对流扩散方程有限差分方法
一维对流扩散方程的4种差分格式的Jacobi迭代收敛性比较
（． １ 宁夏 大 学 数 学计 算机 学 院 ， 宁夏 银 川 ７０ ２ ； ２ 复旦 大 学 数 学科 学 学 院 ， 海 ５ ０ １ ． 上
摘
要 ： 对 一 维 常 系数 对 流扩 散 方程 采 用 不 同的 差 分 格 式 离散 后 所 得 到 的线 性 系统 ， 过 直 接 估 计 Ｊｃ ｂ 迭 代 针 通 ａｏ ｉ
考虑 一维对 流扩散模 型方 程 ：
～
１ 谱 半 径
（） １
＋“ 一 ｆ（ ￡ ， ｘ， ）
当系数 ￡￡ ） 小 时 ， （＞０ 很 该方程 常作 为奇异 摄动 问题
定 义 ｙ ／ ２ ） 网格 雷 诺 数 ， ｙ １时 ， ＝ （ｅ 为 当 ＞ 称
的模型方 程． 而此 时 ， 于 该方 程 ， 典 的 中心 差 分 对 古 格 式 （ 称 为 Ｃ ） 用 Ｊ ｃ ｂ 迭 代 方 法 求 解 会 不 简 ＤＳ 采 ａｏ ｉ
的数 值震 荡 ， 但其 数值 精 度 只有 一 阶． 文献 ［ ］ １ 中四 阶紧致差 分格式 （ 简称 为 ＨＯ ｓ 通 过添加 人工黏性 ｃ） 项抑 制 了迭代 的数值 震 荡 ， 随着 扩 散 系数 的减小 但 其收敛变得很慢 ， 而文献［ ］ ２ 中指数型高 阶紧致差分格 式（ 简称为 Ｅ Ｃ ） ０ ＨＯ Ｓ ￣ 在集 中 了以上 ３ 格式 的高精 种 度、 高稳定性优点的同时克服 了数值上 的震荡 ， 不但具
为 阶三 对角矩 阵 ， 则存 在 实的非 奇异对 角 矩阵 Ｑ， 使 得 Ｑ Ｑ为实对称 矩 阵 ， 且仅 当 对 每个 ｉ１ Ａ 当 （ ≤ ｉ ）有 ｂ Ｃ ≤ ， ｉ ＞０或 ｂ 一Ｃ一０ 所得 对 称 矩阵 为 … ．
Ａ＝ｔｉ一１ ７ ２ ｙ 一 １． ＝ｒ ＝ ［ —２ ， ＋２ ， ］ 定理 ２ 对 任何 网格 雷诺 数 ｙ 点 Ｊｃ ｂ 迭代矩 ， ａｏ ｉ 阵 的谱半径 为
求解对流扩散方程的ICT—MMOCAA差分解法
２０ ０ ２年 ６月
高 等 学 校 计 算 数 学 学 报
第 ２期
求解对流扩散方程 的 Ｉ Ｔ ＭＭＯ Ａ Ｃ — Ｃ Ａ差分解法 ’
由同顺
（ 南开大 学数 学学院 ， 津 ３ ０ ７ ） 天 ０ ０ １
ＴＨ Ｅ ＣＴ— Ｍ ＯＣＡＡ ＦＦＥＲＥＮＣＥ ＥＴＨ ＯＤ Ｉ Ｍ ＤＩ Ｍ ＦＯＲ ＴＨ Ｅ
・
收 稿 日期 ：２ ｏ — ｌ — １ ｏｏ １ ５
维普资讯
・
１ ６・ ４
由 同顺 ； 求 解 对 流 扩 散 方 程 的 ＩＴ－ Ｃ ＭＭＯＣ Ａ 差分 解法 Ａ
第 ２ 期
中图法 分类号
Ｏ２ １ ８ ４． ２
近 来 ，． ｏ ｇａ ，ｒ 等 人［提 出了求 解对 流 扩散 方 程的 ＭＭＯＣ Ｊ Ｄ ｕ ｌｓ Ｊ． ３ ］ ＡＡ 方 法 ， 此方 法 已成
Ｋｅ ｏ ｄ ｃ ｎ ｅ ｔ ｎ ｄ ｆｕ ｉ ｎ ｅ ｕ ｔｏ ｙｗ ｒｓ ｏ ｖ ｃ ｉ ｉ ｓ ｏ ｑ ａ ｉ ｎ，Ｍ Ｍ ＯＣＡＡ ｅ ｈ ｄ，Ｉ ｏ ｆ ｍ ｔｏ ＣＴ—ｎ ｅ ｐ ｌ — ｉ ｔｒ ｏａ
ｔｏ ｉ ｎ．
ห้องสมุดไป่ตู้
Ａ Ｓ １ ９ ）ｓｂ ｅｔ ｌｓｉ ｃ ｔ ｎ ６ Ｍ ２ ． Ｍ （ ９ １ ｕ ｊｃ ｃａｓ ｉａｉ ｓ ５ ５ ｆ ｏ
