4.5用频率特性法分析系统性能举例
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第六章信号与系统的时域和频域特性
x(t) X ( j)
x(t)e j0t X ( j( 0 )) ——移频特性
7. Parseval 定理:
若 x(t) X ( j) 则
x(t) 2 dt 1 X ( j) 2d
2
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以
在频域求得。由于 X ( j) 2表示了信号能量在频域的 分布，因而称其为“能量谱密度”函数。
yt由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过lti系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的频率响应
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ） 至此，周期信号用傅里叶级数、非周期信号用傅里
若 x(t) X ( j) 则
dx(t) jX ( j) (可将微分运算转变为代数运算) dt
t (将 x(t) 1 X ( j)e jtd 两边对 微分即可证明)
2
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()
j
——时域积分特性
cos 0t
1 [e j0t 2
e
j0t
]
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)
0 0 0
例3： x(t) (t nT ) n
x(t)
X ( j)
(1)
t
2T T 0 T 2T
( 2 ) T
根据卷积特性，在频域有: Y ( j) X ( j)H ( j) • 频域分析的步骤：
x(t)e j0t X ( j( 0 )) ——移频特性
7. Parseval 定理:
若 x(t) X ( j) 则
x(t) 2 dt 1 X ( j) 2d
2
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以
在频域求得。由于 X ( j) 2表示了信号能量在频域的 分布，因而称其为“能量谱密度”函数。
yt由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过lti系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的频率响应
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ） 至此，周期信号用傅里叶级数、非周期信号用傅里
若 x(t) X ( j) 则
dx(t) jX ( j) (可将微分运算转变为代数运算) dt
t (将 x(t) 1 X ( j)e jtd 两边对 微分即可证明)
2
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()
j
——时域积分特性
cos 0t
1 [e j0t 2
e
j0t
]
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)
0 0 0
例3： x(t) (t nT ) n
x(t)
X ( j)
(1)
t
2T T 0 T 2T
( 2 ) T
根据卷积特性，在频域有: Y ( j) X ( j)H ( j) • 频域分析的步骤：
第四章 控制系统的频率特性分析
( ) (t ) t
为相位差，也是ω的非线性函数，规定φ(ω)逆时针为正 ，物理系统一般为滞后的，所以，φ(ω)一般为负值。
4-1
频率特性的基本概念
3.线性系统的频率特性：当系统输入各个不同频率的正弦 信号时，其稳态输出与输入的复数比称为系统的频率特性函 数，简称系统的频率特性，记为G(j) 。
4-1
频率特性的基本概念
横坐标采用对数分度，但标注只标频率值，如横坐标两点满足
2 10 1
的关系，则它们之间的长度为一个“十倍频程”，以dec表示。
4-1
频率特性的基本概念
3.对数幅相图(Nichols图) 将Bode图的两张图合二为一。 对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角， 纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。
4-2典型环节的频率特性极坐标图（Nyquist图）
积分环节
1 G s s
1 1 1 j2 频率特性： G j j e j
G j
1
G j 90 o
奈氏图： 积分环节的幅相特性曲线是一与虚轴负段相重合的直线。
j 0 ω 积分环节的幅相曲线
如=2, 则 (j2)=0.35
-45o
则系统稳态输出为：c(t)=0.35*2sin(2t-45o) =0.7sin(2t-45o)
4-1
频率特性的基本概念
三．频率特性的性质：
1) 幅频特性和相频特性是系统的固有特性，与外界因素无 关； 2) 一般系统的频率特性具有低通滤波的作用; 3) 频率特性随频率变化，是因为系统中含有储能元件，他 们在进行能量交换时，对不同的信号使系统有不同的特性。
