ch1(大字)行列式
ch1行列式
a11 x1 a12 x2 b1, a21 x1 a22 x2 b2.
D a11 a12 , a21 a22
D a11 a12 , a21 a22
记
D1
b1 b2
a12 , a22
记
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解
为
b1 a12
a11
x1
D1 D
b2 a11
a22 , a12
bm b c1
对换 a,b cn
即 a1 al a b1 bm b c1 cn
a1 al b b1 bm a c1 cn
m 次相邻对换 a1 al a b b1 bm c1 cn
a1 al b b1 bm a c1 cn
m 1次相邻对换
a1 alab1 bmbc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a1 albb1 bmac1 cn,
- 6-
二阶行列式的计算： 对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a21
行标 a12
a11a22 a12a21.
a22
列标
对于二元线性方程组aa1211
x1 x1
a12 a22
x2 x2
b1 , b2.
若记 系数行列式
D a11 a12 , a21 a22
- 7-
a11 x1 a12 x2 b1, a21 x1 a22 x2 b2.
§ 1.1 行列式的定义
1. 二阶、三阶行列式 2. 排列、逆序与对换 1,1,3 n阶行列式的定义
1. 二阶、三阶行列式
1.二元线性方程组和二阶行列式
a11 x1 a12 x2 b1,
①
a21 x1 a22 x2 b2.
行列式大一知识点总结归纳
行列式大一知识点总结归纳行列式是线性代数中的一个重要概念，它在解决方程组、计算矩阵的逆、求解线性方程等方面有着广泛的应用。
在大一的线性代数学习中，行列式是必不可少的一部分。
本文将对大一学习中的行列式知识点进行总结和归纳。
一、行列式的定义行列式是一个实数或复数的方阵所特有的一个标量。
对于一个n阶的方阵A = [a_ij]，其行列式记作det(A)或|A|，行列式的定义如下：det(A) = ∑(-1)^(i+j) * a_ij * det(A_ij)其中，(-1)^(i+j)是一个符号项，a_ij表示A的第i行第j列的元素，det(A_ij)为去掉第i行和第j列后的(n-1)阶方阵的行列式。
二、行列式的性质1. 行列式的转置等于其本身的行列式：det(A^T) = det(A)2. 互换行列式的两行（列）则行列式变号：若交换行列式A的第i行和第j行（列），则有：det(A) = -det(A')3. 行列式的某一行（列）的公因子可以提出：若A的第i行（列）的所有元素都乘以k，则有：det(A) = k * det(A')4. 行列式有一个相同的行（列）或有一个行（列）全为0，则行列式为0：若A的某一行（列）全为0，或A的某两行（列）相同，则det(A) = 0。
5. 行列式的两行（列）对换后不变：若交换A的某两行（列）位置，行列式不变：det(A) = det(A')三、行列式的计算方法1. 二阶行列式：对于二阶行列式A = [a11 a12; a21 a22]，其行列式的值为： det(A) = a11 * a22 - a12 * a212. 三阶行列式：对于三阶行列式A = [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]，其行列式的值为：det(A) = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a13 * a22 * a31 - a12 * a21 * a33 - a11 * a23 * a323. 多阶行列式：对于n阶行列式，可以利用代数余子式与余因子展开法进行计算。
ch1-4 n阶行列式的展开
5 3 −1 2 3 1 2+ 5 0 − 2 = (− 1) 2 0 − 4 −1 4 0 2 3 5
−2 3 1 = −2 ⋅ 5 − 4 − 1 4 2 3 5
−2 3 1 r2 + (− 2 )r1 −7 2 − 10 0 − 7 2 = −10 ⋅ (− 2 ) r3 + r1 6 6 0 6 6
n阶行列式的展开公式 1.4 n阶行列式的展开公式
行列式按一行（ 一、行列式按一行（列）展开 例如
a11
a12
a21 a22 a31 a32
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a23 a33 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31,
−1 0 0 0 0 −1 D = −3 +5 +3 7 2 7 2 7 7
= 27.
15
例４ 计算行列式
5 3 −1 2 1 7 2 5 D= 0 −2 3 1 0 −4 −1 4 0 2 3 5
−1 2 0 2 5 2
0 2 0 0 0
5 1
解
3 7
D= 0 −2 3 1 0 0 −4 −1 4 0 0 2 3 5 0
1 2 0 L 0
20
相同
当 i ≠ j 时,
a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + L + a in A jn = 0 ,
( i ≠ j ).
同理 a1i A1 j + a 2 i A2 j + L + a ni Anj = 0, ( i ≠ j ).
