2014年高考数学理科分类汇编专题05 平面向量
(新课标I 第03期)2014届高三数学 试题分省分项汇编 专题05 平面向量 文(含解析)
新课标I （第03期）-2014届高三名校数学（文）试题分省分项汇编
专题05 平面向量（解析版）Word 版含解析
一．基础题组
1.【某某省某某市第四高级中学2014届高三综合测试一】已知向量a 的模为1，且b a ,满足2||,4||=+=-b a b a ，则b 在a 方向上的投影等于 .
2. 【某某省某某一中、康杰一中、某某一中、某某二中四校2014届高三第二次联考】已知||=2a ，(cos ,sin ),()3b a a b αα=⋅+=，则向量a 与b 的夹角为.
3.
4.
二．能力题组
1. 【某某省某某市某某五中2014届高三12月月考】已知0=++c b a ，且a 与c 的夹角为︒60a b 3=，则〉〈b a ,cos 等于.
2.
3.
三．拔高题组
1. 【某某省某某市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】已知向量a 是与单位向量b 夹角为0
60的任意向量，则对任意的正实数t ，||ta b 的最小值是（ ） A ．0 B ．12
C ．32
D ．1。
2014-2017高考真题第五章平面向量
第五章平面向量考点1 平面向量的概念及坐标运算→→＝3CD，则() 1.(2015 新·课标全国Ⅰ，7)设D 为△A BC 所在平面内一点，BC→A. AD ＝－1 4→→3AB＋3AC→B. AD1 4→→＝－3AB 3AC→C.AD4→＝3AB1→＋3AC→D.AD ＝4→1 →3AB－3AC→→→→→→→→→＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC －AB＝3AD 1.A[ ∵BC )，即4AC ，→∴AD ＝－1→AB3＋4→AC.]32＋y2＝1 上运动，且AB⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，2.(2015 湖·南，8)已知点A，B，C 在圆x→→→则|PA＋PB＋PC|的最大值为( )A.6B.7C.8D.9→→→2＋y2＝1 上, 且AB⊥BC, ∴AC 为圆直径,故PA2.B [由A, B, C 在圆x＋PC＝2PO＝(－4，0),→→→→→设B( x，y)，则x＝(x－2，y)，所以PA＋PB＋PC＝(x-6，y).故|PA 2＋y2＝1 且x∈[-1 , 1]，PB＋→→＋PCPB |＝－12x＋37，∴x＝－1 时有最大值49＝7，故选B.]3.(2014 福·建，8)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )A.e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B.e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)3.B [法一若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，则e1∥e2，而 a 不能由e1，e2 表示，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，因为－12≠，所以e1，e2 不共线，根据共面向量的基本定理，5 －2可以把向量a＝(3，2)表示出来，故选B.法二因为a＝(3，2)，若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得λ＝2，μ＝1.所以a＝2e1＋e2，故选B.]4.(2014 安·徽，10)在平面直角坐标系x Oy 中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q 满→足OQ →→＝2(a＋b).曲线C＝{ P |OP＝a cosθ＋b cosθ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{ P|0<r≤|PQ|≤R，r<R}.若C∩Ω为两段分离的曲线，则()A.1< r<R<3B.1< r <3≤RC.r≤1<R<3D.1< r<3< R→3.A [由已知可设O A→→＝a＝(1，0)，OB＝b＝(0，1)，P(x，y)，则OQ ＝( 2，2)，曲线C＝→→＝(cosθ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C：x{ P |OP |≤R，r <R}表示圆P1：(x－2) 2：(x－2)2＋(y－2)2＝r2 与圆P 2＋(y－2)2＝R2 所形成的圆环，如图所示，要使C∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r <R<3.]4.（2017?浙江,15）已知向量、满足||=1 ，| |=2 ，则| + |+|﹣|的最小值是________，最大值是________．4. 4 ；记∠A OB=α，则0≤α≤，π如图，由余弦定理可得：| + |= ，|﹣|= ，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧M N，如图，令z=x+y ，则y=﹣x+z，则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为z min=1+3=3+1=4，当直线y=﹣x+z 与圆弧M N相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧M N所在圆的半径的倍，所以z max= ×= ．综上所述，| + |+|﹣|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．6（.2017?江苏,12）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tan α=，7与的夹角为45°．若=m +n （m，n∈R），则m+n=________．5. 3 如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tan α=7．°）= （cos α﹣s in α）= ．∴cos α= ，sin α= ．∴C ．cos（α+45 °）= （sin α+cosα）= ．∴B ．∵=m +n （m，n sin （α+45∈R），∴=m﹣n，=0+ n，解得n= ，m= ．则m+n=3．故答案为：3．2＝|a|2＋|b|2，则m＝________. 7.(2016 全·国Ⅰ，13)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b| 2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2.]6.－2[由|a＋b|7.(2015 新·课标全国Ⅱ，13)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.15.2[∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得λ＝μ，解得λ＝μ＝1＝2μ，12.]→→＝2MC 6.(2015 北·京，13)在△ABC 中，点M，N 满足A M→→→→→，BN＝NC ＝xAB＋yAC，则x.若MN＝________；y＝________.1 5. 216－→→[MN＝MC→＋CN＝1→3AC＋1→1→2CB 3AC＝＋1→→－AC2(AB )＝1→1→2AB 6AC－，∴x＝12，y＝－16.]8.(2015 江·苏， 6)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若 m a＋n b＝(9，－8)( m，n∈R)，则 m －n 的值为 ________.7.－3 [∵a＝(2, 1), b＝(1, -2), ∴m a＋n b＝(2m＋n, m－2n)＝(9, -8)，即2m＋n＝9，解得m－2n＝－8，m＝2，故 m－n＝2－5＝－3.]n＝5，→→→→→18.(2014 新·课标全国Ⅰ，15)已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若AO＝(AB )，则AB＋AC 与AC2的夹角为 ________.→6.°[由AO＝1 →→＋AC(AB )可知 O 为 BC 的中点，即BC 为圆 O 的直径，又因为直径所对的2→→圆周角为直角，所以∠B AC＝90°，所以 AB与AC 的夹角为90.]9.(2014 湖·南， 16)在平面直角坐标系中，O 为原点， A(－1，0)，B(0，3)，C(3,0)，动点 D→→→→满足|CD ＋OB＋OD|＝1，则|OA|的最大值是________.→→→→2＋y2＝1，向量OA＋OB＋OD＝(x－1，y＋3)， 12.1＋7 [设D(x，y)，由|CD |＝1，得(x－3)→→→故|OA＋OB＋OD |＝（x－1）2＋（y＋3）2的最大值为圆(x－3)2＋y2＝1 上的动点到点(1，－3) 距离的最大值，其最大值为圆( x－3)2＋y2＝1 的圆心 (3，0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.]考点2 平面向量的数量积及其应用1.