【优化方案】2012高中数学 第3章3.3.2简单的线性规划问题课件 新人教A版必修5

3．3.2 简单的线性规划问题 ．
学习目标 1.了解线性规划的意义． 了解线性规划的意义． 了解线性规划的意义 2．准确利用线性规划知识求解目标函数的最 ． 值． 3．掌握线性规划在解决实际问题中的两种类 ． 型．
3. 3.2 简 单 的 线 性 规 划 问 题
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
例3
【 思 路 点 拨 设未知数， 设未知数，确定线性约束条件和目标函数 → 画出可行域和目标函数对应的初始直线 → 平移直线确定最优解 → 求目标函数的最大值
【解】 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分
】
别为x个单位和 个单位 所花的费用为z元 别为 个单位和y个单位，所花的费用为 元， 个单位和 个单位， 则依题意， ＝ 则依题意，得z＝2.5x＋4y，且x，y满足 ＋ ， ， 满足
变式训练2 变式训练
某公司计划2010年在甲、乙两个电 年在甲、 某公司计划 年在甲
视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费 分钟的广告， 视台做总时间不超过 分钟的广告 用不超过9万元， 用不超过 万元，甲、乙电视台的广告收费标准 万元 分别为500元/分钟和 分钟和200元/分钟 假定甲、 分钟． 分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两 个电视台为该公司所做的每分钟广告， 个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司 带来的收益分别为0.3万元和 万元 带来的收益分别为 万元和0.2万元．问该公司 万元和 万元． 如何分配甲、乙两个电视台的广告时间， 如何分配甲、乙两个电视台的广告时间，才能使 公司的收益最大．最大收益是多少万元？ 公司的收益最大．最大收益是多少万元？
例1
(2010 年高考山东卷 设变量 x、y 满足约 年高考山东卷)设变量 、 则目标函数 z＝3x－4y ＝ － ) B．－ ，－ ．－3，－ ．－ ，－11 D．11,3 ．
x－y＋2≥0， － ＋ ≥ ， － ＋ ≤ ， 束条件x－5y＋10≤0， ＋ － ≤ ， x＋y－8≤0，
【答案】 答案】
A
变式训练 1
(2010 年高卷天津卷 设变量 x，y 满 年高卷天津卷)设变量 ， 则目标函数 z＝ 4x＋ ＝ ＋
x＋y≤3， ＋ ≤ ， － ≥ ， 足约束条件x－y≥－1， ≥ ， y≥1，
2y 的最大值为 的最大值为( A．12 ． C．8 ．
) B．10 ． D．2 ．
目标函数为 z＝3000x＋2000y. ＝ ＋ 作出可行域如图所示： 作出可行域如图所示：
作直线l∶ 作直线 ∶3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0. ＋ ＝ ， ＋ ＝
平移直线 l，由图可知当 l 过点 M 时，目标函数 z ，
x＋y＝300 ＋ ＝ 取得最大值． 取得最大值． 由 ， M(100, 200)． 得 ． ＋ ＝ 5x＋2y＝900
形找出目标函数斜率与边界斜率间的关系
如图)． 【解析】 由约束条件画出可行域 如图 ． 解析】 由约束条件画出可行域(如图 的坐标为(3,1)，z最大时，即平移 ＝－ 使直 最大时， ＝－ax使直 点C的坐标为 的坐标为 ， 最大时 即平移y＝－ 线在y轴上的截距最大 轴上的截距最大． 线在 轴上的截距最大．∴－a＜kCD， ＜ ＜－1， 即－a＜－ ，∴a＞1. ＜－ ＞
知新盖能 线性规划中的基本概念 名称 约束条件 意义 变量x， 满足的一组条件 变量 ，y满足的一组条件
的二元______不等式 或方程)组 不等式(或方程 线性约 由x，y的二元 一次 不等式 或方程 组 ， 的二元 束条件 成的不等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量x， 目标 欲求最大值或最小值所涉及的变量 ，y 函数 的解析式 目标函数是关于x， 的二元 的二元____解析 线性目 目标函数是关于 ，y的二元 解析 一次 标．二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0或≥0或 ．二元一次不等式 ＋ ＋ ＞ 或 或 或 ≤0)所表示的平面区域为直线 ＋By＋C＝0的一 所表示的平面区域为直线Ax＋ ＋ ＝ 的一 所表示的平面区域为直线 侧． 2．确定二元一次不等式(组)所表示的平面区域的 ．确定二元一次不等式 组 所表示的平面区域的 基本方法是“直线定界，点定域 ． 基本方法是 直线定界，点定域”． 直线定界
2≤x－y≤2.若目标函数 ＝ax＋y(其中 ＞0)仅在点 － 若目标函数z＝ ＋ 其中 其中a＞ 仅在点 若目标函数 (3,1)处取得最大值，则a的取值范围为 处取得最大值， 的取值范围为________． 处取得最大值 的取值范围为 ． 【思路点拨】 思路点拨】 画出可行域，根据题意， 画出可行域，根据题意，结合图
课堂互动讲练
考点突破 求线性目标函数的最值 求目标函数最值的一般步骤是： 求目标函数最值的一般步骤是：①画：在直角坐 标平面上画出可行域和直线ax＋ ＝0(目标函数 标平面上画出可行域和直线 ＋by＝0(目标函数 平行移动直线ax＋ ＝ ， 为z＝ax＋by)；②移：平行移动直线 ＋by＝0， ＝ ＋ ； 确定使z＝ ＋ 取得最大值或最小值的点 取得最大值或最小值的点； 确定使 ＝ax＋by取得最大值或最小值的点；③求： 求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组 解方程组) 求出取得最大值或最小值的点的坐标 解方程组 及最大值和最小值；④答：给出正确答案． 及最大值和最小值； 给出正确答案．
∴zmax＝3000×100＋2000×200＝700000(元)． × ＋ × ＝ 元． 所以： 分钟广告， 所以：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙 分钟广告，公司的收益最大， 电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最大 万元． 收益为 70 万元．
x≥0，y≥0， ≥ ， ≥ ， 12x＋8y≥64， ＋ ≥ ， ＋ ≥ ， 6x＋6y≥42， ＋ ≥ ， 6x＋10y≥54，
x≥0，y≥0， ≥ ， ≥ ， 3x＋2y≥16， ＋ ≥ ， 即 ＋ ≥ ， x＋y≥7， ＋ ≥ 3x＋5y≥27.