第四章 控制系统的频率特性分析
第四章频率特性
1
证明频率特性曲线为一半圆： K ， 2 2 1 T KT V ( ) 1 T 2 2 U ( )
2 2 2 2 2
G j 0 90
2
K ( K KT ) (KT ) K 2 U V 2 2 2 2 2 2 2 4(1 T ) (1 T ) 2
1 Cs
G ( j ) G ( s) s j
1 jRC 1
例 试求 解： G j K
K 1
G j
K j T1 j 1T2 j 1
的幅频特性和相频特性。
e
j 2
1 1 1 j T1 j 1 T2 j 1
第四章 控制系统的频率特性
4.1 机电系统频率特性的概念及其基本实 验方法
4.2 极坐标图（Nyquist图） 4.3 对数坐标图（Bode图） 4.4 由频率特性曲线求系统传递函数 4.5 由单位脉冲响应求系统的频率特性 * 4.6 对数幅相图（Nichols图）
4.7 控制系统的闭环频响 4.8 机械系统动刚度的概念
G j G j 90
jV
0
0 U
G j0 090
G j 90
4.一阶惯性环节
1 G j jT 1
G j0 10
所以
1 T G j arctan T
2 2
G j
为系统的相频特性。 相频特性描述系统在稳态下响应不同 频率的正弦输入时在相位上产生的滞 后（ 0）或超前（ 0）特性。
上述定义的幅频特性 A() G( j)
和相频特性 ( ) G( j ) 统称为系统的频率
频率法
3 .频率特性物理意义明确，很多元部件的这一特性可用实验方法确定，这对于难于从分析 物理规律着手来列写动态方程的系统有很大意义。
正弦信号发生器
系统或元件
双踪示波器
一路测输入/输出的幅值比，一路测输入/输出的相位之差 不断改变正弦输入的角频率，可得系统的频率特性
2
4 .对于二阶系统，频率特性与过渡过程性能指标有确定的对应关系；对 于高阶系统，两者也存在近似关系。 因为频率特性与系统的参数和结构有关，故可用研究频率特性的方法， 把系统参数和结构的变化与过渡过程指标联系起来。
C ( jw ) = F ( jw ) e jF ( jw ) = A(w )e jj F ( jw ) = R( jw ) 频率特性 F ( jw) ：在正弦信号作用下，系统的输出稳态分量 与输入量复数之比。表征输入输出幅值、相位上的差异。 幅频特性 A(w ) ：谐波输入下，输出响应中与输入同频率的 谐波分量与输入谐波分量的幅值之比。A(w) = F ( jw)
T
T
0 0
A(w )
j (w )
1
0
1
1 2
- 450
0
w =
w =0
1 1 Tw + = 2 2 2 2 1 + T 2w 2 1+T w 1+T w
2 2
1 1 Tw 1 - + = 1 + T 2w 2 2 1 + T 2w 2 2
r (t ) = R sin wt
R( s ) = R ×2 s + w2
s + p1 s + pn + b0 b1 + s + jw s - jw
正弦信号发生器
系统或元件
双踪示波器
一路测输入/输出的幅值比，一路测输入/输出的相位之差 不断改变正弦输入的角频率，可得系统的频率特性
2
4 .对于二阶系统，频率特性与过渡过程性能指标有确定的对应关系；对 于高阶系统，两者也存在近似关系。 因为频率特性与系统的参数和结构有关，故可用研究频率特性的方法， 把系统参数和结构的变化与过渡过程指标联系起来。
C ( jw ) = F ( jw ) e jF ( jw ) = A(w )e jj F ( jw ) = R( jw ) 频率特性 F ( jw) ：在正弦信号作用下，系统的输出稳态分量 与输入量复数之比。表征输入输出幅值、相位上的差异。 幅频特性 A(w ) ：谐波输入下，输出响应中与输入同频率的 谐波分量与输入谐波分量的幅值之比。A(w) = F ( jw)
T
T
0 0
A(w )
j (w )
1
0
1
1 2
- 450
0
w =
w =0
1 1 Tw + = 2 2 2 2 1 + T 2w 2 1+T w 1+T w
2 2
1 1 Tw 1 - + = 1 + T 2w 2 2 1 + T 2w 2 2
r (t ) = R sin wt
R( s ) = R ×2 s + w2
s + p1 s + pn + b0 b1 + s + jw s - jw
自动控制原理--第五章-频率特性法
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波”与“相位滞后”作用。
2024年5月3日
2024年5月3日
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
频率特性的数学意义
频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、 传递函数之间可以相互转换。
微分方程
（以t为变量）
d s
dt
传递函数
（以s为变量）
s j 频率特性
（以ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系
以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。
R() A()cos()