（2017?北京,6）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是? ＜0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件1. A ，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得? ＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足?＜0，而=λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是? ＜0”的充分不必要条件．故选A．2.（2017?新课标Ⅲ,12 ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点C为圆心且与BD 相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A.3B.2C.D.29. A 如图：以 A 为原点，以AB，AD 所在的直线为x，y 轴建立如图所示的坐标系，与BD相切的则 A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P 在以点C为圆心且为r，∵BC=2，CD=1，∴BD= = ,∴BC?CD= BD?r，圆上，设圆的半径2+（y﹣2）2= ，设点 P 的坐标为（cos θ+，1∴r= ，∴圆的方程为（x﹣1）sin θ）+2，∵=λ+μ，∴（cos θ+，1 sin θ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cos θ+1=，λsin θ+2=2，μ∴λ+μ= cos θ+ sin θ+2=（sinθ+φ）+2，其中tan φ=，2 ∵﹣1≤si（nθ+φ）≤1，∴1≤λ +μ，≤故3λ+μ的最大值为3，故选A.10.（2017?浙江,10）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与 BD 交于点O，记I1= ? ，I2= ? ，I3= ? ，则（）A.I1＜I2＜I3B.I1＜I3＜I2C.I3＜I1＜I2D.I2＜I1＜I310. C ∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2 ，∴∠ AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞? ＞? ，? ＞0，即 I3＜I1＜I2 ，故选C．4（.2017?新课标Ⅱ,12 ）已知△ ABC是边长为2 的等边三角形， P 为平面ABC内一点，则?（+ ）的最小值是（）A.﹣2B.﹣C.﹣D.﹣111. B 建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C （1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则?（+ ）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选B.→12.(2016 四·川，10)在平面内，定点A，B，C，D 满足|DA→|＝|DB→|＝|DC→|，DA→→·DB＝DB→·DC ＝→→·DA DC→→→＝－2，动点P，M 满足|AP ＝MC|＝1，PM→，则|BM2 的最大值是( )|43 49 37＋6 3A. 4 C. 4 D.4 B. 37＋2 334→5.B[ 由题意,|DA→|＝|DB→|＝|DC |,所以 D 到A,B,C 三点的距离相等,D 是△ABC 的外心；→DA→·DB→→→→→＝DB ＝DC ＝-2? DA·DC ·DA→·DB→→→－DB ＝DB·DC→→－DC·(DA→→＝0,所以DB⊥AC，)＝DB·CA同理可得，DA⊥BC，DC⊥AB，从而 D 是△ABC 的垂心，∴△ABC 的外心与垂心重合，因此△ABC 是正三角形，且 D 是△ABC 的中心.→DA→·DB→＝|DA→||DB→|cos∠ADB＝|DA→||DB| ×－12→＝－2? |DA |＝2，所以正三角形ABC 的边长为 2 3；我们以 A 为原点建立直角坐标系,B,C,D 三点坐标分别为B(3,－3)，C (3, 3)，D (2,0)，由|A→P|＝1,设P点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π，)而P→M＝M→C，即M 是PC 的中点，可以写出M 的坐标为M 3＋cos θ，23＋sin θ2→则|BM2＝cos θ－3 →则|BM ||2 2＋23 3＋sin θ＝237＋12sin θ－4π6≤37＋12＝4494，2 2 取得最大值49当θ＝π时，|| .故选B.3 4113.(2016 山·东，8)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝11.若n⊥(t m＋n)，则实数t 的值为( )94 A.4 B.－4 C.94 D.－2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由6.B [∵n⊥(t m＋n)，∴n·(t m＋n)＝0，即t·m·n＋n已知得t×342|n|×13＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选 B.]2＝0，解得t＝－4，故选 B.]→14.(2016 全·国Ⅲ，3)已知向量BA ＝12，32→，BC＝3 1，2 2，则∠ABC＝( )A.30 °B.45°C.60°D.120°→→12.A [| B A|＝1，|BC |＝1，cos∠ABC ＝→→·BCBA→→|BA |·|BC＝|3.]213.(2016 全·国Ⅱ，3)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )A.－8B.－6C.6D.87.D[由题知a＋b＝(4，m－2)，因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b) ·b＝0，即4×3＋(－2) ×(m－2)＝0，解之得m＝8，故选 D.]→8.(2015 山·东，4)已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→·CD ＝( )A.－32B.－3 2C.3 2D. 32a a a a2 4 4 22.D [如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.BD 2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°＝a2＋a2－2a·a×－12＝3a2，2，∴BD＝3a.→∴BD→·CD→＝|BD→|·|CD2× 33|cos 30°＝3a ＝ a2.]2 2→→＝2a，AC＝2a 10.(2015 安·徽，8)△ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量a，b 满足AB＋b，则下列结论正确的是( )→A.|b|＝1B. a⊥bC.a·b＝1D.(4 a＋b)⊥BC→→→→→＋AC －AC3.D [由于△ABC 是边长为 2 的等边三角形；∴(AB ) ·(AB )＝0，即(AB→→＋AC＝) ·CB→→，即(4a＋b)⊥BC，故选 D.] 0，∴(4a＋b)⊥CB→→4.(2015 四·川，7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB|＝6，|AD→|＝4，若点M，N 满足BM ＝→3MC→→→，DN＝2NC，则A M→＝( )·NMA.20B. 15C.9D.6→→＝AB＋15.C[AM 34→→→，NM＝CMAD→－CN＝－14→AD＋13→AB→→∴AM·NM ＝14→→＋3AD(4 AB1 1 →2 →2→→－3AD －9AD) ·(4AB )＝(16AB )＝12 4812－9×42)＝9，选(16×648C.]→→→⊥AC，|AB 16.(2015 福·建，9)已知AB |＝1→，|AC|＝t，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且t→→AB 4AC→→AP＝＋，则P B→→|AB| |AC |→的最大值等于() ·PCA.13B.15C.19D.2114.A [建立如图所示坐标系，则B 1t→，0 ，C(0，t)，AB＝1t→，0 ，AC＝→(0，t)，AP＝→AB＋→|AB|→4AC＝t→|AC|1t，0 ＋4→→·PCt(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，PB＝1t－1，－4 ·(－1，t－4)＝17－1t＋4t ≤17－21t·4t＝13，故选A.]15.(2015 重·庆，6)若非零向量a，b满足|a|＝2 23 |b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )πA. 4 B.π23πC.4D. π2－a·b－2b2＝0，即3|a|2－|a| ·|b|cos θ－2|b|2＝0，9.A [由题意(a－b) ·(3a＋2b)＝3a所以3×2 23 2－2 23cos θ－2＝0，cos θ＝2，θ＝2π，选A.]410.