高考数学中的二次函数图像与性质总结

高考数学中的二次函数图像与性质总结
二次函数是高中数学中最重要的一章之一，也是高考数学中出
现频率最高的知识点之一。

二次函数是关于自变量的二次多项式，其一般式为：$ y=ax^2+bx+c $。

本文将从二次函数的图像以及性
质两个方面进行总结。

一、二次函数图像
二次函数的图像是一个通常被称为“开口”的抛物线。

其开口的
方向、顶点、轴线等均与函数中的系数有关。

1、开口方向：
当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上；
当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下。

在解决应用问题时，我们需要根据问题中的实际含义来确定开
口方向。

2、顶点：
二次函数的图像上有一个最高点或最低点，被称为顶点。

顶点坐标为 $ ( -\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a} ) $ ，其中 $ \Delta =
b^2-4ac $ 称作判别式。

当 $ \Delta > 0 $ 时，二次函数有两个实数根，此时抛物线与$ x $ 轴有两个交点，顶点处为最低点或最高点；
当 $ \Delta = 0 $ 时，二次函数有一个实数根，此时抛物线与$ x $ 轴有一个交点，顶点处在此时的交点处；
当 $ \Delta < 0 $ 时，二次函数无实数根，此时抛物线与 $ x $ 轴没有交点，顶点处为反比例函数的最高点或最低点。

在实际问题中，顶点常常代表着最优解，需要我们加以研究。

3、对称轴：
在二次函数的图像中，顶点是对称轴的中心点。

对称轴的方程为 $ x = -\frac{b}{2a} $。

在实际问题中，通过对称轴我们可以更好的分析函数的性质，例如计算函数的最值、判断函数的增减性等。

二、二次函数性质
二次函数的性质多种多样，常常被用于实际问题中的优化模型以及图像的分析。

本文将从函数的零点、单调性、极值、函数值域四个方面进行总结。

1、零点：
二次函数的零点是指函数图像与 $ x $ 轴相交的点。

我们可以通过化二次函数的标准式、配方法和公式法等多种方法求得函数的零点。

当 $ \Delta > 0 $ 时，二次函数有两个不同实数根；
当 $ \Delta = 0 $ 时，二次函数有一个实数根，此时的根也被称为二次函数图像的顶点；
当 $ \Delta < 0 $ 时，二次函数无实数根。

在实际问题中，零点通常表示函数的交点，例如求与坐标轴交点、求等式关系的解等。

2、单调性：
二次函数的单调性与其系数 $ a $ 的正负有关。

当 $ a > 0 $ 时，二次函数在其对称轴的左侧单调递减，在其对称轴的右侧单调递增，对称轴为函数的最小值点；
当 $ a < 0 $ 时，二次函数在其对称轴的左侧单调递增，在其对称轴的右侧单调递减，对称轴为函数的最大值点。

在实际问题中，通过了解函数的单调性可以更好地理解函数的表现形式，更有利于发现函数的特性。

3、极值：
二次函数的极值是指函数的最大值或最小值。

在求二次函数极
值时，通常我们需要先求出函数的对称轴，然后再通过代入计算
求得极值。

当 $ a > 0 $ 时，函数的最小值为 $ -\frac{\Delta}{4a} $，此时的极值点为函数的顶点；
当 $ a < 0 $ 时，函数的最大值为 $ -\frac{\Delta}{4a} $，此时的极值点为函数的顶点。

在实际问题中，通过求极值可以得到最优解，例如求最长时间、最小花费等。

4、函数值域：
二次函数的值域是指函数所有可能的函数值的集合。

我们可以
通过函数的性质以及其顶点处的函数值来知道函数的值域范围。

当 $ a > 0 $ 时，函数的取值范围为 $ [ -\frac{\Delta}{4a} ,
+\infty ) $；
当 $ a < 0 $ 时，函数的取值范围为 $ ( -\infty , -
\frac{\Delta}{4a} ] $。

通过对函数值域的分析可以更好地理解函数在其定义域内的表现形式。

总结：
二次函数是高中数学中的重要章节，其图像与性质在高考数学中的出现频率很高。

通过对二次函数图像与性质的总结，我们可以更好地理解函数的表现形式，更有利于解决实际问题。

在学习二次函数时，我们应该关注实际问题的应用以及函数的特性，这有助于我们更深入地研究函数，并在高考中更好地发挥自己的水平。