作出
可行域如图， 可行域如图，
名称 可行解 可行域
意义 满足线性约束条件的解(x， 满足线性约束条件的解 ，y) 所有可行解组成的集合
使目标函数取得最大值或最小值的可行 最优解 解 线性规 在线性约束条件下，求线性目标函数的 在线性约束条件下， 最大值或最小值问题 划问题
思考感悟 1．在线性约束条件下，最优解唯一吗？ ．在线性约束条件下，最优解唯一吗？ 提示：不一定．最优解可能有一个， 提示：不一定．最优解可能有一个，也可能有多 个，甚至可能有无数多个． 甚至可能有无数多个． 2．在线性目标函数z＝x＋y中，目标函数 的最 ．在线性目标函数 ＝ ＋ 中 目标函数z的最 大、最小值与截距的对应关系是怎样的？ 最小值与截距的对应关系是怎样的？ 提示： 的最大值对应于截距的最大值 的最小 的最大值对应于截距的最大值， 提示：z的最大值对应于截距的最大值，z的最小 值对应于截距的最小值． 值对应于截距的最小值．
【名师点评】 名师点评】 体步骤为： 体步骤为：
用图解法解线性规划应用题的具
(1)设元，并列出相应的约束条件和目标函数； 设元，并列出相应的约束条件和目标函数； 设元 (2)作图：准确作图，平移找点； 作图：准确作图，平移找点； 作图 (3)求解：代入求解，准确计算； 求解：代入求解，准确计算； 求解 (4)检验：根据结果，检验反馈． 检验：根据结果，检验反馈． 检验
让目标函数表示直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移， ＋ ＝ 在可行域上平移 在可行域上平移， 让目标函数表示直线 由此可知z＝ 处取得最小值． 由此可知 ＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值． ＋ 在 处取得最小值 因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和 个单 个单位的午餐和3个单 因此，应当为该儿童预订 个单位的午餐和 位的晚餐，就可满足要求． 位的晚餐，就可满足要求．
已知目标函数的最值求参数 解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般 在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思 在可行域的顶点或边界取得， 想方法求解．同时， 想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标 函数斜率的关系． 函数斜率的关系．
例2
已知变量x，y满足约束条件 已知变量 ， 满足约束条件1≤x＋y≤4，－ ＋ ，－ 满足约束条件
解：由约束条件画出可行域如图所示，要使目标 由约束条件画出可行域如图所示， 1 函数仅在点(3,0)处取得最大值，则－a＜－ ，所 处取得最大值， 函数仅在点 处取得最大值 ＜－ 2 1 以 a＞ . ＞ 2
线性规划的实际应用 利用图解法解决线性规划实际问题， 利用图解法解决线性规划实际问题，要注意合理 利用表格，处理繁杂的数据；另一方面约束条件 利用表格，处理繁杂的数据； 要注意实际问题的要求，如果要求整点， 要注意实际问题的要求，如果要求整点，则用逐 步平移法验证． 步平移法验证．
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间 分钟， 分别为 x 分钟和 y 分钟，总收益为 z 元，由题意 得
x＋y≤300 ＋ ≤ 500x＋200y≤90000， ＋ ≤ ， ≥ x≥0 ≥ y≥0 x＋y≤300 ＋ ≤ 5x＋2y≤900. ＋ ≤ 即 ≥ x≥0 ≥ y≥0
的最大值和最小值分别为( 的最大值和最小值分别为( A．3，－ ，－11 ． ，－ C．11，－ ，－3 ． ，－
【思路点拨】 思路点拨】
解答本题可先画出可行域， 解答本题可先画出可行域，再平
移直线3x－ ＝ ，求最值． 移直线 －4y＝0，求最值．
【解析】 作出可行域如图阴影部分所示，由图 解析】 作出可行域如图阴影部分所示， 可知z＝ － 经过点 经过点A时 有最小值 经过点B时 有最小值， 可知 ＝3x－4y经过点 时z有最小值，经过点 时z 有最大值．易求A(3,5)，B(5,3)，∴z最大＝3×5－ 有最大值．易求 ， ， × － 4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－ ＝－11. × ＝ ， × － × ＝－