(2015 陕·西，7)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )2＝|a＋b|2 D.( a＋b)(a－b)＝a2－b2 A.|a·b|≤|a||b| B.|a－b|≤||a|－|b|| C.(a＋b)5.B [对于A，由|a·b|＝||a||b|cos<a, b>|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方B.]C、D 容易判断恒成立.故选向相反时不成立；对于6.(2014 新·课标全国Ⅱ，3)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( )A.1B.2C.3D.52 2 2＝10, ∴a17.A [由向量的数量积运算可知, ∵|a＋b|＝10, ∴(a＋b) +b+2a·b＝10, ①同理a2＋b2－2a·b＝6，②①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1.]18.(2014 大·纲全国，4)若向量a、b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( )A.2B. 2C.1D.2 216.B [由题意得2＋a·b＝0，（a＋b）·a＝a? -2a2+b2＝0, 即－2|a|2＋|b|2＝0, 又|a|＝1，2+b2＝0, 即－2|a|2＋|b|2＝0, 又|a|＝1，（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝0∴|b|＝ 2.故选 B.]17.(2014 天·津，8)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E，F 分别在边BC，DC→→上，BE＝λBC，DF ＝μD C.若AE·AF→→＝1，CE·CF＝－23，则λ＋μ＝( )1 2 A. B.2356C.7D.1211.C [如图所示, 以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴, 建立平面直角坐标系xOy,→不妨设A(0，－1), B(－3，0), C(0，1), D(3，0), 由题意得CE→＝(1－λ) ·CB＝( 3λ－3，→→λ－1)，CF＝(1－μ)CD ＝( 3－3μ，μ－1).→→2因为CE·CF＝- ，所以3(λ-1) ·(1-μ)＋(λ-1)( μ-1)＝－3 23，即(λ-1)(μ-1)＝13.→→→→→→因为AE＝AC＋CE＝( 3λ－3，λ＋1).AF＝AC＋CF＝( 3－3μ，μ＋1)，→又AE→·AF＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由1（λ－1）（μ－1）＝7.5整理得λ＋μ＝6.选C.]（λ＋1）（μ＋1）＝2，3.（2017?新课标Ⅰ,13）已知向量，的夹角为60°，| |=2 ，| |=1 ，则| +2 |=________ ．18. ∵向量，的夹角为60°，且| |=2 ，| |=1 ，∴= +4 ? +4=22 +4×2×1×cos60 °+4×12=12，∴| +2 |=2 ．故答案为：2．19.（2017?山东,12）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的数λ的值是________．夹角为60°，则实18.，是互相垂直的单位向量，∴| |=| |=1 ，且? =0；）?（+λ）=| ﹣又﹣为60°，∴（﹣与+λ的夹角| ×| +λ| ×cos60，°即+ （﹣1）?﹣λ=××，化简得﹣λ= ××，即﹣λ= ，解得λ= ．故答案为：．19.（2017·天津,13）在△ ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2 ，=λ﹣4，则λ的值为________．（λ∈R），且=﹣12.如图所示，△ABC中，∠ A=60°，AB=3，AC=2，=2 ，∴= += += + （﹣）= + ，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+ ）?（λ﹣）=（λ﹣）?﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+ λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ= ．故答案为：．20.(2016 浙·江，15)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________.1220.[由已知可得：6≥a|·e|＋|b·e| ≥a·|e＋b·e|＝|(a＋b) ·e|由于上式对任意单位向量e都成立.∴6≥a|＋b|成立.∴6≥(a＋b).]221.(2015 天·津，14)在等腰梯形ABCD 中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动→→→点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE＝λBC，DF＝1→→→，则|AE9λD C| ·|AF|的最小值为________.2918 13.→→[在梯形ABCD 中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，AE＝AB＋λB→C，A→F→＝AD ＋1→9λD C→，∴AE→·AF→→＝(AB＋λB C→) ·(AD＋1→9λD C→→)＝AB·AD1→→＋AB·9λD C→→＋λBC·AD1→＋λBC·9λ→＝2×1×cos 60 °＋2×11 2＋λ×1×cos 60 °＋λ＋DC ×cos 120 ＝°9λ9λ9λλ17＋≥22 182 λ17＋＝·9λ2 182918，当且仅当2λ＝，即λ＝9λ 22时，取得最小值为329.]181 514.(2015 浙·江，15)已知e1,e2 是空间单位向量,e1·e2＝，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝15. 2 2，且对于任意x，y∈R，|b－(x e1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________.8. 2 2 2 [∵e1·e2＝|e1| ·|e2|cos〈e1，e2〉＝12，∴〈e1，e2〉＝π4.不妨设e1＝12，3，0 ，2e2＝(1，0，0)，b＝(m，n，t).由题意知1 3b·e1＝2m＋2 n＝2，解得n＝3，m＝5，∴b＝ 5，5 22 2b·e2＝m＝，23，t .2∵b－(x e1＋y e2)＝5－212x－y，3－23x，t ，2∴|b－(x e1＋y e2)|2＝ 52＝ 5－2 x－y22＋3－23x22＋t2＝x2＋xy＋y2－4x－5y＋t2＋7＝x＋2＝x2＋xy＋y2－4x－5y＋t2＋7＝x＋y－42232＋t2.由题意知，当x＝x0＝1，y＝y0＝2 时，x＋y－4 ＋4( y－2)2 23＋4( y－2)2＋t2 取到最小值.此时t2＝1，故|b|＝522＋322＋t2＝22.]2＝2 2.]21.（2017?江苏,16）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（Ⅰ）若∥，求x 的值；（Ⅱ）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．22.（Ⅰ）∵=（cosx ，sinx ），=（3，﹣），∥，∴﹣c osx+3sinx=0 ，∴tanx= ，∵x∈[0 ，π] ，∴x= ，（Ⅱ）f（x）= =3cosx﹣s inx=2 （cosx﹣s inx ）=2 cos（x+ ），∵x∈[0 ，π] ，∴x+ ∈[ ，] ，∴﹣1≤cos （x+ ）≤，当x=0 时，f （x）有最大值，最大值3，当x= 时，f （x）有最小值，最大值﹣223.(2015 广·东，16)在平面直角坐标系x Oy 中,已知向量m＝2，－222,n＝(sin x，cos x)，x∈0，π2 .(1)若m⊥n，求tan x 的值.π，求x 的值. (2)若m与n的夹角为316.解(1)因为m＝2，－222，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.所以m·n＝0，即2sin x－22cos x＝0，所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.2π(2)因为|m|＝|n|＝1,所以m·n＝cos＝3 12，即2sin x－22 1 π 1cos x＝，所以sin x－＝，2 2 4 2π因为0<x<，所以－2 π4< x－ππ，所以x－4<4ππ5π＝，即x＝12.4 624.(2014 北·京，10)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.17. 5 [∵|a|＝1，∴可令a＝(cos θ，sin θ)，∵λa＋b＝0，∴λc os θ＋2＝0，λs in θ＋1＝0，即2cos θ＝－sin θ＝－，λ2θ＋cos2θ＝1 得λ2＝5，得|λ|＝ 5.]由sin1，λ18.