I () A()sin()
2024年5月3日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
2024年5月3日
三、频率特性的实验求取方法
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波”与“相位滞后”作用。
2024年5月3日
2024年5月3日
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
频率特性的数学意义
频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、 传递函数之间可以相互转换。
微分方程
（以t为变量）
d s
dt
传递函数
（以s为变量）
s j 频率特性
（以ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系
以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。
R() A()cos()
I () A()sin()
2024年5月3日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
2024年5月3日
三、频率特性的实验求取方法
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出
第4章第12节频率响应与频率特性及频率特性的图示法
4.1频率响应与频率特性
▪ 频率特性是复变量s＝jω的复变函数，因此 有
▪ 一般地，系统对正弦输入信号的稳态响应 为
4.2频率特性的图示法——奈氏图 和伯德图
4.2.1奈魁斯特图
▪ 奈魁斯特（Nyquist）图也称极坐标图。在 数学上，频率特性可以用直角坐标式表 示，；也可以用幅相式（指数式）表示， 即
因是系统有储能元件、有惯性，对频率 高的输入信号，系统来不及响应。 （3）系统的频率特性是系统的固有特性，取 决于系统结构和参数。
4.1频率响应与频率特性
4.1.6求取频率特性的解析方法 ▪ 当已知系统的传递函数时，可按下式求取，
即
G(j)G(s) sj
▪ 当从系统原理图开始求取系统的频率特性 时，应该先求出系统的传递函数。
4.1频率响应与频率特性
可以看出： 随着输入信号频率的变化，输出、输入信号 的幅值比和相位差将会相应地随频率而发生 变化。 因此，可以利用这一特性，保持输入信号的 幅值不变，不断改变输入信号的频率，研究 系统响应信号的幅值和相位随频率的变化规 律，即可达到研究系统性能的目的。
4.1频率响应与频率特性来自4.1频率响应与频率特性
4.1.3频率响应
▪ 稳定的线性系统对正弦输入的稳态响应称 为频率响应。
▪ 另外一种表达： 当正弦信号作用于稳定的线性系统时，系 统输出响应的稳态分量是与输入同频率的 正弦信号，这种过程称为系统的频率响应。
线性系统的频率响应
求上图中输出信号与输入信号的 1、相位差A(ω) 2、幅值比ψ(ω)
两个问题：
1、正弦输入信号可不可以代表所 有信号？
2、什么是系统的频率特性？其图 形表示是什么样子？
4.1频率响应与频率特性
自动控制原理 第五章 频率特性
φ(ω)=90
o
ω
第二节 典型环节的频率特性
4．惯性环节
惯性环节的奈氏图
Im (1) 奈氏图 传递函数和频率特性 ω ∞ 0 ω=0 取特殊点： 绘制奈氏图近似方法 : -45 1 A( ω )=1 G(s)= =01 A(ω)=0.707 1 ω= Ts+1 G(j ω )= ,然后将它们平滑连接起来. T 根据幅频特性和相频特性求出特殊点 jωT+1 o (ω)=0 ω= 1 (ω)=-45o T A(ω)=0 =∞ 幅频特性和相频特性 可以证明：
（2）伯德图
L(ω)=20lg1=0
时滞环节的伯德图
L(ω)/dB
0
ω
φ(ω)=-τω
φ(ω)
0
-100 -200 -300 1 10
ω
第二节 典型环节的频率特性
8．非最小相位环节
开环传递函数中没有S右半平面上的极点和零点的环节, 称为最小相位环 节; 而开环传递函数中含有S右半平面上的极点或零点的环节, 则称为非最小 相位环节。
0
ω
第二节 典型环节的频率特性
6．振荡环节
传递函数和频率特性：
ωn2 G(s)= s +2
2
ωn2 G(jω)=
2
ζ ωns+ωn
ωn
2
-ω2+j2
ζ ωn ω
幅频特性和相频特性： ωn2 A(ω)= (ωn
2
-ω2)2+(2
ζ ωn ω)2 2ζωnω ωn2-ω2
= (1ω ω
2 n2
1 )2+( 2ζ ω 2 ) ωn
ω→∞
φ
第二节 典型环节的频率特性
频域分析法
（4.10） （4.11） （4.12）
因此，系统频率特性采用下面三种图示表达形式： （1） 幅相频率特性（尼奎斯特图）：系统频率特性 G ( j ) 是个矢量。按式 （4.9）和式（4.10）可以求出幅频特性 G( j ) 与相频特性G ( j ) 。给出不同 值，即可算出相应 G( j ) 和 G ( j )值。这样就可以在极坐标复平面上画 值由零到无 穷大时的 G ( j ) 矢量，把各矢端连成曲线即得到系统的极坐标 幅相频率特性曲线，通常称它为尼奎斯特曲线或尼奎斯特图。 当然，也可根据式（4.11）和式（4.12）通过求出不同 时的 实频特性和虚频特性，来获得幅相频率特性曲线。 （2） 对数频率特性（博德图）：对数频率特性是由两张图