解 的大梯 度 附近产 生的振 荡 ．本文 借鉴 Ｆ Ｔ 思想并 根据 ＭＭＯＣ Ｃ ＡＡ 差分法 是 基于 插值 构
造 格式 的 特 点 ， 出 了求 解对 流扩散 问题 的 Ｉ Ｔ－ 提 Ｃ ＭＭＯ ＡＡ 差 分方 法 ， Ｃ 它在 解 的 光滑 部 分 使 用高 阶插值 ， 在解 的大梯 度部分 使用低 阶插值 ， 这样 产生 了与 Ｆ Ｔ 格 式相 同的效 果且 ［ ３ Ｃ ２ 中的 限 制开 关 函数 （ ｍｉ ｒ都 可应 用 到本 文的 格式 ．由于本 文 的格 式本 身是 非 线性 的 ， １ ｔ ） ｉ ｅ 所
对流扩散方程
对流扩散方程ν22u u ua t x x抖 +=抖¶ 网格比λt a x D =D ， ν2t r xD =D 而它们的比值λνν2t a a x x r t x D D D ==D D 是一个无量纲量，称为网格雷诺数，也就是以网格尺寸 x D 为特征长度的雷诺数，通常记作 Re x D 。
（1） 显式中心差分格式ν11111222n nn nn n nj jj j j j j u u u u u u u atxx++-+----++=D D D即()()λ1111122n n nn n n nj jj j j j j u u u u r u u u ++-+-=--+-+ 精度：()O 2 , n j R t x =D D稳定性分析：设 jikx n nj k C eε= ，则()1j ik x xn n j k C e ε-D -= ，()ε1j ik x xn n j k C e+D += ，11jikx n n j k C eε++=代入差分格式()()()()λ122jj jj j j j ik x xik x xikx ikx n n n n kkk kik x x ik x x ikx n n n k k k Ce C eC e C er C e C e C e +D -D ++D -D 骣÷ç=--÷ç桫骣÷ç+-+÷ç桫令 k x α=D ，可求出增长因子()()()ααααλλαααααλ121221sin 2cos 114sin 2sin cos 222n k nk i i i i C G C e e r e e i r r i +--==--+-+=-+-骣骣鼢珑鼢=-+珑鼢珑鼢桫桫所以αααλααααλαααλ22222242222222214sin 2sin cos 22218sin16sin4sincos22221424sin cos sin 222G r r r r r 骣骣鼢珑鼢=-+珑鼢珑鼢桫桫=-++骣÷ç÷=---ç÷ç÷桫因此ααλ222221 124sin cos 022G G r r ［［--我们来考虑函数()αααλ222224sin cos 22f r r =--的极值。
tvd格式_对流扩散方程_解释说明
tvd格式对流扩散方程解释说明1. 引言1.1 概述对流扩散方程是描述物质传输中对流和扩散过程的数学模型，广泛应用于自然科学和工程领域。
为了准确地求解对流扩散方程，需要选择适当的数值方法。
TVD(Total Variation Diminishing)格式是一种被广泛应用于求解对流扩散方程的数值方法，具有一阶或高阶精度、小量级能量损失等优点。
1.2 文章结构本文分为五个部分来讨论TVD格式与对流扩散方程。