(2014 江·西，14)已知单位向量e1 与e2的夹角为α，且cos α＝13，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2 的夹角为β，则cos β＝________.2 23 9. [因为a2＝(3e2＝9-2×3×2×cos α＋4＝9,所以|a|＝3,b2＝(3e2＝9-2×3×1×cos α1-2e2) 1-e2)1 2 2＋1＝8，所以|b|＝2 2，a·b＝(3e1－2e2) ·(3e1－e2)＝9e1－9e1·e2＋2e2＝9－9×1×1×＋2＝8，3所以cos β＝a·b＝|a| |·b|8＝3×2 22 23 .]10.(2014 湖·北，11)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________. 2－λ2b2＝0? 18－2λ2＝0? λ＝±3.] 28.±3 [(a＋λb)⊥(a－λb)? (a＋λb) ·(a－λb)＝a→ 29.(2014 江·苏，12)如图，在平行四边形A BCD 中，已知AB＝8，AD＝5，CP→＝3PD→→→→，AP ＝2，则AB 的值是________.·BP ·AD→→＝AD5. [因为A P→＋DP→＝AD＋1→4AB→→，BP＝BC→→＋CP＝AD3→→→→－，所以AP·BP＝(AD4AB＋14→→AB) ·(AD34→－AB→)＝|AD2－3 2－1→→→→→·AB＝2，将AB＝8，AD＝5 代入解得AB·AD| |AB| AD16 2＝22.]。
2014高考数学专题：平面向量
2014高考数学专题：平面向量1.（2009湖北文）.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b2.（2012辽宁文）已知向量a = (1,—1)，b = (2,x ).若a b • = 1,则x =(A) —1 (B) —12 (C) 12(D)1 3.（2012广东文理）若向量(2,3),(4,7)BA CA ==，则BC =A ．(2,4)--B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--4．（2013湖北文理）已知点A （-1,1）、B （1,2）、C （-2,1）、D （3,4），则向量AB 和CD 方向上的投影为A ．2B ．2C ．2D ．25．（2013福建理）在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．106.（2011北京文理）．已知向量a =，1），b =（0，-1），c =（k ，）。
若a -2b 与c 共线，则k=___________________。
7.（2011广东文）．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ=( )． A ．14 B ．12C ．1D ．2 8.（2011湖南文）．设向量,a b 满足||25,(2,1),a b ==且a b 与的方向相反，则a 的坐标为 ．9．（2011重庆文）已知向量(1,),(2,2),a k b a b a ==+且与共线，那么a b ⋅的值为（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．410.（2011辽宁文）已知向量)1,2(=a ，),1(k -=b ，0)2(=-⋅b a a ，则=kA ．12-B ．6-C ．6D ．1211.（2012四川文理）、设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a b a b =成立的充分条件是（ ） A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b =12.（2012陕西文）．设向量a =（1，cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos 2θ等于（ ）A B ．12 C ．0 D ．-113.(2013山东文)、在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)OA t =-，(2,2)OB =，若90o ABO ∠=，则实数t 的值为______14．（2011广东理）若向量,,a b c 满足a ∥b 且⊥a c ，则(2)⋅+=c a bA ．4B ．3C ．2D ．015.（2012安徽文）设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+=，若()a c +⊥b ,则a =_____17．（2012全国新课标文）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量ka-b 垂直，则k=_____________．18.（2012江西文）设单位向量m =（x ，y ），b =（2，-1）。
2014届高考数学(理)复习课件第4单元-平面向量-数学(理科)-人教A版(共185张PPT)
＝tO→A＋(1－t)O→B.
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第25讲 平面向量的概念及其线性运算
双
向
固
基 础
3．平面向量线性运算的应用
(1)△ABC
中，D
是
BC
中
点
，
则
A→D
＝
1 2
(
A→C
＋
A→B)．( )
(2)O 为△ABC 重心的充要条件是O→A＋O→B＋O→C＝
0.( )
(3)四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件是A→B＋
• 变式题 给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则 a＝b；
②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C是
点 面
四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；
讲
③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；
考 向
④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是________．
[答案] ②③
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第四单元 平面向量
第25讲 平面向量的概念及其线性运算 第26讲 平面向量基本定理及坐标表示 第27讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
_____0___
(1)对向量加法 的分配律：
λ(a＋b)＝ λ_a_＋__λ_b___ (2)对实数加法 的分配律：
(λ1＋λ2)a＝ λ_1_a_＋__λ_2a__
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第25讲 平面向量的概念及其线性运算
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题5：向量2(平面向量与三角的综合)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题5：向量（平面向量与三角的综合）填空题1．（2014•山东理）若ABC ∆中，已知tan AB AC A =，当6A π=时，ABC ∆的面积为16． 【考点】三角形的面积公式；平面向量数量积的性质及其运算 【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得23AB AC =，再根据ABC ∆的面积为1sin 2AB AC A ，计算求得结果． 【解答】解：ABC ∆中，cos tan AB AC AB AC A A ==，∴当6A π=时，有33AB AC=23AB AC =， ABC ∆的面积为11211sin 22326AB AC A =⨯⨯=，故答案为：16． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式，属于基础题． 2．（2014•陕西文）设02πθ<<，向量(sin 2,cos )a θθ=，(1,cos )b θ=-，若0a b =，则tan θ=12． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算【分析】由条件利用两个向量的数量积公式求得22sin cos cos 0θθθ-=，再利用同角三角函数的基本关系求得tan θ 【解答】解：22sin 2cos 2sin cos cos 0a b θθθθθ=-=-=，02πθ<<，2sin cos 0θθ∴-=，1tan 2θ∴=， 故答案为：12． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题． 3．（2014•陕西理）设02πθ<<，向量(sin 2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，若//a b ，则tan θ=12． 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出． 