1 ，将传递函数中的复变量 用纯虚数 来代 s j 1 RCs 1 G(s ) 替，便可得到频率特性的表达式 G ( j) ，取它的模 1 jRC A( ) 和幅角 ( ) ，正是式(4.5)和式(4.6) 。这种以 j 代替 s
数为 G ( s ) 由传递函数获得频率特性的方法，对于线性定常系统是普遍适用 的。频率特性是传递函数的一种特殊情况，即频率特性是定义在
0
相位后滞近 90 。输入信号被抑制而不能传递出去。对于实际中 的系统，虽然形式不同，但一般都有这样的“低通”滤波及相位 滞后作用。
4.1.2 频率特性的求取方法
频率特性一般可以通过如下三种方法得到： （1） 根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入，求 其稳态解， 取输出稳态分量和输入正弦的复数之比求得。 （2） 根据系统的传递函数来求取。将 s j 代入传递函数 中，可直接得到系统的频率特性。 （3） 通过实验测得。 一般经常采用的是后两种方法。这里主要讨论如何根据传递 函数求取系统的频率特性。仍以图4.1所示系统为例，其传递函
自动控制原理第5章
8
二、图形表示法
1.极坐标图（幅相频率特性图；奈奎斯特图） 1.极坐标图（幅相频率特性图；奈奎斯特图） 极坐标图 随着频率的变化，频率特性的矢量长度和幅角也改变。 随着频率的变化，频率特性的矢量长度和幅角也改变。 当频率ω 变化到无穷大时， 当频率ω从0变化到无穷大时，矢量的端点便在平面上画出一 条曲线，这条曲线反映出ω为参变量、模与幅角之间的关系。 条曲线，这条曲线反映出ω为参变量、模与幅角之间的关系。 通常称这条曲线叫做幅相频率特性曲线或奈奎斯特曲线。 通常称这条曲线叫做幅相频率特性曲线或奈奎斯特曲线。画 有这种曲线的图形称为极坐标图。 有这种曲线的图形称为极坐标图。
− j arctan 2 ζT ω 1−T 2ω 2
幅频特性 相频特性
A(ω ) =
ϕ (ω ) = − arctan
23
典型环节的频率特性
9
2.博德图（对数频率特性图） 博德图（对数频率特性图） 博德图 两张图构成 一张是对数幅频图 一张是对数相频图 构成： 对数幅频图， 对数相频图。 由两张图构成：一张是对数幅频图，一张是对数相频图。 两张图的横坐标都是采用了半对数坐标。 两张图的横坐标都是采用了半对数坐标。
10
对数幅频特性图的纵坐标是频率特性幅值的对数值乘20， 对数幅频特性图的纵坐标是频率特性幅值的对数值乘20， 是频率特性幅值的对数值乘20 即 L(ω ) = 20 lg A(ω ) 表示，均匀分度，单位为db。 表示，均匀分度，单位为db db。 对数相频特性图的纵坐标是相移角φ(ω)，均匀分度，单 对数相频特性图的纵坐标是相移角φ 是相移角 均匀分度， 位为“ 位为“度”。 对数幅频特性图绘的是对数幅频特性曲线， 对数幅频特性图绘的是对数幅频特性曲线， 对数相频特性图绘的是对数相频特性曲线。 对数相频特性图绘的是对数相频特性曲线。
第四章 频率特性分析1
− arctan T ω
结论：系统的频率响应只是时间响应的一个特例，提 供了系统本身特性的重要信息，且随着输入谐波幅值、 频率的不同，系统稳态响应的幅值和相位也不相同。
11
⑵ 频率特性 频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时， 其稳态输出随频率而变化(ω由0变到∞)的特性。 设系统的传递函数中比例系数K为1，则 G ( s) = 输入信号为 xi (t ) = X i sin ωt 系统的稳态响应为： xo (t ) =
R e 2 (ω ) + Im (ω ) = K 1 + T 2ω
2
A (ω ) = G ( jω ) =
2
ϕ (ω ) = ∠ G ( jω ) = tan − 1 Im (ω ) = − tan − 1 (T ω ) R e(ω )
可见，两种方法求解结果一致。
24
¾ 几点说明
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面 虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分 方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频 率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全 部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性 也全寓于其中。
线性定常系统对谐波输入的响应为：
xo (t ) = A(ω ) sin[ωt + ϕ (ω )]
系统方框图及其稳态响应的输入输出波形如图4.1.1所示：
图4.1.1系统及其稳态响应的输入输出波形
9
例1
设系统的传递函数为G ( s) =
K Ts + 1
输入信号为 xi (t ) = X i sin ωt 得
xo (t ) = XiK 1 + T 2ω 2 sin(ωt − arctan Tω )