首先，在引言部分概述了文章的背景和主要内容。
其次，在第二部分将简要介绍TVD格式和对流扩散方程，并探讨了TVD格式在解决对流扩散方程中的应用。
接下来，在第三部分详细介绍了TVD格式的原理和推导过程，还讨论了TVD限制器的作用和选择方法。
第四部分将通过数值实验和应用案例的分析，深入研究TVD格式的效果，并探讨其在实际问题中的应用意义。
最后，在第五部分总结本文研究工作并给出未来研究方向展望。
1.3 目的本文的主要目的是介绍TVD格式在求解对流扩散方程中的应用，并探讨其原理和推导过程。
希望通过数值实验和应用案例分析，验证TVD格式的有效性，同时提出改进方法。
本文还将总结研究工作的贡献点，并展望未来在这一领域的深入研究方向。
通过本文的撰写，旨在增加人们对TVD格式与对流扩散方程相关知识的了解，并为相关领域研究者提供参考和启示。
以上是“1. 引言”部分内容，包括概述、文章结构以及目的三个小节。
下文将继续详细阐述其他部分内容。
2. TVD格式与对流扩散方程2.1 TVD格式简介TVD（Total Variation Diminishing）格式是求解对流扩散方程的一种数值方法。
它在处理具有激烈变化、激波或阶跃的解时表现出色，并且能够有效地抑制数值耗散和震荡现象。
TVD格式广泛应用于流体力学、传热学等领域中。
2.2 对流扩散方程概述对流扩散方程是描述一维物理过程中物质输运的数学模型。
它由对流项和扩散项组成，其中对流项描述了物质通过速度场的输运，而扩散项则描述了物质因浓度或温度差异而发生的不规则传播。
第五章对流扩散问题(假扩散 高阶格式第一个内节点的差分方程)
第五章 对流扩散问题———假扩散
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 t=0 AS t=4 UD c=1.0 t=8
0.6 0.8 1.0 x c值进一步增大，我们看到：c=0.010.050.0750.40.81.0 ，而 FD/FDc=0.01=10.960.9340.6060.2020，可见此时UD格式的整体假扩散 已经衰减了100%，使其计算结果和精确解完全一样。
第五章 对流扩散问题———假扩散
以上结果再次证明了我们关于时间项和对流项采用一阶
格式时，对其假扩散的分析。 也证明了我们提出了二阶
迎风格式和QUICK格式确实能够消除由对流项离散而引
起的假扩散。
第五章 对流扩散问题———假扩散
例 设有下列一维非稳态对流问题
u , t x 0 x 1, u 0.1
n i 1 / 2
n i 1 / 2
)
n i
ut c x
第五章 对流扩散问题———假扩散
其中，
n 1 i
c(
n i 1 / 2
n i 1 / 2
)
n i
ut c x
对SUD
n n i 1 / 2 i 1 / 2
n n 3 n 4 i 1 i2 i 2
第五章 对流扩散问题———假扩散
UD格式
x 1 / 100
xi xi 1 x
t cx / u
t=0
i= 1
2
3
4
98
99
100
101
0 i 由初始条件确定
t=t
i= 1
2
3
4
求解对流扩散方程的高阶ICT—MMOCAA差分方法
（）Ｖ－ ｍｉ ｒ － （）一 ｉ Ｌ ｌ ｔ ．ｒ ｉ ｅ９ ， ｒ ０ 当 ＞ ； （）一 ０ 当 ｒ ０ ｒ ， ≤ ．