【解答】解：//a b ，向量(sin 2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，2sin 2cos 0θθ∴-=， 22sin cos cos θθθ∴=，02πθ<<，cos 0θ∴≠．2tan 1θ∴=，1tan 2θ∴=． 故答案为：12．4．（2015•江苏）设向量(cos 6k k a π=，sin cos )(066k k k ππ+=，1，2，⋯，12)，则110()k k k a a +=∑的值为 【考点】平面向量数量积的性质及其运算；两角和与差的三角函数【分析】利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出． 【解答】解：1(1)(1)(1)cos cos (sin cos )(sin cos )666666k k k k k k k k a a ππππππ++++=+++ (1)(1)(1)(1)(1)coscos sin sin sin cos cos sin cos cos6666666666k k k k k k k k k k ππππππππππ+++++=++++ 21121cossin(cos cos )66266k k ππππ++=+++321121sin cos2626k k ππ++=+， ∴1110357911132313579111323()12(sin sin sin sin sin sin sin sin )(cos cos cos cos cos cos cos cos )66666666266666666kk k aa ππππππππππππππππ+==+++++++⋯+++++++++⋯+∑00=+=故答案为：【点评】本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解答题1．（2014•辽宁文理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC =，1cos 3B =，3b =，求： （Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；两角和与差的三角函数；余弦定理【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简2BA BC =，将cos B 的值代入求出6ac =，再利用余弦定理列出关系式，将b ，cos B 以及ac 的值代入得到2213a c +=，联立即可求出ac 的值；（Ⅱ）由cos B 的值，利用同角三角函数间基本关系求出sin B 的值，由c ，b ，sin B ，利用正弦定理求出sin C 的值，进而求出cos C 的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（Ⅰ）2BA BC =，1cos 3B =， cos 2c a B ∴=，即6ac =①， 3b =，∴由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，即2294a c =+-，2213a c ∴+=②，联立①②得：3a =，2c =；（Ⅱ）在ABC ∆中，sin B ===，由正弦定理sin sin b cB C=得：2sin sin 3c C B b === a b c =>，C ∴为锐角，7cos 9C ∴===，则1723cos()cos cos sin sin 393927B C B C B C -=+=⨯+=． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．2．（2014•山东理）已知向量(,cos2)a m x =，(sin 2,)b x n =，函数()f x a b =，且()y f x =的图象过点(12π，和点2(3π，2)-． （Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图象，若()y g x =图象上的最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；正弦函数的单调性；函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】（Ⅰ）由题意可得 函数()sin 2cos2f x m x n x =+，再由()y f x =的图象过点(12π和点2(3π，2)-，解方程组求得m 、n 的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()2sin(2)6f x x π=+，根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()2sin(22)6g x x πϕ=++的图象，再由函数()g x 的一个最高点在y 轴上，求得6πϕ=，可得()2c o s 2g x x =．令222k x k πππ-剟，k Z ∈，求得x 的范围，可得()g x 的增区间． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得 函数()sin 2cos 2f x a b m x n x ==+，再由()y f x =的图象过点(12π和点2(3π，2)-，可得12122m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩．解得m ，1n =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1()2cos22cos2)2sin(2)26f x x x x x x π+=+=+． 将()y f x =的图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后，得到函数()2sin[2()]2sin(22)66g x x x ππϕϕ=++=++的图象，显然函数()g x 最高点的纵坐标为2．()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，故函数()g x 的一个最高点在y 轴上， 2262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈，结合0ϕπ<<，可得6πϕ=，故()2sin(2)2cos22g x x x π=+=．令222k x k πππ-剟，k Z ∈，求得2k x k πππ-剟，故()y g x =的单调递增区间是[2k ππ-，]k π，k Z ∈．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题． 3．（2015•广东理）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量2(m =，，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈．（1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角 【分析】（1）若m n ⊥，则0m n =，结合三角函数的关系式即可求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值． 【解答】解：（1）若m n ⊥， 则2(2m n=，(sin x，cos )0x x x ==，x x = sin cos x x =，即tan 1x =；（2）2||()12m ==，2||sin 1n x =，2(2m n =，(sin x ，cos )x x x =， ∴若m 与n 的夹角为3π，则1||||cos 32m n m n π==，即1222x x -=， 则1sin()42x π-=，(0,)2x π∈． (44x ππ∴-∈-，)4π． 则46x ππ-=即54612x πππ=+=． 【点评】本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础． 4．（2017•江苏）已知向量(cos ,sin )a x x =，(3,3)b =-，[0x ∈，]π． （1）若//a b ，求x 的值；（2）记()f x a b =，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）根据向量的平行即可得到tan x =，问题得以解决， （2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出 【解答】解：（1）(cos ,sin )a x x =，(3,3)b =-，//a b ，3sin x x =，当cos 0x =时，sin 1x =，不合题意，当cos 0x ≠时，tan x =， [0x ∈，]π， 56x π∴=，（2）1()3cos sin ))26f x a b x x x x x π===-=+， [0x ∈，]π， [66x ππ∴+∈，7]6π，1cos()6x π∴-+剟 当0x =时，()f x 有最大值，最大值3，当56x π=时，()f x 有最小值，最小值- 【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题。