13
关于代数余子式的重要性质
线性代数英文课件：ch1_3 Cofactor Expansion
D a21 a22
a23
的余子式、代数余子式 和该元素本身无关，只
a31 a32 a33 和行列式的其他元素有关
M 23
a11 a31
a12 a32
is the complement minor of a23
A23
(1)23
a11 a31
a12 a32 is the cofactor of a23
3 1 1 2
5 1
3
4 8 r2 r1 r4 5r1
0
4
6
D
2 0 1 1
2 0 1 1
1 5 3 3 16 0 2 7
8 (1)12 1 2
4 1
6
c1 c3
2cTec2l2heemreeni1st i6onnclyolou4nmenn2o,nsz2oero
1 weexp0anse th1e 0
【 Corollary(推论)】
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0 when i j;
a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0 when i j;
For example,
2 1 3
A1 2 1 ,
23 4
then A11 2 A12 A13 0.
Math. Dept., Wuhan University of Technology
Proof: For determinant
a11 a12
a1n
The cofactor of a j1 ,a j2 , ,a jn
a21 a22
a2n
are Aj1 , Aj2 , , Ajn
DD1 ai1 ai 2
1行列式 -13
i
j
i
3.第i行（列）乘k后加到第j行（列），表示为：
k
i
j
4.对行（列）使用行列式性质写在等号上面（下面）.
1 a1 例1.2.2 计算行列式 1 a2 1 a3 1 a1 解 1 a2 1 a3 2 a1 2 a2 2 a3 3 a1 3 a2 3 a3
11
12
1n
D
a21 a22 an1 an 2
a2 n ann
j1 j2
(1)
N ( j1 j2
jn )
jn
a1 j1 aLeabharlann j2anjn 行顺序表示法
其中
j1 j 2 j n
表示对所有n级排列取和
nn
记法：D aij aij
.
特点: 1.每一乘积项都是由n个元素组成，代数和共有n!项.
例如:
求a23 的（代数）余子式
a12 a 22 a 32 a 42 a13 a 23 a 33 a 43
本章介绍
★排列的一些性质 ★n 阶行列式的定义、性质和计算 ★克莱姆（Cramer）法则
学习重点
行列式的性质和计算
§1. 1 n阶行列式
1.1.1 二、三阶行列式
称记号 称记号
a11 D a21
a12 a22
a11 a12 D a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
为二阶行列式 其中 ，数
ainn
特殊形式的行列式（上、下三角行列式）
§1.2 行列式的性质
转置行列式
D a11 a21 an1 a12 a22 an 2
T
线代CH1--6.
证 先证 aij 位于第1行第 列的情形。 位于第 行第1列的情形。 行第 列的情形
a11 D= 0 ⋯ 0 , a21 a22 ⋯ a2n ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ ann
这是例12中当 的特殊情况， 的结论， 这是例 中当 k =1的特殊情况，由例 的结论， 的特殊情况 由例12的结论 有
4
线性代数
第一章 行列式
例14. 计算
D=
3 −5 2 1
1 1 0 −5
−1 2 3 −4 1 3 −1 −3
5
1 −1
解
c1 − 2c3 −11 1 D c4 + c3 0 0 −5 −5
1 5 1 1 3 −1 3+3 = (−1) −11 1 −1 1 1 0 −5 −5 0 0 3
5 1 1 2 1+3 − 6 r2 + r1 − 6 2 0 = (−1) −5 −5 −5 −5 0
D = a11M11
又 从而
线性代数
A = (−1)1+1 M11 = M11 11
D = a11A 11
2
第一章 行列式
再证一般情况， 再证一般情况，此时
a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ D = 0 ⋯ aij ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ an1 ⋯ anj ⋯ ann
调换到第一行， 调换到第一列， 先将 aij调换到第一行， 调换次数为 i-1, 再将 aij 调换到第一列， 调换到第1行第 行第1列 调换次数为 j-1次， 即经 i+j-2 次调换 把 aij 调换到第 行第 列， 次 次调换, 得到行列式 D1= (−1)i+ j−2 D = (−1)i+ j D, 元素 aij 在 D1 中的余子式， 还 中的余子式， 是 aij 在 D 中的余子式 Mij . 由前面的结果知， 由前面的结果知，
线性代数英文课件：ch1_1 Definition
Math. Dept., Wuhan University of Technology
Textbook： 工程数学-线性代数,第五版，同济大学数学系编， 高等教育出版社，2011 References:
➢线性代数（第7版），S.J.Leon，机械工业出版社，2007 （Linear Algebra With Applications） ➢经济数学：线性代数，吴传生等编，高等教育出
Math. Dept., Wuhan University of Technology
Linear Algebra History
➢Leibniz introduced the definition of determinant in 17th century。 (日本数学家关孝和Seki Kowa将其概念称为“行列式”)
Example 1.
2 -1
Evaluate
.
34
23
Example 2. Evaluate
.