（ｉ （ ） ｍａ （ ， ｎ ｆ ， ）ｍｉ（ ， ） １ ｉ ｒ ： ） ｘ Ｏ ｍｉ（￣ １ ， ｎ ｒ ｒ ） ， ≤ ≤ ２ 当 一 ２ ， ， 时 称 （ ） ｓ ｐ ｒ ｅ ｒ 为 ｕ ｅｂ ｅ ｌ ｔｒ现 定义 高 阶 Ｉ Ｔ插值 为 ｉ ｅ． ｍｉ Ｃ
本 文讨论 下列 对流 扩散 周期边值 问题
ｆｚ ＋ 一 ｎ））， ， ） （ 一（ ｃ象 （ （
ｌ （ ，）＝ ‰（ ，（ ＋ １ ） ｕｘ ， ｆ Ｉ ０ Ｔ ｘｏ ｕ ）ｕｘ ， 一 （ ， （ ）∈ ×（ ， ３ ） ，
Ｌ
（ ）
（） ２
的误 差估计 及数 值例 子．
关键词： 对流扩散方程； ＭＭＯ Ａ Ｃ Ａ差分方法 ； 高阶 ＩＴ插值 Ｃ
中围分 类号 ： ４ ． ２ ０２ １８ 文献标 识码 ： Ａ Ａ （ ０ ０ 主题 分类 ：５ ５ ＭＳ ２ ０ ） ６ Ｍ２ 文章 编号 ：０ １９ ４ （０ ２ ０ — １ ２０ １ ０ ８ ７ ２ ０ ） ２０ ３ —５
０， 否
用 三 阶 Ｌ ｇ ａ ｇ 插值 傲 为高 阶插 值 ａ ｒｎ ｅ Ｈ（ ； ） ）＝ ＋ 以口 一 ３ ） － Ｖ （ ｉ口 （ ２ ＋ ￣ 。 Ｏ 一３ ） — Ｌ ． ２（ 。 ）
＋÷疋 （ ｚ１（ 占 一＿ ） 一≈） 斗） （ — １．
（） ４
下 面建立 高 阶 Ｉ Ｔ插值 函数 ． Ｃ 定义 函数 ｖ ｘ，）的光滑 监测 因子 为 （ ｆ
对流降解模型
对流降解模型是一个用于描述化学物质在流体中因对流和化学反应同时存在而发生的降解过程的数学模型。
此模型考虑了对流和扩散的综合效应，即浓度梯度引起的扩散和整体流体运动引起的对流。
对流-扩散方程是描述这种质量传递规律的基本运动方程，可以通过有限差分方法和有限元法等求解方法进行求解，以得出浓度分布。
对于二维或三维问题，可以使用有限元法等数值方法进行求解。
例如，当考虑随深度变化的一阶降解和随深度变化的线性平衡吸附时，可以使用一维反应溶质运移的对流-弥散方程。
此外，我们可以通过无量纲数Péclet数（Pe）来量化对流和扩散的贡献，该数是质量传输的对流贡献与扩散贡献之比。
对流扩散方程
所 以 迎 风 格 式 的 稳 定 性条 件 是
h2 2 ah
当a 0时 ， 情 况 类 似 ， 稳 定 性条 件 是
h2 2 a h
也可以利用中心显格式来讨论稳定性,于是将上面格式改为:
u n1 j
u
n j
a
un j 1
只需验证 G 1,由于 1 cos wh 0，条件转化为：
4 4 2 (1 cos wh) r 2 (1 cos wh) 0
即 4 - 2r 2 (4 2 r 2 )(1 cos wh) 0
由于 1 cos wh 0,1,上述不等式转化为
2
4 2r 2 0, 4 2r 2 2(r 2 4 2 ) 0
为了简单方便,设a>0,先对方程作扰动,得到另外一对流
扩散方程
u t
a u x
1
1 R
2u x 2
其中R 1 ha
2
对上面的方程构造迎风格式
u n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
h
1
1 R
un j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
称为逼近对流扩散方程的Samarskii格式.