三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析 专题05平面向量解析版 Word版含解析
三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第五章 平面向量一、选择题1. 【2014，安徽理10】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q满足)OQ a b =+．曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤ ，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<．若C Ω 为两段分离的曲线，则( )A ．13r R <<<B ．13r R <<≤C ．13r R ≤<<D ．13r R <<< 【答案】A ．考点：1．平面向量的应用；2．线性规划．【名师点睛】对于平面向量应用性问题，常常要利用向量的坐标运算，当题中出现明显的垂直和特征长度特征，优先考虑建立平面直角坐标系，用图形表示出要题中给定的条件，再利用几何意义进行求解.尤其要与平面几何结合考虑.2．【2015高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b满足2a AB = ，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅=（D ）()4C a b +⊥B【答案】D【考点定位】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点.当出现线性运算问题时，注意两个向量的差OA OB BA -= ，这是一个易错点，两个向量的和2OA OB OD+=（D 点是AB 的中点）.另外，要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量,AB AC，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.3. 【2016高考山东理数】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（ ） （A ）4（B ）–4（C ）94（D ）–94【答案】B 【解析】试题分析：由43m n = ，可设3,4(0)m k n k k ==>，又()n tm n ⊥+ ，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+= 所以4t =-，故选B. 考点：平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从()n tm n ⊥+出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.4. 【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =- ，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D 【解析】试题分析：向量a b (4,m 2)+=- ，由(a b )b +⊥ 得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.考点： 平面向量的坐标运算、数量积.【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：5.【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（ ） （A ）232a - （B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a【答案】D 【解析】因为()B DC D B D B ⋅=⋅=+⋅()22223c o s 2BA B C +⋅=+故选D.【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.6. 【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-【答案】B【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积．【名师点晴】本题主要考查的是向量的模和向量的数量积，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“不”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是向量的模和向量的数量积，即cos ,a b a b a b ⋅=，22a a = ．7.【2014新课标，理3】设向量a,b 满足|a+b |a-b a ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 5 【答案】A 【解析】因为22||()a b a b +=+=r u r r r 222a b a b++⋅r r r r =10，22||()a b a b -=-=r u r r r 2226a b a b +-⋅=r r r r ，两式相加得：228a b +=r r ，所以1a b ⋅=r r ，故选A.【考点定位】向量的数量积.【名师点睛】本题主要考查了向量数量积运算，本题属于基础题，解决本题的关健在于掌握向量的模与向量数量积之间的关系，还有就是熟练掌握数量积的运算性质与运算律.8. 【2014四川，理7】平面向量(1,2)a = ，(4,2)b =，c ma b =+ （m R ∈），且c 与a的夹角等于c 与b的夹角，则m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】 D.【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.【名师点睛】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.9. 【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC = ，2DN NC = ，则AM NM ⋅=（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C 【解析】311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+，所以221111(43)(43)(169)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD =+-=-=⨯-⨯= ，选C.【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB = ，4AD = 故可选,AB AD作为基底.10. 【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）（A ）1433AD AB AC =-+(B)1433AD AB AC =-（C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =-【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A.【考点定位】平面向量的线性运算【名师点睛】本题以三角形为载体考查了平面向量的加法、减法及实数与向量的积的法则与运算性质，是基础题，解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量AD表示为AC CD + ，再用已知条件和向量减法将CD 用,AB AC表示出来.11. 【2016高考新课标3理数】已知向量1(2BA =uu v ，1)2BC =uu u v，则ABC ∠=（ ）(A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒ 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．考点：向量夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有|a ·cos a ba bθ=，·0a b a b ⇔⊥ ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．12. 【2014年.浙江卷.理8】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b为平面向量，则（ ） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+答案：Ｄ考点：向量运算的几何意义.【名师点睛】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将 a b a b a b +-，，， 放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有有效的方法.13. 【2016年高考北京理数】设a ，b 是向量，则“||||a b = ”是“||||a b a b +=-”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积.