-1 4
Example 3.
23
Evaluate
.
15
Math. Dept., Wuhan University of Technology
Sec.1 Determinants of Order 2 and 3
24 8 4 16 4
2 10 Example 5. Evaluate D3 1 1 4
3 2 5
Math. Dept., Wuhan University of Technology
3.Permutations &Number of Inversions
? How to generalize the definitions of 2×2 and 3×3 determinants to n×n determinants? Analyzing formula (1),we can get : (1) It’s the algebraic sum of six (which is exactly the
高等代数课件(北大版)第二章-行列式§2
§2.5 2024/7/9 行列式的计算
数学与计算科学学院
二、矩阵的初等行变换
定义 数域P上的矩阵的初等行变换是指:
1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一行；
kri
2) 把矩阵的某一行的k倍加到另一行，k P ； ri krj
3) 互换矩阵中两行的位置.
ri rj
注意: 矩阵A经初等行变换变成矩阵B，一般地A≠B.
数学与计算科学学院
三、行列式的计算
原理: 任一方阵 A 可经过一系列的初等变换化成
阶梯阵 J ，且 A k J , k 0.
方法: 对行列式 A 中的A作初等行变换，把它化为
阶梯阵，从而算得行列式的值.
例1 计算行列式
2 5 1 3 1 9 13 7 3 1 5 5 2 8 7 10
§2.5 2024/7/9 行列式的计算
数学与计算科学学院
一、矩阵
定义 由sn个数排成 s 行 n 列的表
a11 a12
A
a21
a22
as1 as2
a1n a2n
asn
称为一个 s×n 矩阵, 简记为 A (aij )sn . 数 aij 称为矩阵A的 i 行 j 列的元素，其中i为行指标， j为列指标.
§2.5 2024/7/9 行列式的计算
3 2 7 1
2 4 3 5
2)
3 1 4 2 7253
4 3 2 6
答案: 1）－726
2）－22
Байду номын сангаас
§2.5 2024/7/9 行列式的计算
数学与计算科学学院
数学与计算科学学院
注意: 计算行列式 A 时，也可对A作初等列变换，
把它化成列阶梯阵，从而算得行列式的值. 也可同时作初等行变换和列变换, 有时候这样
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第一章 行列式第一节 二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二阶和三阶行列式是从研究二元与三元线性方程组的公式解引出来的，故先讨论解线性方程组的问题。
设含有两个未知量1x ，2x 的线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （1-1） 用消元法求解。
为消去未知数2x ，以22a 与12a 分别乘上列两方程的两端，然后两个方程相减，得212221*********)(b a a b x a a a a -=- 同样消去1x ，得121112*********)(b a a b x a a a a -=- 当012212211≠-a a a a 时，则211222112122211a a a a b a a b x --=，211222*********a a a a b a a b x --=（1-2）引进记号D=22211211a a a a （1-3）叫做二阶行列式。
它的值定义为2112221122211211a a a a a a a a -=数)2,1;2,1(==j i a ij 称为行列式（1-3）的元素，元素ij a 的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第i 行，第二个下标j 称为列标，表明该元素位于第j 列。
二阶行列式的值的计算，可用对角线法则来记忆。
把11a 到22a 的实联线称为主对角线，12a 到21a 的虚联线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上的两元素之积所得的差。
前面方程组的解为DD a a a a a b a b a a a a a b a b x 122211211222121122122111222211==--=DD a a a a b a b a a a a a b a b a x 222211211221111122122111212112==--=二、三阶行列式定义1.1 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a （1-4） 记333231232221131211a a a a a a a a a =233211332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ （1-5）（1-5）式称为数表（1-4）所确定的三阶行列式。
上述定义表明三阶行列式含有6项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其规律遵循如下图表示的对角线法则333231232221131211a a a a a a a a a即实线上元素所组成之积在其前加正号，虚线上的则加负号。
例1.1 计算三阶行列式D=123501122- 解 按对角线法则，有D =（-2）⨯0⨯1+2⨯5⨯3+1⨯1⨯2-（-2）⨯2⨯5-2⨯1⨯1-1⨯0⨯3=0+30+2+20-2-0=50 例1.2 求解方程0111132421=----xx x解 方程左端的三阶行列式D=)3(4)1(4)1(82)3()1(2=---+--+---x x x x x即 =-+-x x x 65230 解得 x=0或x=2或x=3。
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，为研究四阶及更高阶行列式，下面我们引入n 阶行列式的概念。
第二节n阶行列式的定义一、排列及其逆序数定义1.2 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（也简称排列）。
例如，312是3个元素的一个排列，652413是6个元素一个排列。
P表示。
n个不同元素的所有排列的种数，通常用n我们知道P=n！n对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一标准次序（例如n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序）。
定义1.3 在一个排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，那么它们就称为一个逆序；一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数，用字母t记之。
逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。