n j
u n1 j
2 得到如下差分格式：
u n1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
2h
（
2
a
2）u
n j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
稳 定 性 分 析 完 全 类 似 于中 心 差 分 格 式 ， 显 然 有
对流扩散方程
j 1
用时间差商代替 u
n 1 j
d ，得到对流扩散方程的
n j 1
差分格式 2u h
2 n j
u
n j
a
u
u 2h
n j 1
ah 1 e 2 1 e
h h
u
n j 1
u
n j 1
h
取
1 e 1 e
h h
e e
2
e e
h
2
h
2
h
在工程力学或者其他应 数的扩散项的对流扩散 有明显双曲方程的特性 性好、适合于小系数扩 用领域，经常遇到含小 系 方程，此时的方程是对 。所以就要构造精度高 散项的数值方法。 流占优， 、稳定
2 2
即
4 - 2r (4
2
2
r )( 1 cos wh ) 0
2
由于
1 cos wh 2
2
0 ,1 , 上述不等式转化为 4 2r
2
4 2r
0,
2(r
2
4 ) 0
2
将 r1 , r2 代入，即得条件：
2 a
2
,
h
2
2 格式稳定的条件。
0和 2 r （
2
2
( r 2 ) ） 0
2
而 2(r 2 ) 2 r 2(r (r 2 ) )
2 2 2
2 ( r 2 )( 1 ( r 2 )) 0 1 ( r 2 ) 0
即 r 2 1，此时有 r 1，（ r 2 ） r 自然成立。
对流扩散解释
对流扩散解释
对流扩散是一种在流体中传播的物质扩散方式，由于流体内部的密度和温度差异，会导致流体内部的物质微粒发生对流运动，而这种对流运动会导致物质微粒的扩散。
具体来说，对流扩散是指由于流体的运动，使得物质微粒在流体内部沿着阻力较小的方向移动，从而形成扩散现象。
这种扩散现象可以在湍流主体与相界面之间的涡流扩散与分子扩散这两种传质作用的总称。
在实际应用中，对流扩散问题广泛适用于流体力学、环境工程、化工等领域。
为了求解对流扩散方程，学者们应用了有限差分法、有限体积法、有限元法等数值方法。
其中，一阶迎风差分格式用于求解线性对流扩散方程时，虽然形式简单，但因有一定的数值扩散问题，其计算结果往往不令人满意。
因此，学者们提出了各种数值方法来求解对流扩散方程，以提高计算精度和稳定性。
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对流扩散方程有限差分方法对流扩散方程有限差分方法求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隐式差分格式。
3.1中心差分格式时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了流扩散方程的显示格式。
处进行Taylor展开: 1)式的中心差分格式[6]n 1 n U j U jn nU j 1 U j 1 a2hnU j 1vn n2U j U j 1h2(3)若令a h，n 1 U jnU jVp，则h1 / n2(U 1(3)式可改写为n nU j 1) (U j 12u：n \U j 1)(4)从上式我们看到, 在新的时间层n 1上只包含了一个未知量nU j1，它可以由时间层n上的值U；1，U j n，U；1直接计算出来。
因此, 中心差分格式是求解对假定u(x,t)是定解问题的充分光滑的解，将n 1U j nU jU； 1 分别在(X j,t n)nUjU(X j,t n 1) U(X j,t n) 0( 2)nU j 1U(X j 1,t n) U(X j,t n)nU j 1 U(X j 1,t n) U(X j,t n) U n h2 2 U n X j 2 2 X jU n h22U nXj2 2 X j代入⑷式，有T (X j,t n)n 1UjnUjn nU j 1 U j 1 a2h2U nh2n0()n2a 0(h )2U2Xn2v 0(h )jhhnU j 10(h3)0(h3)nU j 1v ---20( h )显然，当0, h 0时，T （X j ,t n ） 0，即中心差分格式与定解问题是相容的。
由以上的讨论也可得知，对流扩散方程的中心差分格式的截断误差为2O( h )。
对于我们上面构造的差分格式，是否可以直接用于实际计算呢？也就是 说，如果初始值有误差，在计算过程中误差会不会扩大传播呢？这就是接下来 我们要讨论的是差分方程的稳定性问题。
