F x＝T1sin30°＝mω21L sin30°F y＝T1cos30°－mg＝0联立解得ω1≈2.40 rad/s。

(2)AC由拉紧转为恰好拉直，则T1已为零，设此时的角速度为ω2，则有F x＝T2sin45°＝mω22L sin30°F y＝T2cos45°－mg＝0联立解得ω2≈3.16 rad/s可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。

8．如图所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有()A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心C．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力D．圆盘对B的摩擦力和向心力答案 B 解析以A为研究对象，B对A的静摩擦力指向圆心，提供A 做圆周运动的向心力，根据牛顿第三定律，A对B有背离圆心的静摩擦力；以整体为研究对象圆盘对B一定施加沿半径向里的静摩擦力，B正确。

9. 如图所示，水平放置的两个转轮A、B靠静摩擦转动，两轮半径分别为r1、r2，当主动轮A匀速转动时，在B轮边缘上放置一小物块恰能相对转轮B静止，小物块与转轮B之间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小物块可视为质点，重力加速度为g，则此时A轮的转速为()A.μgr22πr1 B.μgr12πr2C.2πμgr2r1 D.2πμgr1r2答案 A 解析因为同一物体在两轮上受到的最大摩擦力相等，根据最大静摩擦力等于向心力有：μmg＝m v2r2，两转盘边缘线速度相等，则有：2πr1n＝v，得：n＝μgr22πr1，故A正确。

10. 如图所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当杆匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为()A．1∶1 B．1∶ 2C．2∶1 D．1∶2答案 D 解析两个小球绕共同的圆心做圆周运动，它们之间的拉力互为向心力，角速度相同。