例1.3 求排列623541的逆序数解在排列623541中6排在首位，逆序数为02的前面比2大的数有一个6，故逆序数为13的前面比3大的数有一个6，故逆序数为15的前面比5大的数有一个6，故逆序数为14的前面比4大的数有二个6和5，故逆序数为21的前面比1大的数有五个6、2、3、5、4，故逆序数为5，于是这个排列的逆序数为t=1+1+1+2+5=10。
定义 1.4 将一个排列中某两个元素的位置互相对调，而其余的元素不动，就得到另一个排列，这种对排列的变换方法称为对换。
将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。
例如，排列2413经过2与3的对换就等到排列3412。
定理1.1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
证明 略。
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。
二、n 阶行列式为了作出n 阶行列式的定义，先来研究三阶行列式的结构。
三阶行列式定义为=333231232221131211a a a a a a a a a 322113312312332211a a a a a a a a a ++233211332112312213a a a a a a a a a --- （1-6）分析（1-6）式可以等到如下结论。
1． 上述定义表明三阶行列式含有6项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘积。
因此（1-6）式右端的任一项除正负号外可以写成321321pp p a a a显然321p p p 是数1、2、3的全排列。
2． 各项的正负号与列标的排列的奇偶性决定；列标的排列是偶排列时，该项取正号；列标的派列是奇排列时。
该项取负。
那么，三阶行列式总可以写成=333231232221131211a a a a a a a a a ∑-321321)1(p p p ta a a ，其中t 为排列321p p p 的逆序数，∑表示对1、2、3三个数的所有排列321p p p 取和。
类似，我们可定义n 阶行列式定义1.5 设有2n 个数，排成n 行n 列的数表nnn n n na a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅212222111211 作出表中位于不同行不同列的n 个数的乘积，并冠以符号t)1(-，得到形如 n np p p ta a a 2121)1(- （1-7）的项，共n ！项 。
t 为这个排列n p p p 21的逆序数。
所有形如（1-7）的n ！项的和n n p p p ta a a 2121)1(-∑称为n 阶行列式，记作nD nnn n n n a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=212222111211简记),det(ij a 数ij a 称为行列式)det(ij a 的元素。
即nnn n n n n a a a a a a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=212222111211n np p p ta a a 2121)1(-=∑ 当n=1时1111a a =，不要和绝对值记号相混淆。
n=2、3是就是二阶、三阶行列式。
例1.4 计算行列式1)1(212)1(11)1(0000000n n n n n n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n na a a a a a 2211221100000=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅证 有定义知=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅000000011n n a a nnpp p ta a a 2121)1(-∑1)1(21)1(n n n ta a a --==1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---（t 为21)1( -n n 逆序数）第二式显然。
例1.5 证明上三角行列式n n n nn n a a a a a a a a a 22112221121100=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅第三节 行列式的性质将行列式D 的行与列互换后等到的行列式，称为D 的转置行列式，记为TD 即如果n nn n n na a a a a a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=212222111211则n nnnn n Ta a a a a a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=212221212111性质1 行列式D 与它的转置行列式相等，即TDD =。
由此性质可知，行列式的行具有的性质，它的列也具有相同的性质。
反之亦然。
性质2 互换行列式的两行(列), 行列式变号。
推论 如果行列式中有两行(列)完全相同,则此行列式等于零。
证 把这两行（列）互换，有D D -=，故D=0 性质3 如果行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k 乘此行列式。
第i 行（或列）乘以k ，记作)(k c k r i i⨯⨯或推论 行列式的某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
第i 行（或列）提出公因子k ，记作)(k c k r i i ÷÷或性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两个数的和，例如nnn n inin i i i i n a a a b a b a b a a a a D21221111211+++=nn n n ini i n a a a a a a a a a D2121112111=nnn n ini i n a a a b b b a a a D2121112112=则D=1D +2D推论 若行列式的某一行（列）的元素都是m 个数（m 为大于2的整数）的和，则此行列式可以写成m 个行列式的和。
性质6 将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。
第j 行（或列）乘以k 加到第i 行（列）上，记作)(j i j i kc c kr r ++或，有nnn n jn j j ini i n a a a a a a a a a a a a D21212111211=ji kr r +nnn n jn j j jnin j i j i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a2121221111211+++（i ≠j ）性质2、3、6介绍了行列式关于行和列的三种运算，即交换两行（列）、某行（列）乘数k 和某行（列）的k 倍加到另一行（列）上。
特别是利用性质6可以把行列式中许多元素化为0。
第四节 行列式按行（列）展开当行列式阶数较高时，直接根据定义计算即使是4阶行列式的值也是不易的。