下面用Fourier 方法来分析中心差分格式的稳定性。
上式可以改写为由此得到差分格式（3）的稳定性限制为n n 2nuu ua —— v — t jxj x.20( ) (a v) O(h )令u ；v n e ikjh ，代入到（4): 式n 1 ikjhv ev n e ikjh1(v n e ik(j 21)hn ik( j 1)h\v e)(v n eik(j 1)h整理得n 1一 _v [1 2(1 cos kh) isin kh]v n所以该差分格式的增长因子为：G( ,k) 1 2 (1 coskh) i sin kh2v n e ikjh v n e ik(j1)h)1 (1 由于 1 coskh 0，(1 coskh) coskh)[4所以G （ ,k) 1 (1 4 2(1 coskh)2 2 4 (1 coskh) （即差分格式稳定） 2coskh) (1 coskh) 02(sin kh)222(1 coskh)]的充分条件为(2 22)—^ 4 2 2 01注意到』coskh ）[0,1]，所以上面不等式满足的条件为(2 282) 4 2 20， 4 2 20。
其模的平方为G( ,k)[1 2 (1 coskh)]22(sin kh)22v12， VNah 2故有结论：对流扩散方程的中心差分格式是条件稳定的。
根据Lax 等价定理,我们可以知道，对流扩散方程的中心差分格式是条件收敛的。
3.2 Samarskii 格式设a>0，先对方程（1）作扰动，得到另一个对流扩散方程 ⑺2u v 2 X的解用Taylor 级数展开有再令用Taylor 级数展开有2U n2V( 2)j O(h ) Xu(X j ,t n) a U(X j 」n ) h(1 1 八 U(X j 1,t n ) 2U(X j ,t n ) U(X j 1,t n ) 1)vR h 2(5)其中R对于 nU j1— ha ，当 2v （5）式，构造迎风格式1 nU jh 0时, (5) 式化为（1）式n小 nn1 U j 1 2U j U j 1v — 1 R h 2差分格式（6）称为逼近对流扩散方程的 Samarskii 格式。
首先推导（6）的截断误差。
设U （x,t ）是对流扩散方程（1）式的充分光滑n n U j U j 1 a (6)T j nU(X j ,t n 1) U(X j ,t n ) U(X j ,t n ) U(X j 1 ,t n )1 U(X j 1,t n ) 2u(X j ,t n ) U V 1 R(X j 1九) h 2n U(X j ,t n1)U (X j ,t n )jU(X j i ，t n )2u(X j ,t n ) U(X j i ，t n )h 22(U 、n)O( h 2)ah 2u）n2u、n Rv( 2)j X2 厂O(h2)由于 所以 a 』)n xR 2V~Rh 2 ha 2v )h 2a 2 4v 2(1T j n2U、n2—)j O(h ) xa(—n O(h 2)x0(h 2)222vha) O(h)a (与x2/ U、nV( 2) jxO( h 2)h 0 时，T j n0，所以 Samarskii 格式与定解问题是相容的, 并且其截断误差为0( h 2) 现在看看Samarskii 格式的稳定性。
将 (6)式两边同时加上 2h (un 1 2unu n i )，把(6)式化为 n 1 U j n n n U j U j 1 U j 1a 2h n — n n ah 、U j 1 2U j U j 1 )~2 2 h 令v 亠辿，则上式即为： 1 R 2n 1 nn U j U j U j 1------- a -----n U j 12h 根据中心显示格式稳定性的讨论，可以得到1 h 222v~2av(—^― 1 R a稳定性的第二个条件等价于砂)一2)h 2 v ah ) 1 R 2)2v h a 2(1 R) an n nU j 1 2U j U j 1P式的稳定性条件为6)2va (1 R) a 利用不等式所以a2(1 R)2v1ah(1 R)2v(ah(1 R))21 R hJ(2v~~[ ah(1 R) __2v2v2v(ah(1 R))22v1 ah(1 R)2v ah(1 R)2v2va2(1 R) 利用稳定性的第一个条件, 2v1存1ah(1 R)) 2怙茁2v第二个条件可由第一个条件推出,ah由Lax等价定理可知,2v h77a (1 R) a1-1,从而可知稳定性条件的2因此差分格式的稳定性条件为ah)2v) h21 ah/2v1h2 2Samarskii格式也是条件收敛的。