【名师点睛】由向量数量积的定义θcos ||||⋅⋅=⋅(θ为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.14. 【2014高考重庆理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥ ，则实数k =（ ）9.2A -.0B .C 3 D.152【答案】C考点：1、平面向量的坐标运算；2、平面向量的数量积.【名师点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的条件，属于基础题，利用向量垂直的条件的坐标条件可将两向量垂直的条件转化为所求实数k 的方程，解之即得结果.15. 【2015高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、4π B 、2π C 、34πD 、π【答案】A【解析】由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，即223cos 20a a b b θ--= ，所以23(2033θ⨯--=，cos 2θ=，4πθ=，选A . 【考点定位】向量的夹角.【名师点晴】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的垂直，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.16. 【2014高考广东卷.理.5】已知向量()1,0,1a =- ，则下列向量中与a 成60的是( )A .()1,1,0-B .()1,1,0-C .()0,1,1-D .()1,0,1- 【答案】B【考点定位】本题考查空间向量数量积与空间向量的坐标运算，属于基础题.【名师点晴】本题主要考查的是空间向量数量积的坐标运算，属于中等题．解题时要抓住关键字眼“成60”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是空间向量数量积的坐标运算，即若()111,,a x y z =，()222,,b x y z = ，则cos ,a b =．17.【2014天津，理8】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD? ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF?，23CE CF?-，则l m += （ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712【答案】C ． 【解析】试题分析：cos 120,120 2.AB ADAB AD BE BC BAD l ?鬃==Ð-=\，()(),.1,1AE AB AD AF AB AD AE AFAB AD ABADl m l m \=+=+?\+?=，即3222l m l m +-=①，同理可得23l m l m --=-②，①+②得56l m +=，故选C ． 考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算．【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，运用向量的加法、减法正确表示向量，利用向量的数量积求值，本题属于基础题.解决向量问题有两种方法，第一种是本题的做法，借助向量的几何意义，利用加法、减法、数乘、数量积运算，借助模运算解题，另一种方法是建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解题.18. 【2016高考天津理数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BCAB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为（ ） （A ）85- （B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．19. 【2014上海,理16】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，,...)2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则...)2,1(=⋅→→i AP AB i 的不同值的个数为（ ）（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】A【解析】如图，AB 与上底面垂直，因此i AB BP ⊥(1,2,)i = ，cos 1i i i AB AP AB AP BAP AB AB ⋅=∠=⋅=．【考点】数量积的定义与几何意义． 【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos <a ，b> ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．20. 【2014上海,理17】已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解 【答案】B【解析】由题意，直线1y kx =+一定不过原点O ，,P Q 是直线1y kx =+上不同的两点，则OP 与OQ 不平行，因此12210a b a b -≠，所以二元一次方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩一定有唯一解．【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．【名师点睛】可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y 的二元一次方程组：ax by cdx ey f +=⎧⎨+=⎩,当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。
专题05.平面向量(2005—2014十年高考理科数学新课标2学生版)
※知识点※1 角平分线定理
1 2 1 1 CD CB BD a BA a (b a) a b 3 3 3 3 【曹亚云·解析 7】排除法 由角平分线的性质可知，
CD
1 1 a b |a| |b|
第五章
一．基础题组
平面向量
1 【2012 全国，理 6】 ABC 中，AB 边的高为 CD．若 CB a ， CA b ， a b 0 ， | a | 1 ，
| b | 2 ，则 AD (
1 1 A． a b 3 3
二．能力题组
)
2 2 B． a b 3 3
3 3 C． a b 5 5
2 a b 0 a b 2 因为 a b 2 未必成立，所以排除选项 A
同理，可排除选项 C、D 2 2 1 4 2 1 2 2 2 1 B 选项 因为 CD a b ，所以 ( a b) (b 2a) 0 a b a b b a 0 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 显然 0 0 成立，故选 B 【曹亚云·解析 6】直接法 因为 CD 平分∠ACB，所以
D B C
CD CB BD
1 a BA 3 1 a (b a) 3 2 1 a b 3 3
※知识点※1 向量的分解；2 向量的加法 ※知识点※1 共线定理 ※知识点※1 向量的减法 ※知识点※1 合并同类项（初中）
【曹亚云·解析 2】在解析 1 的基础上， CD CA AD 【曹亚云·解析 3】在解析 1 的基础上， CD BD BC 【曹亚云·解析 4】在解析 1 的基础上， CD AD AC 【曹亚云·解析 5】因为 cos CD , CA
2014年高考向量真题汇编理科
10． （2014安徽理）在平面直角坐标系中，已知向量点满足．曲线，区域．若为两段分离的曲线，则( )A ．B ．C ．D ．2．（2014安徽理14）已知两个不相等的非零向量两组向量和均由2个和3个排列而成．记， 表示所有可能取值中的最小值．则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）．①有5个不同的值． ②若则无关． ③若则无关．，则．学科网则与的夹角为 3．（2014湖南理16）在平面直角坐标系中，为原点，动点满足的最大值是4．（2014广东理5）已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是（ ）A ．（-1,1,0）B ．（1,-1,0）C ．（0,-1,1）D ．（-1,0,1）5．（2014湖北理11）设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=________．6．（2014天津理8）已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =1200，点E,F 分别在边BC,DC 上，BE BC ，DF DC ．若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，CE ⃗⃗⃗⃗ ∙CF ⃗⃗⃗⃗ =−23，则l +m=（ ） A ． 12 B ． 23 C ． 56 D ．7127．