3.3 Crank-Nicolson型隐式差分格式前面讨论了求解对流扩散方程的两种显示格式，它们都是条件稳定的，为现在考虑Crank-Nicolson型隐了放松稳定性条件, 可以采用隐式格式进行求解式差分格式[8]n 1 U jnU jn na u j 1 U j 12( 2hnU jn 1U j 12h ) n n n n 1v Uj 1 2U j U j 1 U j 1 2(h2h2(7)洽，则(7)式可化为4( 1n)U jn 1)U j 1(2 )u；1 4(1 n)U j(8)4(12) 4(12)(22)4(1 (2 ) )4 2(1n 1Uj 2\n 1)U j 1nU 2n24(1)2nUJ 224(1)nU j 1(2 )(u ：U 1)+(9)(2 )(u：1n 、U j )4(1 ) 2( 2 )4(1 )2设A(2 )4(1 ) 2(2 ) 4(1)4(1 )224(1 )2B24(1 )224(1)nU 2(2 )(U? 1u?)nU 3U nF则有nU j 2nU j 1(2 )(U：1nU j )AU n 1BUnF下面讨论Crank-Nicolson 型格式的截断误差和精度。
该格式涉及到时间层nn U 31和时间层n 1上的X j 1 , X j , X j 1处六个点。
设u(x,t)是定解问题的充分光滑的把(8)式用矩阵的形式4(1 ) 2 (2 ) 4(1)2 n 1 U 2u n i 分别在点（X j ,t n i/2）处进行Taylor 展开[9]2 2O( h )显然，Crank-Nicolson 型格式的精度是二阶的。
再来看看该格式的稳定性情况, 我们还是用Fourier 方法来分析。
人 n n ikjh 八、十,「、令u j v e j，代入到（8）式(2 )v n 1eik(j 1)h4(1)v n 1eikjh(2 )v n 1eik(j 1)h(2 )v n eik(j 1)hn ikjh4(1)v e(2 )v n e ik(j1)h整理得[4(1 )4 cos kh i 2 sin kh]v n 1[4(1 )4 cos kh i 2 sin kh]v所以Crank-Nicolson 型格式的增长因子是cos kh) i —sinkh2解，把⑺式中各U ；的值用U （X j ,t n ）代替，然后将u ；1 ,U j ，n 1nuj 1, uj 1 , U j ，n 1 nU j U j Tn3斗);n 1 n 1u . 1 u . 12h(丄)n 1X h2(3u n 1 —)j Xu n(—)jX2 un[)j3u nR j31 II n _ —)，23 Jn nu 1 u j 12hu n(—)j X2U nXt )j31u n _ u_).2 2丿jh 2 6(3u n ~) j Xnu j1 2u ； n 1U j 12un(T JX3 u~2X2T (n)hj 121 n (f j 2X4u n n u . 1 2u .这里出现的unU j 1 28（一 的各阶偏导数假设都是存在而且连续的。
x 2)j n 2)j 2 nt 2)j于是7） 41un-_u ) 24 )jT j n2( 24ah 2( 6 ( 31 ii n-—).23 jX4u 2 .2 X tn)j.24 叫一 12n)jG( ,k)(1cos kh) i — sinkh2(1 coskh)2 (—si nkh)2G(,k)2------------------- 2-------(1 coskh)2 (—si nkh)2取 a 1， v 0.001， h 0.1，T max1，此时上面给出的就是一个对流占是怎样的呢？现在我们就来看看这个问题。
首先，根据差分格式的稳定性条件，确定(1) 中心差分格式：根据稳定性条件其模的平方改写上式由于1 coskh G( ,k)21-----(10及上式的分母为正，故4 (1 coskh) coskh)2( sin kh)222G( ,k) 1 02即G( ,k) 1,从而得出Crank-Nicolson 型格式是无条件稳定的根据Lax 等价定理，Crank-Nicolson 型格式也是无条件收敛的4、数值例子给出如下对流扩散方程的初边值问题[10]2u u u a v 2 tx x 2x [0,1]u(0,t) e (a v)t,u(1,t)e1 (a v)tt 0u(x,0) ex x [0,1]所讨论的对流扩散方程的精确解为 x (a v)t u(x,t) e 」 x [0,1]4.1三种差分格式的比较在各种对流扩散问题中，有许多对流相对于扩散来说在问题中起主导作用 对流占有扩散问题的数值求解面临很多困难。