（2014新课标2理3）设向量a,b 满足|a+b |a -b |=，则a ⋅b = ( )A ． 1B ． 2C ． 3D ． 58．（2014重庆理4）已知向量，且()23a b c -⊥，则实数k=（ ）A ． −92B ． 0C ．3D ．152 xOy ,,1,0,a b a b a b ==⋅=Q 2()OQ a b =+cos sin ,02C P OP a b θθθπ==+≤≤0,P r PQ R r R Ω=<≤≤<C ⋂Ω13r R <<<13r R <<≤13r R ≤<<13r R <<<,,b a 54321,,,,x x x x x 54321,,,,y y y y y a b 5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=min S S S ,b a ⊥min S ,b a ∥min S >0min >S ,min S ==a b 4πO (1,0),(3,0),A B C -D ||1,CD OA OB OD =++则｜｜(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===9．（2014江西理14）已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β= 10．（2014四川理7）平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．211．（2014新课标1理15）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 ．12．（2014浙江理8）记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A ．min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B ．min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C ．2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D ．2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+ 13． （2014全国理4）若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）A ．2B ．2C ．1D ．2214．（2014北京理9）已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________． 15． （2014江苏12）如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是 ．A B D CP （第12题）。
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1. 【2014高考福建卷第8题】在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e
2. 【2014高考广东卷理第5题】已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ）
A.()1,1,0-
B. ()1,1,0-
C.()0,1,1-
D.()1,0,1-
3. 【2014高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________.
【答案】1【解析】因为C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程
4. 【2014高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，
3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .
5. 【2014陕西高考理第13题】设20π
θ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a =，若b a //，则
=θtan _______.
6. 【2014高考安徽卷理第10题】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域
{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若C
Ω为两段分离的曲线，则( ) A. 13r R <<< B.13r R <<≤ C.13r R ≤<< D.13r R <<<
考点：1.平面向量的应用；2.线性规划. 7. 【2014高考北京版理第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则
||λ= .
8. 【2014高考湖北卷理第11题】设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()
a b a b λλ+⊥-，则实数λ= .
【答案】3±
10. 【2014江西高考理第15题】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3
α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β= .
11. 【2014辽宁高考理第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；
命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）
A ．p q ∨
B ．p q ∧
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()p q ∨⌝
12. 【2014全国1高考理第15题】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()
+=
21，则与AC 的夹角为_______．
【考点定位】1、平面向量基本定理；2、圆的性质．
13. 【2014全国2高考理第3题】设向量a,b 满足|a+b |a-b a ⋅b = ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
14. 【2014高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量,,两组向量54321,,,,x x x x x 和
54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示
S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.
①S 有5个不同的值.
②若,b a ⊥则min S .
③若,∥则min S 无关.
>，则0min >S .
⑤若2min ||2||,8||b a S a ==，则a 与b 的夹角为4
π
2222min 34()8||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=，∴2cos 1θ=，∴3π
θ=，故⑤错误.所
以正确的编号为②④.
考点：1.平面向量的运算；2.平面向量的数量积.
15. 【2014四川高考理第7题】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角
等于c 与b 的夹角，则m =（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
16. 【2014浙江高考理第8题】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y ≥⎧=⎨<⎩
，设,a b 为平面向量，则（ ）
A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤
B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥
C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+
D.2
222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+
17. 【2014重庆高考理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =
（ ）
9.2A - .0B .C 3 D.152
18. 【2014天津高考理第8题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF ?，23CE CF ?-，则l m += （ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712
19. 【2014大纲高考理第4题】若向量,a b 满足：()()
1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）
A ．2
B
C ．1 D。